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MatematicaNumerica Esercizi,LaboratorieProgetti Carlo D’Angelo · Alfio Quarteroni Matematica Numerica Esercizi, Laboratori e Progetti CarloD’Angelo AlfioQuarteroni MOX MOX PolitecnicodiMilano PolitecnicodiMilano [email protected] and EPFL,Lausanne alfio.quarteroni@epfl.ch ISBN978-88-470-1639-2 e-ISBN978-88-470-1640-8 DOI10.1007/978-88-470-1640-8 ©Springer-VerlagItalia2010 Quest’operae`protettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneeàmmessasoloedesclusiva- menteneilimitistabilitidallastessa.Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuateneilimitidel 15%diciascunvolumedietropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodall’art.68.Leriproduzioni perusononpersonalee/ooltreillimitedel15%potrannoavveniresoloaseguitodispecificaautorizza- zionerilasciatadaAIDRO,CorsodiPortaRomanan.108,Milano20122,[email protected] sitowebwww.aidro.org. Tuttiidiritti,inparticolarequellirelativiallatraduzione,allaristampa,all’utilizzodiillustrazionietabelle, allacitazioneorale,allatrasmissioneradiofonicaotelevisiva,allaregistrazionesumicrofilmoindatabase, oallariproduzioneinqualsiasialtraforma(stampataoelettronica)rimangonoriservatianchenelcasodi utilizzoparziale.Laviolazionedellenormecomportalesanzioniprevistedallalegge. L’utilizzoinquestapublicazionedidenominazionigeneriche,nomicommerciali,marchiregistrati,ecc. anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchinonsianoprotetti dallerelativeleggieregolamenti. Layoutcopertina:Beatrice. ,Milano Impaginazione:PTP-Berlin,ProtagoTEX-ProductionGmbH,Germany(www.ptp-berlin.eu) Stampa:GrafichePorpora,Segrate(MI) StampatoinItalia Springer-VerlagItaliaS.r.l.,ViaDecembrio28,I-20137Milano Springer-VerlagfapartediSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com) Prefazione LaMatematicaNumericae` ladisciplinacheconsenteditradurreunproblemama- tematico (nell’ambito di campi quali l’analisi, l’algebra lineare, la teoria dell’approssimazione, la teoria delle equazioni funzionali, l’ottimizzazione, le equazioni differenzialiordinarieeallederivateparziali,etc.),inalgoritmiefficienticheneper- mettanolarisoluzionemediantecalcolatore.Essarappresentalabasefondativadel CalcoloScientificoperlamodellisticaerisoluzionediproblemineipiu` svariatiam- bitiapplicativi,qualiquellidell’Ingegneria,delleScienzedellaVita,delleScienze EconomicheeSociali. E`,pervocazione,unadisciplinachesisviluppainsimbiosi conilcalcolatore,appoggiandosialinguaggidiprogrammazionecheconsentanodi tradurreglialgoritmiinprogrammieseguibili. Questotestosiproponediaiutarelostudentenellatransizionefraiconcettiteorici emetodologicidellaMatematicaNumericaelaloroimplementazionealcomputer. ConquestoobiettivovengonopropostiEsercizidarisolvere“concartaepenna”,atti afarcomprenderemeglioallettorelateoria,eLaboratori,incuiperundatoproblema sidebbonoscegliereglialgoritmipiu` adatti,realizzareunprogrammainlinguaggio Matlab®perlaloroimplementazione,rappresentaregraficamenteinmanieraidonea i risultati ottenuti dal calcolatore, infine interpretarli ed analizzarli alla luce delle conclusionicheavremmopotutotrarreapriorigrazieallateoria.PerogniEsercizio eogniLaboratoriosipresentaunarisoluzionedettagliata,completatadaunaampia discussionecritica. EsercizieLaboratorivengonopropostiperognunodeicapitoliclassicidellaMate- maticaNumerica:l’algebralinearenumerica(perlasoluzionedisistemilineariel’approssimazionediautovalorieautovettori),leequazioninonlineari,l’interpolazione polinomiale,l’integrazionenumerica,iproblemidifferenziali. Perunamigliorefruizionedegliargomentisviluppati,iltestosiapreconun’introduzione all’ambiente di programmazione Matlab: il software, le variabili e le operazioni,lamanipolazionedivettoriematrici,ilcontrollodiflusso,gliscriptele function,lagrafica,lamanipolazionedipolinomi.Inoltre,ognicapitoloiniziacon unrichiamoalledefinizioni,aglialgoritmiealleproprieta`fondamentalichefaranno datracciaallarisoluzionediEsercizieLaboratori.Perunaapprofonditaesposizione di tali richiami, si rimanda a [1]. Inoltre, si fara` riferimento ai programmi Matlab utilizzati per il corso di Matematica Numerica