Matematisk og teoretisk fysikk 2 : Mekanikk og statistikk PDF
Preview Matematisk og teoretisk fysikk 2 : Mekanikk og statistikk
MATEMATISK OG TEORETISK F Y S I K K AV EGIL HYLLERAAS II. DEL MEKANIKK OG STATISTIKK OSLO 195 1 GRØNDAHL & SONS FORLAG PRINTED IN NORWAY GRØNDAHL & SØNS BOKTRYKKERI OSLO INNHOLD II Del. Mekanikk og statistikk. Kapitel 1. ELEMENTÆRE MEKANISKE PROBLEMER. Side 1. Innledning.................................................................................................. 1 2. Mekanikkens grunnlover. De Newtonske aksiomer................... 4 Treghetsloven. Mekanikkens grunnligning. Newtons tredje lov. Kraft og arbeide. Parallellogramsatsen. Koordinatsystemer. Det «absolutte» rom. 3. Fallbevegelse og andre éndimensjonale bevegelser...................... 11 Generelle betingelser for integrasjon av bevegelsesligningen ved éndimensjonal bevegelse. Elementære eksempler. 4. Frie og tvungne elastiske svingninger............................................ 16 Egensvingninger og egenfrekvens. Tvungne svingninger. Resonans. Elektrisk svingekrets med selvinduksjon og kapasitet. 5. Dempede svingninger.............................................................................. 20 Forandring av frekvens og amplitude. Periodiske og aperiodiske svingninger. Tvungne dempede svingninger. Forandring av am plitude og forskyvning av fase ved tvungne dempede svingninger. Tvungne dempede elektriske svingninger. Den ytre krafts ar beide og oscillatorens energi ved dempede svingninger. 6. Andre svingningsproblemer................................................................. 26 Det matematiske pendel. Sykloidpendelet. Anharmoniske oscilla torer. Molekylsvingninger og planetbevegelse. 7. Flerdimensjonale problemer................................................................. 34 Kinetisk og potensiell energi ved konservative krefter. Innledende bemerkninger om integrasjon av bevegelsesligningene for fler- dimensjonale systemer. Den frie partikkels bevegelse. 8. Impulslov og momentsats for partikkelsystemer eller faste legemer...................................................................................................... 41 Definisjon av tyngdepunkt, impulsmoment og treghetsmoment. Tyngdepunktsloven. Flatesatsen. Arbeide og kinetisk energi VI Side referert til tyngdepunktet. Anvendelse av flatesatsen til bestem melse av planet baner. 9. Relativ bevegelse........................................................... 47 Aksesystemer med ujevn bevegelse. Relativ akselerasjon. Be- vegelsesligninger i relative koordinater. Fritt fall i forhold til den roterende jord. Foucaults pendel. Kapitel 2. LAGRANGES OG HAMILTONS MEKANIKK. 10. Prinsippet om det virtuelle arbeide og d’Alemberts prinsipp. 55 Antall frihetsgrader for et system av massepunkter. Virtuelle for skyvninger og virtuelt arbeide. Generelle koordinater. d’Alem- berts prinsipp. 11. Lagranges ligninger i generelle koordinater .............................. 63 Treghetskrefter uttrykt ved den kinetiske energi. 12. Fermats, Maupertuis’ og Hamiltons prinsipp.............................. 65 Fermats prinsipp om den korteste lystid eller korteste «optiske» lys vei. Maupertuis’ prinsipp om den minste virkning. Hamiltons prinsipp. 13. Andre utlodninger og anvendelser av de Lagrangeske ligninger 72 Utledning av de Lagrangeske ligninger ved hjelp av Hamiltons prinsipp. Direkte utledning fra bevegelsesligningene. De La grangeske ligningers form ved ikke-konservative krefter. De rela- tivistiske ligninger i den Lagrangeske form. 14. Delvis integrasjon av de Lagrangeske ligninger......................... 78 Generaliserte impulser. De Lagrangeske ligninger og energifunk- sjonen. Den kinetiske energi i den relativistiske mekanikk. Den kinetiske energi ved elektromagnetiske krefter. 15. Hamiltons ligninger........................................................................... 82 Energien som funksjon av koordinater og impulser. Utledning av Hamiltons ligninger fra de Lagrangeske. De kanoniske lig ningers sammenheng med Hamiltons prinsipp. 16. Generelle metoder for løsning av de kanoniske ligninger .... 87 Sykliske variable og bevegelseskonstanter. Hamilton-Jacobis differensialligning og virkningsfunksjonen. Integrasjon av beve gelsesligningene. 17. Kanoniske transformasjoner............................................................... 92 Koordinat-impulsrom. Den kanoniske transformasjonsfunksjon. 18. Løsning av bevegelsesproblemet ved separasjon av de variable 95 Bane og banebevegelse. VII Side Kapitel 3. KONTINUERLIGE LEGEMERS DYNAMIKK. 19. Faste legemers bevegelse..................................................................... 98 Et legemes treghetsmoment og treghetsprodukter. Bevegelseslig- ninger for stive legemer. De Eulerske vinkler for rotasjonsbe- vegelsen. 20. Bevegelse av et legeme om et fast punkt eller tyngdepunktet 104 Gyroskopet. Precesjon av jevndøgnspunktene. Gyroskopkom- passet. 