Matematička analiza : Zbirka zadataka za vežbe : I deo

128 Pages·2002·3.313 MB·Sebian

by  Gizela Čikoš Pajor

Čikoš Pajor Gizela

M a t e m a t i č k a a n a l i z a

z b i r k a z a d a t a k a z a
v e ž b e

I deo

Viša tehnička škola, Subotica
2002
Matematička analiza Zbirka zadataka za vežbe

P R E D G O V O R

Ova zbirka zadataka obuhvata gradivo koje je predviđeno za vežbe iz predmeta
matematička analiza na elektrotehničkom, mašinskom i informatičkom odseku Više tehničke
škole u Subotici.

Na početku svakog poglavlja navedene su najbitnije definicije i teoreme bez dokaza,
koje su potrebne za rešavanje zadataka iz date oblasti. U svakom poglavlju možete naći
detaljno izrađene zadatke koje ćemo i na vežbama obraditi, i tu po potrebi dati dodatna
objašnjenja.

Na kraju svakog poglavlja možete naći zadatke koji nisu izrađeni, predlažu se za
samostalnu vežbu. Ovi zadaci su birani iz poznatih zbirki zadataka iz matematičke analize
(kao npr. Uščumlić–Miličić, Demidovič i drugi).

Pojedine oblasti se nadovezuju jedan na drugi, zato predlažem da vežbate zadatke po
utvrđenom redosledu.

Ovu zbirku zadataka možete koristiti za pripremanje pismenog dela ispita, ali gradivo
usmenog ispita ovde nije u dovoljnoj meri obrađeno.

Naše dosadašnje iskustvo je pokazalo da studenti iz različitih srednjih škola stižu sa
jako različitim predznanjem. Zato svim studentima, koji iz ove skripte ne mogu da prate
gradivo predlažem, da jednostavnije zadatke uvežbaju iz neke srednjoškolske zbirke zadataka.

Ovo je prvo izdanje na srpskom jeziku, izvinjavam se za greške koje su u njemu
napravljene, rado ću ih ispraviti ako mi obratite pažnju na njih. Unapred se zahvaljujem.

Čikoš Pajor Gizela

1
Matematička analiza Zbirka zadataka za vežbe

S A D R Ž A J

1. Brojni nizovi.................................................................................................. 7 strana
Zadaci za vežbu ............................................................................................. 16 strana

2. Funkcije........................................................................................................ 19 strana
2.1. Oblast definisanosti funkcije............................................................. 19 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 22 strana

2.2. Parnost i neparnost funkcije.............................................................. 22 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 25 strana

2.3. Periodičnost funkcije......................................................................... 25 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 28 strana

2.4. Inverzna funkcija............................................................................... 28 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 32 strana

2.5. Granična vrednost i neprekidnost funkcije........................................ 33 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 39 strana

3. Diferencijalni račun....................................................................................... 41 strana
3.1. Izvod i diferencijal funkcije............................................................... 41 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 47 strana

3.2. Izvodi višeg reda................................................................................ 48 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 49 strana

3.3. Lopitalovo pravilo............................................................................. 50 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 55 strana

4. Ispitivanje funkcija........................................................................................ 57 strana
Zadaci za vežbu............................................................................................. 73 strana

5. Neodređeni integral....................................................................................... 75 szrana
5.1. Integraljenje metodom smene promenljivih...................................... 78 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 81 strana

5.2. Parcijalna integracija......................................................................... 82 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 84 strana

5.3. Integral racionalne funkcije............................................................... 85 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 92 strana

5.4. Integrali iracionalnih funkcija........................................................... 93 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 98 strana
3
Zbirka zadataka za vežbe Matematička analiza
Zadaci za vežbu................................................................................. 100 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 103 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 105 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 106 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 109 strana

5.5. Integrali trigonometrijskih funkcija .................................................. 110 strana
Zadaci za vežbu................................................................................. 113 strana

