Matemática - Contexto & Aplicações - Roberto Dante - Vol 2 - Manual do professor

586 Pages·2013·16.718 MB·Portuguese

by  Roberto Dante

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VV
Matemática
Ensino Médio
LUIZ ROBERTO DANTE
• Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo
• Mestre em Matemática pela USP
• Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo
• Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática;
Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano);
Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único),
por esta editora.
1a edição
1a impressão
Manual do Professor
2013 – São Paulo
Gerente Editorial: Margarete Gomes
Editora: Cármen Matricardi
Edição de texto: S ônia Scoss Nicolai
Revisão: H élia de Jesus Gonsaga (ger.)
Kátia Scaff Marques (coord.)
Ivana Alves Costa
Maurício Baptista Vieira
Patrícia Travanca
Assessoria didática: E loy Ferraz Machado Neto
Sofia Isabel Machado Lucas
Pesquisa iconográfica e cartográfica: S ílvio Kligin (superv.)
Cláudia Bertolazzi (iconografia)
Márcio Santos de Souza (cartografia)
Edição de arte: Rosimeire Tada (coord.)
Programação visual: Catherine Saori Ishihara
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.
Maria Alice Silvestre Guimarães
Loide Edelweiss Iizuka
Ilustrações e gráficos: Formato Comunicação Ltda.
Capa: Estúdio Sintonia
Foto da capa: Peter Dazeley/Photographer’s Choice/
Getty Images
Título original da obra: M atemática – Contexto & Aplicações – Volume 2
© Editora Ática S.A.
ISBN 978 85 08 12911-9 (aluno)
ISBN 978 85 08 12912-6 (professor)
2013
Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A.
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5º- andar e andar intermediário Ala A
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ApresentAção
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos
fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta
apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender
as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber
aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e
compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos
o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta.
Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido,
para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema.
Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a
teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos
as fases da resolução de um problema.
A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar si-
tuações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade.
Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares
de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio
(Enem).
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino
Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos
cursos de Educação Superior.
Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo
de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino
Fundamental.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem-
-vindas.
O autor
3
sumário
Capítulo 1 3. Unidades para medir arcos de
circunferência (ou ângulos) .................................... 31
trigonometria: resolução 4. Circunferência trigonométrica ............................. 34
de triângulos quaisquer .................................. 8 5. Arcos côngruos
(ou congruentes) .......................................................... 35
1. Introdução .......................................................................... 10
6. Arcos trigonométricos
2. Revisão sobre resolução de
(leitura optativa) ............................................................ 39
triângulos retângulos ................................................... 10
A Matemática e as práticas sociais ................................. 40
3. Seno e cosseno
Atividades adicionais ............................................................. 42
de ângulos obtusos ...................................................... 11
4. Lei dos senos ..................................................................... 12
5. Lei dos cossenos ............................................................. 16
Capítulo 3
A Matemática e as práticas sociais ............................... 22
Atividades adicionais ........................................................... 24 seno, cosseno e tangente na
Tabela de razões trigonométricas .................................. 27 circunferência trigonométrica .................. 44
1. Introdução ......................................................................... 46
Capítulo 2 2. A ideia de seno, cosseno e tangente
de um número real ...................................................... 46
Conceitos 3. Valores notáveis do seno
trigonométricos básicos ................................. 28 e do cosseno .................................................................... 47
4. A ideia geométrica de tangente ......................... 50
1. Introdução ....................................................................... 30
Atividades adicionais .............................................................. 54
2. Arcos e ângulos ............................................................ 30

oRA AbRIL Capítulo 4
dIt
NgEIRA/E relações trigonométricas ............................. 56
o LARA
UdI 1. Relações fundamentais ............................................ 58
CLA
2. Relações decorrentes
das fundamentais ........................................................ 59
3. Identidades trigonométricas ................................. 60
4. Equações trigonométricas ...................................... 61
Atividades adicionais .............................................................. 66
4 Matemática
5
Capítulo 5 3. Representação genérica
de uma matriz .............................................................. 99
transformações trigonométricas ......... 68 4. Matriz quadrada ......................................................... 100
5. Matriz triangular ......................................................... 101
1. Fórmulas de adição .................................................... 70
6. Matriz diagonal ........................................................... 101
2. Fórmulas do arco duplo
7. Matriz identidade ....................................................... 101
e do arco metade ........................................................ 72
3. Fórmulas de 8. Matriz nula ...................................................................... 102
transformação em produto ................................... 75 9. Igualdade de matrizes ........................................... 102
