Matemática - Contexto & Aplicações - Roberto Dante - Vol 1 - Manual do professor

746 Pages·2013·21.889 MB·Portuguese

by  Roberto Dante

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V
Matemática
Ensino Médio
LUIZ ROBERTO DANTE
• Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo
• Mestre em Matemática pela USP
• Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo
• Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática;
Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano);
Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único),
por esta editora.
1a edição
1a impressão
Manual do Professor
2013 – São Paulo
Gerente Editorial: Margarete Gomes
Editora: Cármen Matricardi
Edição de texto: L ídia La Marck
Sônia Scoss Nicolai
Revisão: H élia de Jesus Gonsaga (ger.)
Kátia Scaff Marques (coord.)
Ivana Alves Costa
Maurício Baptista Vieira
Patrícia Travanca
Assessoria didática: E loy Ferraz Machado Neto
Sofia Isabel Machado Lucas
Pesquisa iconográfica e cartográfica: S ílvio Kligin (superv.)
Cláudia Bertolazzi (iconografia)
Márcio Santos de Souza (cartografia)
Edição de arte: Rosimeire Tada (coord.)
Programação visual: Catherine Saori Ishihara
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.
Maria Alice Silvestre Guimarães
Loide Edelweiss Iizuka
Ilustrações e gráficos: Formato Comunicação Ltda.
Capa: Estúdio Sintonia
Foto da capa: Ewa Ahlin/Johner RF/Getty Images
Título original da obra: M atemática – Contexto & Aplicações – Volume 1
© Editora Ática S.A.
ISBN 978 85 08 12909-6 (aluno)
ISBN 978 85 08 12910-2 (professor)
2013
Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A.
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5º- andar e andar intermediário Ala A
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ApresentAção
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos
fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta
apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender
as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber
aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e
compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos
o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta.
Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido,
para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema.
Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a
teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos
as fases da resolução de um problema.
A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar si-
tuações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade.
Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares
de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio
(Enem).
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino
Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos
cursos de Educação Superior.
Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo
de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino
Fundamental.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem-
-vindas.
O autor
3
sumário
Capítulo 1 9. Contrapositiva ............................................................ 27
10. Operações entre conjuntos ............................... 28
revisão: produtos notáveis
11. Conjuntos numéricos ............................................ 36
e fatoração ....................................................................... 8
12. Intervalos........................................................................ 44
1. Produtos notáveis .................................................... 10
13. Coordenadas cartesianas ..................................... 47
2. Fatoração de expressões algébricas ............. 12
14. Produto cartesiano .................................................. 51
Atividades adicionais ........................................................ 17
15. Relação binária ........................................................... 52
16. S ituações-problema envolvendo
números reais, grandezas e medidas ........... 55
Capítulo 2
A Matemática e as práticas sociais ............................. 64
Conjuntos e conjuntos
Atividades adicionais ........................................................ 66
numéricos ......................................................................... 18
Leituras .................................................................................... 69
1. Introdução .................................................................... 20
2. A noção de conjunto ............................................. 20
Capítulo 3
3. Propriedades, condições e conjuntos ......... 21
4. Igualdade de conjuntos ....................................... 21 Funções ................................................................................ 70
5. Conjuntos vazio, unitário e universo ............ 22
1. Introdução .................................................................... 72
6. Subconjuntos e a relação de inclusão ......... 22
2. Explorando intuitivamente a
7. Conjunto das partes................................................ 26 noção de função ....................................................... 72
8. Complementar de um conjunto .................... 26 3. A noção de função por
O ARtIStA 4. m Doemioí ndieo ,c coonnjutrnatdoos m....í..n...i.o... .e... ................................. 74
D
O
NIO PEtICOv/ACERv 5. cFfóournnmjçuuõnleatsos d mimeafiatnegimdemaást .ip.c..oa...sr.. ...................................................................................... 7767
O
Nt
A
6. E studo do domínio de
uma função real ......................................................... 81
7. Gráfico de uma função.......................................... 82
8. Função par – Função ímpar ............................... 87
4
9. F unção crescente e 17. Função afim e movimento uniforme ........... 136
função decrescente ................................................ 89 18. Proporcionalidade e função linear................. 138
10. Função injetiva, sobrejetiva
19. Outras aplicações da função afim .................. 142
e bijetiva ......................................................................... 94
A Matemática e as práticas sociais ............................. 144
11. Função composta .................................................... 99
Atividades adicionais ........................................................ 146
12. Função inversa ........................................................... 101
13. Função e sequências .............................................. 104
