MATEMATICA Manual pentru clasa a XII-a M1

329 Pages·2007·6.886 MB·Romanian

by  Marius Burtea, Georgeta Burtea

Marius Burtea Georgeta Burtea

MATEMATICĂ

Manual pentru clasa a XII-a

M
1

Trunchi comun

+

curriculum diferenţiat
„Manualul a fost aprobat prin Ordinul ministrului Educaţiei, Cercetării şi
Tineretului nr. 1262/32 din 06.06.2007 în urma evaluării calitative şi este realizat în
conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordin al ministrului Educaţiei şi
Cercetării nr. 5959 din 22.12.2006“

Copertă: Giorgian Gînguţ

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
BURTEA, MARIUS
Matematică M1 : trunchi comun şi curriculum diferenţiat : clasa a XII-a /
Marius Burtea, Georgeta Burtea. – Piteşti: Carminis Educaţional, 2007
328 p.; il.; 24 cm

ISBN 978-973-123-018-4

I. Burtea, Georgeta

51(075.35)

© Toate drepturile aparţin Editurii CARMINIS

Referenţi: Prof. Gr. I Marin Ionescu, Colegiul Naţional „I. C. Brătianu“, Piteşti
Prof. Gr. I Georgică Marineci, Colegiul Naţional „I. C. Brătianu“, Piteşti

Redactor: Carmen Joldescu
Tehnoredactori: Alina Pieptea, Marius Hîrzoiu
Corectură: Marius Burtea, Georgeta Burtea
Tehnoredactare computerizată: Editura CARMINIS

Tiparul executat la S.C. TIPARG S.A. PITEŞTI
Comenzile se primesc la
tel./fax: [phone], 252467 sau pe adresa: Editura CARMINIS
str. Exerciţiu, bl. D 22, sc. B, ap. 1, cod 110242, Piteşti, jud. Argeş
www.carminis.ro
e-mail: [email protected]

ISBN 978-973-123-018-4
PREFAÞÃ

Manualul are la bazã PROGRAMA 1 ºi se adreseazã elevilor de
liceu din clasa a XII-a de la urmãtoarele filiere, profiluri ºi specializãri:
• filiera teoreticã, profilul real, specializarea matematicã-infor-
maticã: 2 ore/sãptãmânã (TC) + 2 ore/sãptãmânã (CD);
• filiera vocaþionalã, profilul militar MApN, specializarea mate-
maticã-informaticã: 4 ore/sãptãmânã (TC).
Acest manual se aplicã ºi la clasa a XIII-a, ciclul superior al
liceului, filiera tehnologicã, ruta progresivã de calificare profesionalã.
El este conceput pe baza noului curriculum orientat pe formarea
de competenþe, valori ºi aptitudini dobândite de elevi în actul învãþãrii,
elemente care-i vor conduce spre înþelegerea diverselor dimensiuni ale
realitãþii cotidiene ºi spre aplicarea metodelor specifice matematicii în
cele mai diverse domenii.
Manualul este alcãtuit din douã pãrþi distincte:
Partea I, ELEMENTE DE ALGEBRÃ, cuprinde urmãtoarele capitole:
Grupuri, Inele ºi corpuri, Inele de polinoame.
Partea a II-a, intitulatã ELEMENTE DE ANALIZÃ MATEMATICÃ,
este formatã din urmãtoarele capitole: Primitive (antiderivate), Integrala
definitã ºi Aplicaþii ale integralei definite.
Partea teoreticã a manualului este redatã într-o manierã directã,
definind noile concepte matematice ºi apoi prezentând aplicaþii care le
impun, sau într-o manierã problematizatã, pornind de la situaþii-problemã
a cãror rezolvare motiveazã introducerea ºi aprofundarea diferitelor
noþiuni ºi metode de lucru.
Partea aplicativã a manualului este constituitã din urmãtoarele
elemente care conferã acestuia o notã particularã, atractivã pentru cel
care îl utilizeazã:
• exerciþii ºi probleme rezolvate, concepute pentru a explica ºi
exemplifica modul de utilizare a noilor noþiuni, diferite metode ºi
procedee de rezolvare;
• teste de evaluare plasate dupã grupuri de teme sau la sfârºit de
capitol;
• seturi de exerciþii ºi probleme propuse, structurate pe grade de
dificultate în trei categorii:
a) Exerciþii ºi probleme pentru aplicarea ºi exersarea noþiunilor
fundamentale dintr-o unitate didacticã, notate cu simbolul „E“,
incluse în setul denumit EXERSARE.
b) Exerciþii ºi probleme pentru aprofundarea noþiunilor funda-
mentale studiate, notate cu simbolul „A“. Parcurgerea acestui
3
set de probleme dã posibilitatea aplicãrii noþiunilor învãþate în
contexte variate, realizând conexiuni intra- ºi extradisciplinare.
c) Exerciþii ºi probleme notate cu simbolul „D“ din setul
DEZVOLTARE, pentru iniþierea unui studiu mai lãrgit al unor
teme, având un nivel ridicat de dificultate. Exerciþiile de
dezvoltare vizeazã aspecte mai profunde ale unor noþiuni ºi pot
fi folosite pentru pregãtirea olimpiadelor ºcolare, pentru
alcãtuirea de referate ºi comunicãri pe baza unei bibliografii
recomandate.

