Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Pruebas de acceso a la Universidad de Oviedo

283 Pages·2015·2.3 MB·Spanish

MatemÆticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Pruebas de acceso a la Universidad de Oviedo
Jose Ma Rosell Tous
Octubre - 2015
ISBN: 84-609-3013-0
ii
Contenidos
1 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 1
1.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Programaci(cid:243)n lineal 51
2.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Funciones, continuidad, l(cid:237)mites y derivadas 117
3.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4 Integrales 161
4.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5 Probabilidad 195
5.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 Estad(cid:237)stica 227
6.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
A Anexo 259
A.1 Soluciones Problemas Bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
A.2 Soluciones Problemas Bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
A.3 Soluciones Problemas Bloque 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
A.4 Soluciones Problemas Bloque 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
A.5 Soluciones Problemas Bloque 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.6 Soluciones Problemas Bloque 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
iv
Pr(cid:243)logo
Este manual recopila y ofrece resueltos los ejercicios y problemas de MatemÆticas aplicadas a las Ciencias Sociales,
correspondientes a las pruebas de acceso a la Universidad de Oviedo; se han incluido todas las pruebas, desde 1994
hasta la actualidad.
LasrazonesquemehanmovidoaseleccionarlaspruebasdelaUniversidaddeOviedoynolasdeotrasuniversidades
sonvarias:porunaparte,sonlaspruebasalasquehantenidoqueacudirnuestrosalumnos;porotra,presentan,salvo
excepciones, una cierta homogeneidad lo que facilita una evaluaci(cid:243)n sosegada que evita las "sorpresas"; y tambiØn,
porque presentan ciertas peculiaridades en la forma, que hacen que se ajusten perfectamente a lo que entendemos que
pudiera ser una evaluaci(cid:243)n del curso de 2o de Bachiller de MatemÆticas aplicadas a las Ciencias Sociales.
Se ha incluido, tambiØn, una amplia colecci(cid:243)n de problemas propuestos, cuyas soluciones se pueden encontrar en el
anexo A del libro.
Todalamateriaseestructuraen6bloquesdecontenidoquepueden,ono,hacersecoincidirconlastresevaluaciones
correspondientes a un curso; de esta manera, se garantiza que el contenido del programa resulte equilibrado en lo que
a diferentes partes de las matemÆticas se re(cid:133)ere.
LosdosprimerosbloquescorrespondenaÆlgebra:elprimeroabarcaloreferenteamatrices,determinantesysistemas
de ecuacioneslineales;elsegundoseocupade unaintroducci(cid:243)nalos problemasde programaci(cid:243)nlinealbidimensional.
El tercero y cuarto bloques corresponden a anÆlisis: el tercero incluye funciones, su representaci(cid:243)n, l(cid:237)mites y con-
tinuidad, derivadas y sus aplicaciones; el cuarto se ocupa del cÆlculo integral.
Losdosœltimosbloquesestudianlaprobabilidadylaestad(cid:237)stica:elquintosecentraenlaprobabilidadyelteorema
deBayes,mientrasqueelsextoyœltimobloquelohaceenlateor(cid:237)ademuestras,lainferenciaestad(cid:237)sticaylaspruebas
de contraste de hip(cid:243)tesis.
Espero que esta sencilla colecci(cid:243)n ordenada de problemas pueda resultaros de utilidad.
MisagradecimientosalasalumnasylosalumnosquehabØisidosufriendolasinevitableserratasyhabØiscolaborado
en su correcci(cid:243)n.
Nota a la 2a reedici(cid:243)n:
En esta segunda revisi(cid:243)n, con fecha de noviembre de 2007, se han actualizado los exÆmenes de las pruebas PAU con
los correspondientes a los aæos 2005, 2006 y 2007, as(cid:237) como tambiØn se han incluido nuevos problemas propuestos con
sus correspondientes soluciones; en su mayor(cid:237)a proceden de exÆmenes de PAU planteados en otras universidades.
Por otra parte se han modi(cid:133)cado algunos grÆ(cid:133)cos para dotar al libro de una mayor uniformidad, as(cid:237) como tambiØn
se ha cambiado el formato del mismo a un estÆndar A4 para facilitar su difusi(cid:243)n.