tenuto al Politecnico di Milano. Si v vi Prefazione trattadifiledisponibiliallapaginawebdelcorso[2],iqualiimplementanoimetodi numericistudiati.Sonoriconoscibilidalfattocheilnomecominciasempreperqss (adesempio,qssnewton.me` ilfilecheimplementailmetododiNewton). [1] A. Quarteroni, R. Sacco e F. Saleri, Matematica Numerica, 3a Ed., Springer, Milano,2008. [2] http://www1.mate.polimi.it/CN/AnNum/programmiqss.zip Iltestocontieneinfinealcuni Progetti.Sitrattaditemidiindagineriguardantiap- plicazioni rilevanti del Calcolo Scientifico, in cui gli strumenti della Matematica Numerica devono essere utilizzati per risolvere problemi specifici. In particolare, tratteremonelprimoprogettoimetodichesonoallabasedeglialgoritmidipageran- kingdeimodernimotoridiricercaevedremocomeiproblemidarisolverepossano essere trattati mediante metodi numerici per il calcolo di autovettori o alternativa- menteconmetodiiterativipersistemilineari.Oggettodistudiodelsecondoprogetto sarannoalcuniproblemilegatialcampoelettricofradueconduttorieilcalcolodella capacita`diuncondensatoreeingeneraleleequazioniintegralidisecondaspecie.La lororisoluzionenumericarichiedel’usoditecnichediinterpolazioneequadratura numerica.Ilterzoprogettoconcernelostudiodisistemidinamicioscillantidigrande rilevanzainapplicazionielettroniche(adesempionelcasodell’oscillatoredivander Pol)ebiologiche(comeneimodellidiFitzHugh-Nagumoperlecorrentineurona- li).Larisoluzionediquestoprogettocicondurra` adapplicareimetodinumericidi discretizzazionedisistemidiequazionidifferenzialiordinarie,noncheádutilizzare opportune tecniche di approssimazione per sistemi di equazioni algebriche non li- neari.Iprogettirichiedonodisvilupparequestitemiconunabuonadosedicreativita` a partire dalle nozioni di base trattate in questo volume, fornendo indirettamente ulterioreevidenzaalfattocheletecnichenumerichestudiatesianonecessarieinvari ambitidelleScienzeedell’Ingegneria. Questotestoe`scrittoperstudentideicorsidilaureadiprimolivelloinMatematica, Ingegneria, Fisica e Informatica. Molti fra gli Esercizi e Laboratori proposti sono derivatidaesercizietemid’esamedeicorsidiMatematicaNumericainsegnatipres- so il Politecnico di Milano e l’EPFL (Ecole Polytechnique Fe´de´rale) di Losanna. Ringraziamopertantoinumerosicolleghiecollaboratoriiquali,avendoinsegnato questicorsi,hannocontribuito,direttamenteoindirettamente,aselezionareilmate- rialeproposto.Inparticolare,uncontributoimportanteallosviluppodegliEsercizi eLaboratorivariconosciutoaMarcoDiscacciati,EdieMiglioePaoloZunino.Infi- ne,unricordospecialelorivolgiamoaFausto,coautoredeltestodiriferimento[1], peressersiprodigatoconlagenerosita` chelohasemprecontraddistintoanchenella preparazione di Esercizi e Laboratori che hanno aiutato gli studenti ad avvicinarsi allaMatematicaNumerica. MilanoeLosanna,febbraio2010 CarloD’Angelo AlfioQuarteroni Indice 1 Matlabin1h30’................................................ 1 1.1 Introduzionealsoftware..................................... 1 1.2 Variabilieoperazioni ....................................... 2 1.3 Manipolazionedivettoriematrici............................. 7 1.4 Controllodiflusso ......................................... 9 1.5 Script efunction ........................................... 10 1.6 Plot ...................................................... 13 1.7 Graficiinscalalogaritmicaesemilogaritmica ................... 15 1.8 Polinomi.................................................. 18 1.9 Commenti................................................. 19 2 Fondamentidialgebralinearenumerica .......................... 21 2.1 Spazivettoriali,normeeprodottiscalari ....................... 21 2.2 Matrici ................................................... 23 2.3 Normematriciali ........................................... 26 EsercizieLaboratori............................................. 29 Soluzioni ...................................................... 33 3 Sistemilineari ................................................. 47 3.1 Introduzioneeanalisidistabilita`.............................. 47 3.2 Metodidiretti.............................................. 48 3.3 Metodiiterativi ............................................ 52 EsercizieLaboratori............................................. 60 Soluzioni ...................................................... 76 4 Approssimazionediautovalorieautovettori .......................123 4.1 Localizzazione.............................................123 4.2 Stabilita` econdizionamento..................................124 4.3 Metodinumerici ...........................................125 EsercizieLaboratori.............................................131 Soluzioni ......................................................137 vii viii Prefazione 5 Equazioninonlineari...........................................153 EsercizieLaboratori.............................................157 Soluzioni ......................................................163 6 Interpolazionepolinomiale ......................................185 6.1 Interpolazionelagrangiana...................................185 6.2 Stabilita` ..................................................186 6.3 FormadiNewtonedifferenzedivise...........................188 6.4 InterpolazionediHermite-Birkoff.............................189 6.5 Splines ...................................................190 6.6 Polinomiortogonali.........................................191 6.7 Interpolazionenelsensodeiminimiquadrati....................193 EsercizieLaboratori.............................................195 Soluzioni ......................................................205 7 Integrazione...................................................233 7.1 FormulediquadraturadiNewton-Cotes........................236 7.2 FormulediquadraturaGaussiane .............................238 EsercizieLaboratori.............................................239 Soluzioni ......................................................248 8 Equazionidifferenzialiordinarie.................................269 8.1 Introduzione...............................................269 8.2 Metodiadunpasso .........................................271 8.3 Assolutastabilita` ...........................................274 8.4 Metodiapiu` passi(omultipasso) .............................276 8.5 MetodiRunge-Kutta ........................................279 8.6 Cenniall’adattivita` .........................................279 EsercizieLaboratori.............................................282 Soluzioni ......................................................290 9 Progettisvolti..................................................327 ProgettoA:Google,catenediMarkovePageRank....................328 ProgettoB:Campielettriciedequazioniintegrali.....................345 ProgettoC:Oscillatoriesistemidiequazionidifferenzialinonlineari....361 1 Matlab in 1h30’ Puntichiave >>>>>>>>> Introduzionealsoftware >>>>>>>>> Variabilieoperazioni >>>>>>>>> Manipolazionedivettoriematrici >>>>>>>>> Controllodiflusso >>>>>>>>> Script efunction >>>>>>>>> Plot >>>>>>>>> Graficiinscalalogaritmicaesemilogaritmica >>>>>>>>> Polinomi >>>>>>>>> Commenti 1.1 Introduzionealsoftware Matlab®eùnsoftwareprodottodallaMathWorks,inizialmenteconcepitocomeam- biente di calcolo in cui le operazioni tipiche dell’algebra lineare fossero semplici edintuitive1.OggiMatlabe` piu` ingeneraleunacollezionedifunzionalita` cheper- mettono di trattare, oltre a problemi dell’algebra lineare numerica, problemi fra i piu` svariati,dall’ottimizzazioneallastatistica,dall’analisideidatiall’elaborazione digitale di segnali e immagini, dal controllo alla simulazione numerica. Tali fun- zionalita` sono implementate in “pacchetti”, detti toolbox, organizzati secondo le corrispondenti aree tematiche: ad esempio, il toolbox dell’ottimizzazione contiene variefunzioniutilipertrattareproblemidiminimizzazioneliberaevincolata,trattare 1IlnomeMatlabineffettinascedallacontrazionediMatrixLaboratory.Lanascitaufficialedelsoftware risaleagliannisettanta,adoperadiCleveMoler,delDipartimentodiComputerSciencedell’universita` delNewMexico.OggiMolere`ChiefScientistallaMathWork. C.D’Angelo,A.Quarteroni:MatematicaNumerica.Esercizi,LaboratorieProgetti ©Springer-VerlagItalia2010,Milano