Matematik. M 3b PDF
Preview Matematik. M 3b
.. MARTIN HOLMSTROM EVA SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON • • MARTIN HOLMSTROM EVASMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON MATEMATIK LIBER • • • e e v e r o c a r a r e I Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3b och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! I regelrutorna finns det som är extra viktigt. Antalet värdesiffro Det finns uppgifter i tre nivåer med olika fårg på uppgifts numren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå fin11s något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Till vissa uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av boken. I facit har dessa uppgifter röda uppgiftsnummer. I varje kapitel finns det Fördjupningsavsnitt. FORDJUPNIN Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband. I digitala rutan får du använda digitala verktyg för att DIGITALA RUTA lösa problem. NOG-uppgifter har samma upplägg som på NOG-UPPGIFTE Högskoleprovet. Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan ~ TEST räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens lösta exempel. I slutet av boken finns repetitionsavsnitt. TANKE Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! NÖT Lycka till med kursen! Författarna 3 1 EKVATIONER OCH FUNKTIONER 6 Förenkling av uttryck 6 Ändringskvot 88 Polynom 10 Vad betyder ändringskvoten för en Ekvationer 13 graf? 93 Tillämpningar 15 En kurvas lutning 96 Andragradsekvationer 17 Beräkning av gränsvärden 103 Uppdelning i faktorer 22 Digitala rutan: Gränsvärde med Faktorisering och ekvationer 25 räknare 109 Förkorta rationella uttryck 29 Använda derivatans definition 110 Mer om förenkling 33 Härledning av deriveringsregler 114 Faktorisera polynom 35 Derivera polynom 117 Rationella uttryck Upptäck & visa: Sekant och multiplikation och division 38 derivata 121 addition och subtraktion 40 Digitala rutan: Derivata med Upptäck & visa: Delbarhet 43 räknare 122 Repetition av räta linjen 44 Tolka derivatan 1 123 Mer om räta linjer 51 Tangenten till en kurva 128 Grafer och nollställen 54 Växande och avtagande 130 Lite om olikheter 57 Rita kurvor med hjälp av derivatan 136 Lösa olikheter från grafer 58 Konstantbestämning 141 Mer om grafer 63 Största och minsta värde 142 Olikheter med teckenstudium 66 Derivatans graf 145 Linjär optimering 70 Andraderivatan 152 F Ekvationer med nämnare 72 Maximi- och minimiproblem 155 F Mer om optimering 74 F Problemlösning, ekonomi 159 Digitala rutan: Rationella funktioner 76 Tolka derivatan 2 161 Sammanfattning 77 ,Fx Derivatan av y = och y = _!_ 163 Blandade uppgifter 78 X Diskontinuerliga funktioner 16 7 Nog-uppgifter 84 Diskret funktion 169 Test lA 85 F Härledning av derivatorna till Test lB 87 1 -Fx och - 170 X 4 F Mer problemlösning 172 F Inflexionspunkt och derivata 174 Sammanfattning 175 Primitiva funktioner 238 Blandade uppgifter 177 Primitiva funktioner med villkor 243 Nog-uppgifter 183 Beräkna integraler 245 Test 2A 184 Arean av ett område mellan två Test 2B 186 kurvor 251 Mer om area 258 Kan en integral ha värdet noll? 260 Upptäck & visa: Förhållandet mellan areor 264 Digitala rutan: Integraler med Potenser 188 räknare 265 Talföljder 193 Tillämpning av integraler 266 Geometriska talföljder 195 F Bevis: A(x) = F(x) 270 Geometriska talföljdens summa 198 Sammanfattning 271 Successiva inbetalningar 201 Blandade uppgifter 272 F Summatecken 206 Nog-uppgifter 276 Funktionen y = ex 207 Test 4A 277 Euler och talet e 210 Test 4B 279 F Härledning av talet e 211 Derivatan av y = ex 213 Naturliga logaritmer 216 Derivatan av y = 2x 221 Problemlösning 223 Repetition 1 281 Digitala rutan: Funktionen y = ex 226 Repetition 2 285 Upptäck & visa: Logaritmer 227 Repetition 3 292 Sammanfattning 228 Repetition 4 299 Blandade uppgifter 230 Nog-uppgifter 234 Test 3A 235 Test 3B 236 Facit Tankenötter 328 Facit Upptäck & visa 329 Facit Digitala rutan 330 Facit NOG-uppgifter 330 Ledtrådar och lösni11gar 331 Sakregister 336 5 •• FORENKLING AV UTTRYCK Flera avsnitt i detta kapitel är repetition av tidigare kurser. Om du redan behärskar momenten kan du gå vidare till nästa. I det här avsnittet ska vi träna på att förenkla olika uttryck. Den del av matematiken som sysslar med bokstavsuttryck kallas algebra. En rektangulär teaterscen ska byggas. På scengolvet finns ett kvadratiskt hål enligt figuren. Figuren är inte skalenligt ritad, men har de mått (m) som anges i bilden. Ht1r stor är scengolvets area? x-5 x - 1 x-5 x+3 Vi skriver ett uttryck för golvets area och förenklar detta. Golvets area = rektangelns area - kvadratens area Golvets area = (x + 3)(x - 1) - (x - 5)2 = = x2 x + 3x - 3 - (x2 IOx + 25) = Observera minustecknet framför parentesen! - - = x2 + 2x - 3 - x2 + IOx - 25 = = 12x - 28 EKVATIONER OCH FUNKTIONER Vi h ar fått ett uttryck för scengolvets area. Arean = 12x - 28 Beroende p å vilket värde som variabeln x har, får vi olika värden p å arean. Låt oss t ex bestä.mma golvets area då x = 7 m. Vi sätter in x = 7 i uttrycket och får A = 12 · 7 - 28 = 84 - 28 = 56 För x = 7 m är arean alltså 56 m 2 • a(b + c) = ab + ac Distributiva lagen = (a + b)(c + cl) ac + ad+ be+ bd Parentesmultiplikation = (a + b) (a - b) a2 b2 Konjugatregeln - = (a + b)2 a2 + 2ab + b2 Första kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 2ab + b2 Andra kvadreringsregeln - Ett uttryck somt ex 5x2 8x + 10 kallas ett polynom där x är variabel. - Polynomet består av 3 termer där talen 5 och -8 kallas koefficienter. Ett polynom som bara har 2 termer tex 7x + 8 kallas ett binom. Skriv som polynom. 3p(p - 3p · p - 3p · 3p a) 4) = 4 = 2 12p - b) x2(x + 3) - x(x2 1) = x3 + 3x2 x3 + x = 3x2 + x - - c) (4x + 3)(x - 2) = 4x2 8x + 3x - 6 = 4x2 5x - 6 - - a) (x + 6)2 = x2 + 2 · x · 6 + 62 = x2 + 12x + 36 b) (3 - 4x)2 = 32 2 · 3 · 4x + (4x)2 = 9 - 24x + 16x2 - c) x(4 + x) - (x + 2)2 = 4x + x2 (x2 + 4x + 4) = - = 4x + x2 x2 4x - 4 = - 4 - - EKVATIONER OCH FUNKT IONER a) (s3 + 8)2 = (s3 2 + 2 · s3 8 + 82 = s6 + 16s3 + 64 ) • Lägg märke till att (s3 2 = s3 2 = s6 ) · = = b) 3(x + h)2 3(x2 + 2xh + h2 3x2 + 6xh + 3h2 ) c) (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2)2 = (x + 2)(x2 + 4x + 4) = = x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8 Förenkla 1001 a) 5(7x + 3) + 2(x - 3) b) 3x(9 - 2x + x2 + x ) 1002 a) 4(a - 6) - 2(1 + a) b) 8y(y- 1) - 2(3y2 + y) + 7y 1003 a) (x - 9)(x + 7) - x2 b) (3a - 4b)(8a - 7b) - 14(a2 + 2b2 ) 1004 Utveckla kvadraterna a) (x + 6)2 b) (a - 9)2 c) (3x + 4)2 d) (1 - 9x)2 e) (2a + 3b)2 f) (7c - 2x)2 1005 Multiplicera följande binom. a) (x3 + 7x)(x2 4) b) (3a2 + 5a)(a2 + 2a3 - ) Förenkla 1006 a) x3(x - 6) - x2(2x + x2 b) 8a3 (4a - 1)(3 - 2a2 ) - ) 1007 a) (p + 9)2 + (p + 1)2 b) (x - 2)2 + (x - 3)2 2x2 - c) (x + 5)2 (x + 4)2 d) (x - 8)2 (x - 7)2 - - 1008 a) (2r - 7)2 + (r + 8)2 b) (3x + 5)2 + (5x - 1)2 20x - c) (x2 + 2)(4x - 2x2 + 2x4 d) (2x3 + 0,5x)2 2x2(x4 + x2 ) - ) 1009 Förklara varför (a - b)2 och (b - a)2 alltid betyder samma sak. 1010 Utveckla kvadraterna a) (x2 + 8)2 b) (2y2 - 5)2 EKVATIONER OCH FUNKTIONER 1011 Förenkla a) x6 (2 - x3 2 b) (3x2 6)2 + 36x2 - ) - 1012 Utveckla kvadraterna a) (a3 + 7b)2 b) (x3 3x2 2 - ) 1013 Förenkla och skriv som polynom. a) (0,5x + 2)2 2(x + 2) b) (0,8x + 5)2 (0,2x + 20)2 + 375 - - c) (3y2 + 4y)2 3y3(3y - 8) d) (x2 x)(x2 + x) - x(x3 x) - - - 1014 Förenklingen nedan är inte korrekt! Förklara vad som är fel, och gör en korrekt förenkling. 3 - ( 7) ( 2 6) = + X - X 3 - Zx2 6x - I 4x - 42 = + = 2 2 8 3 = - x - Cf X - 1015 Förenkla uttrycken a) 2(x + h)2 2(x2 + h2 b) (a + 3)3 27(a + 1) - ) - c) 3(x - 2)2 2(x - 3)2 d) (x - h)3 + h(x + h)2 - 1016 Beräkna utan räknare. (Js-h)2 (J?+J3)(J7-J3) a) b) 1017 Förenkla och svara i exakt form. 1018 Förenkla så långt som möjligt ~+y+2)(3+zj-~-~(-3-zj TANKENÖT 1 Min ålder är inte en jämn kvadrat, men om 30 år blir den det och för 30 år sedan var den det. Hur gammal är jag? EKVATIONER OCH FUNKTIONER POLYNOM p(x) = 2x3 5x - 7 är ett polynom av tredje graden. - Polynomets gradtal bestäms av den term som har störst exponent. Talen 2 och -5 kallas för koefficienter och -7 är en konstantterm. tredjegradskoefficient förstag radskoefficient t i 2x3 -5x 7 tredjegradsterm förstagradsterm konstantterm Polynomet x3 + 4x2 3x + 8 är exempel på ett fullständigt - tredjegradspolynom. Det betyder att det finns termer med samtliga heltalsexponenter från tre och nedåt (3, 2, 1 och 0). Polynomet 2x3 5x - 7 är också av tredje graden men är ofullständigt. - Ett polynom är en summa av termer där varje variabel har positiva heltal som exponent, dvs 0, 1, 2 osv. Den största exponenten anger polynomets grad. Här ska du ange koefficienter, konstantterm, gradtal samt om polynomet är fullständigt. a) 5x3 2x2 + 7x + 8 - Koefficienterna är 5, -2 och 7. Konstanttermen är 8. Polynomet är av tredje graden och fullständigt. b) 3x4 + l7x - 9 Koefficienterna är 3 och 17. Konstanttermen är - 9. Gradtalet är 4. Polynomet är ofullständigt eftersom både x3-term och x2-term saknas. EKVATIONER OCH FUNKTIONER
The list of books you might like