Pe parcursul manualului sunt întâlnite diferite modalitãþi
complementare de evaluare ºi studiu:
• Temã — care solicitã demonstrarea unor rezultate matematice
urmând modele din cadrul unei anumite lecþii sau conþine aplicaþii
imediate ale unor modele de rezolvare oferite în cadrul exerciþiilor
rezolvate. Acestea pot fi parcurse în clasã, individual sau pe grupe de
elevi.
• Temã de studiu ºi Temã de proiect — care au drept scop
continuarea ºi aprofundarea unor idei iniþiate în cadrul unei lecþii.
Aceste teme de studiu sunt menite sã-i stimuleze pe elevi,
individual sau în grup, în studiul matematicii, în dezvoltarea creativitãþii
ºi capacitãþii de investigare. De asemenea, ele pot constitui subiectul
unor referate care sã completeze portofoliile elevilor.
• Teme de sintezã — destinate sistematizãrii ºi recapitulãrii
principalelor teme din programa ºcolarã, în vederea pregãtirii exame-
nului de bacalaureat.
Manualul se încheie cu INDICAÞII ªI RÃSPUNSURI date pentru
un numãr semnificativ de exerciþii ºi probleme propuse.

Autorii

4
Algebr‘ • I. Grupuri
ELEMENTE DE ALGEBRĂ

I. GRUPURI

1 Legi de compoziţie pe o mulţime

1.1. Definiþii ºi exemple

Din studiul diferitelor operaþii întâlnite pânã acum (adunarea ºi
înmulþirea numerelor, compunerea funcþiilor, adunarea ºi înmulþirea
matricelor etc.) se pot desprinde concluziile:
— existã o mare diversitate atât în ceea ce priveºte natura
mulþimilor pe care sunt definite aceste operaþii (numere, funcþii,
matrice, vectori, ºiruri, perechi ordonate...), cât ºi în ceea ce priveºte
regulile specifice dupã care se opereazã cu elementele acestor mulþimi;
— operaþiile algebrice întâlnite au o serie de proprietãþi comune,
indiferent de natura elementelor asupra cãrora opereazã (comutativi-
tate, asociativitate etc.).
Reþinând aspectele esenþiale ale operaþiilor, în acest capitol se va
face o prezentare a acestora într-o formã generalã prin intermediul
conceptului de lege de compoziþie, concept care dã posibilitatea folosirii
metodei axiomatice în algebrã.

v DEFINIÞII

Fie M o mulþime nevidã.
• O aplicaþie :MM M, x, yx, y se numeºte lege de compo-
ziþie (operaþie algebricã) pe mulþimea M.
• Elementul x, yM, care corespunde prin aplicaþia  perechii
ordonate x, yMM se numeºte compusul lui x cu y prin legea
de compoziþie .

 Exemple de legi de compoziþie
 Operaþia de adunare „  “ ºi operaþia de înmulþire „  “ pe mulþimile de numere N,
Z, Q, R, C:
„ + “: NNN,x, yxy,
„  “: NNN,x, yxy,
„ + “: ZZZ,x, yxy,
„  “: ZZZ,x, yxy, etc.
5
Algebr‘ • I. Grupuri
 Operaþia de adunare „“ pe mulþimea V a vectorilor din plan:
„“:V V V,a, bab.
 Operaþiile de reuniune „“, intersecþie „“, diferenþã „\“, diferenþã simetricã „“, pe
mulþimea PM a pãrþilor (submulþimilor) unei mulþimi M:
„  “: PMPMPM,A,BAB,
„  “: PMPMPM,A,BAB, etc.
 Operaþia de compunere „“ a funcþiilor pe mulþimea FMf f:MM:
„“:FMFMFM,f,gfg.

Legile de compoziþie sunt date în diferite notaþii:
• În notaþie aditivã se scrie x, y  x  y; elementul x  y  M se
numeºte suma lui x cu y, iar operaþia  se numeºte adunare.
• În notaþie multiplicativã se scrie x, y  xy; elementul xyM se
numeºte produsul lui x cu y, iar operaþia  se numeºte înmulþire.
Deseori, dacã :MMM este o lege de compoziþie (operaþie
algebricã) pe mulþimea M, în loc de notaþia x, y se folosesc notaþiile
x  y, xy, x  y, x T y, x  y etc.

Exerciþiu rezolvat

 Pe mulþimea R se defineºte operaþia algebricã „ T “, astfel:
T:RR R, x, y x Ty  xyx y.
a) Sã se calculeze 2 T 3, 5 T3, 6T8.
b) Pentru care elemente x  R, avem x T 2  8?
c) Sã se rezolve ecuaþia x Tx1 1.
Soluþie
a) 2 T323231;5 T3 5353  17, iar
6T8  6868 62.
b) Avem: x T 2  x  2 — x — 2  x — 2. Din egalitatea x — 2  8 se
obþine x  10.
c) Avem: x Tx 1  xx 1x x 1  x2 x 1. Rezultã ecuaþia
x2 x20 cu soluþiile x 1, x 2. Aºadar: 1 T01 ºi 2 T 3  1.
1 2

1.2. Adunarea ºi înmulþirea modulo n

Fie nN* un numãr natural ºi a  Z. Din teorema împãrþirii cu
rest a numerelor întregi rezultã cã existã ºi sunt unice numerele q  Z
ºi r0,1, 2,, n1 cu proprietatea a  nq  r.
6
Algebr‘ • I. Grupuri
Numãrul natural r care reprezintã restul împãrþirii lui a la n, se
noteazã a mod n (se citeºte „a modulo n“) ºi se numeºte redusul modulo n
al numãrului a.
Aºadar, r  a mod n.
Astfel, dacã n  6, atunci:
15mod6 3, 5mod6 5, 10mod6 2.
Pe mulþimea Z definim urmãtoarele legi de compoziþie:
a) :ZZ Z, a  babmodn, numitã adunarea modulo n.
a  b se numeºte suma modulo n a lui a cu b.
b)  : ZZ Z, a  b abmodn,
numitã înmulþirea modulo n.  TEMĂ
a  b se numeºte produsul modulo n Pentru n  6, calculaþi:
2  5, 2  5,
al lui a cu b.
16  9, 9  4,
Astfel, pentru n  8, avem:
2  3, 5  5,
6 10 610mod8 16mod8 0;
7  9, 9  5,
7 12 712mod8 19mod8 3; 2  9  3, 3  7  8.

4  3 43mod8 12mod8 4;
2  5  25mod8 10mod8 6.
 

1.3. Adunarea ºi înmulþirea claselor de resturi modulo n

Fie nN* un numãr natural fixat. Pentru a  Z notãm
a ank kZ ºi r  a mod n restul împãrþirii lui a la n.
Din teorema împãrþirii cu rest, rezultã cã existã q  Z astfel încât
a  nq  r.
Atunci, a ank kZrnq nk kZrnh hZ r.

Aºadar, în determinarea mulþimii a este esenþial sã cunoaºtem
restul împãrþirii lui a la n.