Nota a la 3a reedici(cid:243)n:
Con fecha de septiembre de 2008, simplemente se actualiza con los œltimos exÆmenes.
Nota a la 4a reedici(cid:243)n:
Con fecha de mayo de 2010, se actualiza con los œltimos exÆmenes. Aunque, a partir de ahora, cambia el formato
de los exÆmenes de PAU, esperamos que esta recopilaci(cid:243)n os siga resultando de utilidad.
Nota a la 5a reedici(cid:243)n:
Con fecha de octubre de 2013, se actualiza de nuevo con los œltimos exÆmenes.
Nota a la 6a reedici(cid:243)n:
Con fecha de octubre de 2015, se actualiza de nuevo con los œltimos exÆmenes, se corrigen erratas detectadas y se
uniformizan los grÆ(cid:133)cos..
vi
1
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
1.1 Problemas PAU
Junio 1994:
Un grupo de personas se reune para ir de excursi(cid:243)n, juntÆndose un total de 20 entre hombres, mujeres y niæos.
Contando hombres y mujeres juntos, su nœmero resulta ser el triple del nœmero de niæos. AdemÆs, si hubiera acudido
una mujer mÆs, su nœmero igualar(cid:237)a al del hombres.
a) Plantear un sistema para averiguar cuÆntos hombres, mujeres y niæos han ido de excursi(cid:243)n.
b) Resolver el problema.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
Si llamamos x;y;z; al nœmero de hombres, mujeres y niæos, respectivamente, que fueron de excursi(cid:243)n, tendremos:
x+y+z =20 x+y+z =20
x+y =3z ; ordenamos: x+y 3z =0
8 8 (cid:0)
y+1=x x+y = 1
< <
(cid:0) (cid:0)
Apartado b:
:Para estudiar la compatibilidad del sis:tema, escribimos la matriz de los coe(cid:133)cientes M y la matriz ampliada con los
tØrminos independientes M :
a
1 1 1 1 1 1 20
M = 1 1 3 M = 1 1 3 0
a
0 (cid:0) 1 0 (cid:0) 1
1 1 0 1 1 0 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
@ 1 1A 1 @ A
Como M = 1 1 3 =8=0 r(M)=r(Ma)=3 S:C:D:
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) 6 ! !
(cid:12) 1 1 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:12)
Resolvemos el(cid:12)sistema utiliza(cid:12)ndo la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
(cid:12) (cid:12)
20 (cid:12)1 1 (cid:12) 1 20 1 1 1 20
M = 0 1 3 =64; M = 1 0 3 =56; M = 1 1 0 =40
x y z
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) j j (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 1 0 (cid:12) (cid:12) 1 1 0 (cid:12) (cid:12) 1 1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:12)
xLu=egjojMM,xhj(cid:12)(cid:12)(cid:12)ja=brÆ684n=asi8s;tido(cid:12)(cid:12)(cid:12)8yh=omjjMMbyrjejs=, 7586m(cid:12)(cid:12)(cid:12)=uje7r;es y 5zn=iæjojMMsz(cid:12)(cid:12)(cid:12)jaj =la 4e80xc=ur5si(cid:243)n. (cid:12)(cid:12)(cid:12)! x=8;(cid:12)(cid:12)(cid:12) y =7; z =5
Septiembre 1994:
Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una cali(cid:133)caci(cid:243)n de 8 puntos. En la segunda
pregunta sac(cid:243) dos puntos mÆs que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuaci(cid:243)n obtenida en cada una de las preguntas.
b) Resolver el sistema.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
Si llamamos x;y;z; a la puntuaci(cid:243)n obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:
x+y+z =8 x+y+z =8
y =x+2 , ordenamos: x+y =2
8 8 (cid:0)
y =z 1 y z = 1
< <
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Apartado b:
Para estu:diar la compatibilidad del sistema, es:cribimos la matriz de los coe(cid:133)cientes M y la matriz ampliada con los
tØrminos independientes M :
a
1 1 1 1 1 1 8
M = 1 1 0 M = 1 1 0 2
a
0 (cid:0) 1 0 (cid:0) 1
0 1 1 0 1 1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
@ 1 1 1 A @ A
M = 1 1 0 = 3=0 r(M)=r(Ma)=3 S:C:D:
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0) 6 ! !
