Matematyka cz.2

360 Pages·015.274 MB·Polish

by  Kołodziej W., Żakowski W

Matematyka
Wojciech Żakowski 11
CzęśćII
Witold Kołodziej
Wydanie dziesiąte

Komitet Redakcyjny
Daniel J. Bem
M ichał Białko
Wojciech C ellary
Zuzanna Grzejszczak
Zdzisław Kachlicki
Antoni Niederliński
Jerzy Osiowski
Antoni Pach
M arian Piekarski
Stanisław Sławiński
przewodniczący
Wiesław Traczyk
Jan Zabrodzki
Wojciech Zamojski
M arian Zientalski
WYDAWNICTWA NAUKOWO-TECHNICZNE
WARSZAWA
Redaktor wyd. I — IX Małgorzata Rajwacka-Jac hymhk
Redaktor wyd. X Lilianna S/>m\nsk\
Opracowanie graficzne Tadeusz Piftr7>k
Redaktor technic/n\ Joann\ Ciołi-.k
517.2/.3I517.52 "
Podręcznik zawiera wykład rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych,
wiadomości z zakresu teorii szeregów i całek niewłaściwych oraz elementy analizy funkcjonalnej.
Materiał teoretyczny jest ilustrowany licznymi przykładami i rysunkami. Ze względu na prze­
znaczenie książki w wielu podanych przykładach nawiązuje się do zagadnień elektroniki.
Zamieszczono też wiele zadań z odpowiedziami do samodzielnego rozwiązania. Podręcznik jest
przeznaczony dla studentów kierunków elektroniki, informatyki i telekomunikacji wyższych szkół
technicznych. Mogą z niego również korzystać studenci i inżynierowie innych specjalności.
Na całość podręcznika matematyki składają się części:
W. Żakowski, G. Decewicz — Matematyka cz. I
niniejsza książka
T. Trajdos — Matematyka cz. III
W. Żakowski, W. Leksiński — Matematyka cz. IV
Wydanie pierwsze i drugie napisał Wojciech Żakowski
1970 - wydanie pierwsze
1974 - wydanie trzecie zmienione
Tytuł dotowany przez Ministra Edukacji Narodowej
© Copyright by Wydawnictwa Naukowo-Techniczne
Warszawa 1970, 1993
AU rights reserved
Printed in Poland
ISBN 83-204-1618-3 całość
ISBN 83-204-1615-9 cz. II
Spis treści
Przedmowa..................................................................................................................................... 7
Rozdział I. Rachunek różniczkowy funkcji wielu mz iennych ............................................... 9
1. Zbiory w przestrzeni R^n. .......................................................................... 9
2. Funkcje wielu zmiennych.............................................................................. 15
3. Granica i ciągłość funkcji.............................................................................. 20
4. Pochodne cząstkowe.......................................................................................... 28
5. Przyrosty i różniczki . . . .......................................................................... 37
6. Różniczkowanie funkcji złożonej................................................................... 48
7. Funkcja uwikłana.............................................................................................. 63
8. Ekstremum funkcji.......................................................................................... 71
9. Całki zależne od parametru......................................................................... 79
Rozdział II. Rachmek całkowy funkcji wielu zmiennych....................................................... 89
1. Całka podwójna w prostokącie...................................................................... 89
2. Całka podwójna w obszarze normalnym ................................................... 99
3. Zmiana zmiennych w całce podwójnej....................................................... 104
4. Całka potrójna.................................................................................................. 112
5. Całka krzywoliniowa skierowana.................................................................. 123
6. Twierdzenie Greena i jego zastosowania................................................... 135
7. Całka krzywoliniowa nieskierowana............................................................... 145
8. Całka powierzchniowa niezorientowana....................................................... 149
9. Całka powierzchniowa zorientowana........................................................... 155
Rozdział 111. Szeregi liczbowe i funkcyjne. Całki niewłaściwe............................................... 161
1. Szereg liczbowy.................................................................................................. 161
2. Szeregi o wyrazach nieujemnych.................................................................. 169
3. Szeregi o wyrazach dowolnych...................................................................... 177
4. Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym....................................... 184
5. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej................................................... 195
6. Ciągi funkcyjne.................................................................................................. 200
7. Szeregi funkcyjne.............................................................................................. 208
8. Całki niewłaściwe zależne od parametru....................................................... 215
9. Szeregi potęgowe.............................................................................................. 223
10. Szereg Taylora.................................................................................................. 232
11. Ciągi i szeregi ortogonalne.............................................................................. 240
12. Szereg trygonometryczny Fouriera............................................................... 254
13. Metoda kolejnych przybliżeń.......................................................................... 272
14. Twierdzenie Banacha...................................................................................... 285
6 SPIS TREŚCI
Rozdział IV. Całka Lebesgoe'a i elementy analizy funkcjonalnej........................................... 295
1. Ogólna teoria miary......................................................................................... 295
2. Funkcje mierzalne.......................................................................................... 304
3. Ogólna teoria całki......................................................................................... 310
4. Przestrzenie Banacha..................................................................................... 324
5. Operatory liniowe............................................................................................. 330
6. Teoria równania liniowego.............................................................................. 337
7. Przestrzenie Hilberta..................................................................................... 343
8. Operatory samosprzężone.............................................................................. 349
Literatura........................................................................................................................................ 353
Skorowidz rzeczowy..................................................................................................................... 355
P rzedm ow a
Drugi tom podręcznika Matematyki dla wydziałów elektroniki zawiera ciąg
dalszy wykładów z analizy matematycznej, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji
wielu zmiennych, szeregi, całki niewłaściwe oraz wstęp do analizy funkcjonalnej. Ten
tom został napisany w roku 1967.
Czuję się w miłym obowiązku podziękować Panu Profesorowi Wacławowi Pawel-
skiemu z Politechniki Gdańskiej oraz Panu Profesorowi Tadeuszowi Trajdosowi
z Politechniki Warszawskiej za wiele cennych uwag, które wykorzystałem ustalając
ostatecznie treść podręcznika. Wyrażam też podziękowanie Panu Magistrowi Kazimie­
rzowi Banachowi, który przeczytal rękopis książki, przekazał mi swoje uwagi i spraw­
dził odpowiedzi do wielu zadań.
Warszawa, lipiec 1969 AUTOR
Trzecie wydanie tego podręcznika różni się znacznie od wydań poprzednich, gdyż
uwzględnia zmiany w programach matematyki na wydziałach elektroniki, wprowadzone
na skutek zmian w programach szkół średnich. W związku z tym napisano od nowa
rozdział pierwszy, dokonano wiełu skróceń w rozdziale drugim i trzecim, oraz dołą­
czono rozdział czwarty, którego autorem jest Docent Witold Kołodziej.
Warszawa, kwiecień 1973 AUTORZY

I
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1. ZBIORY W PRZESTRZENI R*
Przestrzeń I?". Zbiór wszystkich uporządkowanych układów (xl9 x2, .... *„),
n liczb rzeczywistych (n > 1), nazywamy przestrzenią n-wymiarową R\ Układy
(xi,x2, a:„) nazywamy punktami przestrzeni 1F, liczby xltx2, — współ­
rzędnymi prostokątnymi tych punktów.
Odległość dAB punktów A(alf a2, a „ ) i B(blt b2, bn) przestrzeni J?"
jest określona wzorem
4» = V ( « i + («ł ~ bif + ••• + (<*■-6,)2 (l.l)
PnykhuJy
Zbiór i? wszystkich liczb rzeczywistych jc z odległością między punktami A(a) i B(b)
określoną wzorem
dAB = I
jest przestrzenią l?1. Obrazem geometrycznym tej przestrzeni jest prosta.
Zbiór wszystkich par uporządkowanych (x9y) liczb rzeczywistych x, y z odległością 4**
między punktami A(xl9yŁ) i B(x2, ^2) określoną wzorem
<tiB *= tf{xt-x2)2+(yt-y2)2
jest przestrzenią R1. Obrazem geometrycznym tej przestrzeni jest płaszczyzna.
Zbiór wszystkich trójek uporządkowanych (x,y,z) liczb rzeczywistych z odległością
między punktami A(xt, y\, z%) i B(x2, yi 1 *1) określoną wzorem
dAB « V(xi ~ x2)*+Cki-yi)2 + (zi-Z2)2
jest przestrzenią Jf3. Obrazem geometrycznym przestrzeni i?3 jest zbiór punktów, znany Czytelni­
kowi z nauki geometrii pod nazwą przestrzeni lub przestrzeni trójwymiarowej.
Otoczenie i sąsiedztwo punktu. Niech r oznacza dowolną liczbę dodatnią.
Def. Otoczenie Q(P0; r) punktu P0(aj., a2,..., a„) o promieniu r jest to zbiór
wszystkich punktów P(xl9x2, ...,*„), dla których
* 0i> < r
Def. Sąsiedztwo S(P0; r) punktu pQ{ax, a2, ..., aH) o promieniu r jest to zbiór
wszystkich punktów P(xi9 x2, ...**„)» dla których
0 < d,0, < r (1.3)
10 I. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Pojęcie otoczenia i sąsiedztwa punktu w przestrzeni Rl znane są Czytelnikowi z nauki o funk­
cjach jednej zmiennej.
W przestrzeni R1 otoczenie Q(P0\ r) jest wnętrzem koła o środku P0 i promieniu r, natomiast
sąsiedztwo S(P0; r) jest wnętrzem tego koła bez punktu P0.
W przestrzeni R5 otoczenie Q(P0; r) jest wnętrzem kuli o środku P0 i promieniu r, natomiast
sąsiedztwo S(P0\r) jest wnętrzem tej kuli bez punktu P0.
Niech litera O oznacza punkt (0,0,..., 0) e R*.
Def. Zbiór Z c R* nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka liczba r > 0, że
Z c Q(0;r)
natomiast nieograniczonym, gdy liczba taka nie istnieje.
Na przykład w przestrzeni R2 zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem
wnętrza koła o środku w początku układu i określonym promieniu r. Jeżeli koło takie nie istnieje,
to zbiór jest nieograniczony.
Niech n oznacza dowolną liczbę naturalną.
Def. Zbiór nazywamy skończonym, jeżeli należy do niego dokładnie n punk­
tów.
Def. Zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli nie jest ani pusty ani skończony.
Zbiór wszystkich punktów położonych na prostej x+y = 1 i jednocześnie na okręgu X1 +y2 « 4
jest skończony. Składa się on z dwóch punktów. Zbiór wszystkich punktów prostej x+y = 1 jest
nieskończony, podobnie jak zbiór wszystkich punktów któregokolwiek jej odcinka.
Zbiór ograniczony może być skończony albo nieskończony. Każdy zbiór skoń­
czony jest ograniczony.
Zbiory otwarte i domknięte. Niech Z <= R*.
Def. Punkt P eZ nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Z, jeżeli zbiór
ten zawiera pewne otoczenie punktu P.
Na przykład każdy punkt zbioru określonego w przestrzeni R2 za pomocą nierówności mocnej
x2+y2 < 1, jest punktem wewnętrznym tego zbioru.
Def. Zbiór, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym, nazywamy
zbiorem otwartym.
Na przykład zbiór określony w przestrzeni R2 za pomocą nierówności mocnej x+y > 0,
oraz zbiór określony w przestrzeni RJ za pomocą nierówności mocnej x2+y2+zl < 1, są to zbiory
otwarte.
Def. Łuk zwykły w przestrzeni R* jest to zbiór wszystkich punktów
P(xi, x2, ..., jO o współrzędnych
(0. *2 * *i(0............ *» * *«(0 (i-4)
gdzie *,(/), i = 1 , 2 , są to funkcje ciągłe, określone w przedziale
przy czym różnym wartościom parametru t e (a; fi) odpowiadają różne punkty P,