ebook img

Matematik Origo 2b PDF

254 Pages·2012·61.76 MB·Swedish
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Matematik Origo 2b

m a t e n i Hi Attita Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufå Mikael Markl T i ll L ä s a r en MATEMATIK ORICO 2B är skriven för dig som ska läsa • Efter varje delkapitel kommer Resonemang och matematik kurs 2b på Samhällsvetenskapsprogram begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamra met, Ekonomiprogrammet, Humanistiska program ter och din lärare utveckla förmågan att förstå och met eller Estetiska programmet. Boken är helt anpas använda matematiska begrepp, att föra matematis sad för Gy 2011 och följer ämnesplanens centrala ka resonemang och att kommunicera matematik. innehåll och syfte. För oss som har skrivit den här • Till varje kapitel finns en större uppgift av tematisk boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. karaktär, som vi har valt att kalla n-uppgift. Här Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram finns möjlighet för dig att utveckla de matematiska problemlösning, förståelse och det matematiska förmågor och kunskaper som behövs för ett högre samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo betyg. ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi • I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia känner inför matematikämnet. som beskriver matematikens utveckling ur ett idé • Matematik Origo 2b är indelad i fem kapitel. Varje historiskt och kulturellt perspektiv. kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som • I Problem och undersökningar får du tillfälle att du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar träna problemlösning och ett undersökande upp och vad du ska kunna när du har arbetat fär arbetssätt. Här finner du lite mer omfattande och digt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att utmanande uppgifter. själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska • Tankekartan visar hur de olika matematiska problem. begreppen hänger ihop. Tankekartan kan ses som en sammanfattning av kapitlet och är en bra • Teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser utgångspunkt för ett muntligt test. teorin och förklarar viktiga matematiska färdighe ter. I samband med exemplen finns kortfattade • I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. instruktioner till hur du kan använda din grafri Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper tande räknare. från hela kapitlet. • Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer • Sist i varje kapitel finns ett Test. Där har du möjlig och av olika karaktär. På varje nivå finns uppgifter het att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är som tränar din förmåga till problemlösning. uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan räk Öppna uppgifter, markerade med ö , är uppgifter nare och en del där du får använda räknare. som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna I n n e h å ll 1 Algebra e 3 Ekvationer och ekvationssystem 72 1.1 ALgebraiska uttryck 8 Att förenkla algebraiska uttryck 8 3.1 Räta linjens ekvation 74 Multiplikation av uttryck inom parenteser 11 Från graf till ekvation 74 Riktningskoefficienten för 1.2 Kvadrerings- och konjugatreglerna 14 en rät linje 78 Räta linjens ekvation i k-form 80 Kvadreringsreglerna 14 Konjugatregeln 16 Parallella och vinkelräta linjer 83 Att faktorisera uttryck 18 3.2 Ekvationssystem 87 1.3 Andragradsfunktioner 20 Grafisk lösning av ett ekvationssystem 87 Rita grafen till en andragradsfunktion 20 Substitutionsmetoden 91 Additionsmetoden 94 Grafisk lösning av en andragradsfunktion 23 3.3 Analytisk geometri 97 n-uppgift: Profit i solsken 28 Avståndsformeln 97 Problemlösning med hjälp av analytisk geometri 99 Problem och undersökningar 29 Historia: Räknehjälpmedel 30 O-uppgift: Att tillverka och sälja mobiler 102 Tankekarta 32 Historia: Att lösa ekvationssystem 103 Blandade uppgifter 33 Problem och undersökningar 104 Kapiteltest 36 Tankekarta 105 Blandade uppgifter 106 2 Andragradsekvationer » Kapiteltest 110 3 2.1 Enkla andragradsekvationer 40 Ekvationer av typen x3 - a 40 Andragradsekvationer och komplexa tal 42 Faktorisering som lösningsmetod 44 Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna 46 Kvadratkomplettering 48 2.2 Fullständiga andragradsekvationer 51 pq-formeln 51 Antal lösningar till en andragrads ekvation 55 Andragradsfunktionen och grafen 57 n-uppgift: Tvärnit 63 Historia: Ekvationer av högre grad 64 Problem och undersökningar 65 Tankekarta 66 Blandade uppgifter 67 Kapiteltest 70 4 Potenser, logaritmer Statistik 194 och budgetering 112 6.1 Läges- och spridningsmått 196 Lägesmått 196 Spridning kring medianen 200 4.1 Ränteberäkningar och budgetering 114 Spridning kring medelvärdet 205 Ränteberäkningar 114 Budget för privatekonomi 117 Normalfördelning 208 Företagsekonomi och budgetering 120 6.2 Statistiska samband 213 4.2 Potenser och potensekvationer 124 Korrelation och kausalitet 213 Potenser med heltalsexponenter 124 Potenser med Regressionsanalys 219 rationella exponenter 126 Potensekvationer 128 n-uppgift: Orkidéer och samband 221 4.3 ExponentiaLekvationer och logaritmer 132 Historia: Normalfördelning som modell 222 Grafisk lösning av exponentialekvationer 132 Problem och undersökningar 223 Tiologaritmer 136 Exponentialekvationer och tiologaritmer 139 Räkneregler för logaritmer 143 Tankekarta 224 Tillämpningar 146 Blandade uppgifter 225 n-uppgift: Konserten 150 Kapiteltest 228 Problem och undersökningar 151 Historia: Från logaritmtabell till räknesticka 152 Facit Tankekarta 154 v Blandade uppgifter 155 Register Kapiteltest 158 5 Geometri v 5.1 Satser om vinklar i cirklar 162 Olika slags vinklar 162 Randvinkelsatsen 165 5.2 Likformighet och kongruens 170 Likformiga månghörningar 170 Likformiga trianglar 172 Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen 176 Kongruens 180 n-uppgift: Pappersformat i A-serien 185 Historia: Geometri och mätmetoder 186 Problem och undersökningar 187 Tankekarta 188 Blandade uppgifter 189 Kapiteltest 192 1 A l g e b ra ||DELKAPITEL 1.1 Algebraiska uttryck 1.2 Kvadrerings- och konjugat- reglerna 1.3 Andragradsfunktioner FORKUNSKAPE • Algebraiska förenklingar • Potenser • Förstagradsekvationer • Koordinatsystem, funktioner och grafer CENTRALT INNEHALL Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslösning. Egenskaper hos andragradsfunktioner. Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg. Funktionen och grafen Igebra är ett av matematikens mest Här har vi ritat grafen till andragradsfunktionen centrala områden. Tillsammans med y = x2 - 4 aritmetiken (räknelära) utgör den en bas för i stort sett all matematik. Att utveckla och förenkla algebraiska uttryck är därför en viktig och grundläggande kunskap för att förstå andra delar av matematiken. Vi använder algebra till exempel när vi skapar matematiska modeller av verkligheten med hjälp av ekvationer och funktioner. Det gör algebra till ett viktigt inslag i