(cid:12) 0 1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:12)
Resolve(cid:12)mos el sistema(cid:12)utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 8 1 1 (cid:12) 1 8 1 1 1 8
M = 2 1 0 = 3; M = 1 2 0 = 9; M = 1 1 2 = 12
x y z
j j (cid:12) (cid:12) (cid:0) j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0) j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0)
(cid:12) 1 1 1 (cid:12) (cid:12) 0 1 1 (cid:12) (cid:12) 0 1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
2 1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
x= jMMxj = (cid:0)33 =1; y = jMMyj = (cid:0)93 =3; z = jMMzj = (cid:0)132 =4 ! x=1; y =3; z =4
Luegoj, hjabrÆ(cid:0)obtenido 1 puntjo ejn la(cid:0)primera preguntaj, 3j en l(cid:0)a segunda y 4 en la tercera.
Septiembre 1994 (bis):
Sea la matriz A de coe(cid:133)cientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus tØrminos
independientes:
a 2 4
A= (cid:0) B =
a a 1 4
(cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.
b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
El sistema expresado en forma matricial, serÆ:
a 2 x 4
(cid:0) =
a a 1 (cid:1) y 4
(cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Efectuando el producto de matrices, y aplicando la de(cid:133)nici(cid:243)n de igualdad de dos matrices, obtendremos el sistema
ax 2y =4
pedido: (cid:0) .
ax+(a 1)y =4
(cid:26) (cid:0)
Apartado b:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe(cid:133)cientes M y la matriz ampliada con los
tØrminos independientes M :
a
a 2 a 2 4
M = a a(cid:0) 1 Ma = a a(cid:0) 1 4
(cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19)
Analizamos los valores cr(cid:237)ticos haciendo M =0
j j
a 2
jMj= a a(cid:0) 1 =0!a2+a=0;a(a+1)=0!a1 =0;a2 =(cid:0)1
(cid:12) (cid:0) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Si a(cid:12)=0 y (cid:12) a= 1
(cid:15) (cid:12)6 (cid:12) 6 (cid:0)
M =0 r(M)=r(Ma)=2 S:C:D: (soluci(cid:243)n œnica).
j j6 ! !
Si a=0
(cid:15)
0 2 0 2 4
M = 0 (cid:0)1 Ma = 0 (cid:0)1 4
(cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19)
M =0 r(M)=1 y r(Ma)=2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de
a
j j !
2 4
orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: (cid:0) . Por tanto, S:I: (No soluciones).
1 4
(cid:12) (cid:0) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Si a= 1 (cid:12) (cid:12)
(cid:15) (cid:0) (cid:12) (cid:12)
1 2 1 2 4
M = (cid:0)1 (cid:0)2 Ma = (cid:0)1 (cid:0)2 4
(cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:19)
M =0 r(M)=1 y r(Ma)=1, puesto que no es posible encontrar en la matriz M un menor complementario
a
j j !
de orden 2 y distinto de cero. Por tanto, S:C:I: (In(cid:133)nitas soluciones).
Junio 1995:
Un ama de casa adquiri(cid:243) en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100,
120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg.
AdemÆs, compr(cid:243) 1 kg. mÆs de naranjas que de manzanas.
a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.
b) Resolver el problema.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
Si llamamos x;y;z; al nœmero de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos:
100x+120y+150z =1160 10x+12y+15z =116
x+y+z =9 simpli(cid:133)camos: x+y+z =9
8 8
y+1=z y z = 1
< <
(cid:0) (cid:0)
Apartado b)
P:ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribim:os la matriz de los coe(cid:133)cientes M y la matriz ampliada con los
tØrminos independientes M :
a
10 12 15 10 12 15 116
M = 1 1 1 M = 1 1 1 9
a
0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
@ A @ A
1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 3
10 12 15
Como M = 1 1 1 =7=0 r(M)=r(Ma)=3 S:C:D:
j j (cid:12) (cid:12) 6 ! !
