MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme

258 Pages·2010·1.1 MB·Romanian

MATEMATICI SPECIALE
Culegere de probleme
TANIA-LUMINIT¸A COSTACHE
2
*
Prefa¸t˘a
LucrareaesterezultatulseminariilordeProbabilit˘a¸ti¸sistatistic˘amatem-
atic˘a ¸si Matematici avansate¸tinute de autoare studen¸tilor anilorˆıntˆai ¸si doi
ai Facult˘a¸tilor de Automatic˘a ¸si Calculatoare ¸si Electronic˘a din Universi-
tatea Politehnic˘a Bucure¸sti.
Cartea este structurat˘aˆın unsprezece capitole, con¸tinˆand o sec¸tiune teo-
retic˘a cu principalele no¸tiuni ¸si rezultate necesare rezolv˘arii exerci¸tiilor, o
parte de probleme rezolvate care acoper˘a programa seminarului de Matem-
atici3¸siproblemepropusestuden¸tilorpentruofixaremaibun˘aacuno¸stin¸telor
predate, precum ¸si pentruˆın¸telegerea altor cursuri de specialitate.
Pentruaprofundareaconceptelorfundamentalesuntnecesareopreg˘atire
teoretic˘a suplimentar˘a ¸si o participare activ˘aˆın cadrul seminariilor ¸si cur-
surilor.
Mult succes!
3
4
*
Cuprins
Prefa¸t˘a 3
1 Spa¸tii de probabilitate 7
1.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Variabile aleatoare 37
2.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Vectori aleatori 85
3.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 S¸iruri de variabile aleatoare 103
4.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5 Procese stochastice (aleatoare) 124
5.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 Metode statistice 140
6.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5
6 CUPRINS
7 Func¸tii olomorfe. Dezvolt˘ariˆın serie Laurent 165
7.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8 Integrale complexe 176
8.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9 Transformata Laplace 190
9.1 Defini¸tie ¸si formule de inversare . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.2 Propriet˘a¸tiile transform˘arii Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.3 Rezolvarea ecua¸tiilor ¸si sistemelor de ecua¸tii diferen¸tiale cu
coeficien¸ti constan¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.4 Integrareaunorecua¸tiicuderivatepar¸tiale,cucondi¸tiiini¸tiale
¸si condi¸tii la limit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.5 Rezolvarea unor ecua¸tii integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.7 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10 Transformarea Z 230
10.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11 Ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul doi 240
11.1 No¸tiuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11.3 Probleme propuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Bibliografie 255
Capitolul 1
Spa¸tii de probabilitate
1.1 No¸tiuni teoretice
Defini¸tia 1.1. Se nume¸ste spa¸tiu (cˆamp) discret de probabilitate o
mul¸time finit˘a Ω = (ω ) sau num˘arabil˘a Ω = (ω ) ,ˆımpreun˘a cu un
n n≤N (cid:88) n n∈IN
¸sir (p ) ,0 ≤ p ≤ 1, satisf˘acˆand condi¸tia p = 1
n n n n
n
Defini¸tia 1.2. Orice submul¸time A ⊂ Ω este un eveniment c˘aruia i se
(cid:88)
ata¸seaz˘a probabilitatea P(A) = p
n
ωn∈A
Exemplul 1.1. In urma experien¸tei care const˘aˆın aruncarea unei mon-
ede putem ob¸tine unul din rezultatele (fa¸ta cu stema), (fa¸ta cu valoarea).
Considerˆand un singur rezultat, fa¸ta cu stema poate s˘a apar˘a sau s˘a nu
apar˘a;ˆınacestexempluapari¸tiafe¸teicustemaesteuneveniment aleator
(ˆıntˆampl˘ator).
Orice evenimentˆıntˆampl˘ator depinde de ac¸tiunea combinat˘a a mai mul-
tor factori ˆıntˆampl˘atori. In experien¸ta arunc˘arii monedei printre factorii
ˆıntˆampl˘atori putem aminti: felul ˆın care mi¸sc˘am mˆana, particularit˘a¸tile
monedei, pozi¸tiaˆın care se g˘ase¸ste monedaˆın momentul arunc˘arii.
Relativlaproducereaunuievenimentˆıntˆampl˘atorˆıntr-unsingurrezultat
nu putem spune nimic. Situa¸tia se schimb˘a atunci cˆand avem ˆın vedere
evenimente ˆıntˆampl˘atoare ce pot fi observate de mai multe ori ˆın condi¸tii
identice.
Aceste evenimente se supun unor legi, cunoscute sub numele de legi
statistice, teoria probabilit˘a¸tilor stabilind forma lor de manifestare ¸si
permi¸tˆand s˘a se prevad˘a desf˘a¸surarea lor. Este normal s˘a nu putem s˘a
prevedem dac˘aˆıntr-o singur˘a aruncare a monedei va ap˘area fa¸ta cu stema,
ˆıns˘aˆıntr-o serie mare de experien¸te, putem prevedea cu suficient˘a precizie
num˘arul de apari¸tii ale acestor fe¸te.
Defini¸tia 1.3. Evenimentul sigur este un eveniment care se realizeaz˘a
cu certitudine la fiecare efectuare a experien¸tei.
Exemplul1.2. Alegereauneipiesecorespunz˘atoaresaunecorespunz˘atoare
7
8 CAPITOLUL 1. SPAT¸II DE PROBABILITATE
standardului dintr-un lot de piese este evenimentul sigur al experien¸tei.
Defini¸tia 1.4. Evenimentul imposibil nu se produce la nici o efectuare
a experien¸tei.
Exemplul 1.3. Extragerea unei bile ro¸sii dintr-o urn˘a care con¸tine numai
bile albe.
Defini¸tia 1.5. Intotdeauna unui evenimentˆıi corespunde un eveniment
contrar, a c˘arui producere const˘a ˆın nerealizarea primului. Evenimentul
contrar unui eveniment Aˆıl vom nota A,CA,Ac.
Exemplul 1.4. Fie A evenimentul apari¸tiei uneia din fe¸tele 2,5 la arun-
carea unui zar ¸si cu B apari¸tia uneia din fe¸tele 1,3,4,6. Se observ˘a c˘a atunci
cˆandnuseproduceevenimentulA,adic˘aatuncicˆandnuapareunadinfe¸tele
2 sau 5, se produce evenimentul B, adic˘a ob¸tinem una din fe¸tele 1,3,4,6 ¸si
invers.
Defini¸tia 1.6. Evenimentele A ¸si B se numesc compatibile dac˘a se pot
produce simultan, adic˘a dac˘a exist˘a rezultate care favorizeaz˘a atˆat pe A cˆat
¸si pe B.
Exemplul 1.5. La aruncarea zarului evenimentul A care const˘a din
apari¸tia uneia din fe¸tele cu un num˘ar par ¸si evenimentul B care const˘a din
apari¸tia uneia din fe¸tele 2 sau 6 sunt compatibile deoarece dac˘a vom ob¸tine
ca rezultat al experien¸tei apari¸tia fe¸tei 2 ˆınseamn˘a c˘a s-au produs ambele
evenimente. Acela¸si lucru seˆıntˆampl˘a dac˘a ob¸tinem fa¸ta 6.
Defini¸tia 1.7. Evenimentele A¸si B se numesc incompatibile dac˘a nu se
pot produce simultan, adic˘a dac˘a nu exist˘a rezultate care favorizeaz˘a atˆat
pe A cˆat ¸si pe B.
Defini¸tia 1.8. Dac˘a A ¸si B sunt evenimente incompatibile (A∩B = ∅),
atunci P(A∪B) = P(A)+P(B).
Mai general, pentru orice ¸sir (A ) de evenimente dou˘a cˆate dou˘a
n n∈IN
(cid:91)∞ (cid:88)∞
incompatibile, avem P( A ) = P(A )
n n
n=0 n=0
Observa¸tia 1.1. Evenimentele contrare sunt incompatibile, dar eveni-
mentele incompatibile nu suntˆıntotdeauna contrare.
Exemplul 1.6. La aruncarea zarului evenimentul A care const˘a din
apari¸tia uneia din fe¸tele cu un num˘ar impar ¸si evenimentul B care const˘a
din apari¸tia uneia din fe¸tele cu un num˘ar par sunt evenimente incompatibile
¸si contrare.
Exemplul 1.7. La aruncarea zarului evenimentul A care const˘a din
apari¸tia uneia din fe¸tele cu un num˘ar par ¸si B ce const˘a din apari¸tia fe¸tei
5 sunt incompatibile,ˆıns˘a nu sunt contrare deoarece nerealizarea evenimen-
tului A nu este echivalent˘a cu producerea evenimentului B.
Defini¸tia 1.9. Se nume¸ste spa¸tiu de probabilitate un triplet (Ω,K,P),
unde Ω este o mul¸time de evenimente elementare, K este o σ-algebr˘a de
p˘ar¸ti ale lui Ω, iar P: K → [0,1] este o m˘asur˘a de probabilitate satisf˘acˆand
1.1. NOT¸IUNI TEORETICE 9
(cid:91)∞ (cid:88)∞
P(Ω) = 1¸si P( A ) = P(A ), pentru orice¸sir (A ) de evenimente
n n n n∈IN
n=0 n=0
dou˘a cˆate dou˘a incompatibile.
Cazuri particulare
1.Defini¸tia clasic˘a a probabilit˘a¸tii
Dac˘a Ω este o mul¸time cu N elemente, se poate defini un spa¸tiu discret
de probabilitate luˆand p = 1,n = 1,N. In acest caz se spune c˘a eveni-
n N
mentele elementre sunt echiprobabile ¸si pentru orice eveniment A ⊂ Ω,
card(A)
avem P(A) = .
card(Ω)
2. Probabilit˘a¸ti geometrice
Fie Ω ⊂ IRn o mul¸time de m˘asur˘a Lebesgue finit˘a ¸si fie K σ- al-
Ω
gebra submul¸timilor sale boreliene. Ob¸tinem un spa¸tiu de probabilitate
µ(A)
(Ω,K ,P), definind pentru orice A ∈ K , P(A) = , unde µ este m˘asura
Ω Ω µ(Ω)
Lebesgueˆın IRn (deci lungime pe IR, arieˆın IR2 etc.).
Propriet˘a¸ti ale probabilit˘a¸tilor
Fie (Ω,K,P) un spa¸tiu de probabilitate.
1. Dac˘a A,B ∈ K ¸si A ⊂ B, atunci P(B\A) = P(B)−P(A)
2. Formula lui Poincare Fie n evenimente arbitrare A ,...A ∈ K,
1 n
(cid:91)n (cid:88)n (cid:88)
atunciP( A ) = P(A )− P(A ∩A )+...+(−1)n−1P(A ∩...∩A ).
i i i j 1 n
i=1 i=1 i(cid:54)=j
3. Pentruorice¸sircresc˘atordeevenimenteA ⊂ A ⊂ ...A ⊂ ...avem
0 1 n
(cid:91)∞
P( A ) = lim P(A ).
n n
n→∞
n=0
4. Pentru orice ¸sir descresc˘ator de evenimente A ⊃ A ⊃ ...A ⊃ ...
0 1 n
(cid:92)∞
avem P( A ) = lim P(A ).
n n
n→∞
n=0
Defini¸tia 1.10. a) Evenimentele A ¸si B se numesc independente dac˘a
P(A∩B) = P(A)P(B).
b)EvenimenteleA ,...A senumescindependenteˆınansambludac˘a
1 n
pentru orice m ≤ n ¸si 1 ≤ j ≤ ... ≤ j ≤ n, avem
1 m
P(A ∩...∩A ) = P(A )...P(A )
j1 jm j1 jm
Observa¸tia 1.2. Dac˘a n evenimente sunt independente dou˘a cˆate dou˘a
nu sunt neap˘arat independente ˆın totalitatea lor. Acest lucru se vede ˆın
urm˘atorul exemplu datorat lui S.N. Bernstein : Se consider˘a un tetraedru
omogen cu fe¸tele colorate ˆın alb, negru, ro¸su ¸si a patra ˆın cele trei culori.
Efectu˘am experimentul arunc˘arii acestui corp o singur˘a dat˘a . S˘a not˘am cu
A evenimetul ca tetraedrul s˘a se a¸seze pe fa¸ta cu num˘arul i,i = 1,4. Eveni-
i
mentele A sunt evenimente elementare ale cˆampului asociat experimentului
i
descris.
Avem P(A ) = 1,i = 1,4
i 4
10 CAPITOLUL 1. SPAT¸II DE PROBABILITATE
Dac˘a not˘am A = A ∪A ,B = A ∪A ,C = A ∪A avem P(A) =
1 2 1 3 1 4
= P(B) = P(C) = 1, deoarece pentru fiecare culoare sunt patru cazuri
2
posibile ¸si dou˘a cazuri favorabile - fa¸ta cu culoarea respectiv˘a ¸si fa¸ta cu
toate culorile.
De asemenea, P(A∩B) = P(B∩C) = P(C∩A) = 1, deci evenimentele
4
A,B,C sunt independente dou˘a cˆate dou˘a .
Din P(A∩B ∩C) = P(A ) = 1,P(A)P(B)P(C) = 1 rezult˘a c˘a eveni-
1 4 8
mentele A,B,C nu sunt independenteˆın ansamblul lor.
Defini¸tia 1.11. Fie A ¸si B evenimente cu P(B) (cid:54)= 0. Probabilitatea
lui A condi¸tionat˘a de B, notat˘a P(A/B) sau P (A), se define¸ste prin
B
P(A∩B)
P(A/B) = .
P(B)
Formula deˆınmul¸tire a probabilit˘a¸tilor
Dac˘a A ,...A sunt n evenimente, atunci
1 n
P(A ∩...∩A ) = P(A )P(A /A )P(A /A ∩A )...P(A /A ∩...∩A )
1 n 1 2 1 3 1 2 n 1 n−1
Formula probabilit˘a¸tii totale
Dac˘a evenimentul sigur Ω se descompuneˆın reuniunea a n evenimente
incompatibile H ,...H , atunci, pentru orice eveniment A ∈ K, avem
1 n
(cid:88)n
P(A) = P(A/H )P(H )
i i
i=1
Formula lui Bayes
P(A/H )P(H )
j j
P(H /A) =
j (cid:88)n
P(A/H )P(H )
i i
i=1
In particular, pentru orice dou˘a evenimente A,B avem
P(A) = P(A/B)P(B)+P(A/Bc)P(Bc)
¸si
P(A/B)P(B)
P(B/A) =
P(A/B)P(B)+P(A/Bc)P(Bc)
1.2 Probleme rezolvate
1. Intr-un spa¸tiu de probabilitate (Ω,K,P) se consider˘a evenimentele
A,B,C ∈ K astfel ˆıncˆat P(A) = 1,P(B) = 1,P(A ∩ B) = 1. S˘a
3 4 6
se determine P(Ac),P(Ac∪B),P(A∪Bc),P(Ac∪Bc),P(Ac∩Bc).
Solu¸tie. P(Ac) = 1−P(A) = 1− 1 = 2
3 3