Matemáticas para la ingeniería: teoría y problemas resueltos

780 Pages·2013·33.596 MB·Spanish

by  Francesc Pozo Montero, Núria Parés Mariné, Yolanda Vidal Seguí

M atemáticas
para la ingeniería
Teoría y problemas resueltos
Francesc Pozo Montero
Núria Parés Mariné
Yolanda Vidal Seguí
y los procedimientos, todo completamente ilustrado. Se incluyen 127 defi niciones,
218 ejemplos, 274 fi guras, 71 ejercicios propuestos, más de 100 demostraciones y
más de 130 teoremas, propiedades y proposiciones.
29/05/13 08:43
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Matemáticas para la Ingeniería
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Matemáticas para la Ingeniería
Francesc Pozo
Núria Parés
Yolanda Vidal
DepartamentodeMatemáticaAplicadaIII
UniversidadPolitécnicadeCataluña(UPC)
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MATEMATICASPARALAINGENIERÍA
FrancescPozo;NúriaParés;YolandaVidal
PEARSONEDUCACIÓN,S.A.,Madrid,2013
ISBN:9788415552439
Materia:51Matemáticas
Formato:195X250mm. Páginas: 778
Cualquierformadereproducción,distribución,comunicaciónpúblicaotransformacióndeestaobrasolo
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©PEARSONEDUCACIÓN,S.A.,2013
RiberadelLoira,28
28042Madrid(España)
www.pearson.es
ISBN:978-84-1555-24309
Equipoeditorial:
Editor:MiguelMartín-Romo
Técnicoeditorial:MaríaVázquez
Equipodediseño
DiseñadoraSenior:ElenaJaramillo
Técnicodediseño:PabloHocesdelaGuardia
Equipodeproducción:
Directora:MartaIllescas
Coordinadora:TiniCardoso
Diseñodecubierta:Copibook
Fotografíasdecubiertaeinteriores:FrancescPozo
Composición:Librotex
Impresión:
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Anuestrasfamilias,
cuyoapoyoyánimohicieronposibleestelibro.
FrancescPozo,NúriaParés,YolandaVidal
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Índice general
Prólogo XIII
1. Introducciónalrazonamientomatemático 1
1.1. Razonamientomatemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. ¿Essencillohacerunademostración matemática? . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Métodosdedemostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Demostracióndirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Demostraciónporcontrarrecíproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Demostraciónporcontradicción oreducciónalabsurdo . . . . . . . . . 9
1.7. Demostraciónporcontraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Demostraciónporinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Conjuntosnuméricos.Elconjuntodelosnúmeroscomplejos 29
2.1. Conjuntosnuméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1. Elconjuntodelosnúmerosnaturales . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2. Elconjuntodelosnúmerosenteros . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3. Elconjuntodelosnúmerosracionales . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.4. Elconjuntodelosnúmerosreales . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Elconjuntodelosnúmeroscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Ejemplointroductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Representación delosnúmeroscomplejos:formabinómica . . . . . . . 40
2.4. Operacionesconnúmeroscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1. Sumayrestadecomplejosenformabinómica . . . . . . . . . 43
2.4.2. Productodecomplejosenformabinómica . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3. Elconjugadodeunnúmerocomplejo . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4. Divisióndenúmeroscomplejosenformabinómica . . . . . . . 47
2.5. Formapolar:alternativapararepresentar losnúmeroscomplejos . . . . 48
2.5.1. Delaformabinómicaalaformapolar . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Delaformapolaralaformabinómica . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.3. Operacionesaritméticasconnúmeroscomplejosenformapolar 60
2.6. Elexponencial deunnúmerocomplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.1. Operacionesdelosnúmeroscomplejosenformaexponencial . 66
2.7. Lasfunciones trigonométricas enfuncióndelexponencialcomplejo . . 68
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VIII MATEMÁTICASPARALAINGENIERÍA
2.8. Raícesdenúmeroscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.9. Ellogaritmodeunnúmerocomplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.10. Aplicaciones delosnúmeroscomplejosacircuitosdecorrientealterna . 82
3. Funciones,límitesycontinuidad 167
3.1. Funcionesrealesdevariablereal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.1.1. Conceptodefunción.Inyectividad. Exhaustividad. Biyectividad 168
3.1.2. Conjuntosimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.1.3. Funcionesinvertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.1.4. Restriccióndeunafunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.2. Funcionesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.3. Operacionesalgebraicas confunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.4. Composicióndefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.5. Funcióninversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.6. Límitedeunafunciónenunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.6.1. Ideaintuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.6.2. Definiciónformal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.6.3. Interpretación geométricadeladefiniciónformaldelímite . . . 187
3.6.4. Cálculodelímitesmedianteladefinición . . . . . . . . . . . . 188
3.6.5. Propiedadesdellímitedeunafunciónenunpunto . . . . . . . 194
3.7. Cálculodelímitesdeformaalgebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.7.1. Cálculodelímitesdepolinomiosyfuncionesracionales . . . . 202
3.7.2. Cálculodelímitesderaícesdepolinomios. . . . . . . . . . . . 205
3.7.3. Cálculodelímitesdefuncionesracionales deltipo«0/0» . . . 205
3.7.4. Cálculodelímitesdefuncionesmedianteracionalización . . . . 207
3.7.5. Cálculodelímitesmediantecriterios . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.8. Límiteslaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.8.1. Ideaintuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.8.2. Definiciónformal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.9. Extensióndelconceptodelímite(límiteinfinito,límiteenelinfinito . . 219
3.9.1. Límitedeunafunciónenelinfinito . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.9.2. Límitesinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.9.3. Límiteinfinitoenelinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
3.9.4. Álgebradelímitesinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.10. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.11. Equivalencialocaldefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.11.1. Infinitoseinfinitésimosequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.11.2. Órdenesdeinfinitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.12. Resolucióndeindeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.13. Continuidad deunafunciónenunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3.13.1. Campodecontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.13.2. Continuidad lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
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