Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales Spanish PDF
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Pruebas de Acceso a la Universidad de Oviedo desde 1994. + 150 “problemas tipo” José Mª Rosell Tous ISBN: 84-609-3013-0 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Pruebas de acceso a la Universidad Jose Ma Rosell Tous Octubre - 2004 ii Co nt e nidos 1 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 1 1.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Programación lineal 33 2.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Funciones, continuidad, límites y derivadas 71 3.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 Integrales 103 4.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 Probabilidad 123 5.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6 Estadística 143 6.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A Anexo 167 A.1 Soluciones Problemas Bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.2 Soluciones Problemas Bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 171 A.3 Soluciones Problemas Bloque 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 176 A.4 Soluciones Problemas Bloque 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A.5 Soluciones Problemas Bloque 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 182 A.6 Soluciones Problemas Bloque 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 184 iv Prólogo EstemanualrecopilayofreceresueltoslosejerciciosyproblemasdeMatemáti- cas aplicadas a las Ciencias Sociales, correspondientes a las pruebas de ac- ceso a la Universidad de Oviedo, en su modalidad de acceso LOGSE; se han incluido todas las pruebas, desde 1994 hasta la actualidad. LasrazonesquenoshanmovidoaseleccionarlaspruebasdelaUniversi- dad deOviedo yno las deotras universidades son variadas: poruna parte, sonlaspruebasalasquehantenidoqueacudirnuestrosalumnos;porotra, presentan, salvo excepciones, una cierta homogeneidad lo que facilita una evaluaciónsosegadaqueevitalas"sorpresas";ytambién,porquepresentan ciertas peculiaridades enla forma, que hacenqueseajusten perfectamente a lo que entendemos que pudiera ser una evaluación del curso de 2o de Bachiller de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. Se ha incluido, también, una amplia colección de problemas propuestos, cuyas soluciones se pueden encontrar en el anexo A del libro. Todalamateriaseestructuraen6bloquesdecontenidoquepueden,ono, hacerse coincidir con las tres evaluaciones correspondientes a un curso; de estamanera,segarantizaqueelcontenidodel programaresulteequilibrado en lo que a diferentes partes de las matemáticas se refiere. Los dos primeros bloques corresponden a álgebra: el primero abarca lo referente a matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales; el segundo se ocupa de una introducción a los problemas de programación lineal bidimensional. El tercero y cuarto bloques corresponden a análisis: el tercero incluye funciones, y su representación, límites y continuidad, derivadas y sus apli- caciones; el cuarto se ocupa del cálculo integral. Los dos últimos bloques estudian la probabilidad y la estadística: el quinto se centra en la probabilidad y el teorema de Bayes, mientras que el sexto y último bloque lo hace en la teoría de muestras, la inferencia estadística y las pruebas de contraste de hipótesis. El tipo de exámen que se propone al finalizar el curso, es el mismo que el que se viene realizando en las distintas convocatorias de exámen de las pruebas PAU: consiste en 6 problemas, al azar, uno por cada uno de los 6 bloques de contenidos, de entre los que el alumno ha de seleccionar y contestar a 4 de ellos. Esperamos que esta sencilla colección ordenada de problemas pueda re- sultaros de utilidad. vi 1 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 1.1 Problemas PAU Junio 