Mulþimea a se numeºte clasa de resturi modulo n a lui a.
Deoarece resturile obþinute la împãrþirea cu n a numerelor întregi
pot fi 0, 1, 2, ... , n — 1, rezultã cã existã numai n clase de resturi
modulo n distincte douã câte douã ºi acestea pot fi considerate
   
0,1, 2,, n1.
Mulþimea claselor de resturi modulo n se noteazã cu Z ºi putem
n
scrie Z 0,1, 2,, n1.
n

7
Algebr‘ • I. Grupuri
Pe mulþimea Z se definesc urmãtoarele legi de compoziþie:
n
a) „“:Z Z Z , a b a b, numitã adunarea claselor de
n n n
   
resturi modulo n, iar ab se numeºte suma claselor a ºi b;
b) „“:Z Z Z , ab  a b, numitã înmulþirea claselor de
n n n
   
resturi modulo n, iar ab se numeºte produsul claselor a ºi b.

 Exemple
 Fie Z 0,1,2,3. Atunci avem: 21 3;23 1;22 0 etc.
4
        
De asemenea: 220;232;331.
 În Z 0,1,2,3,4 avem: 21 3,23 0,22 4,43 2 etc.
5
           
De asemenea: 224,231,334,432 etc.

Exerciþii rezolvate

 1. Sã se calculeze în Z :
7
3    4 3
a) 2 ; b) 34 6; c) 3  5 .
Soluþie
3            
Avem: a) 2 222  42 1; b) 34 6 56 2;
4 3                  
c) 3  5 3333555 23345 636  46 3.

 2. Sã se rezolve în Z ecuaþia 2x2 2x 0.
4
Soluþie
   
Soluþiile ecuaþiei pot fi doar elemente ale mulþimii 0,1, 2, 3 .
Fie fx 2x2 2x. Avem:
 TEMĂ
• f0 20 20 0 0 0; Rezolvaþi ecuaþiile:
a) 3x5  0, în Z ;
        6
• f 1 212122 0; b) 3x2 3x  0, în Z ;
6
• f2 20 22 0 0 0; c) 2x3 3x2  0, în Z .
4
       
• f 3 2123 22 0.
   
În concluzie, soluþiile ecuaþiei date sunt 0,1, 2, 3. Dupã cum se
observã, ecuaþiile de gradul 2, pe mulþimi diferite de cele uzuale, pot
avea mai mult de douã soluþii.
8
Algebr‘ • I. Grupuri
1.4. Parte stabilã. Lege de compoziþie indusã

Fie M o mulþime nevidã ºi „“: M  M  M o lege de compoziþie pe M.

v DEFINIÞIE

• O submulþime S  M se numeºte parte stabilã a lui M în raport cu
legea de compoziþie „“ dacã:  x, y  S implicã xy S.

Pentru cazul S  M se spune cã M este parte stabilã în raport cu
legea de compoziþie „“.


Exemple

 Mulþimile de numere N, Z, Q sunt pãrþi stabile ale lui R în raport cu operaþiile de
adunare ºi de înmulþire a numerelor reale.
 Mulþimile pNpx xN, cu p  N sunt pãrþi stabile ale lui N în raport cu
operaþiile de adunare ºi de înmulþire a numerelor naturale.
 Fie MnC mulþimea matricelor pãtrate cu elemente din mulþimea C.
Submulþimea S MnC a matricelor inversabile este parte stabilã a lui MnC
în raport cu înmulþirea matricelor.

Exerciþii rezolvate
 a b 
 1. Fie H M2C, H  b a a2 b2 1. Sã se arate cã H este
parte stabilã a mulþimii M C în raport cu înmulþirea matricelor.
2

Soluþie
 a b  x y
Fie A, B  H, A  ,B  ºi a2 b2 1, x2 y2 1. Se
b a y x
 a b  x y  ax  by ay  bx 
obþine: AB       . (1)
b a y x ay  bx by  ax
Folosind proprietatea detAB  detAdetB, rezultã cã:
detAB a2 b2x2  y2 1 ºi astfel axby2 aybx2 1. (2)
Din relaþiile (1) ºi (2) rezultã cã AB  H, deci H este parte stabilã a
mulþimii M C în raport cu înmulþirea.
2

 2. Sã se arate cã mulþimea R 0,1, 2,, n1 este parte stabilã
n
a lui Z în raport cu adunarea modulo n ºi înmulþirea modulo n.

9