Matemática ou Mesas, Cadeiras e Canecas de Creveja

255 Pages·2001·4.828 MB·Portuguese

by  Natália Bebiano da Providência

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NATALIA BEBIANO DA PROVIDÊNCIA
MATEMATICA
OU MESAS, CADEIRAS ,
EC ANECAS DE CERVEJA
' ' Não há homens mais inteligentes do que aqueles que
são capazes de inventar os jogos. É aí que o seu espírito
se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse
um curso inteiro de jogos tratados matematicamente. ' '
Leibniz, 1715
A matemática é um vasto e diversificado corpo de conhe
cimentos com origens no dealbar da civilização, alguns
dos quais utilizamos sob diversas formas no quotidiano.
Este livro é um convite à contemplação do mundo maravi
lhoso das matemáticas, um mundo de ideias no raio verde
da intuição, imaginação, criatividade e ideal estético de
perfeição. Apresenta conceitos fundamentais e métodos
de criação matemática, privilegiando perspectivas históri
cas, filosóficas e culturais, em detrimento de aspectos
técnicos e de pormenor. São potenciais leitores deste livro
aqueles que estudam, ensinam, criam matemática e ainda
todos aqueles que, não sendo cultores desta arte-ciência,
a consideram parte absolutamente essencial da cultura da
humanidade.
NATÁLIA BEBIANO DA PROVIDÊNCIA é licenciada e doutorada em
Matemática pela Universidade de Coimbra, onde exerce
actualmente funções de professora catedrática. O seu
domínio de investigação é álgebra-teoria das matrizes. Foi
presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática. Além
de matemática, tem interesses literários, tendo publicado
seis livros na área da ficção juvenil e do conto distinguidos
com prémios.
ISBN 972-662-713-3
111 1
9 789726 627135
NATÁLIBAE BIADNAOP ROVIDÊNCIA
MATEMATICA
ou
MESACSA,D EIRAS
EC ANECADSEC ERVEJA1
gradiva
© Natália Bebiano da Providência/Gradiva - Publicações, Lda
Revisão do texto: José Soares de Almeida
Capa: Armando Lopes com ilustração de José Bandeira
Fotocomposição: Gradiva
Impressão e acabamento: Gráfica Manuel Barbosa & Filhos, Lda
Reservados os direitos para Portugal por: Gradiva - Publicações, Uª
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2.ª Edição: Outubro de 2001
Depósito Legal n.º 170 310/01
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Ind1ce
Poema das coisas belas .. . . . . . . . .. . . . . . . ..... .. .. . . . . . . . . . . . . . . ..................... ..... .. . . .................. .... 9
Matemática, o que é matemática?......................................................................... 11
Matemática e beleza................................................................................................. 19
A concepção utilitarista ........................................................................................... 23
Ao leitor ............................................ ... .. .................. ... .... .............. ............................. 25
1. O último teorema de Fermat ............................. ................. ............. .............. ... 27
A álgebra alexandrina - Diofanto................................................................................. 28
Equações diofantinas ............................... .'........................................................................ 30
O décimo problema de Hilbert .. .................. .... .. .................. .... .. .. ...... .. .. .. .. .. .. .... .... ........ 32
Pináculo de ciência ou virtualmente inútil? ................................................................ 33
Margem alguma poderia contê-lo.................................................................................. 35
Onde fica a barreira da decidibilidade? ....................................................................... 36
Wiles e Taylor e a conjectura STW ................................................................................ 37
A parametrização de Weierstrass ....................................................................................... 40
A proposta de Shimura, Tanyiama e Weil........................................................................ 41
A conjectura STW cede .................................................................................................... 42
Para além do último teorema ......................................................................................... 43
A curva de Frey ................................................................................................................ 46
Códigos secretos ..... ... .. ... .................................................................. ..... ... .. ....................... 48
2. Os primórdios da matemática .. .. .. .......... .......... ..... .. .. .... ...... .. .............. ............. 49
Antiguidade oriental ........................................................................................................ 49
Os hieróglifos do Egipto .. . . .. .. . . .................... ... ............. ............ ...... .. . .. . ... ... ........... .......... 50
A história começa na Suméria ........ ........ ...... ........... ......................... .............................. 53
Os lendários matemáticos da Jónia ............................................................................... 56
Tales de Mileto ........ ........ ... . . . ............................. .... .. . . . . ......... .. . . . . .. . . . . . . . ..... ... . . .. . . . . .. ........ ... 57
Pitágoras de Samos ........................................................................................................... 58
Os pitagóricos.................................................................................................................... 59
A crise dos incomensuráveis .......................................................................................... 60
O misticismo do número................................................................................................. 62
A cosmologia pitagórica .................................................................................................. 63
Os números figurados...................................................................................................... 64
O pentagrama pitagórico................................................................................................. 65
A escola eleática ................................................................................................................ 68
Os paradoxos de Zenão ................................................................................................... 68
3. C>s Elementos de Euclides................................................................................... 73
Os Elementos....................................................................................................................... 73
O que é um axioma? ........................................................................................................ 75
Sistemas axiomáticos ........................................................................................................ 76
Consistência, completude, independência.................................................................... 77
O postulado das paralelas ..... . . . . . . . . . . ... .. ... . . . . . ... .. ............ ..... ..................... ........................ 79
Críticas a Euclides ............................................................................................................ 81
Tentativas de demonstração do postulado das paralelas .......................................... 82
Saccheri e Lambert . .. . . ................ ............ ... .. ............... ...... . . .. .. . . . . .. ... . . . .... . .. .. . . . . . . . ... ........... 84
4. O infinito.............................................................................................................. 87
O infinito matemático numa perspectiva histórica..................................................... 89
Infinito actual e infinito potencial ................................................................................. 91
Descida infinita ou subida infinita ................................................................................ 92
Galileu e o infinito............................................................................................................ 94
O paraíso de Cantor......................................................................................................... 95
Qual será maior: o todo ou a parte?............................................................................. 96
A hipótese do contín-p.o ................................................................................................... 98
O axioma da escolha........................................................................................................ 101
A actualização do infinito ............................................................................................... 103
O hotel de Hilbert............................................................................................................ 104
Paradoxos do infinito....................................................................................................... 105
O infinito existe? ............................................................................................................... 106
Somas paradoxais............................................................................................................. 108
Fantasmas desaparecidos................................................................................................. 109
5. A quadratura do círculo .................................................................................... 113
O século de Péricles ......................................................................................................... 113
Os três problemas clássicos............................................................................................. 114
Impossível-que significa?............................................................................................ 116
Construindo polígonos .................................................................................................... 117
Divagando pelo mundo dos números .......................................................................... 118
Os mistérios da transcendência...................................................................................... 119
Ainda 1t ............................................................................................................................... 121
Sobre a história de e ................... ......... .. .. ...... .......... ............................... .... .. ........... ......... 122
Logaritmos ......................................................................................................................... 124
Quadrando a parábola ..................................................................................................... 125
Quadrando a hipérbole ............... .... ......... ............... .. .. . . .... ....... ....... .. ... .............. ... ........... 126
A espiral logarítmica .. . ..... ...... ... .. ........ ... .. .. .. .. . ............ ..................... ........... ........ ............. 128
A espiral de Arquimedes ................................................................................................. 131
6. Passatempos destes e de outros tempos ......................................................... 133
Sistema binário .................................................................................................................. 133
Adivinhando números ..................................................................................................... 134
Multiplicações curiosas.................................................................................................... 135
A torre de Hanói ............................................................................................................... 138
Os anéis de Cardano .. .. ... ... .. . . . . .. .......... .. .. . . .. . . . . . .. . . .......... .. .. . . .. .. . . . . . ............... ...... .. ... .. . . . ... 142
O jogo do Nim .................................................................................................................. 143
O sistema binário e a informática.................................................................................. 145
Bibliografia......................................................................................................................... 145
7. Os primos ............................................................................................................. 147
Primos - o que são?........................................................................................................ 147
Infinitos primos................................................................................................................. 149
Crivo de Eratóstenes ........................................................................................................ 150
Números perfeitos............................................................................................................ 150
Números de Fermat ......................................................................................................... 152
Conjecturas......................................................................................................................... 152
A conjectura de Goldbach ................ ..................... ...... ............................ ... ......... ... ............. 152
A conjectura dos primos gémeos ............................................... ................... ..................... 152
Factorização ....................................................................................................................... 153
Códigos secretos................................................................................................................ 153
Testando a primalidade .. . .. .. . . . . . .. . . .. ...... .. .. . . . . . . .. ... .. ...................... ................ .. .. . .. ......... .... 155
A distribuição dos primos ......... .. .. ................................... ........... ........... .. .. .. . . .. ....... ... ..... 156
Euler .................................................................................................................................... 157
A hipótese de Riemann.................................................................................................... 158
Bibliografia ......................................................................................................................... 160
8. Os imaginários .................................................................................................... 161
Imaginários - o que são? ............................................................................................... 161
Ars Magna........................................................................................................................... 163
Os imaginários são reais! ................................................................................................. 165
A fórmula milagrosa de Euler ........................................................................................ 168
Os quatemiões ................................................................................................................... 170
A análise complexa........................................................................................................... 170
Bibliografia ......................................................................................................................... 171
9. A divina proporção ............................................................................................ 173
A divina proporção........................................................................................................... 173
Fibonacci............................................................................................................................. 175
O teorema binomial.......................................................................................................... 178
Números de Fibonacci ..................................................................................................... 180
Número de ouro e filotaxia ............................................................................................ 182
10. A harmonia das esferas .................................................................................... 185
As teorias planetárias dos antigos................................................................................ 185
Aristarco de Samos ......................................................................................................... 189
Distância da Terra à Lua ................................................................................................ 190
Raio da órbita terrestre................................................................................................... 191
Medição de distâncias por triangulação .. .. . . . . . . . . .. . . ............. ... .. ..... .. ... .. . .. . ....... .. .. . . . . . . . . . 191
O raio da Terra ....... ..... ....... .... .............. ....................... ............ .. .. . . .. . . .. . . ..... .. .. .. . . .. ........ .... 192
Cláudio Ptolemeu de Alexandria ................................................................................. 193
Nicolau Copérnico........................................................................................................... 195
Distâncias do Sol aos planetas ......... ......... ... .. . . . . . . ........... ..... ........................... ... .. . ........ 197
Joannes Kepler................................................................................................................. 198
As três leis de Kepler . ........ ..... .......... ......................... ............... ... .. .. . . .. ........... ... .. ...... .. .. 202
Primeira lei de Kepler (lei das órbitas) ............................................................................ 202
Segunda lei de Kepler (lei das áreas) ............................................................................... 203
Terceira lei de Kepler (lei dos períodos).......................................................................... 205
~;~~;~i;ia~~~~.~~.~~~.~~.::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
~~~
11. De Galileu a Einstein ........................................................................................ 211
Galileu Galilei ................................................................................................................... 211
Os sistemas do mundo ................................................................................................... 213
Ciência e religião............................................................................................................. 214
Galileu e o método experimental ................................................................................. 216
Controvérsia em tomo da experimentação galilaica ................................................. 220
Avanços da ciência moderna à luz do paradigma galilaico .................................... 220
Fenómenos de luz ........................................................................................................... 222
Os princípios da relatividade de Galileu e de Einstein............................................ 223
Bibliografia ................ ... ........... .. ... .. . .. .... .. .. . . . . . .................................. ...... .. .. . . . .. ............. ..... 226
12. Do espaço euclidiano ao espaço curvo .. . ... ... .. .. .... ............ ...... ............ ...... ..... 227
A descoberta das geometrias não euclidianas .. . . . . ... ... .. .. .. . . . . . . . .. . .. . . ........ ... .. . . . . .. ..... .... 227
A geometria de Bolyai-Lobatchevski ........................................................................... 228
Riemann e o espaço curvo ... .. ... ............ ..... .......... ..... ............ ... ... ... ... .. . . ........... ... .. .. ... .... 230
A teoria mágica de Einstein........................................................................................... 231
Lei de Hubble .................................................................................................................. 234
O big bang ....... .... ........ ... ........ .. .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. ........ ... .. .......... .. .................... .. .. .. . . . ..... 234
Modelos .. ... .. ................ .................. ............... ............... ............ ........ ... .. . . . . . . . . . . . . . . . ........ ...... 236
Axiomas de Hilbert para a geometria euclidiana ............. ... .. . . . . . . . ..................... ..... ... 238
Será o espaço físico euclidiano?.................................................................................... 240
Bibliografia........................................................................................................................ 243
13. Simetria ............................................................................................................... 245
Simetria, o que é simetria? .. ... .. . . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . . . .. . ......... .. .. .... ........... ... .. . .. .. .. ............. .. .. .. 245
O conceito de grupo ....................................................................................................... 249
Galois e a quíntica ........................................................................................................... 251
O programa de Erlãnger de Klein .. . ....................... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ......... .. .. . . . . . . . . .. .. . . . 253
Leis de conservação e simetria ..................................................................................... 254
Simetrias dinâmicas .. .. .. . .. . . . . . . .............. .. ........... .......... ... ... .. . . . . . . . . . . .. . . . . .... .. .. . . . . . . . . . . .. ...... ... 257
Bibliografia ................................................................................................................. 261
Agradecimentos .. ............ .. .. .. . . . . . . . .. . . . ......................... ... .. .. ........................ ......... .. .. ... 263
Poema das coisas belas
As coisas belas,
as que deixam cicatrizes na memória dos homens,
por que motivo serão belas?
E belas para quê?
Põe-se o Sol porque o seu movimento é relativo.
Derrama cores porque os meus olhos vêem.
Mas por que será belo o pôr do Sol?
E belo para quê?
Se acaso as coisas não são coisas em si mesmas,
mas só são coisas quando coisas percebidas,
por que direi das coisas que são belas?
E belas para quê?
Se acaso as coisas forem coisas em si mesmas
sem precisarem de ser coisas percebidas,
para quem serão belas essas coisas?
E belas para quê?
ANróNIO GEDEÃO
Matemática, o que é matemática?
Admitamos, pois, que o estudo das matemáticas é uma
loucura divina do espírito humano, um refúgio ante a
urgência agrilhoante dos acontecimentos contingentes.
WHITEHEAD
[. .. ] Nenhum matemático devia alguma vez esquecer que
a matemática, mais do que qualquer outra arte ou ciên
cia, é um jogo juvenil.
HARDY
A matemática é a ciência onde nunca se sabe de que se
fala nem se o que se diz é verdadeiro.
RUSSELL
1. Alguém disse que a filosofia é o uso de uma terminologia inven
tada precisamente com esse fim. Na mesma linha de ideias, pode
dizer-se que a matemática é a ciência que explora conceitos e regras
criados com esse objectivo. Segundo esta perspectiva, a tónica recai
sobre a criação de conceitos conducentes, através de nexos lógicos, a
teoremas (de preferência belos). Alguns conceitos inspiram-se direc
tamente no mundo real, mas tal não ocorre de modo necessário com
todos, em particular com muitos dos que têm aplicação em física.
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