Matemáticas básicas para economistas: Cálculo

538 Pages·2009·10.9 MB·Spanish

by  Sergio Monsalve (Editor)

MATEM`TICAS B`SICAS PARA
ECONOMISTAS
VOLUMEN 2
C`LCULO

MATEM`TICAS B`SICAS PARA
ECONOMISTAS 2
C`LCULO
Con notas hist(cid:243)ri
as y
ontextos e
on(cid:243)mi
os
SERGIO MONSALVE
EDITOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECON(cid:211)MICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Cataloga
i(cid:243)nen la publi
a
i(cid:243)n Universidad Na
ional de Colombia
MatemÆti
as bÆsi
as para e
onomistas:
on notas hist(cid:243)ri
as y
ontextos e
on(cid:243)mi
os
/ ed. Sergio Monsalve. - BogotÆ : Universidad Na
ional de Colombia. Fa
ultad de
Cien
ias E
on(cid:243)mi
as, 2009
4 v.
In
luye referen
ias bibliogrÆ(cid:28)
as
Contenido : v. 0. Fundamentos. (cid:21) v. 1. Algebra lineal. (cid:21) v. 2. CÆl
ulo. (cid:21)
v. 3. Optimiza
i(cid:243)n y dinÆmi
a
ISBN 978-958-719-304-6(v. 0). - ISBN 978-958-719-305-3(v. 1). -
ISBN 978-958-719-306-0(v. 2). - ISBN 978-958-719-307-7(v. 3)
1. MatemÆti
as 2. Modelos e
on(cid:243)mi
os 3. MatemÆti
as para e
onomistas
4. `lgebra lineal 5. CÆl
ulo 6. Optimiza
i(cid:243)n matemÆti
a 7. Programa
i(cid:243)n dinÆ-
mi
a
I. Monsalve G(cid:243)mez, Sergio, 1962-,ed.
CDD-21 510.2433/ 2009
MatemÆti
as BÆsi
as para
E
onomistas 2: CÆl
ulo
(cid:13)
Sergio Monsalve G(cid:243)mez
(cid:13)
Fernando Puerta
(cid:13)
Universidad Na
ional de Colombia
(cid:13)
Fa
ultad de Cien
ias E
on(cid:243)mi
as
Primera Edi
i(cid:243)n, 2009
ISBN: 978-958-719-306-0
Diseæo de
arÆtula Colaboradores del autor:
`ngela Pilone Herrera Fran
is
o Lozano
Es
uela de E
onom(cid:237)a
Corre

i(cid:243)n de estilo
Universidad Na
ional de Colombia,
Humberto BeltrÆn
BogotÆ
Diseæo de pÆginas interiores y Fernando Puerta Es
uela de
armada ele
tr(cid:243)ni
a MatemÆti
as
Nathalie JimØnez MillÆn Universidad Na
ional de Colombia,
Medell(cid:237)n
Impresi(cid:243)n:
Editorial Universidad Na
ional de
Colombia
˝ndi
e general
1. Le

i(cid:243)n 1
El mØtodo de l(cid:237)mites 1
1. Su
esiones y el
on
epto de l(cid:237)mite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Propiedades de las su
esiones
onvergentes . . . . . . . . . . . . 15
3. L(cid:237)mite de una fun
i(cid:243)n de una sola variable . . . . . . . . . . . . 28
4. Tres
lases espe
iales de l(cid:237)mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
a. L(cid:237)mites unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
b. L(cid:237)mites al in(cid:28)nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

. L(cid:237)mites in(cid:28)nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Continuidad de una fun
i(cid:243)n de una sola variable . . . . . . . . 53
6. Fun
i(cid:243)n
ontinua en un
onjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7. Continuidad de las fun
iones trigonomØtri
as . . . . . . . . . . 67
8. Teoremas importantes para fun
iones
ontinuas . . . . . . . . . 72
9. L(cid:237)mite y
ontinuidad de una fun
i(cid:243)n de dos variables . . . . . . 80
R2
10. Elementos bÆsi
os de topolog(cid:237)a en . . . . . . . . . . . . . . . 88
11. Contexto e
on(cid:243)mi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
a. Una nota sobre los
on
eptos de fun
i(cid:243)n y fun
i(cid:243)n
on-
tinua en el anÆlisis e
on(cid:243)mi
o . . . . . . . . . . . . . . . 101
b. Algunas fun
iones dis
ontinuas en el anÆlisis e
on(cid:243)mi
o 103
2. Le

