Matematik. M 3c PDF
Preview Matematik. M 3c
JONAS SJUNNESSON t,AARilN HOLMSiRÖM E.\/A stAEOHAMRE O N O N A S S J U N N E S S . . J M O M S T R O L H M A R T I N M R E M E D H A E V A S • • • e e v e r oc a r a r e I Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3c och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! O DEFINITION: R Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken. O SATS: Vertikalv Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på · - uppgiftsnumren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland Antalet värdesittro de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter a• • r a• • nnu sva0 rare. Aktiviteter är avsnitt med laborativ karaktär. AKTIVITET Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband. I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för DIGITALA RUTA att lösa problem. Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare. Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen! Författarna 3 1.1 Repetition av viktig algebra 8 2.1 Repetition 52 Potenser 52 1.2 Trigonometri i rätvinklig triangel 10 Algebra och ekvationer 54 Exakta värden 14 Faktorisera 56 1.3 Enhetscirkeln 16 Aktivitet: Geometriska bevis 57 1.4 Triangelsatserna 22 2.2 Polynom och faktorer 58 Areasatsen 22 Polynom 58 Sinussatsen 25 Faktorer, rötter och nollställen 61 Aktivitet: Sinussatsen 30 2.3 Rationella uttryck 66 Cosint1ssatsen 31 Förkorta rationella uttryck 66 Problemlösning 34 Mer om förenkling 69 Upptäck & visa: Vilken är kurvan? 36 Digitala rutan: Rationella funktioner 72 1.5 Cirkelns ekvation 37 Multiplikation och division av rationella Digitala rutan: Rita en cirkel på uttryck 73 parameterform 40 Addition och subtraktion av rationella uttryck 75 Sammanfattning 42 Upptäck & visa: Lek med tal 78 TEST 1 44 Blandade uppgifter 46 2.4 Ekvationer och olikheter 79 Lösa olikheter från grafer 79 Mer om grafer 83 Olikheter med teckenstudium 86 Ekvationer med nämnare 90 Absolutbelopp 93 Sammanfattning 96 TEST 2 97 Blandade uppgifter 99 4 3.1 Förändringar 104 4.1 Fler derivator 184 Repetition av räta linjen 104 Derivatan av y = ex 184 Ändringskvot 108 Naturliga logaritmer 189 En kurvas lutning 114 Derivatan av y = 2x 193 Beräkning av gränsvärden 120 Problemlösning 195 Digitala rutan: Gränsvärde med Aktivitet: Matematisk modell 199 räknare 125 4.2 Integraler 200 3.2 Derivator 126 Primitiva funktioner 200 Använda derivatans definition 126 Aktivitet: Bestämma arean under en Deriveringsregler för polynom 130 kurva 206 Upptäck & visa: Symmetrisk Beräkna integraler 207 differenskvot 136 4.3 Integral och area 214 Digitala rutan: Derivata med räknare 13 7 Arean av ett område mellan två kurvor 214 Tillämpningar på derivata 138 Mer om integraler 221 3.3 Derivator och grafer 140 Digitala rutan: Integraler med räknare 227 Rita kurvor med hjälp av derivatan 140 Upptäck & visa: Förhållandet mellan Största och minsta värde 148 areor 228 Derivatans graf 151 Tillämpningar av integraler 229 Andraderivatan 156 Digitala rutan: Ett hundrameterslopp 233 Maximi- och minimiproblem 159 Sammanfattning 234 Aktivitet: Areaproblem 163 TEST 4 236 3.4 Mer om derivator 164 Blandade uppgifter 239 Lite algebra 164 Derivatan av potensfunktioner 165 Diskontinuerliga funktioner 168 Diskret funktion 169 Inflexionspunkt och derivata 170 Facit 256 Sammanfattning 172 TEST 3 174 Facit till tankenötter 280 Blandade uppgifter 177 Sakregister 281 5 I det här kapitlet får du lära dig • Exakta trigonometriska värden • Använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp • Hur man bevisar sinus-, cosinus- och areasatsen för en godtycklig triangel • Bestämma arean av en godtycklig triangel • Bestämma sidor och vinklar i en godtycklig triangel • Egenskaper hos cirkelns ekvation • Skriva funktioner på parameterform • Strategier för matematisk problemlösning • Använda digitala hjälpmedel för att lösa problem och öka din begreppsförståelse Ordet geometri betyder jordmätning För att också få höjden över havet, och numera kan vi använda GPS-teknik behövs en fjärde satellit. för olika avståndsmätningar. GPS är en förkortning för Global Positioning System. Med en GPS-mottagare får du veta var du befinner dig. Du får alltså både .. ... -····--·-- geografiska koordinater och höjd över . _ . ., ' .. · havet. Hur fungerar detta? . / ' . ' ' .' ' ' ' ' GPS utnyttjar att det finns satelliter på •. ' . ' noggrant bestämda lägen. Dessa satelliter befinner sig på ca 20 000 km höjd och . sänder hela tiden ut signaler. När din ' • • \ / GPS tar emot en signal från en satellit • A, beräknas den tid som det tar för signalen att färdas från satelliten till GPS mottagaren. Då kan avståndet mellan GPS-mottagaren och A bestämmas. Observera att det finns flera platser på jorden med samma avstånd till A. Alla GPS, som ägs av USA:s försvarsmakt, platser som befinner sig på en viss cirkel utvecklades under 1970-talet och sattes på jordytan har samma avstånd till A. i drift på 1990-talet. Idag finns även Med hjälp av ytterligare en satellit (B), ryska, kinesiska och europeiska kan avståndet mellan din GPS-mottagare satelliter för positionsbestämning. och satelliten B bestämmas. Också här ligger alla platser som har samma avstånd till B på en cirkel. Cirklarna skär varandra i två punkter, och du befinner dig i någon av dessa punkter. Till sist bestämmer signalen från en tredje satellit vilken punkt det är. TRIGONOMETRI KA~ _L1 1.1 REPETITION AV VIKTIG ALGEBRA I det här korta avsnittet repeterar vi lite algebra som är bra att kunna längre fram i kapitlet . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Kvadreringsr egler: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2 2 2 (a - b) = a - 2ab + b a Några ekvationer: X = b ~ X = b · a -a = b ~a = b ·X ~ X=- a b X p p Fullständig andragradsekvation : x2 + px + q = 0 ~ X=- - + - q 2 2 2 x + 6x + 8 = 0 X=-3± J32 -8 - 3 ± 1 X= X = -3 + 1 = -2 1 = - 3 - 1 = -4 X 2 a c Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 b Bilden visar en rätvinklig triangel. Bestäm triangelns sidor. Pythagoras sats ger ekvationen (x - 7)2 + x2 = (x + 1)2 Vi utvecklar kvadraterna och får (m) 2 2 2 x l 4x + 49 + x = x + 2x + 1 - x2 l 6x + 48 = 0 x - 7 - Nu är ekvationen skriven på normalform. X x=8± ) 82 - 48 x=8+.Ji6 x=8+4 = 12 = 4 X X l 2 Roten x 12 ger sidorna 12 + 1 13 och 12 - 7 5 = = = Roten x = 4 ger sidorna 4 + 1 = 5 och 4 - 7 = -3 Lägg märke till att roten x = 4 är en falsk rot eftersom en sida blir negativ. Den falska roten förkastas. Sidorna är 12 m, 13 m och 5 m. SVAR: 1.1 REPETITION AV VIKTIG ALGEBRA KA~ L1 Förenkla 1110 a) x2 + 75 = (2x)2 b) x2 + 82 = (x + 4)2 1101 a) (3 + x)2 9 b) (y - 8)2 + 16y - y2 - 1111 a) Bestäm triangelns sidor. b) Är det sant att omkretsen< 24 cm? 2 2 1102 a) (5 + x) + (x - 5) b) (4 + x)2 (4 - x)2 (cm) - x+4 1103 a) ( 3 - X) 2 + 3 ( 3 - 2X) X b) (c - x)2 + 2cx x+2 Lös ekvationerna I de följande trigonometriska ekvationerna ska du 6 lösa ut x. Observera att ditt svar inte blir ett tal, X = = 1104 a) - 0,3 b) - 0,5 utan ett uttryck som t ex x = 5 sin v. 7 X 2 15 X . 1105 a) x = 0 8 b) =0,3 1112 a - = s1nv b) 0,2 = cosv ) 5 ' 2x 3 X 1 8 0,5 . 8 X 1106 a) 20= - b) 1113 a ) = smv b) tanv = - 5x 24 3x X X 7 8 Sill X ·X· V 2 2 2 1107 a) x + 5 =13 1114 a) - - - - b) = 20 cosv 0,2 2 . . 2 2 1108 a) x + 2x - 8 = 0 b) x - 12x + 11 =0 X 15 b) sina_ s1nv 1115 a) - - - - - . • sina s1nv 7 X 2 2 1109 a) (x - 7) = 25 b) (x+2) =100 TRIGONOMETRI KA~ _L1 Il 1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL Sedan tidigare vet du att rätvinkliga trianglar har två kateter. Det är viktigt att du vet vilken som är vilken av dessa. Därför kallar man kateterna för närliggande repektive motstående katet, och utgår då från en av de spetsiga vinklarna. • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet. Kateten som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet. närliggande v motstående katet katet motstående katet närliggande katet Titta på de blå trianglarna till vänster. Den stora triangeln är en förstoring av den lilla triangeln i skala 3: 1. Eftersom trianglarna har samma form (är likformiga) så är vinkeln v lika 12 stor i båda trianglarna. motstående katet 5 För båda trianglarna gäller att kvoten hypotenusa = 0, 4 4 12 Lilla triangeln: = 0,5 Stora triangeln: = 0,5 8 24 motstående katet Kvoten kallas sinus för vinkeln v hypotenusa Här gäller för båda trianglarna att sin v = 0,5 De trigonometriska begreppen sin x, cos x och tan x definieras på följande sätt: Q DEFINITION: Trigonometriska funktioner a . motstående katet s,nv = = c hypotenusa närliggande katet b a COSV= = - c hypotenusa a motstående katet tanv= = närliggande katet b .. 1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL
The list of books you might like