5.6. Integral eksponencijalne funkcije..................................................... 114 strana
Zadaci za vežbu................................................................................ 116 strana

6. Određeni integral........................................................................................... 117 strana
Zadaci za vežbu............................................................................................. 119 strana

6.1. Površina ravnih likova....................................................................... 120 strana
6.1.1. Površina ravnih likova u pravouglom kordinatnom sistemu. 120 strana
Zadaci za vežbu..................................................................... 124 strana

6.1.2. Površina ravnih likova u polarnom kordinatnom sistemu..... 125 strana
Zadaci za vežbu..................................................................... 127 strana

6.1.3. Površina ravnih likova u parametarskom obliku...................
Zadaci za vežbu......................................................................

6.2. Dužina luka krive............................................................................
6.2.1. Dužina luka krive u pravouglom kordinatnom sistemu........
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.2.2. Dužina luka krive u polarnom kordinatnom sistemu............
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.2.3. Dužina luka krive u parametarskom obliku..........................
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.3. Zapremina rotacionih tela.................................................................
6.3.1. Zapremina rotacionih tela u pravouglom kord. sistemu.......
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.3.2. Zapremina rotacionih tela u polarnom kord. sistemu............
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.3.3. Zapremina rotacionih tela u parametarskom obliku..............
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.4. Površina omotača rotacionih tela.......................................................
6.4.1. Površina omotača rotacionih tela u pravouglom kord. sist. ..
Zadaci za vežbu.....................................................................

6.4.2. Površina omotača rotacionih tela u polarnom kord. sist. ......
Zadaci za vežbu.....................................................................

4
Matematička analiza Zbirka zadataka za vežbe
6.4.3. Površina omotača rotacionih tela u parametarskom obliku...
Zadaci za vežbu.....................................................................

7. Funkcije više promenljive.............................................................................
7.1. Diferencijal funkcije dve promenljive...............................................
7.1.1. Parcijalni izvodi i totalni diferencijali ..................................
Zadaci za vežbu.....................................................................

7.1.2. Parcijalni izvodi složene funkcije.dve promenljive..............
Zadaci za vežbu.....................................................................

7.2.Ekstremi funkcije dve promenljive..........................................................
Zadaci za vežbu..................................................................................

7.2.1. Uslovni ekstrem funkcije dve promenljive...........................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8. Diferencijalne jednačine................................................................................
8.1. Diferencijalne jednačine prvog reda..................................................
8.1.1. Dif. jednačine sa razdvojenim promenljivima.......................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.1.2. Homogene diferencijalne jednačine......................................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.1.3. Linearne diferencijalne jednačine..........................................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.1.4. Bernulijeva diferencijalna jednačina.....................................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.1.5. Egzaktna diferencijalna jednačina....................................... .
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.2. Diferencijalne jednačine drugog ( višeg ) reda..................................
8.2.1. Diferencijalne jednačine tipa y(n) = f(x).............................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.2.2. Nepotpune diferencijalne jedn. koje ne sadrže y...................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.2.3. Nepotpune diferencijalne jedn. koje ne sadrže x...................
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.2.4. Homogena linearna dif. jedn. sa const. koeficijentima..........
Zadaci za vežbu.....................................................................

8.2.5. Nehomogena linearna dif. jedn. sa const. koeficijentima......
Zadaci za vežbu.....................................................................

Literatura....................................................................................................................
5
Matematička analiza Brojni nizovi
1. Brojni nizovi

Definicija: Preslikavanje skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva zovemo brojni niz.
Niz je znači preslikavanje a:N → R.

Obično koristimo skraćeno označavanje:
a(1) = a
1
a(2) = a
2

M
a(n) = a
n

a ,a ,a ,... su članovi niza, dok je a opšti član niza.
1 2 3 n

{ }
Definicija: Niz a zovemo rastućim ako je a ≤ a ≤ a ≤ ≤ a ≤ ;
K K
n 1 2 3 n
a ako je a ≥ a ≥ a ≥ ≥ a ≥ , tada je niz opadajući.
K K
1 2 3 n
Rastuće i opadajuće nizove zajedničkim imenom nazivamo monotonim nizovima.