Atividades adicionais ............................................................ 77 10. Adição de matrizes ................................................... 103
11. Subtração de matrizes ............................................ 105
o
NEIR 12. Multiplicação de um número real
dE jA por uma matriz ........................................................... 105
o
o RI
d 13. Matriz transposta de
NAVAL uma matriz dada ........................................................ 106
UbE
o/CL 14. Multiplicação de matrizes .................................... 106
dUçã 15. Matriz inversa de
o
REPR uma matriz dada ........................................................ 111
16. Equações matriciais .................................................. 112
17. Aplicações de matrizes .......................................... 113
A Matemática e as práticas sociais .............................. 116
Atividades adicionais .......................................................... 118
Capítulo 8
Capítulo 6
Determinantes .............................................................120
As funções
1. Introdução ......................................................................122
trigonométricas ........................................................... 78
2. determinante de matriz quadrada
1. Introdução ....................................................................... 80 de ordem 1 ....................................................................122
2. Estudo da função seno ............................................. 80 3. determinante de matriz quadrada
3. Estudo da função cosseno ..................................... 82 de ordem 2 .....................................................................122
4. Senoides ............................................................................ 84 4. determinante de matriz quadrada
Atividades adicionais ............................................................ 93 de ordem 3 ....................................................................122
5. Propriedades dos
determinantes .............................................................125
Capítulo 7
6. Regra de Chió ...............................................................130
7. Vetores
matrizes ................................................................................. 96
(leitura optativa) ..........................................................133
1. Introdução ...................................................................... 98 Atividades adicionais ...........................................................139
2. definição ........................................................................... 98 Leitura ..........................................................................................141
Sumário 5
Capítulo 9 9. Perpendicularismo no espaço .......................... 187
10. Projeção ortogonal .................................................. 195
sistemas lineares .....................................................142 11. distâncias ....................................................................... 197
12. o método dedutivo: algumas
1. Introdução .........................................................................144
demonstrações (leitura optativa) .................... 200
2. Equações lineares .......................................................144
Atividades adicionais .......................................................... 202
3. Sistemas de
equações lineares .......................................................145
45.. SSiisstteemmaass lliinneeaarreess 23 33 23 ......................................................................................114571 N ARt LIbRARy
MA
6. Escalonamento gE
d
de sistemas lineares ...................................................155 hE bRI
7. Sistemas MEt/t
hAR
lineares equivalentes ................................................157 hIVES C
8. discussão de N/ARC
o
109.. SAuimpstlei csmiasçtaeõsme lisna . .e.l.ia.n..r.e.e..as..r. .h ......o......m..........o......g......ê......n......e......o......s.... ...........................................................................111666431 PRIVAtE CoLLECtI
11. Introdução à
programação linear....................................................166
A Matemática e as práticas sociais ................................170
Atividades adicionais ............................................................172
Capítulo 10
Capítulo 11
Geometria espacial de posição –
uma introdução intuitiva ..................................174 poliedros: prismas e pirâmides ............. 204
1. Introdução ........................................................................176 1. Introdução ..................................................................... 206
2. Posições relativas: ponto e reta; 2. A noção do poliedro ............................................... 206
ponto e plano.................................................................178 3. Poliedro convexo
3. P osições relativas e poliedro não convexo ........................................ 207
de pontos no espaço .................................................178 4. A relação de Euler ..................................................... 208
4. P osições relativas de 5. Poliedros regulares ................................................... 210
duas retas no espaço .................................................179 6. Prismas ............................................................................. 212
5. determinação de um plano ..................................181 7. A ideia intuitiva de volume ................................. 219
6. Posições relativas de 8. Princípio de Cavalieri ............................................... 223
dois planos no espaço ..............................................182 9. Volume do prisma .................................................... 224
7. Posições relativas de 10. Pirâmides ........................................................................ 227
uma reta e um plano .................................................184 Atividades adicionais .......................................................... 239
8. Paralelismo no espaço ..............................................185 Leitura .......................................................................................... 243
6 Matemática
7
Capítulo 12 3. Eventos certo, impossível
e mutuamente exclusivos .................................... 310
Corpos redondos: 4. Cálculo de probabilidades ................................... 310
cilindro, cone e esfera ..................................... 244 5. definição teórica de probabilidade
e consequências ......................................................... 314
1. Introdução ...................................................................... 246
6. outras aplicações ....................................................... 324
2. o cilindro ......................................................................... 246
7. o método binomial .................................................. 326
3. o cone .............................................................................. 254
8. Aplicações de
4. A esfera ............................................................................. 262
probabilidade à genética ...................................... 331
A Matemática e as práticas sociais .............................. 267
A Matemática e as práticas sociais ............................... 335
Atividades adicionais ........................................................... 269
Atividades adicionais ........................................................... 337
Leituras ........................................................................................ 273
Leitura .......................................................................................... 340
o
Capítulo 13 gRAF
ó
ot
o F
Análise combinatória ......................................... 274 o d
1. Introdução ...................................................................... 276 UttI/ACERV
M
2. Princípio da multiplicação ou princípio hELy dE
fundamental da contagem ................................. 276
3. Permutações simples e fatorial
de um número ............................................................ 278
4. Arranjos simples ......................................................... 280
5. Combinações simples ............................................. 286
6. Permutações com repetição ............................... 292
7. Problemas que envolvem os vários tipos
de agrupamento ......................................................... 293
8. Números binomiais .................................................. 295
Questões do enem .................................................. 341
9. binômio de Newton ................................................. 296
10. o triângulo de Pascal ............................................... 299
Glossário ............................................................................ 351
Atividades adicionais ........................................................... 302
Leitura .......................................................................................... 305 sugestões de leituras
complementares ...................................................... 357
Capítulo 14 significado das siglas
de vestibulares ......................................................... 358
probabilidade ............................................................... 306
referências bibliográficas .......................... 359
1. Introdução ...................................................................... 308
2. Espaço amostral e evento .................................... 308 respostas ......................................................................... 360
Sumário 7
capítulo 1
TrigonomeTria:
resolução de
Triângulos quaisquer
Frequentemente vemos plantas de terrenos chegar à sua represent ação?”. Topografia é a área
sem que nos ocorra pensar em como elas teriam da Engenha ria que tra ta de questões como essa:
sido elaboradas. Alguns terrenos são irregulares, me dições que determinam a forma e a posiç ão
outros, mais compli cados, são atravessados por de ele mentos de um terreno. Para isso, utiliza-se
córregos e, en tão, podemos nos perguntar: “Como um teo dolito. Esse instrumento, além de medir
um engenheiro pôde dis tâncias, permite a determ i na ção de “ângulos
de visada” a par tir de dois pontos marcados no
local em que ele se encontra,
cuja distância possa ser medida.
Obtém-se assim um triân gulo do
aGes qual se conhecem dois ângulos e
m
her i o lado que contém seus vértices.
ot
my/ As rela ções trigono mé tri cas que
a
al
os/ envolvem as medidas dos lados
ot
Gph e dos ângulos de um triân gulo
o
Ge qualquer permit irão ao topó grafo
determinar as medidas dos ele mentos
restantes do triân gulo.
Aluna do curso de Engenharia
utilizando um teodolito durante
aula prática.
8 Matemática
Há inúmeras aplicações das relações trigonométricas em triângulos quais quer — na Física, por
exemplo, para determinar a intensidade da força à qual fica sujeito um fio que suspende um objeto
em equilíbrio.
Até a descoberta dessas relações, problemas que envolvessem triângulos eram geralmente
resolvidos com o que se sabia das relações no triângulo retângulo, mas a prática mostrou que isso era
insuficiente ou tornava os cálculos muito trabalhosos.
A determinação das medidas dos ângulos e dos comprimentos dos lados de um triângulo qualquer,
sem recorrer aos triângulos retângulos, foi possível com a evolução da Trigonometria. As novas relações,
chamadas lei dos senos e lei dos cossenos, trariam ferramentas fundamentais para os problemas que
envolviam esses triângulos. Vamos estudá-las neste capítulo.
ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>
atividades
1. Observe a foto abaixo: No ponto A coloca-se um teodolito a 20 m de dis-
tância do pé do obelisco, que acusa um “ângulo de
mAGEs visada" de 60°.
HEr i a) Quantos metros o teodolito deve ser afastado do
OT
my/ ponto A para que acuse um “ângulo de visada"
Oks/AlA de 30°?
O
Bill Br b) Qual é a distância do topo do obelisco ao ponto
B em que o teodolito se posicionou ao ser afas-
tado de A?
2. Faça o que se pede em cada item:
a) Construa, com régua e compasso, um triângulo
ABC, sendo A 5 45° e B 5 75° (escolha um valor
B B
E sse obelisco é um monumento construído na cidade para a medida do lado AB).
t
de Washington em homenagem a George Washing- b) Calcule a medida do terceiro ângulo desse triân-
ton, primeiro presidente dos Estados Unidos. Na fi- gulo.
gura seguinte você vê sua representação: c) meça com régua os comprimentos dos lados At C.
e BC.
t .
mATO COmUNiCAçãO/ArQUiVO DA EDiTOrA de)) vdPDaroiovl ociâdruneargse a u d nmlooas e to adspebidoneasola tdso t edr ai goc easo dlnâeano. Cgmlaoudémlootr spipc daearel deos a svo epas l átorrgeirâis dnnuaoglt 2usae7dlon oo.oss
Or
F obtidos.
f ) Neste capítulo você verá que essa relação é ver-
60°
30° dadeira para qualquer triângulo. Crie um enun-
20 m A B ciado para ela.
capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 9