(cid:12) 0 1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:12)
Resolvemos el(cid:12)sistema utiliza(cid:12)ndo la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
(cid:12) (cid:12)
116(cid:12) 12 15 (cid:12) 10 116 15 10 12 116
M = 9 1 1 =14; M = 1 9 1 =21; M = 1 1 9 =28
x y z
j j (cid:12) (cid:12) j j (cid:12) (cid:12) j j (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 1 1 (cid:12) (cid:12) 0 1 1 (cid:12) (cid:12) 0 1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:12)
Pxo=r tjjMaMnxjt(cid:12)(cid:12)(cid:12)jo=, h1a74br=Æ2c;ompra(cid:12)(cid:12)(cid:12)yd=o 2jjMMkygjj.=de27p1a=t(cid:12)(cid:12)(cid:12)a3ta;s, 3 kzg=. djejMMmzjj(cid:12)(cid:12)(cid:12)a=nza278na=s y4 4 kg.!(cid:12)(cid:12)(cid:12)de naranxja=s.2;(cid:12)(cid:12)(cid:12)y =3; z =4
Septiembre 1995:
La matriz de coe(cid:133)cientes A; asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, as(cid:237) como la de sus tØrminos indepen-
dientes B son las siguientes:
1 1 1 12
A= 2 1 1 B = 6
0 (cid:0) 1 0 1
5 1 2 2
(cid:0)
a) Deduce las@ecuaciones del sAistema indicando@las opAeraciones hechas.
b) ObtØn, si es posible, la inversa de las matrices A y B. Razona las respuestas.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
El sistema expresado en forma matricial, serÆ:
1 1 1 x 12
2 1 1 y = 6
0 (cid:0) 1(cid:1)0 1 0 1
5 1 2 z 2
(cid:0)
@Efectuando el prAodu@cto dAe ma@trices,Ay aplicando la de(cid:133)nici(cid:243)n de igualdad de dos matrices, obtendremos el sistema
x+y+z =12
pedido: 2x y+z =6 .
8 (cid:0)
5x+y 2z =2
<
(cid:0)
Apartado b:
:
Determinaci(cid:243)n de A 1:
(cid:0)
(cid:15)
1 1 1
- calculamos el determinante: A = 2 1 1 =17=0
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) 6
(cid:12) 5 1 2 (cid:12)
(cid:12) (cid:0) (cid:12)
Como que A =0, la matriz A es in(cid:12)versible. (cid:12)
j j6 (cid:12) (cid:12)
- calculamos la matriz adjunta A(cid:3), r(cid:12)eemplazando c(cid:12)ada elemento por el valor de su menor adjunto:
1 9 7
A = 3 7 4 ,
(cid:3)
0 (cid:0) 1
2 1 3
(cid:0)
- determin@amos la matriz tAraspuesta de la adjunta:
1 3 2
(A )T = 9 7 1
(cid:3)
0 (cid:0) 1
7 4 3
(cid:0)
@ A 1 3 2
- la matriz inversa serÆ: A 1 = 1 (A )T = 1 9 7 1
(cid:0) A (cid:3) 170 (cid:0) 1
j j 7 4 3
(cid:0)
@ A
Determinaci(cid:243)n de B 1: no es posible pues B no es una matriz cuadrada.
(cid:0)
(cid:15)
Junio 1996:
En una con(cid:133)ter(cid:237)a envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg. Cierto d(cid:237)a se envasaron 60 cajas en
total, habiendo 5 cajas mÆs de tamaæo pequeæo (250 gr.) que de tamaæo mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio
del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas:
a) Plantear un sistema para determinar cuÆntas cajas se han envasado de cada tipo.
b) Resolver el problema.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
Tenemos que:
- precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas.
- precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas.
4 1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
- precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas.
Si llamamos x;y;z; al nœmero de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg., respectivamente, tendremos:
x+y+z =60 x+y+z =60
x=y+5 simpli(cid:133)camos: x y =5
8 8 (cid:0)
1000x+2000y+4000z =125000 x+2y+4z =125
< <
Apartado b:
P:ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la m:atriz de los coe(cid:133)cientes M y la matriz ampliada con los
tØrminos independientes M :
a
1 1 1 1 1 1 60
M = 1 1 0 M = 1 1 0 5
a
0 (cid:0) 1 0 (cid:0) 1
1 2 4 1 2 4 125
@ 1 A1 1 @ A
Como M = 1 1 0 = 5=0 r(M)=r(Ma)=3 S:C:D:
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0) 6 ! !
(cid:12) 1 2 4 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Resolvemos el(cid:12)sistema util(cid:12)izando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
(cid:12) (cid:12)
60 (cid:12) 1 1 (cid:12) 1 60 1 1 1 60
M = 5 1 0 = 125; M = 1 5 0 = 100; M = 1 1 5 = 75
x y z
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0) j j (cid:12) (cid:12) (cid:0) j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0)
(cid:12) 125 2 4 (cid:12) (cid:12) 1 125 4 (cid:12) (cid:12) 1 2 125 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
x= jjMMxj(cid:12)(cid:12)(cid:12)j = (cid:0)(cid:0)1255 =25;(cid:12)(cid:12)(cid:12) y = jjMMyjj = (cid:0)(cid:0)1(cid:12)(cid:12)(cid:12)050 =20; (cid:12)(cid:12)(cid:12)z = jjMMzjj = (cid:0)(cid:0)755 =(cid:12)(cid:12)(cid:12)15 ! (cid:12)(cid:12)(cid:12) x=25; y =20; z =15
Por tanto, se habrÆn envasado 25 cajas pequeæas, 20 medianas y 15 grandes.
Junio 1996 (R):
El precio de entrada a cierta exposici(cid:243)n es de 200 ptas. para los niæos, 500 para los adultos y 250 para los jubilados.
En una jornada concreta, la exposici(cid:243)n fuØ visitada por 200 personas en total, igualando el nœmero de visitantes
adultos al de niæos y jubilados juntos. La recaudaci(cid:243)n de dicho d(cid:237)a ascendi(cid:243) a 73.500 ptas.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuÆntos niæos, adultos y jubilados visitaron la exposici(cid:243)n ese
d(cid:237)a.
b) Resolver el problema.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a:
Si llamamos x;y;z; al nœmero de niæos, adultos y jubilados, respectivamente, que visitaron ese d(cid:237)a la exposici(cid:243)n,
tendremos:
x+y+z =200 x+y+z =200
y =x+z simpli(cid:133)camos: x y+z =0
8 8 (cid:0)
200x+500y+250z =73500 20x+50y+25z =7350
< <
Apartado b:
P:ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimo:s la matriz de los coe(cid:133)cientes M y la matriz ampliada con los
tØrminos independientes M :
a
1 1 1 1 1 1 200
M = 1 1 1 M = 1 1 1 0
a
0 (cid:0) 1 0 (cid:0) 1
20 50 25 20 50 25 7350
1@ 1 1 A @ A
M = 1 1 1 = 10=0 r(M)=r(M )=3 S:C:D:
a
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0) 6 ! !
(cid:12) 20 50 25 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Resolve(cid:12)mos el sistema(cid:12)utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 200 1 (cid:12)1 1 200 1 1 1 200
M = 0 1 1 = 300; M = 1 0 1 = 1000; M = 1 1 0 = 700
x y z
j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0) j j (cid:12) (cid:12) (cid:0) j j (cid:12) (cid:0) (cid:12) (cid:0)
(cid:12) 7350 50 25 (cid:12) (cid:12) 20 7350 25 (cid:12) (cid:12) 20 50 7350 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Lxu=egjojMM,xaj(cid:12)(cid:12)(cid:12)j l=a e(cid:0)(cid:0)x31p000os=ici3(cid:243)0n;, ha(cid:12)(cid:12)(cid:12)bryÆn=ajjcMMuydjjid=o(cid:0)3(cid:0)100100n(cid:12)(cid:12)(cid:12)0iæ=os1,0100;0 aduzlt=os(cid:12)(cid:12)(cid:12)jyjMMz7jj0=jub(cid:0)(cid:0)i71l0a00do=s.70 (cid:12)(cid:12)(cid:12) ! x=3(cid:12)(cid:12)(cid:12)0; y =100; z =70
Septiembre 1996:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
x+y+z =6
x 2y+2z =5
8 (cid:0)
2x y+z =11
<
(cid:0)
a) ObtØn su matriz de coe(cid:133)cientes.
b) Calcula:el determinante de la matriz anterior.
c) Sin resolver el sistema, razonar si tendrÆ soluci(cid:243)n œnica.
Soluci(cid:243)n:
Apartado a: