Matematici speciale - teorie, exemple, aplicatii

589 Pages·1998·64.897 MB·Romanian

by  Vasile Brînzănescu, Octavian Stănăşilă

MATEMATICI
SPECIALE
teorie. exemple.
aplicaţii
Matematici speciale
- teorie, exemple,
aplicaţii-
Editia a Il-a
MATEMATICI SPECIALE-TEORIE, EXEMPLE, APLICATII
Vasile Brînzânescu, Octavian Stănăşilă
Copyright© 1998 ~Editura ALL EDUCATIONAL S. A.
!SBN 973-9337-87-2
Toate drepturile sunt rezervate Editurii ALL EDUCAT IONAL S. A.
Nici o parte din acest volum nu poate fi copiată
fără permisiunea scrisă a Editurii ALL EDUCA TIONAL S. A.
Drepturile de distribuţie în străinătate
aparţin în exclusivitate editurii.
Copyright© 1998 by ALL EDUCATJONAL S. A.
AII rights reserved.
The distribution ofthis book outside Romania" without
the written permission of ALL EDUCATIONAL S. A., is strictly prohibited.
Editura ALL EDUCATIONAL S. A. Bucureşti
Bd. Timişoara nr. 58, sect.6
!il 413 Il 58, 413 43 21, 413 18 50
Fax: [phone]
Departamentul difuzare !il 413 03 29, 413 1612, 413 07 15
Redactor: Viorica Fătu, Marius Şomodi
Coperta: Stelian Stanciu
Desene: Adriana Sima
PRINTED IN ROMANIA
Vasile Octavian
Brînzănescu Stănăşilă
Matematici speciale
-teorie, exemple, aplicatii -
... Geometrie ... Ecuatii diferentiale ...
Algebră liniară
... Spatii Hilbert...
Analiză complexă Fizică matematică
Editia a II-a
Colecţia Matematică -Fizică -Automatică,
a editurii ALL cuprinde:
1. Lecţii de analiză matematică,
P. Flondor, O. Stănăşilă
2. Algebră liniară; geometrie analitică şi diferenţială,
C.Radu
3. Probleme de fizică
M. Penescu
4. Fizică -Voi. I, Voi. II
Cornelia Moţoc
5. Teoria sistemelor. Sinteza robustă. Metode numerice de
calcul,
V. Ionescu, A. Varga.
6. Stabilizarea sistemelor liniare,
A. Halanay, V. Drăgan
7. Probleme rezolvate de fizică nucleară,
colectiv Cat. de Fizică Atomică şi Nucleară
Facultatea de Fizică, Univ. Bucureşti
8. Simularea Monte Carlo a transportului radiaţiilor,
O. Sima
9. Analiză matematică - culegere de probleme-Voi. I, şi II,
N. Donciu, D. Flondor
10. Probleme de algebră liniară, geometrie analitică,
diferenţială şi ecuaţii diferenţiale
G. Atanasiu, Gh. Munteanu, Mihai Postolache
11. Algebră liniară-teorie şi probleme rezolvate,
Teodor Stihi
12. 1000 de probleme rezolvate şi exerciţii fundamentale,
Ana Niţă, Tatiana Stănăşilă, O. Stănăşilă
13. Elemente de aritmetică,
Constantin Vraciu, Mariana Vraciu
14. Subiecte de licenţă, Facultatea de automatică şi Electronică,
coordonatori: Nicolae Cupcea, Ion Fătu
CUPRINS
PREFAŢĂ ........... ......................................................................... 7
PARTEA 1-A
Capitolul/. ALGEBRĂ LINIARĂ .................................................... 9
§ L Seturi de numere ......................................................................................... 9
§2. Spaţii vectoriale, baze; aplicaţii liniare şi matrice asociate ................... 29
§3. Valori şi vectori proprii; forme canonice ale matricelor ......................... 75
§4. Metode numerice în algebra liniară ....................................................... 108
Capitolul li. GEOMETRIE LINIARĂ ........ ~ .................................. 117
§ L Spaţii euclidiene ...................................................................................... 117
§2. Clase de operatori pe spaţii euclidiene .................................................. 125
§3. Aplicaţii biliniare, forme pătratice ......................................................... 131
§4. Metode numerice în algebra liniară (continuare) ................................. 14 7
Capitolul III. ELEMENTE DE MA TEMA TI CĂ DISCRETĂ ...........1 55
§ 1. Grafuri, circuite logice, automate .......................................................... 155
§2. Calculabilitate ......................................................................................... 164
§3. Cîmpuri discrete de probabilitate .......................................................... 166
PARTEA A 11- A
Capitolul IV. GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ ............................... 176
§ L Spaţii geometrice ..................................................................................... 176
§2. Curbe ........................................................................................................ 187
§3. Suprafeţe ................................................................................................. 204
§4. Varietăţi diferenţia bile ........................................................................... 225
§5. Elemente de calcul tensorial .................................................................. 230
Capitolul V. SISTEME DJFERENŢIALE ...................................... 244
§1. Clase de ecuaţii şi sisteme diferenţiale .................................................. 244
§2. Sisteme diferenţiale liniare .................................................................... 270
§3. Interale prime pentru sisteme diferenţiale ........................................... 299
§4. Stabilitatea poziţiilor de echilibru ......................................................... 309
§5. Ecuaţii integrale ...................................................................................... 319
§6. Metode numerice ..................................................................................... 327
6 MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII
Capitolul VI. TEHNICI DE SPAŢII HILBERT. .............................. 334
§1. Serii Fourier generalizate şi polinoame ortogonale clasice .................. 334
§2. Caracteristici statistice ale variabilelor aleatoare ................................ 349
§3. Aplicaţii. ................................................................................................... 359
PARTEA A III- A
Capitolul VII. ANALIZĂ COMPLEXĂ .......................................... 368
§1 . Funcţii olomorfe ......... , ............................................................................ 368
§2 . Integrala complexă .................................................................................. 405
§3. Analiticitate şi olomorfie ........................................................................ 417
§4. Puncte singulare, reziduuri; aplicaţii .................................................... 430
Capitolul VIII. CALCUL OPERAŢIONAL ................................... .446
§1. Semnale; timp şi frecvenţă .................................................................... .446
§2. Transformarea Laplace ........................................................................... 448
§3. Elemente de teoria dist.-ibuţiilor ............................................................ 465
§4. Transformarea Fourier ........................................................................... 482
§5. Transformarea "z" şi transformarea Fourier discretă .......................... 517
Capitolul IX. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ...................... 529
§1 . Cîteva ecuaţii clasice., ............ ,. ... ,. .......................................................... 530
§2. Ecuaţii cvasiliniare de ordinul2 ............................................................ 536
§3. Funcţii Bessel .......................................................................................... 548
§4. Soluţii fundamentale ale unor operatori diferenţiali.. .......................... 557
§5. Metode numerice pentru rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale ... 575
SUBIECTE DA TE LA PROBA SCRISĂ A EXAMENULUI DE
MATEMATICI SPECIALE ........................................................... 582
BIBLIOGRAFIE ........................................................................... 585
ADDENDA ................................................................................... 587
PREFATĂ
'
Acest curs a fost elaborat pe baza lecţiilor de matematici speciale ţinute de
autori pentru studenţii anilor I şi II ai Facultăţilor de Automatică şi
Electronică din Institutul Politehnic Bucureşti. Lucrarea răspunde unor
programe analitice modernizate, urmărind întărirea laturii algoritmice şi
reflectând atenţia deosebită acordată atât rigorii în prezentarea noţiunilor,
cât şi vigorii pe care aplicaţiile şi modelele matematice o generează. Demon
straţiile rezultatelor de bază cerute de programă sunt complete şi doar în
cadrul unor observaţii sau rezultate -anexă sunt indicate dezvoltări ale teoriei
fără detalii de demonstraţie. Tot din raţiuni didactice, la sfârşitul cărţii am
introdus o listă de probleme date la probele scrise ale examenelor.
Autorii au avut în vedere micşorarea dificultăţilor trecerii de la liceu la fa
cultate şi de aceea au prevăzut revederea succintă a unor elemente de algebră
sau geometrie analitică studiate în învăţămîntul mediu, asigurând o pantă
mai lină de ascensiune spre matematica superioară.
Cartea are trei părţi, corespunzînd în principiu celor trei semestre când se
predau matematicile speciale (exceptând analiza numerică). Prima parte cu
prinde noţiunile şi rezultatele de bază ale algebrei lin iare şi geometriei liniare,
aceasta din urmă acoperind calculul vectorial, geometria analitică şi studiul
geometriei spaţiilor vectoriale înzestrate cu produs scalar. Am introdus
totodată unele elemente de matematică discretă cerute de noile programe.
Partea a II-a cuprinde mai întâi unele elemente de geometrie diferenţială a
curbelor şi suprafeţelor, incluzând noţiuni de calcul tensorial, orientate spre
nevoile fizicii şi analizei sistemelor neliniare. Studiul ecuaţiilor diferenţiale
ordinare şi sistemelor diferenţiale este făcut subliniind atât aspectul geometric
(câmpurile de vectori, linii de câmp etc.), cât şi cel calculatoriu -procedural
(rezolvarea efectivă a unor clase de ecuaţii diferenţiale).
Ultima parte a cursului tratează succint unele teorii centrale ale matema~
ticii, interesând mult pe inginer, fizician sau chimist. Analiza complexă este o
teorie de mare coerenţă internă şi largă aplicabilitate, iar calculul operaţional
este un permanent instrument de lucru. TransfOrmarea Fourier şi transf'or~
marea Laplace stabilesc legături profunde între domeniile - timp, frecvenţă şi
domeniul complex, studiul acestor conexiuni fiind dezvoltat mai departe în
cadrul teoriei matematice a sistemelor. ln ultimul capitol se dau unele elemen
te de bază ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale, care utilizează multe re
zultate anterioare şi pregătesc conexiuni fireşti cu alte cursuri de specialitate.
8 MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII
Apel-al la intuiţia geometrică şi la desen reprezintă o sursă matematică ine~
puizabilă şi de aceea am căutat să frânăm unele tendinţe de algebrizare
excesivă. Ştim că tehnica modernă de vârf cere stabilirea unor modele tot mai
perfecţionate ale diverselor procese, ale căror legi de evoluţie se traduc în
ecuaţii. Am căutat să dăm multe exemple în acest sens, subliniind locul meto
delor matematice, conjugabile cu utilizarea calculatorului. Aceste metode se
folosesc după ce ecuaţiile şi condiţiile iniţiale (sau la limită) au /ost formulate
pe baza înţelegerii de fond a modelului fizic. Am consta,ut de altfel că
difkultăţile întâmpinate de studenţi sau de tinerii absolvenţi apar nu la
aplicarea matematicii ci un pas mai înainte, la stabilirea modelului fizico-teh·
nicoNmatematic~ deci pe teritoriul sinuos, multidisciplinar, al "specialistului
colectiv".
Prin efortul exemplar al Editurii ALL, acest tratat, împreună cu lucrarea
"Lecţii de analiză matematică", acoperă, chiar cu oarecare prisos, matematica
predată în învăţământul tehnic românesc.
Ne adresăm deci studenţilor-ingineri aflaţi în preajma examenelor, dar şi
multor profesori, cercetători şi elevi neindi{erenţi la priceperea lor Jnatema
tică.
Capitolele I § 2, 3; II, V, VII au fost elaborate de V Brinzănescu, iar I § 1,
4; III, IV, VI, VIII, IX de O. Stănăşilă.
Bucureşti, aprilie '94 Autorii
NOTĂ LA EDITIA A 11-A
•
Întreg conţinutul primei ediţii a fost păstrat pentru că programele analitice
în invăţământul tehnic superior nu au fost incă modificate.
Bucureşti, februarie '98 Autorii
PARTEA 1
Capitolul 1 ALGEBRĂ LINIARĂ
Algebra liniară studiază multe obiecte matematice importante - spaţii
vectoriale, aplicaţii liniare, operatori, forme pătratice etc., oferind totodată
limbajul necesar exprimării unor idei fecunde ca "principiul suprapunerii"
sau faptul că "local, orice proces este liniar". Sunt necesare câteva pregătiri,
care constituie şi un liant util între cunoştinţele din liceu şi dezvoltările lor
superioare.
§ 1. Seturi de numere
1.1. Numere şi funcţii
Cele mai importante obiecte matematice le reprezintă numerele şi
funcţiile. Se poate spune că evoluţia omului a însemnat şi evoluţia ideii de
număr. În acest sens este suficient să ne gîndim puţin la momentele apariţiei,
îin ,-conştiinţa matematică a oamenilor, a numerelor 1, 2, 10, 1000, O, -1,
~ ,J2,!iJ2, n, e, 2 + i etc.
Prin sistem de numere se înţelege o mulţime de elemente cu care se pot
efectua unele operaţii (adunări, înmulţiri, operaţii logice etc.), unele dintre
elemente fiind în anumite relaţii (de exemplu, relaţii de ordine). Dar aceasta
nu constituie o definiţie în sensul strict al cuvîntului.
În cursul cunoaşterii ştiinţifice, contemplarea oricărei porţiuni a realităţii
este urmată de asocierea unui model fizic în care se precizează mărimile şi
legile de evoluţie. O etapă esenţială este aceea prin care mărimilor fizice li se
asociază numere, dependenţe funcţionale, ecuaţii. Calculatorul nu se poate
substitui acestor etape, el fiind doar un instrument de lucru, o unealtă de
mare rafinament, care prelucrează nu numai seturi de numere ci şi şiruri de
simboluri prezentate convenabil.
Fără a intra în detalii, indicăm definiţiile (descriptive!) ale celor mai
importante sisteme de numere.
a) Codul binar B = {0,1}.