Capítulo 5
A Matemática e as práticas sociais ............................. 106
Atividades adicionais ........................................................ 108 Função quadrática................................................... 148
1. Introdução .................................................................... 150
Capítulo 4
2. Definição de função quadrática ...................... 150
3. Situações em que aparece
Função afim ..................................................................... 110
a função quadrática ................................................ 151
1. Introdução .................................................................... 112
4. valor da função quadrática
2. Definição de função afim .................................... 112 em um ponto .............................................................. 151
3. Casos particulares importantes da função 5. Zeros da função quadrática ............................... 154
afim f(x) = ax + b ........................................................ 113
6. Forma canônica da
4. valor de uma função afim ................................... 113 função quadrática .................................................... 158
5. Determinação de uma função afim 7. Gráfico da função quadrática ............................ 164
conhecendo-se seus valores em dois
8. A parábola e suas intersecções
pontos distintos ......................................................... 114
com os eixos ................................................................ 172
6. taxa de variação da função
9. vértice da parábola, imagem
afim f(x) = ax + b........................................................ 114
e valor máximo ou mínimo
7. Caracterização da função afim ......................... 115 da função quadrática ............................................. 174
8. Função afim e progressão aritmética .......... 118 10. Estudo do sinal da função quadrática ......... 180
9. Gráfico da função afim f(x) = ax + b .............. 118 11. Inequações do 2o grau .......................................... 184
10. Função afim e Geometria analítica ................ 121 12. taxa de variação da
11. Uma propriedade característica função quadrática .................................................... 191
da função afim f(x) = ax + b ............................... 122 13. Função quadrática e
12. Função afim crescente progressão aritmética ............................................ 195
e decrescente.............................................................. 123 14. Outros problemas envolvendo
13. Estudo do sinal da função afim........................ 130 equação do 2o grau e
função quadrática .................................................... 196
14. Zero da função afim ................................................ 130
A Matemática e as práticas sociais ............................. 197
15. Estudo do sinal da função afim
pela análise do gráfico........................................... 131 Atividades adicionais ........................................................ 199
16. Inequações do 1º grau .......................................... 132 Leitura ...................................................................................... 203
55
Capítulo 6 9. O número irracional e e a
função exponencial ex........................................... 249
Função modular .......................................................... 204 10. Aplicações da função exponencial ................ 250
1. Módulo de um número real .............................. 206 A Matemática e as práticas sociais .............................. 254
2. Distância entre dois pontos Atividades adicionais .......................................................... 256
na reta real .................................................................... 210
3. Função modular ........................................................ 210 Capítulo 8
4. Equações modulares .............................................. 217
Logaritmo e função logarítmica ............. 258
5. Inequações modulares .......................................... 220
6. Uma aplicação do módulo na Física ............ 223 1. Logaritmo ...................................................................... 260
Atividades adicionais ........................................................ 224 2. Função logarítmica .................................................. 274
3. Equações logarítmicas........................................... 279
4. Inequações logarítmicas ...................................... 281
Capítulo 7
5. Outras aplicações da função
Função exponencial .............................................. 228 logarítmica e dos logaritmos ............................ 284
A Matemática e as práticas sociais ............................. 285
1. Introdução .................................................................... 230
Atividades adicionais ........................................................ 287
2. Revisão de potenciação ....................................... 230
Leituras .................................................................................... 291
3. Simplificação de expressões .............................. 235
4. Função exponencial ............................................... 237
Capítulo 9
5. Equações exponenciais ........................................ 241
6. Inequações exponenciais .................................... 244
progressões.................................................................... 292
7. Aprofundando o estudo da função
1. Introdução .................................................................... 294
exponencial .................................................................. 246
2. Sequências .................................................................... 294
8. As funções f(x) = ax e g(x) = a−x ......................... 248
3. Progressão aritmética (PA) .................................. 297
hAPRESS 4. Progressão geométrica (PG) .............................. 312
OL
üLLER / F 5. Problemas envolvendo PA e PG ..................... 330
O M Atividades adicionais ........................................................ 333
N
URELIA
A
Capítulo 10
matemática financeira ...................................... 336
1. Introdução .................................................................... 338
2. Números proporcionais ........................................ 338
3. Porcentagem ............................................................... 340