i(cid:243)n 2
La derivada 117
1. De(cid:28)ni
i(cid:243)n de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2. Reglas de deriva
i(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3. El teorema de la fun
i(cid:243)n inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
a. Fun
iones trigonomØtri
as inversas . . . . . . . . . . . . 150
b. Derivadas de las fun
iones trigonomØtri
as inversas . . . 152
4. El teorema de la fun
i(cid:243)n impl(cid:237)
ita. . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5. Fun
iones exponen
iales y logar(cid:237)tmi
as, y sus derivadas. . . . . 161
6. La diferen
ial (in(cid:28)nitesimales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7. Derivadas de orden superior y polinomios de Taylor . . . . . . . 180
vii
viii MatemÆti
as BÆsi
as para E
onomistas 2: CÆl
ulo
8. La no
i(cid:243)n de derivada en fun
iones de dos variables . . . . . . . 187
a. Las derivadas para fun
iones de dos variables: derivadas
par
iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
b. El diferen
ial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9. El ve
tor gradiente y la derivada dire

ional . . . . . . . . . . . 197
10. Regla de la
adena para fun
iones de dos variables . . . . . . . 203
11. Fun
iones impl(cid:237)
itas para fun
iones de dos variables . . . . . . 206
12. Derivadas par
iales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 208
13. Contexto e
on(cid:243)mi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
a. De(cid:28)ni
i(cid:243)n de marginalidad en e
onom(cid:237)a . . . . . . . . . 215
b. Una apli
a
i(cid:243)n de la no
i(cid:243)n de marginalidad en e
ono-
m(cid:237)a: La do
trina del
osto de oportunidad . . . . . . . . 216

. Cara
ter(cid:237)sti
as marginales de algunas fun
iones del anÆ-
lisis e
on(cid:243)mi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3. Le

i(cid:243)n 3
Elementos bÆsi
os de la teor(cid:237)a de la optimiza
i(cid:243)n 243
1. Valores extremos de una fun
i(cid:243)n de una sola variable . . . . . . 244
2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3. Apli
a
iones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . 256
4. GrÆ(cid:28)
a de una fun
i(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5. Valores extremos de una fun
i(cid:243)n de dos variables . . . . . . . . 289
6. Contexto e
on(cid:243)mi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
a. Una nota sobre el individualismo metodol(cid:243)gi
o . . . . . 303
b. Una nota sobre la (cid:16)revolu
i(cid:243)n(cid:17) marginalista . . . . . . . 304

. Ejemplos de ra
ionalidad y marginalismo . . . . . . . . 307
d. Una nota a
er
a de los debates sobre marginalismo y
ra
ionalidad en la teor(cid:237)a de la (cid:28)rma . . . . . . . . . . . 325
4. Le

i(cid:243)n 4
La integral 337
1. La antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
2. La regla de integra
i(cid:243)n por partes para antiderivadas . . . . . . 343
3. La regla de la
adena para antiderivadas: integra
i(cid:243)n por susti-
tu
i(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4. La regla de fra

iones par
iales para antiderivadas . . . . . . . 350
5. Antiderivadas de algunas fun
iones bÆsi
as . . . . . . . . . . . . 352
6. Antideriva
i(cid:243)n y teor(cid:237)a bÆsi
a de e
ua
iones diferen
iales . . . . 355
7. Sumas y series: una primera aproxima
i(cid:243)n . . . . . . . . . . . . 364
a. Sumas (cid:28)nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
b. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8. La integral de(cid:28)nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
MatemÆti
as BÆsi
as para E
onomistas 2: CÆl
ulo ix
9. Propiedades de la integral de(cid:28)nida . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10. El teorema del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . 393
11. El teorema fundamental del CÆl
ulo . . . . . . . . . . . . . . . 398
12. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13. La no
i(cid:243)n de integral en fun
iones de dos variables: la integral
doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14. Cambio de variables en la integral doble . . . . . . . . . . . . . 422
15. Contexto e
on(cid:243)mi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
a. Toma de de
isiones bajo riesgo: La hip(cid:243)tesis de la utili-
dad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
b. Una medida del riesgo y ejemplos de toma de de
isiones
bajo riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

. Toma de de
isiones bajo in
ertidumbre . . . . . . . . . . 439
d. Algo mÆs sobre la
r(cid:237)ti
a a la toma de de
isiones maxi-
mizando la utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . 440
Bibliograf(cid:237)a 455
Respuestas 477
˝ndi
e alfabØti
o 510
La
ien
ia se ha
onstruido para satisfa
er

iertas ne
esidades de nuestra mente;
ella nos des
ribe.
Y aunque tiene
ierta rela
i(cid:243)n
on el mundo real,
esa rela
i(cid:243)n es muy, muy
ompleja.
Robert J. Aumann
(Premio Nobel de E
onom(cid:237)a 2005)