{ }
Niz a je: - monotono rastući ako je za ∀n∈N : a −a ≥ 0
n n+1 n
- strogo monotono rastući ako je za ∀n∈N : a −a > 0
n+1 n
- monotono opadajući ako je za ∀n∈N : a −a ≤0
n+1 n
-strogo monotono opadajući ako je za ∀n∈N : a −a <0
n+1 n

Kod nizova sa pozitivnim članovima možemo koristiti i kriterijum količnika za određivanje
a
monotonosti : - monotono rastući, ako je za ∀n∈N : n+1 ≥1
a
n
a
- strogo monotono rastući, ako je za ∀n∈N : n+1 >1
a
n
a
- monotono opadajući, ako je za ∀n∈N : n+1 ≤1
a
n
a
- strogo monotono opadajući, ako je za ∀n∈N : n+1 <1 .
a
n

{ }
Definicija: Broj k je donja granica niza a ako niz nema manjeg člana od broja k: k ≤ a .
n n
{ }
Broj Kje gornja granica niza a ako niz nema većeg člana od broja K: a ≤ K .
n n

{ }
Definicija: Niz a je ograničen, ako se može zadati broj M takav da je a ≤ M .
n n

7
Brojni nizovi Matematička analiza
{ }
Definicija: Broj A je granica niza a , ako za bilo koje pozitivnoε postoji prag indeks
n
(prirodan broj n koji zavisi odε ) takav, da za sve prirodne brojeve n≥n , važi
0 0
da je a − A <ε .
n
Logičkim simbolima napisano:
(∀ε >0)(∃n ∈N) a −A <ε ∀n≥n ,n∈N .
0 n 0

1 1 1 1
1. Primer: Odrediti opšti član niza 1, , , , , .
K
4 9 16 25

1
Rešenje: 1= a = a(1) =
1 12
1 1
= a = a(2) =
4 2 22
1 1
= a = a(3) =
9 3 32
M
1
a = a(n) = .
n n2

2 3 4 5
2. Primer: Odrediti opšti član niza , , , , .
K
3 4 5 6

2 1+1
Rešenje: = a = a(1) =
3 1 1+2
3 2+1
= a = a(2) =
4 2 2+2
M
n+1
a = .
n n+2

2 5 10 17 26
3. Primer: Odrediti opšti član niza , , , , , .
K
3 8 13 18 23

2 12 +1
Rešenje: = a = a(1) =
3 1 5⋅1−2
5 22 +1
= a = a(2) =
8 2 5⋅2−2
10 32 +1
= a = a(3) =
13 3 5⋅3−2

M
n2 +1
a = .
n 5⋅n−2
8
Matematička analiza Brojni nizovi
n−1
4. Primer: Napisati prvih pet članova niza a = .
n n+1

1−1
Rešenje: a = a(1) = = 0
1 1+1
2−1 1
a = a(2) = =
2 2+1 3
3−1 1
a = a(3) = =
3 3+1 2
4−1 3
a = a(4) = =
4 4+1 5
5−1 2
a = a(5) = =
5 5+1 3
1 1 3 2
Traženi niz je znači 0, , , , , .
K
3 2 5 3

5. Primer: Napisati prva četiri člana niza datog rekurzijom a =3a +1 ako je a = 2.
n n−1 1

Rešenje: a = 2
1
a =3a +1=3⋅2+1=7
2 1
a =3a +1=3⋅7+1= 22
3 2
a =3a +1=3⋅22+1=67
4 3
Traženi niz je znači 2,7,22,67, .
K

1
6. Primer: Ispitati monotonost niza a = .
n n2 +1

Rešenje: Ako koristimo kriterijum razlike, tada je :
1 1 1 1 1 1
a −a = − = − = − =
n+1 n (n+1)2 +1 n2 +1 n2 +2n+1+1 n2 +1 n2 +2n+2 n2 +1

n2 +1−n2 −2n−2 −(2n+1)
= = <0
( )( ) ( )( )
n2 +2n+2 n2 +1 n2 +2n+2 n2 +1

jer je n∈N , znači da je niz strogo monotono opadajući. Pošto niz ima samo pozitivne
članove možemo primeniti i kriterijum količnika:
1
a (n+1)2 +1 n2 +1
n+1 = = <1
a 1 n2 +2n+2
n
n2 +1

9
Brojni nizovi Matematička analiza
jer je brojilac za svako n∈N manji od imenioca. Znači da i na osnovu količničkog
kriterijuma možemo konstatovati da je niz strogo monotono opadajući.

2n+1
7. Primer: Ispitati monotonost niza a = .
n 3n+2

Rešenje: Primenimo kriterijum razlike:

( ) ( )( ) ( )( )
2 n+1 +1 2n+1 2n+3 2n+1 2n+3 3n+2 − 2n+1 3n+5
a −a = − = − = =
n+1 n 3(n+1)+2 3n+2 3n+5 3n+2 (3n+5)(3n+2)

6n2 +4n+9n+6−6n2 −10n−3n−5 1
= = >0
( )( ) ( )( )
3n+5 3n+2 3n+5 3n+2

znači da je posmatrani niz strogo monotono rastući.

n+1
8. Primer: Ispitati ograničenost niza a = .
n n

Rešenje: Pošto je
n+1 n 1 1
a = = + =1+ >1,
n n n n n
niz je ograničen sa donje strane i donja granica (infimum) je k =1. Istovremeno je
n+1 n 1 1
a = = + =1+ ≤ 2,
n n n n n
pa je niz ograničen i sa gornje strane i gornja granica (supremum) je K = 2.

5n
9. Primer: Dokazati da je niz a = konvergentan, i da je granica broj A=5.
n n+1

Rešenje: Niz je konvergentan ako je (∀ε >0)(∃n ∈N) a − A <ε ∀n > n ,n∈N.
0 n 0
5n
Konkretno: −5 <ε ∀n > n ,n∈N
n+1 0
5n−5n−5
<ε ∀n > n ,n∈N
n+1 0
5
<ε ∀n > n ,n∈N
n+1 0
5
< n+1 ∀n > n ,n∈N
ε 0
5
n > −1
ε
10
Matematička analiza Brojni nizovi
5
n ≥ −1
0 ε
5
znači za ∀ε > 0 može se odrediti prag indeks n ≥ −1 za koji važi, da svi članovi niza koji
0 ε
( )
slede iza tog člana pripadaju 5−ε,5+ε okolini broja 5, odnosno broj 5 je granica
posmatranog niza.

3 3n2 +1
10. Primer: Pokazati da je broj A= granica niza a = , i odrediti prag indeks
5 n 5n2 −1
počev od kojeg svi članovi niza pripadaju ε =10−3 okolini granice .

Rešenje: a − A <ε
n
3n2 +1 3
− <10−3
5n2 −1 5
15n2 +5−15n2 +3
<10−3
( )
5 5n2 −1
8
<10−3
( )
5 5n2 −1
8 1
<
( )
5 5n2 −1 1000
8000
5n2 −1>
5
1601
n2 >
5
n > 320,2
n >17,89
n ≥18
0
3
znači da počev od a svi članovi niza pripadaju ε =10−3 okolini broja , a to ujedno znači
18 5
3 3
da je niz konvergentan i da je granica broj , odnosno da a → ili drugačije pisano:
5 n 5
3
lima = .
n 5
n→∞

5 7
11. Primer: Dati su nizovi a =3+ i b = −2+ . Odrediti graničnu vrednost
n n n n
( )
lim a +b .
n n
n→∞

11