6
OCk Capítulo 12
NSt
ORBIS / LAtI Geometria plana ........................................................ 390
N / C
MAN 1. Propriedades de figuras geométricas .......... 392
BEtt
2. Semelhança de triângulos .................................. 404
3. Relações métricas no
triângulo retângulo ................................................. 412
4. Polígonos regulares inscritos na
circunferência e comprimento
da circunferência ...................................................... 416
5. Áreas: medidas de superfícies .......................... 419
4. termos importantes de
A Matemática e as práticas sociais ............................. 435
Matemática financeira ........................................... 346
Atividades adicionais ........................................................ 437
5. Juros e funções .......................................................... 351
Leitura ...................................................................................... 442
6. Equivalência de taxas ............................................. 352
7. Equivalência de capitais ....................................... 353 NCE-PRESSE
A Matemática e as práticas sociais ............................. 357 NCE FRA
Atividades adicionais ........................................................ 358 GE
N / A
ORI
DERICk FL
Capítulo 11 FRE
trigonometria no
triângulo retângulo ................................................ 360
1. Introdução .................................................................... 362
2. Índice de subida ........................................................ 363
Questões do enem ................................................... 443
3. A ideia de tangente ................................................. 365
Glossário ............................................................................. 465
4. A ideia de seno ........................................................... 365
5. A ideia de cosseno ................................................... 366 sugestões de leituras
complementares ...................................................... 470
6. Definição de seno, cosseno
e tangente por meio de
significado das siglas
semelhança de triângulos ................................... 366
de vestibulares .......................................................... 470
A Matemática e as práticas sociais ............................. 384
referências bibliográficas ........................... 471
Atividades adicionais ........................................................ 386
Tabela de razões trigonométricas ............................... 389 respostas ......................................................................... 472
7
capítulo 1
Revisão: pRodutos
notáveis e fatoRação
o conhecimento que temos hoje sobre a o Papiro rhind é considerado o mais precioso
matemática do antigo egito tem como base dois documento relativo aos conhecimentos mate­
grandes documentos, cujos textos estão escritos máticos dos egípc ios e data, aproximadamente,
em papiros. o mais antigo é conhecido por Papi- de 1650 a.C. em forma de manual prático, contém
ro Rhind, o outro é o Papiro de Moscou. eles são uma coleção de 85 problemas de aritmética e
compostos de problemas e resoluções, razão pe­ geometria, em sua maioria envolvendo assun­
la qual se supõe que tenham sido destinados ao tos do cotidiano, como o preço do pão e a
ensino dos fun cio nários do estado e dos escribas armazenagem de grãos de trigo. seu nome
dos faraós. se deve a um antiquário escocês,
alexander Henry rhind, que o com­
Bridgeman art LiBrary/keystone prou em 1808, no egito. após sua
morte, cinco anos depois, o papiro
foi adquirido pelo British museum
de Londres, onde se encontra atual­
mente.
o Papiro rhind é também deno­
minado Papiro Ahmes em homena­
gem ao escriba egípcio que o co­
piou, em escrita hierática (sagrada),
de um manuscrito mais antigo, de
cerca de duzentos anos antes.
Papiro Rhind, imagem com os
problemas 49 a 55 e final do 46.
88 Matemática
os problemas apresentados nos papiros eram resolvidos por processos aritméticos comuns para
os egípcios. no Papiro rhind, ahmes utilizava um processo conhecido como método da falsa posição
para resolver problemas que envolviam equações lineares com uma incógnita (x + ax 5 b, por exem­
plo). nesse processo, um valor específico, provavelmente falso, é assumido para x, e as operações in­
dicadas à esquerda da igualdade são efetuadas para esse valor; o resultado é então comparado com
o resultado que se pretende e, usando­se proporções, chega­se à resposta correta. ahmes também
utilizava, às vezes, outro método chamado método da fatoração, que consistia em colocar o aha (a
incógnita) em evidência no lado esquerdo da igualdade e dividir ambos os membros da equação por
seu coeficiente. Certamente esse último processo é familiar a você, já que corresponde a um dos casos
de fatoração estudados anteriormente.
os conceitos e procedimentos algébricos serão aqui revistos e aprofundados a fim de prepará­lo
para novas aplicações.
ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>
atividades
1. experimente resolver a equação x 1 x 5 24 gato comeu sete ratos, cada rato comeu sete
7 espigas de trigo, e cada espiga de trigo produ­
pelo método da falsa posição definido acima.
zia sete hectares de grãos. Casas, gatos, ratos,
(Sugestão: dê um valor conveniente para x, por
espigas de trigo e hectares de grãos, quanto
exemplo, 7.)
havia disso tudo?”
2. no Papiro rhind, há problemas que parecem ter sido relacione esse possível enunciado com os valores
apresentados e encontre o resultado.
formulados como enigmas, como no caso do proble­
ma 79, em que figuram apenas os seguintes dados:
3. sabendo que a unidade fundamental de peso (no
“sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2 401 espigas de
sentido de massa) era o deben (equivalia a 91 g) e
trigo, 16 807 hectares”.
que shaty era uma unidade só conhecida por meio
a) o que têm em comum os números indicados no do Papiro rhind, resolva o seguinte problema (nú­
enunciado do problema 79? mero 62 no Papiro):
b) segundo a interpretação do historiador moritz “Uma bolsa contém o mesmo peso de ouro, prata
Cantor, esse problema poderia ter a seguinte e estanho. o valor total é 84 shaty. Um deben de
formulação: “Uma relação de bens consistia em ouro é 12 shaty, o de prata, 6 shaty e o de estanho,
sete casas, cada casa tinha sete gatos, cada 3 shaty. Calcular o valor de cada metal”.
9
capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração