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COPPETTI MATEMATICAS Segundo Año ALGEBRA Programa del affo 1963 MATEMATICAS SEGUNDO AÑO ALGEBRA OBRAS DEL MISMO AUTOR Textos aprobados por las autoridades universi- tarias del Uruguay, Argentina, Venezuela, etc. (Para Enseñanza Secundaria) ARITMETICA primer año Programa del año 1963. ELEMENTOS DE ARITMETICA primer año (12 ediciones). GEOMETRIA PLANA, primer año (13 ediciones). ALGEBRA ELEMENTAL, segundo año (13 ediciones). GEOMETRIA RACIONAL, segundo año (13 ediciones). ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA, tercer año (12 ediciones). GEOMETRIA DEL ESPACIO, tercer año (9 ediciones). MATEMATICAS APLICADAS 1? parte, cuarto año (9 ediciones). MATEMATICAS APLICADAS 2? parte, cuarto año (9 ediciones). TABLAS DE LOGARITMOS, TRIGONOMETRICAS, etc. (12 ediciones). MATEMATICAS 2? AÑO - Algebra. Programa del año 1963. MATEMATICAS 3? AÑO - Algebra. Programa del año 1963. MATEMATICAS 4? AÑO - Algebra. Programa del año 1963. (Para Enseñanza Preparatoria de Facultades) CURSO DE TRIGONOMETRIA (Plana y Esférica) primer año (7 ed.). MATEMATICA (Algebra y Geometría) primer año (agotada) CURSO DE TRIGONOMETRIA ESFERICA (agotada). (Para R. Argentina). Programa de los años 1940-42-45-49: ARITMETICA primer año. — GEOMETRIA primer año — ARIT- METICA segundo año. — GEOMETRIA segundo año. — ARITMETICA Y ALGEBRA tercer año. — GEOMETRIA tercer año. — ARITMETICA Y ALGEBRA cuarto año. — GEOMETRIA DEL ESPACIO cuarto año. — TRIGONOMETRIA quinto año. Otras obras TABLAS SINOPTICAS DE ARITMETICA Y GEOMETRIA, para ingre so y primer año de secundaria, comercial, industrial, etc. (5 ediciones). TABOAS “COPPETTI” (Edición brasileña de la Tabla de log.). MALBA - TAHAN “EL HOMBRE QUE CALCULABA". Traducción y ampliación con “Curiosidades matemáticas". Ing. MARIO COPPETTI MATEMATICAS SEGUNDO AÑO ALGEBRA PROGRAMA DEL ARO 1963 DISTRIBUIDORES GENERALES ARGENTINA: Lib. del Colegio: Bs. As. GUATEMALA: Librería “Pax”. BOLIVIA: Gisbert y Cía.: La Paz PARAGUAY: Lib. Universal: Asunción COLOMBIA: Camacho Roldán: Bogotá PERU: Lib. Internacional: Lima ECUADOR: Lib. Universitaria: Quito URUGUAY: Barreiro y Ramos S. A. ESPAÑA: Lib. Bosch: Barcelona VENEZUELA: Distribuidora Escolar. INDICE DE CAPITULOS Y PROGRAMA OFICIAL (Aprobado en el año 1963) ALGEBRA Pág. RADICACION DE NUMEROS NATURALES (CAPITULO I) ......... 1 Raíz cuadrada y raíz enésima de un número natural. Defi- nición. Cálculo de la raíz enésima exacta por desocmpo- sición en factores primos. Cálculo de la raíz cuadrada; es- tudio razonado del mecanismo de la operación. (5 horas). NUMEROS RELATIVOS (CAPITULO II) .................................... 18 Problemas que los originan. Definición. Valor absoluto. Los números relativos en la recta. Igualdad y desigualdad de nú- meros relativos: definiciones y propiedades. Densidad. Opera- ciones racionales con números relativos: definiciones y propiedades. Adición y sustracción en la recta numérica. (10 horas). FUNCIONES ENTERAS DE UNA VARIABLE (CAPITULO III) . . 50 Noción de variable. Noción de función. Funciones monomias y polinomias. Igualdad de funciones. Ceros o raíces de una fun- ción. Polinomio nulo. Polinomios opuestos. Adición y sustrac- ción de funciones: definiciones y propiedades. (6 horas). ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO (CAPITU- LO IV) ........................................................................................... 73 Problemas sencillos que originan ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita y su resolución basada en las definiciones y propiedades de) algoritmo algebraico. (6 horas). MULTIPLICACION DE FUNCIONES ENTERAS DE UNA VA- RIABLE (CAPITULO V) ......................................................... 108 Multiplicación de funciones: definición y propiedades. Poten- cia de monomios. Cuadrado y cubo de binomios. Productos notables. (4 horas). DIVISION DE FUNCIONES ENTERAS DE UNA VARIABLE (CAPI- TULO VI) .................................................................................... 118 División exacta: definición y cálculo del cociente. División entera: definición y cálculo del cociente y del resto. (4 horas). GRAFICA DE FUNCIONES (CAPITULO VID.................................... 129 Definiciones y aplicaciones. Función lineal de una variable. Proporcionalidad. (8 horas) PROBLEMAS PARA RESOLVER........................................................... 148 RESUMEN DE LA HISTORIA DEL ALGEBRA ELEMENTAL 172 TABLA DE CUADRADOS Y CUBOS de los números 1 a 200 175 PREFACIO La presente obra ajusta a los Nuevos Programas (Reforma del año 1963) nuestro texto "Algebra Elemental 2° año que veníamos publicando en ediciones anteriores para el mismo ciclo de Enseñanza Secundaria. Con esta publicación completamos la colección de nues- tros textos (Aritmética 1°, Algebra 4° y Algebra 3o) escritos en estos últimos cuatro años conforme a los N. P. En esta edición hemos empleado de preferencia la me- todología que desde largos años venimos aplicando como auto- res de obras de texto de Matemáticas para nuestra enseñanza media. No obstante, en algunas de las demostraciones rea- lizadas hemos estimado conveniente hacer unas breves refe- rencias a la matemática moderna, empleando al efecto las nuevas notaciones indicadas en el cuadro de signos que publicamos al principio de este libro, en la esperanza de que el estudiantado pueda así apreciar las ventajas del empleo de dichas notaciones tendientes a abreviar la exposición. Esperamos que la edición sea acogida con el mismo fa- vorable éxito que las anteriores, y agradecemos desde ya las observaciones y sugestiones que tengan a bien formularnos los distinguidos colegas, las que contribuirán a corregir la presente obra de sus deficiencias y mejorar lo que hubiere de acierto. M. C. Montevideo, marzo de 1968. DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS PRÓLOGO El Maestro y los jóvenes alumnos Jorge y Walther: MAESTRO. — Jorge, piensa un número. JORGE. — Ya está. MAESTRO. — Agrégale uno. JORGE. — Ya está. MAESTRO. — ¿Cuánto te dióf JORGE- — Cinco. MAESTRO. — Tú, Walther, adivina el número que pensó Jorge. WALTHER. 5 — 1 = 4; este es el número pensado. MAESTRO. — Bien, Walther, diste un primer paso en Algebra Los mismos alumnos: MAESTRO. — Walther, piensa un número, duplícalo, agrégale 3, di el resultado, y tú, Jorge, adivina el número pensado. WALTHER. 17- JORGE. (17 — 3) :2 = 7. MAESTRO. — Muy bien, Jorge, diste un paso bastante largo en Algebra. Luego el Maestro continúa su clase: MAESTRO.