Matematika u struci

79 Pages·2007·0.626 MB·Croatian

by  Biljana Janjatović

SADRŽAJ:

1. SKUPOVI BROJEVA ....................4
1.1. Skup prirodnih brojeva ....................4
1.1.1. Računske operacije s prirodnim brojevima ....................4
1.2. Skup cijelih brojeva ....................5
1.2.1. Računske operacije s cijelim brojevima ....................5
1.3. Skup racionalnih brojeva ....................6
1.3.1. Računske operacije s racionalnim brojevima ....................7

2. LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE ....................8
2.1. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom ....................8
2.1.1. Primjena linearnih jednadžbi ....................8
2.2. Sustav linearnih jednadžbi ..................9
2.2.1. Primjena sustava linearnih jednadžbi ..................10
2.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom ..................11

3. PROPORCIONALNOST I PRIMJENE ..................12
3.1. Omjeri i razmjeri ..................12
3.2. Upravna i obrnuta razmjernost ..................13
3.3. Jednostavno pravilo trojno ..................14

4. MJERNE JEDINICE ..................16
4.1. Mjerenje ..................16
4.1.1. Mjerne jedinice za duljinu, površinu i obujam ..................16
4.1.2. Mjerne jedinice za vrijeme, masu i silu ..................18

5. PLANIMETRIJA ..................20
5.1. Trokuti ..................20
5.1.1. Pravokutni trokut- Pitagorin poučak ..................20
5.1.2. Opseg i površina trokuta ..................20
5.2. Četverokuti ..................24
5.2.1. Opseg i površina četverokuta ..................25
5.3. Kružnica i krug ..................26
5.3.1. Opseg i površina kruga ..................27
5.4. Opseg i površina složenih likova ..................27

6. TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA ..................29
6.1. Mjerenje kuta ..................29
6.2. Definicije trigonometrijskih funkcija kuta ..................30
6.2.1. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova 30°, 60° i 45° ..................31
6.2.2. Računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija pomoću džepnog računala
..................32
6.3. Rješavanje pravokutnog trokuta i primjena ..................33

7. UGLASTA TIJELA (POLIEDRI) I OBLA TIJELA ..................35
7.1. Kocka ..................35
7.1.1. Oplošje i volumen kocke ..................35
7.2. Kvadar ..................36
7.2.1. Oplošje i volumen kvadra ..................36
7.3. Prizme ..................37
7.3.1. Oplošje i volumen prizme ..................37
7.4. Piramide ..................38
7.4.1. Oplošje i volumen piramide ..................38
2
7.5. Valjak ..................40
7.5.1. Oplošje i volumen valjka ..................40
7.6. Stožac ..................41
7.6.1. Oplošje i volumen stošca ..................41
7.7. Kugla ..................42
7.7.1. Oplošje i volumen kugle ..................42

8. SILA ..................44
8.1. Pojam sile i njezino predočavanje ..................44
8.2. Sile koje djeluju u istom pravcu ..................46
8.2.1. Zbrajanje sila ..................46
8.2.2. Ravnoteža sila ..................49
8.2.2.1. Grafički uvjet ravnoteže ..................49
8.2.2.2. Analitički uvjet ravnoteže ..................50
8.3. Sustav sila koje djeluju u različitim pravcima, a imaju zajedničko hvatište..................55
8.3.1. Sastavljanje sila ..................51
8.3.2. Ravnoteža sila ..................51
8.3.2.1. Grafički uvjet ravnoteže ..................53
8.3.2.2. Analitički uvjet ravnoteže ..................53
8.4. Rastavljanje sila u dvije komponente ..................55

9. NAPREZANJA ..................58
9.1. Vrste naprezanja ..................58
9.1.1. Centrični vlak ..................58
9.1.2. Centrični tlak ..................58
9.1.3. Savijanje bez uzdužne sile ..................59
9.1.4. Naprezanje na posmik ..................59
9.1.5. Naprezanje na torziju ..................59
9.1.6. Ekscentrični vlak ..................59
9.1.7. Ekscentrični tlak ..................60
9.1.8. Savijanje s uzdužnom silom ..................60

10. MOMENT ..................61
10.1. Statički moment sile ..................61
10.1.1. Poučak o momentu ili Varignonov (Varinjonov) poučak ..................64

11. NOSAČI ..................66
11.1. Općenito o nosačima ..................66
11.1.1. Ležaji ..................66
11.1.2. Raspon nosača ..................69
11.1.3. Podjela nosača ..................69
11.1.4. Opterećenje nosača ..................72
11.1.4.1. Oblici opterećenja ..................73
11.2. Teorija nosača ..................75
11.2.1. Deformacija i unutarnje sile ..................75
11.2.2. Određivanje unutarnjih sile u nosaču ..................76
11.2.2.1. Predznak unutarnjih sila ..................76
11.2.2.2. Odnos između momenta savijanja i poprečne sile ..................78
3
1. SKUPOVI BROJEVA

1.1. Skup prirodnih brojeva

Brojevi 1,2,3,4,5,6,7... dobro su nam poznati. To su prirodni brojevi.
Skup svih prirodnih brojeva označavamo sa N i pišemo:
N={1,2,3,4,5,6,7...}
Skup svih neparnih prirodnih brojeva označavamo sa N1:
N1={1,3,5,7,9,11...}
Skup svih parnih prirodnih brojeva označavamo sa N2:
N2={2,4,6,8,10,12...}
Poznat je i skup brojeva:
N0={0,1,2,3,4,5,6...}.

1.1.1. Računske operacije s prirodnim brojevima

Zbroj bilo koja dva prirodna broja jest prirodan broj.
Umnožak (produkt) bilo koja dva prirodna broja jest prirodan broj.
Razlika prirodnih brojeva a i b, tj. a-b jest prirodan broj samo ako je a>b.
Količnik (kvocijent) svaka dva prirodna broja nije prirodan broj.

Zadatak 1:
Izračunaj: a) 73648 + 8371
b) 391306 – 59372
c) 682 · 407
d) 28080 : 45
(Rj.: a) 82019, b) 331934, c) 277574, d) 624.)

Ako u nekom matematičkom izrazu ima više računskih operacija: zbrajanje, oduzimanje,
množenje i dijeljenje, tada najprije množimo i dijelimo, a zatim zbrajamo i oduzimamo.

Primjer 1:
152 + 25 : 5 – 12 · 3 = 152 + 5 – 36 = 121

Ako u matematičkom izrazu imamo i zagrade, najprije izračunamo ono što je u
zagradama ili po određenim pravilima rješavamo zagrade.

Primjer 2:
(7 + 19) : 2 + 3 · (176 – 25) = 26 : 2 + 3 · 151 = 13 + 453 = 466

Primjer 3:
(12 + 7 · 6) · (28 - 3 · 8) = (12 + 42) · (28 - 24) = 54 · 4 = 216

Zadatak 2:
Izračunaj: a) 796 + 24 : 2 – 80 · 10
b) (36 + 27 ) : 3 – (56 : 7 – 6) · 2
c) (3 · 5 + 9) : (7 – 1)
(Rj.: a) 8, b) 17, c) 4.)

1.2. Skup cijelih brojeva

Skup sastavljen od prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6... , nule i negativnih brojeva: -1, -2,
-3, -4, -5, -6... označava se sa Z, tj.:
Z = {... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.
Skup Z je skup svih cijelih brojeva.
4
O E
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Svakom cijelom broju možemo pridružiti neku točku brojevnog pravca. Svakoj toj točki
pridružena je udaljenost od točke O. Prema tome i svakom cijelom broju možemo pridružiti
udaljenost od nule. Ta udaljenost zove se još i modul ili apsolutna vrijednost cijelog broja.
Oznaka za modul broja a je |a|.
Npr. |7| = 7
|-7| = 7
Općenito je:
|n| = n, n є N
|-n| = n, n є N
|0| = 0.
Dva različita broja koji imaju jednake module zovemo suprotni brojevi.
Od dva negativna cijela broja manji je onaj koji ima veći modul.

1.2.1. Računske operacije s cijelim brojevima

Zbroj dvaju negativnih cijelih brojeva je negativan broj kojemu je modul jednak zbroju
modula tih brojeva.

Primjer 1:
a) -9 + (-6) = -15
b) -23 + (-19) = -42
c) -254 + (-5723) = -5977

Zbroj dva cijela broja različitih predznaka izračunat ćemo tako da im najprije odredimo
module. Zatim od većeg modula oduzmemo manji i tako dobivamo modul zbroja. Zbroj
će imati predznak onog pribrojnika kojemu je veći modul.

Primjer 2:
a) -9 + 5 = -4
b) 15 + (-6) = 9
c) -7 + 21 = 14

Zadatak 1:
Zbroji:
a) -5 + (-8)
b) 34 + (-15)
c) -28 + 9
d) -48 + (-21)
(Rj.: a) -13, b) 19, c) -19, d) -69.)

Oduzeti od cijelog broja a cijeli broj b znači broju a pribrojiti suprotan broj broja b, tj.
pribrojiti –b.

Primjer 3:
a) 7 - 13 = 7 + (-13) = -6
b) -15 - 8 = -15 + (-8) = -23

Kad je pred zagradom znak minus, zagradu i taj znak ćemo izostaviti, a brojeve u
zagradi zamijeniti suprotnim brojevima.
5
Ako je pred zagradom znak plus, zagradu i taj znak izostavimo. Pri tome se ne
mijenjaju predznaci brojeva koji su u zagradi.

Primjer 4:
8 - ( 4 - 6 + 5) + (7 - 9) = 8 - 4 + 6 - 5 + 7 - 9 = 3

Zadatak 2:
Izračunaj:
a) -5 + (6 - 12 + 9) - (-5 + 7 - 18)
b) 23 - (-15 + 7 - 9) + (7 - 9 + 5)
(Rj.: a) 14, b) 43.)

Cijeli brojevi množe se tako da im se pomnože moduli. Ako su oba faktora pozitivni ili
oba negativni cijeli brojevi, umnožak je pozitivan cijeli broj. Ako je jedan faktor
pozitivan, a drugi negativan cijeli broj, umnožak je negativan cijeli broj.

Primjer 5:
a) 9 · 8 = 72
b) 7 · (-5) = -35
c) -6 · 4 = -24
d) -12 · (-5) = 60

Cijeli brojevi dijele se tako da im se podijele moduli. Ako su djeljenik i djelitelj pozitivni
brojevi ili oba negativni brojevi, kvocijent je pozitivan. Ako je djeljenik pozitivan, a
djelitelj negativan ili djeljenik negativan, a djelitelj pozitivan broj, kvocijent je
negativan broj.

Primjer 6:
a) 14 : 7 = 2
b) 25 : (-5) = -5
c) -32 : 4 = -8
d) -48 : (-6) = 8

Zadatak 3:
Izračunaj:
a) 15 · (-5)
b) -48 : (-4)
c) -36 : 9
d) -24 · (-8)
(Rj.: a) -75, b) 12, c) -4, d) 192.)

Zadatak 4:
Pazeći na utvrđeni redoslijed računskih operacija izračunaj:
a) -3 + 4 · (-6) - 3 · (-5) + 9
b) 8 + 3 · (5 - 9) - 6 · (-8 + 2)
c) -5 · (-8) + 6 · (-9 + 3)
(Rj.: a) -3, b) 32, c) 4.)

1.3. Skup racionalnih brojeva

Kvocijente prirodnih brojeva često pišemo u obliku razlomaka:
a
a : b =
b
6
Skup racionalnih brojeva je skup svih brojeva koji se mogu napisati u obliku razlomka.
Označava se sa Q.
Proširiti razlomak, znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od
nule i jedinice.
Skratiti razlomak, znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule
i jedinice.

1.3.1. Računske operacije s racionalnim brojevima

a c ad ±bc
± =
b d bd

a c ac
⋅ =
b d bd

a c a d
: = ⋅
b d b c

Primjer 1:
1 3 4+9 13 1
a) + = = =1
3 4 12 12 12
1 2 3 2 9−4 5
b) 1 − = − = =
2 3 2 3 6 6
2 3 1 3 3
c) ⋅ = ⋅ = (Skraćeno!)
5 4 5 2 10
1 2 7 5 35 5
d) 2 : = ⋅ = =5
3 5 3 2 6 6

Zadatak 1:
Izračunaj:
2 3 4 1
a) + b) −
3 5 5 2
3 5 6 3
c) ⋅ d) :
2 6 7 4
4 3 1 1
(Rj.: a) 1 , b) , c) 1 , d) 1 .)
15 10 4 7

Zadatak 2:
Izračunaj:
3 4 3
a) 1 + ⋅
5 5 4
1 1 2
b) + 2 ⋅
5 2 3
3 13
(Rj.: a) 2 , b) 1 .)
5 15

7
2. LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE

2.1. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

Jednadžba oblika ax + b = 0, pri čemu su a i b realni brojevi, a ≠ 0, zove se linearna
jednadžba s jednom nepoznanicom.
Ako u jednadžbi članove prebacujemo na drugu stranu znaka jednakosti, mijenjamo im
predznake. Ako sve članove jednadžbe pomnožimo istim brojem različitim od nule dobivamo
ekvivalentnu jednadžbu (jednadžbe koje imaju ista rješenja zovemo ekvivalentne jednadžbe).

Primjer 1:
Riješimo jednadžbu 2x + 6 = 0.
Članove s nepoznanicom x prebacimo na lijevu, a poznate članove na desnu stranu
znaka jednakosti:
2x = -6

Podijelimo cijelu jednadžbu sa 2:
x = -3.

Primjer 2:
Riješimo jednadžbu 3 (2x + 4) = 2 (x - 2)
6x + 12 = 2x - 4
6x - 2x = -4 - 12
4x = -16 / : 4
x = -4

Zadatak 1:
Riješi jednadžbe:
a) 12 + 5x = 3 (x – 6) - 4x
b) 2 (x + 1) = x - 8
(Rj.: a) x = -5, b) x = -10.)

2.1.1. Primjena linearnih jednadžbi

U svakodnevnom se životu susrećemo s problemskim zadacima čije je rješavanje olakšano
poznavanjem načina rješavanja linearnih jednadžbi.

Primjer 1:
Za zidanje zida jednom zidaru treba 45 radnih sati, a drugom zidaru 36 sati. Koliko bi
trajala gradnja tog zida ako bi radili zajedno?
Označimo sa x dio posla koji bi obavila oba radnika za jedan sat. Za jedan radni sat prvi
1 1
radnik obavi posla, a drugi . Slijedi:
45 36
1 1
x = +
45 36
1
x =
20
1
Obojica radnika za jedan sat obave posla. Dakle, ako bi radili zajedno, gradnja bi
20
trajala 20 dana.

8
Primjer 2:
Koliko je posto poskupio benzin ako je cijena jedne litre od 7.60 kn povećana na 7.98 kn?
Označimo sa x traženi postotak. Ako na staru cijenu litre benzina (7.60) dodamo
x
povećanje (x% stare cijene = · 7.60), dobit ćemo novu cijenu (7.98). Zapišimo
100
jednadžbu:
x
7.60 + · 7.60 = 7.98
100
7.60 + 0.076x = 7.98
Pomnožimo li jednadžbu sa 1000 oslobodit ćemo se decimalnih brojeva:
7600 + 76x = 7980
Prebacimo poznate članove na desnu stranu:
76x = 7980 - 7600
76x = 380
Dijeljenjem jednadžbe sa 76 dobivamo rješenje: x = 5
Dakle, benzin je poskupio za 5%.

Zadatak 1:
Na pitanje učitelja matematike koliko je odsutnih učenika, jedan učenik je odgovorio:
„Jedna devetina”. U tom trenutku u razred ulazi jedan učenik, a učenici izjavljuju: „Sada nas
nedostaje jedna dvanaestina”. Koliko je ukupno učenika u tom razredu?
(Rj.: U razredu je 36 učenika.)

2.2. Sustav linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice možemo rješavati primjenom raznih metoda.
Osnovna je zadaća da se od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice dobije jedna jednadžba s
jednom nepoznanicom.

Primjer 1:
Riješimo sustav 2x - y = -5
3x + 8y = 2 metodom supstitucije.
Metoda se sastoji u tome da se jedna od nepoznanica x ili y izračuna iz jedne i uvrsti u drugu
jednadžbu.
Iz prve jednadžbe računamo y:
-y = -2x - 5
y = 2x + 5
Zatim y u drugoj jednadžbi zamijenimo sa 2x + 5 pa dobivamo:
3x + 8 (2x + 5) = 2
3x + 16x + 40 = 2
19x = -38
x = -2
Dobiveni x uvrstimo u jednu od početnih jednadžbi pa dobivamo:
2 · (-2) - y = -5
-y = -1
y = 1
Rješenje sustava je uređen par (-2,1).

Primjer 2:
Riješimo sada isti sustav metodom suprotnih koeficijenata.
Uz jednu nepoznanicu treba množenjem realnim brojevima postići suprotne koeficijente
(ako već nisu), a zatim zbrajanjem jednadžbi dobivamo jednu jednadžbu s jednom
nepoznanicom.
9
2x - y = -5 / · 8
3x + 8y = 2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
16x - 8y = -40 +
3x + 8y = 2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
19x = -38
x = -2
2 · (-2) - y = -5
y = 1
Rješenje sustava je uređen par (-2,1).

Primjer 3:
Primijenimo sada metodu komparacije.
Iz jedne i druge jednadžbe izračunava se ista nepoznanica.
2x - y = -5
3x + 8y = 2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
2x = y - 5 3x = -8y + 2
y−5 −8y+2
x= x =
2 3
y−5 −8y+2
= / · 6
2 3
3y - 15 = -16y + 4
19y = 19
y = 1
2x - 1 = -5
x = -2
Rješenje sustava je uređen par (-2,1).

Zadatak 1:
Riješi sustave:
a) x + 3y = -2
-2x - y = -1
b) 5x - 4y = -7
-2x - 3y = 12
c) 5x – 2y = -13
-x + 2y = 9
d) 6x – 4y = -5
4x + 5y = -11
3
(Rj.: a) (1,-1), b) (-3,-2), c) (-1,4), d) (- ,-1).)
2
2.2.1. Primjena sustava linearnih jednadžbi

Primjer 1:
Dvojicu dječaka upitaše koliko imaju godina. Jedan od njih odgovori: „Zbroj naših godina je
20, a za dvije godine ja ću biti dva puta stariji od njega.” Koliko godina ima pojedini dječak?
Označimo sa x broj godina prvog dječaka, a sa y broj godina drugog dječaka. Zbroj godina
obojice dječaka je 20, pa pišemo jednadžbu
x + y = 20
Za dvije će godine prvi dječak imati x + 2 godine, a drugi y + 2 godine. Tada će prvi dječak
biti dva puta stariji od drugoga, pa to zapisujemo u obliku jednadžbe:
x + 2 = 2 · (y + 2)
Rješavanjem sustava ove dvije jednadžbe dobiju se rješenja x = 14, y = 6.
10