94: Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total de 20entrehombres,mujeresy niños.Contandohombresymujeresjuntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Si llamamos x,y,z, al número de hombres, mujeres y niños, respectiva- mente, que fueron de excursión, tendremos: x+y+z =20 x+y+z =20 x+y =3z ; ordenamos: x+y 3z =0 − y+1=x x+y = 1 − − Apartado b: Para estudiar la compatibilidaddel sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes M : a 1 1 1 1 1 1 20 M = 1 1 3 M = 1 1 3 0 a − − 1 1 0 1 1 0 1 − − − 1 1 1 Como M = 1 1 3 =8=0 r(M)=r(Ma)=3 S.C.D. | | ¯ − ¯ 6 → → ¯ 1 1 0 ¯ ¯ − ¯ Resolvemosel¯sistemautiliza¯ndolaregladeCramer;paraellocalculamos ¯ ¯ los valores de: ¯ ¯ 20 1 1 1 20 1 M = 0 1 3 =64; M = 1 0 3 =56; x y | | ¯ − ¯ | | ¯ − ¯ ¯ 1 1 0 ¯ ¯ 1 1 0 ¯ ¯ − ¯ ¯ − − ¯ ¯ 1 1 20 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ M = ¯ 1 1 0 ¯=40 ¯ ¯ z | | ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ − − ¯ x= |MMx¯¯| = 684 =8;y =¯¯ |MMy| = 586 =7;z = |MMz| = 480 =5 Luego|, h|¯abrán asistido¯8|ho|mbres, 7 mujere|s y| 5 niños a la excursión. 2 1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Septiembre 94: Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el sistema. Solución: Apartado a: Si llamamos x,y,z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respec- tivamente, tendremos: x+y+z =8 x+y+z =8 y =x+2 , ordenamos: x+y =2 − y =z 1 y z = 1 − − − Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema,escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes M : a 1 1 1 1 1 1 8 M = 1 1 0 M = 1 1 0 2 a − − 0 1 1 0 1 1 1 − − − 1 1 1 M = 1 1 0 = 3=0 r(M)=r(Ma)=3 S.C.D. | | ¯ − ¯ − 6 → → ¯ 0 1 1 ¯ ¯ − ¯ Resolve¯moselsistema¯utilizandolaregladeCramer;paraellocalculamos ¯ ¯ los valore¯s de: ¯ 8 1 1 1 8 1 M = 2 1 0 = 3; M = 1 2 0 = 9; x y | | ¯ ¯ − | | ¯ − ¯ − ¯ 1 1 1 ¯ ¯ 0 1 1 ¯ ¯ − − ¯ ¯ − − ¯ ¯ 1 1 8 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ M = ¯ 1 1 2 ¯= 12 ¯ ¯ z | | ¯ − ¯ − ¯ 0 1 1 ¯ ¯ − ¯ x= |MMx¯¯| = −33 =1;y =¯¯ |MMy| = −93 =3;z = |MMz| = −132 =4 Luego|, h|¯abrá−obtenido¯1|pu|nto e−n la primera| p|regun−ta, 3 en la segunda y 4 en la tercera. Septiembre 94 (bis): Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes: a 2 4 A= − B = a a 1 4 µ − ¶ µ ¶ a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas. b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos. Solución: Apartado a: El sistema expresado en forma matricial, será: 1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 3 a 2 x 4 − = a a 1 · y 4 µ − ¶ µ ¶ µ ¶ Efectuandoelproductodematrices,yaplicandoladefinicióndeigualdad ax 2y =4 de dos matrices, obtendremos el sistema pedido: − . ax+(a 1)y =4 ½ − Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes M : a a 2 a 2 4 M = a a− 1 Ma = a a− 1 4 µ − ¶ µ − ¶ Analizamos los valores críticos haciendo M =0 | | a 2 |M|= a a− 1 =0→a2+a=0;a(a+1)=0→a1 =0;a2 =−1 ¯ − ¯ ¯ ¯ Si a¯=0 y ¯ a= 1 ¯ ¯ • 6 6 − M =0 r(M)=r(Ma)=2 S.C.D. (solución única). | |6 → → Si a=0 • 0 2 0 2 4 M = 0 −1 Ma = 0 −1 4 µ − ¶ µ − ¶ M = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en | | → la matriz M un menor complementario de orden 2 y distinto de cero; por a 2 4 ejemplo: − . Por tanto, S.I. (No soluciones). 1 4 ¯ − ¯ ¯ ¯ Si a¯= 1 ¯ ¯ ¯ • − 1 2 1 2 4 M = −1 −2 Ma = −1 −2 4 µ − − ¶ µ − − ¶ M = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 1, puesto que no es posible encontrar | | → en la matriz M un menor complementario de orden 2 y distinto de cero. a Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones). Junio 95: Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectiva- mente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg. Además, compró 1 kg. más de naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Sillamamos x,y,z, alnúmero de kg. comprados depatatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos:
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