många • Lös andragradsekvationen x2 - 4 = 0. Hur samhällsvetenskapliga och ekonomiska många lösningar har ekvationen? Hur kan du bestämma lösningarna med hjälp av grafen? sammanhang, där man behöver modeller för till exempel hur antalet invånare i ett land • De punkter där funktionsvärdet är noll kallas utvecklas eller hur värdet av en pensions funktionens nollställen. Skissa grafen till en fond förändras. andragradsfunktion som saknar nollställen. • Skissa grafen till en andragradsfunktion som När du är klar med kapitlet ska du kunna har precis ett nollställe. • multiplicera algebraiska uttryck • förenkla uttryck med kvadrerings- och Samband mellan produkter konjugatreglema • Du vet att 8 • 8 = 64. Beräkna produkterna • faktorisera algebraiska uttryck 9-7 10-6 11-5 12-4 • rita grafen till en andragradsfunktion och jämför dem med produkten 8 • 8. Vilken slutsats kan du dra? • lösa andragradsekvationer grafiskt • Stämmer din slutsats även för 13-3 14-2 15-1 16-0 • Testa med att utgå från en annan produkt n • n och se om sambandet gäller även här. • Vilken slutsats kan dras? 1.1 A l g e b r a i s ka u t t r y ck Att förenkla algebraiska uttryck I kurs 1 förenklade vi algebraiska uttryck genom att ta bort parentesen och lägga ihop likadana termer. I2x - [8x + 5) = I2x - 8x - 5 = Ax - 5 Vi ändrar tecken i parentesen och räknar x-termer för sig och konstanttermer för sig. i \ Eftersom det är subtraktionstecken framför parentesen, byter vi tecken Multiplicera Vi utförde också multiplikationer av typen 2x(3 - 6x) = 2x • 3 - 2x • 6x = 6x - 12*2 Det kallade vi att multiplicera in 2x i uttrycket inom parentes. Vi lärde oss dessutom att bryta ut en faktor ur ett uttryck, t.ex. x2 -7x = x(x— 7) Faktorisera Då har vi faktoriserat uttrycket x2 - Ix genom att bryta ut den gemensamma faktorn x. Hur man vill att ett utryck ska skrivas varierar beroende på sammanhang. Därför är det viktigt att kunna multiplicera in i och bryta ut ur parenteser. Exempel: Förenkla uttrycket så långt som möjligt 5a + (3b-2a)-(3a + 7b) Lösning: 5a+ (3b-2a)-{3a + 7b) Ta bort parenteserna = 5a + 3b -2a- 3a — 7b = Lägg ihop termer av samma slag -Ab Ändra tecken i parentesen när det är subtraktionstecken framför parentesen Exempel: Multiplicera ihop a) 3(5a-7b) b) 5a(3a2 + 6b-9) lösning: a) 3{5a - 7b) - 3 • 5a - 3 • 7b - 15a - 21b b) 5a{3a2 + 6b-9) = 15a3 + 30ab-A5a Gör på samma sätt som när det är två termer i parentesen ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK Exempel: a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket öx3 + 9x b) Faktorisera uttrycket Ix2 + 8x genom att bryta ut största möjliga faktor. lösning: a) öx3 + 9x - 3x(2x2 + 3) Du kan kontrollera att du har gjort ratt genom att multiplicera in 3x i parentesen b) 2x2 + 8x = 2x(x + 4) 2x är den största gemensamma faktorn i 2x2 och 8x I NI VA 1 1107 Multiplicera ihop a) 5a(5b-5a) 1101 Förenkla uttrycken b) llx(2x-7) a) 2a + la c) 0,5y(9x + 20y) b) 5b-4b c) 10a + 8b + 6a 1108 Lös ekvationerna a) 4(x-4) =42 1102 Förenkla uttrycken b) 6(2x- 1) = lOx a) 7x + 4-3x+ 12 b) x + 7y- 16x+ 3y 1109 Multiplicera ihop c) 3xy + 7x - 5 a) 8(6b + 5a -4) b) 2x(7x+3+y) 1103 Emeric och Lovisa pluggar algebra. Lovisa c) 0,l(140m-47«-6) undrar hur det kommer sig att 3a + 2a = 5a. Hjälp Emeric att förklara så utförligt som 1110 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna möjligt för Lovisa. stämmer. 1104 Förenkla uttrycken a) 4(D+3)=4a+12 a) 7x-(4x+8) b) 5(2-•) = 10- 15b b) (8y+3) + (5-7y) c) 7a(0 + •) = 14a + 7a3 c) Av-(3x+ 2vl + (5v + x 1111 Faktorisera uttrycken genom att bryta ut största möjliga faktor. 1105 Multiplicera ihop a) 3a+ 6 b) 4y2-12y a) 6{8b-2a) c) Ua-2lab d) 28xy-5Axy2 b) 7(3x + 6) c) 8(2x-5y) 1112 Skriv ett uttryck för rektanglarnas areor. 1106 a) Förenkla uttrycket 6(12-4x). b) b) Beräkna värdet av uttrycket för x - 3. 2x + 3 3x + 8 4x ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK 9 1113 Ställ upp utryck för figurernas areor. 1122 Faktorisera täljarna och förkorta så långt som möjligt. a) Triangel med basen 9 och höjden 2x + y 4a - a 3X2 + 6x b) Rätvinklig triangel med kateterna x + 7 a) b) x + 2 och 10 1123 Ett uttryck för en viss rektangels area är 1114 Lös ekvationerna (2a2 - 18a) cm2. Ange längden av den andra a) 7(x + 3) = 3(x-l) sidan, om den ena sidan är b) 2(4 + 3x) = 5(8-2x) a) a cm b) 2a cm 1115 Ställ upp ett uttryck för figurens area och för NIVÅ 3 enkla det så långt som möjligt. 1124 Fyll i de tomma rutorna så att likheten stäm mer. 2x a) •(2x+3)-4(x-9)=D + 45 b) 3(Dx-9y)-4(2x + Dy) = 5,5x-13y 1125 I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra. Längden av var och en av NIVA 2 kateterna är givna i hela centimeter. Triangelns 1116 a) Förenkla uttrycket 10(2a + 7) - 3(4a + 8). area är 30 cm2. Hur långa är kateterna? b) Beräkna värdet av uttrycket för a = 7. 1117 Ställ upp ett uttryck för figurens area och förenkla det så x + 3 x + 4 långt som möjligt. 1118 Lös ekvationerna a) 3(2x + 4)-4(3-4x) = 2(x+7) b) 2,5(3x-9)-3(0,5x + 4,5) = 0 1119 Förenkla a) 7(2b + 5a) + 5(4a + b) b) 9(5-3x)-6(8x-4) c) 2a(3-8a-7b)-7b(4-2a) 1120 Marta och Lotta ska förenkla 2a(5a + 3) genom att multiplicera in 2a i parentesen. Lotta vet att svaret är 10a2 + 6a, men förstår inte riktigt var för. Hjälp Marta att förklara detta för Lotta. 1121 a) Förenkla uttrycket 9y(3y-5z)-( 14/ -z). b) Beräkna värdet av uttrycket då y — -1 och z = -2. lO ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK Multiplikation av uttryck inom parenteser Nu ska vi gå vidare med att multiplicera ihop två uttryck med varandra. Vi utför multiplika tionen (2 + x)(3x + 4) och jämför med figuren här intill för att hitta en metod. Rektangelns area A kan skrivas som en produkt 3x + 4 av basen och höjden A = (2 + x)(3x + 4) 6x 3x2 3x Arean kan också skrivas som en summa av de fyra mindre rektanglarnas area A = 6x + 3x2 + 8 + Ax 2 +x Alltså är (2 + x)(3x + 4) = 6x + 3x2 + 8 + 4x Vi får samma resultat om vi först multiplicerar varje term för sig i den andra parentesen med uttrycket i den första parentesen och sedan fortsätter för enklingen / "A ^ 7> (2 + x)(3x + 4) = (2 + x) • 3x + (2 + x) • 4 = 6x + 3x2 + 8 + 4x Det motiverar följande metod att utföra multiplikation av två uttryck inom parentes: Varje term i första (2 + x){3x + 4) = 2-3x+2-4 + x-3x + x- 4 parentesen multipli ceras med varje term i andra parentesen = 6x + 8 + 3x2 + 4x = 3x2 + lOx + 8 Exempel: Multiplicera och förenkla uttrycken så långt som möjligt a) (x + 3)(5 + x) b) (4fl-3)(5-3a) c) (3x-y)(2y + 2x) - (6x2 + 4xy) lösning: a) (x + 3)(5 +x)=x-5 + x- x+ 3- 5 + 3- x: 5x + x2 + 15 + 3x^ Lägg ihop termer av samma slag = X2 + 8x+ 15 (-3) • (-30) = 3 • 3o b) (4a - 3)(5 - 3a) = 4a • 5 - 4a • 3a - 3 • 5 + 3 • 3a = = 20a - 12a2 - 15 + 9a = 29a - 12a2 - 15 c) (3x-y)(2y + 2x) - (öx2 + 4xy) = Multiplicera ihop parenteserna = 6xy + öx2 - ly2 - 2xy - 6x2 - 4xy = Lägg ihop termer av samma slag = -2f ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK 11

See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.