—Pasos análogos a los que ustedes acaban de dar, fue- ron dados también desde épocas muy remotas, y en todas las civi- lizaciones. en el campo de esta hermosa rama de la Matemática. Lo atestiguan el famoso papirus de Ahmes que data de más de 4000 años, y otras obras de los más antiguos algebristas árabes, per- sas e italianos. Al respecto, les referiré, tal como lo hizo su autor, uno de los curiosos problemas que figuran en la obra llamada “Líber Abaoi”, que en 1202 publicó el matemático italiano Leonardo de Pisa, cono- cido con el nombre de Fibonacci, y que les mostrará el grado de adelanto que acusaba ya en aquella época la ciencia matemática. El problema es el siguiente: “Un devoto rogó a Júpiter que le duplicara el número de mone- “ das que tenía en el bolsillo, y que por ello le pagaría 8 mone- “ das. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que realizara igual mi- “ lagro, y pagó 8 monedas; finalmente rogó a Mercurio que le “ duplicara el número de monedas, y le pagó 8 monedas; así se “ encontró finalmente, poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenía “al principio V9 Fibonacci resuelve el problema por el método llamado en aquel entonces “regula recta” (regla directa). Dice: “Llamemos cosa (en latín res) al capital inicial; lo du- plicó y tuvo 2 cosas; pagó 8 monedas y le quedaron 2 cosas — 8 monedas. Lo duplicó la segunda vez, y tuvo 4 cosas — 16 monedas. Pagó 8 monedas y quedó con 4 cosas — 24 monedas. La duplicó la tercera vez y tuvo 8 cosas — 48 monedas. Pagó 8 monedas, y le quedaron 8 cosas — 56 monedas, *por consiguiente, 8 cosas = 56 monedas, y cosa = 7 monedas”* Este mismo proceso emplearíamos hoy, en Algebra, con la dife- rencia de que, en lugar de cosa diríamos x. Más tarde, el matemático francés Vieta, en su Tratado publicado en 1591 con el título de Introducción al Arte analítico, representó por letras, tanto las cantidades conocidas como las desconocidas, y creó, puede decirse, el álgebra actual, ciencia de los símbolos, cuyo poder, ai decir de un historiador matemático, reside precisamente en las com- binaciones de sus signos que, facilitando el razona- miento, conducen por vía misteriosa a los resultados deseados. No considero oportuno darles una definición del Peo. VIETA Algebra, por cuanto cada uno de ustedes podrá ha- (1640 - 1603) cerlo a su modo, si lo estima necesario, después de haber experimentado la satisfacción de hallar la solución de algunos problemas y cuestiones que se tratarán en este curso. m. a SIGNOS USUALES EN ARITMETICA + Más Nuevas notaciones — Menos A = ^a,b,c,.. El conjunto × Multiplicado por A tiene por elementos a,b,c,... ,m Multiplicado por (5 , o } Conjunto vacío Dividido por e Pertenece a, o es elemen- ± Más o menos to de zp Menos o más 4 No pertenece a, o no es = Igual a elemento de = Idéntico con => Implica, o corresponde =/= No es igual a <=> Implica recíprocamente, o sí y sólo si es Aproximadamente iguales C Incluido en, o subconjun- a Múltiplo de a to de < Menor que □ Contiene a, o superconjun- > Mayor que to de U Unión Menor que o igual a O Intersección Menor que o igual a 7* Coordinable con Mayor que o igual a ~ Equivalente a Mayor que o igual a Por tanto, por ser Letras griegas más usadas Porque a Alpha (Se pronuncia: alfa) V Raíz cuadrada 0 Beta y Gamma 'ty Raíz cúbica 8 Delta Raíz cuarta e Epsilon V Raíz enésima k Lambda S Suma de |x Mu ÷ Progresión aritmética x Pi p Rho ÷÷ Progresión geométrica q Phi (Se pronuncia: fi) ©o Infinito Psi ic Pi, 3,1416 o Omega NOTA.— El conjunto de signos titulado Nuevas notaciones que publicamos ahora por primera vez en este cuadro, ocupa el lugar tipográfico de los referentes a Geometría que veníamos publicando en ediciones anteriores de Aritmética; estos últimos signos se publicarán en las próximas ediciones de Geometría.