21. Indre bevegelse i faste legemer........................................................ 114 Forrykning og deformasjon. Deformasjonstensoren. Eksempler på deformasjon. En-, to- og tredimensjonale kontinua. 22. Hamiltons prinsipp for kontinuerlige elastiske medier............. 120 Bevegelsesligninger og potensiell energi for den svingende streng. Potensiell energi og spenning for den svingende membran. Hamil tons prinsipp for tredimensjonale elastiske legemer. 23. Spenninger og elastisitetskoeffisienter............................................ 12/ Flatekrefter eller spenninger. Antall elastisitetskoeffisienter for et fast legeme. Reduksjon av antall uavhengige elastisitetskoeffi sienter ved høyere gittersymmetri. 24. Bølger i isotrope elastiske medier.................................................... 133 Utledning av den elastiske volumkraft. Transverselle og longi- tudinelle bølger. Longitudinelle bølger i ikke formfaste medier. Kapitel 4. HYDRODYNAMIKK. 25. Væskers kinematikk............................................................................. Momentane koordinater og identifiseringskoordinater. Hastighets felt. Akselerasjon og totalt deriverte i hydrodynamikken. Kon- tinuitetsligningen for kompressible og inkompressible væsker. Hastig hetspotensial og Laplaces ligning for inkompressible væsker. Kine- matiske grensebetingelser. 26. De hydrodynamiske bevegelsesligninger ........................................ Bevegelsesligninger for friksjonsfrie væsker. Bevegelsesligninger for væsker med indre friksjon. 27. Ideale væskers hydrodynamikk........................................................ Definisjon av ideale væsker. Stasjonær strømning i ideale væsker. Torricellis lov. Vena contracta. 28. Strømhvirvler i ideale væsker .......................................................... Kelvins sirkulasjonsteorem. Hvirvler og hvirvelrør. Helmholtz sats om hvirvelens bevarelse. Beregning av et hastighetsfelt når hvirvlingen er kjent. Den rettlinjede homogene hvirvel. VIII Side 29. Strømninger i en inkompressibel ideal væske .......................... 159 Todimensjonal strømning og konform avbildning. Strømning om kring en kule. 30. Bølger i ideale væsker....................................................................... 165 Gravitasjonsbølger. Bølger som skyldes molekylære krefter. Trykk bølger og lydbølger. Energi og energitransport i en trykkbølge. 31. Væsker med indre friksjon................................................................ 172 Alminnelige betraktninger. En væske mellom to roterende sylindre Strømning av en væske gjennom et rør. Poisseuilles lov. En kules bevegelse gjennom en seig væske. Kapitel 5. TERMODYNAMIKK. 32. Temperatur og temperaturskalaer................................................... 181 Måling og definisjon av temperaturer. Det absolutte nullpunkt og absolutt temperatur. 33. Tilstandsligningen............................................................................... 184 Tilstandsformer. Tilstandsvariable. Sammenheng mellom trykk, temperatur og volum. Tilstandsdiagrammer. 34. Varmelærens 1. hovedsetning........................................................... 188 Varme og energi. Loven om energiens bevarelse. Indre energi i en gas. Ideale gaser. Entropi for en ideal gas. 35. Varmelærens 2. hovedsetning........................................................... 193 Reversible og irreversible prosesser. Perpetuum mobile av 2. art. En varmekraftmaskins virkningsgrad. Virkningsgrad ved rever sible prosesser. Sammenligning av virkningsgraden for to varme- kraftmaskiner. Entropien som tilstandsstørrelse. 2. hovedsetning og entropien. Entropilovens anvendelse på fordampning og smeltning. 36. Termodynamiske potensialer ........................................................... 203 Entropi og fri energi. Gibbs’ potensial og enthalpi. Maxwells termodynamiske relasjoner. Joule—Kelvins eksperiment. Bestem melse av den absolutte temperatur ved hjelp av ikke ideale gaser. 37. Tilstandsligninger for ikke ideale gaser....................................... 208 van der Waals’ tilstandsligning. Kritiske data for en van der Waals-gas. Kapitel 6. KINETISK GASTEORI. Innledende bemerkninger................................................................... 212 38. Sammenheng mellom kinetisk energi og trykk i en gas........ 214 Bevegelsesmengde og trykk ved molekylstøt. Tilstandsligningen for en molekylær gas. Partialtrykk i gasblandinger. IX Side 39. Hastighetsfordeling ved uordnet varmebevegelse....................... 216 Støt mellom molekyler. Energiut veksling mellom molekyler. Ekvipartisj onsteoremet. 40. Maxwells hastighetsfordelingslov......................................................... 224 Energiutveksling og hastighetsfordeling. Strengere utledning av Maxwells lov. 41. Middelverdier av støtprosesser ......................................................... 231 Middelverdier av hastighet og hastighetskvadrat. Middelverdier av relative hastigheter. Støttall og midlere fri veilengde for mole kyler i en gas. 42. Masse-, energi- og impulstransport i en gas................................ 235 Utjevning av egenskaper i en inhomogen gas. Diffusjon. Diffu- sjonsligningen. Uordnet vandring av molekyler. Varmeledning. 43. Intermolekylære krefter og tilstandsligningen................................ 243 Clausius’ virialteorem. Gastrykk og virial. Omformning av virialet ved sentralkrefter. Tilstandsligningen for molekyler av endelig størrelse. Tilstandsligningen ved kollisjonskrefter. Kapitel 7. STATISTISK MEKANIKK. 44. Faseronimet og faseceller..................................................................... 249 Easerommet. Voluminvarians ved kanoniske transformasjoner. Liouvilles sats. 45. Termodynamisk sannsynlighet og entropi .................................... 254 Statistisk beskrivelse av sammensatte systemer. Fasecellenes a priori sannsynlighet. Termodynamisk sannsynlighet og termo dynamisk likevekt. Entropi. 46. Boltzmanns fordelingslov. Sammenheng med termodynamikken 258 Stirlings formel. Betingelse for maksimal entropi. Boltzmanns lov. Temperatur, trykk og fri energi. Utledning av Stirlings formel. 47. Gaskinetiske anvendelser av den statistiske mekanikk........... 263 Midlere kinetisk energi og ekvipartisjonsteoremet. Tilstandslig ningen for en ideal gas. Midlere fri energi for en oscillator. 48. Gibbs’ form for den statistiske mekanikk.................................... 267 Makrosystemer og mikrosystemer. Statistiske ensembler og kano niske ensembler. Termodynamiske størrelser i Gibbs’ statistikk. Tilstandsligningen for en ikke ideal gas. Sidn 49. Kvantestatistikk................................................................................... 273 Elementærpartikler og individualitet. Boltzmanns statistikk i ny form. Fermi-Diracs statistikk. Bose-Einsteins statistikk. En- tropien og Nernsts teorem. 50. Anvendelser av den nye statistikk i gaskinetikken................. 282 Fotongas og strålingsloven. Virialteoremet i kvantestatistikken. Tilstandssummer i kvantestatistikken. Ideale gaser ved svak degenerasjon. Sterk degenerasjon av en Bose-Einstein-gas. Null- punktsenergi for en Fermi-gas. Fermi-gas ved sterk degene rasjon. FORORD Dette 2. bind av «Matematisk og Teoretisk Fysikk», som kommer som nr. 3 i rekkefølgen, følger stort sett de samme linjer som B. 1 og B. 3. Det som er sagt generelt i forordet til disse gjelder derfor også her. Forfatteren har tillatt seg å følge sine egne linjer, og en eventuell kritikk må ikke bygge på den forutsetning at boken er skrevet ene og alene som lærebok for studenter på et visst utviklingstrinn og med sikte på å dekke et veldefinert pensum krav. Forfatteren har ikke villet vike tilside for en inngående mate matisk behandling, selv om denne på sine steder skulle ligge for høyt for gjennomsnittsstudentens nivå. Ved første gangs lesning bør leseren derfor omgå de vanskeligste partier. Dette kan så meget tryggere gjøres, som disse tenderer mot spesialiteter, mens de lettere avsnitt gjerne holder seg til det som vi kan betrakte som fysikernes felleseie. Dessverre har skrivningen av denne bok budt på så vidt mange store og små problemer at det fra begyn nelsen av ble besluttet å la være å aksentuere typografisk forskjellen mellom lett og vanskelig stoff. Dette må nu overlates til leseren, noe som kanskje slett ikke er bare til skade for studentene, da jo ikke bare evnene, men også interessene kan være høyst forskjellige. En utvikling av boken i retning av større volum fra bind til bind har vært uundgåelig. I foreliggende bind er dette resultat ganske naturlig i betraktning av at to store hovedavsnitt av fysikken er tatt opp til behandling, mekanikken og den statistiske varmelære. Denne utvikling vil fortsette også i 4. bind. Om første avdeling, mekanikken, kan det sies at den har fått en ganske utførlig generell behandling. De mere spesielle deler som stive legemers bevegelse, elastisitslære og hydrodynamikk er også tatt med, til tross for at de tynger boken sterkt Om elastisitets- læren kan det sies at den har fått en selvstendig ny behandling ved at elastisitetskoeffisienter knyttes mer til kvadratiske former for den potensielle energi enn til den vanlige tensormessige frem stilling av flatekrefter. Det vanskeligste kapitel har uten sammenligning vært siste del, termodynamikken, den kinetiske gasteori og den statistiske mekanikk. Temaene har imidlertid vært grundig analysert, og jeg mener at det har lykkes, innenfor et rimelig volum, å få med de fleste grunnleggende trekk ved disse viktige grener av fysikken, som i tidens løp er blitt så omfangsrike. For verdifull assistanse er jeg fremdeles takk skyldig til flere av dem som er nevnt under forordet i B. 1. Blindern, Oslo juni 1951. Egil Hylleraas.
The list of books you might like
