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N J A Z S N GELSON IEZZI EA GD EEI OSVALDO DOLCE DM D L DAVID DEGENSZAJN VIA O CONECTE agora é CONECTE LIVE! AE ROBERTO PÉRIGO DD • E E Z NILZE DE ALMEIDA CL O CONECTE, coleção voltada para o Ensino Médio que alia OLNI Tecnologia à Educação, apresenta uma novidade nesta D• O O reformulação: o CONECTE LIVE! DG LRI AÉ VP O CONECTE LIVE integra conteúdos digitais exclusivos às obras SO O T de autores renomados. Além disso, promove maior interação ZI • ER entre alunos, professores e autores. Livros digitais, objetos EZOB Matemática educacionais digitais, entre outros conteúdos interativos, N IR O compõem a coleção. S L E G Outra novidade! As atualizações no material didático não se 2 encerram no momento em que os livros são impressos. Ofertas complementares e atividades diferenciadas são disponibilizadas CIÊNCIA E APLICAÇÕES na plataforma digital ao longo de todo o ano escolar, garantindo 2 novidades frequentes a professores e alunos! S E Õ Para conhecer todos os materiais e os serviços do CONECTE Ç A LIVE, acesse: http://conecte.plurall.net/ C I L P A E A I C N N‹o compre nem venda o Livro do Professor! Ê I Este exemplar é de uso exclusivo do Profes- C sor. Comercializar este livro, distribuído gra- A tuitamente para análise e uso do educador, C confi gura crime de direito autoral sujeito às TI penalidades previstas pela legislação. Á M E T A M CAPA_CONECTE_MAT_V2_MP.indd All Pages 8/10/18 3:36 PM Matemática CIÊNCIA E APLICAÇÕES GELSON IEZZI Engenheiro metalúrgico pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Ex-professor da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Ex-professor da rede particular de ensino de São Paulo. OSVALDO DOLCE Engenheiro civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Ex-professor da rede pública do Estado de São Paulo. Ex-professor de cursos pré-vestibulares. DAVID DEGENSZAJN Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professor da rede particular de ensino de São Paulo. ROBERTO PÉRIGO Licenciado e bacharel em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Ex-professor da rede particular de ensino. 2 Ex-professor de cursos pré-vestibulares em São Paulo. NILZE DE ALMEIDA Mestra em Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Licenciada em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professora da rede pública do Estado de São Paulo. FRONTIS_CONECTE_MAT_V2_AL.indd 1 8/6/18 1:49 PM Direção geral: Guilherme Luz Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas Gestão de projeto editorial: Viviane Carpegiani Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de Paula Santos e Juliana Grassmann dos Santos Edição: Erika Di Lucia Bártolo, Fernanda Fugita, Marcela Maris e Rodrigo Macena Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga Planejamento e controle de produção: Paula Godo, Roseli Said e Marcos Toledo Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci, Ana Paula C. Malfa, Brenda T. M. Morais, Carlos Eduardo Sigrist, Célia Carvalho, Celina I. Fugyama, Daniela Lima, Diego Carbone, Gabriela M. Andrade, Hires Heglan, Lilian M. Kumai, Raquel A. Taveira, Rita de Cássia C. Queiroz, Vanessa P. Santos; Amanda Teixeira Silva e Bárbara de M. Genereze (estagiárias) Arte: Daniela Amaral (ger.), André Gomes Vitale (coord.) e Claudemir Camargo Barbosa (edição de arte) Diagramação: Setup Iconografia: Sílvio Kligin (ger.), Roberto Silva (coord.), Douglas Robinson Cometti (pesquisa iconográfica) Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.), Flavia Zambon (licenciamento de textos), Erika Ramires, Luciana Pedrosa Bierbauer, Luciana Cardoso Sousa e Claudia Rodrigues (analistas adm.) Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin Ilustrações: Alberto de Stefano, Alex Argozino, Casa Paulista de Comunicação, CJT/Zapt, Graphorama e Felix Reiners Design: Gláucia Correa Koller (ger.), Erika Yamauchi Asato, Filipe Dias (proj. gráfico) e Adilson Casarotti (capa) Composição de capa: Segue Pro Foto de capa: ZASIMOV YURII/Shutterstock, FXQuadro/Shutterstock e Stephen Studd/Photographer's Choice/Getty Images Todos os direitos reservados por Saraiva Educação S.A. Avenida das Nações Unidas, 7221, 1o andar, Setor A – Espaço 2 – Pinheiros – SP – CEP 05425-902 SAC 0800 011 7875 www.editorasaraiva.com.br Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Matemática ciência e aplicações 2 : conecte live / Gelson Iezzi....[et al.]. -- 3. ed. -- São Paulo : Saraiva, 2018. -- (Coleção Conecte) Outros autores: David Degenszajn, Nilze de Almeida, Osvaldo Dolce, Roberto Périgo. Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia. ISBN 978-85-472-3395-2 (aluno) ISBN 978-85-472-3396-9 (professor) 1. Matemática (Ensino médio) I. Iezzi, Gelson. II. Degenszajn, David. III. Almeida, Nilze de. IV. Dolce, Osvaldo. V. Périgo, Roberto. VI. Série. 18-17083 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio 510.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964 2018 Código da obra CL 800851 CAE 627981 (AL) / 627982 (PR) 3a edição 1a impressão Impressão e acabamento Uma publicação 2CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p002.indd 2 8/6/18 1:49 PM Apresenta•‹o Caros alunos, É sempre um grande desafio para um autor definir o conteúdo a ser ministrado no Ensino Médio, distribuindo-o pelos três anos. Por isso, depois de consultar as sugestões da Secretaria de Educação Básica (entidade perten- cente ao Ministério da Educação) e de ouvir a opinião de inúmeros professores, optamos pelo seguinte programa: Volume 1: noções de conjuntos, conjuntos numéricos, noções gerais sobre funções, função afim, função qua- drática, função modular, função exponencial, função logarítmica, complemento sobre funções, progressões, Mate- mática comercial e financeira, semelhança e triângulos retângulos e trigonometria no triângulo retângulo. Volume 2: a circunferência trigonométrica, razões trigonométricas na circunferência, trigonometria em triân- gulos quaisquer, funções trigonométricas, transformações geométricas, equações e inequações trigonométricas, funções trigonométricas inversas, matrizes, sistemas lineares, determinantes, áreas de superfícies planas, Geo- metria espacial de posição, prismas, pirâmide, complemento sobre poliedros, cilindros, cones, esfera, análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade. Volume 3: Geometria analítica plana, estatística descritiva, números complexos, polinômios e equações algé- bricas e tópicos de Geometria plana. Ao tratar de alguns assuntos, procuramos apresentar um breve relato histórico sobre o desenvolvimento das descobertas associadas ao tópico em estudo. Já em capítulos como os que tratam de funções, Matemática financeira e estatística descritiva, entre outros, recorremos a infográficos e matérias de jornais e revistas, como forma de mostrar a aplicação da Matemática em outras áreas do conhecimento e no cotidiano. São textos de fácil leitura que despertam a curiosidade do leitor e que podem dialogar sobre temas transversais, como cidadania e meio ambiente. No desenvolvimento teórico, procuramos, sempre que possível, apresentar os assuntos de forma contextualizada, empregando uma linguagem mais simples. Entretanto, ao formalizarmos os conceitos em estudo (os quais são abun- dantemente exemplificados), optamos por termos com maior rigor matemático. Tivemos também a preocupação de mostrar as justificativas lógicas das propriedades apresentadas, omitindo ape- nas demonstrações exageradamente longas, incompatíveis com as abordagens feitas atualmente no Ensino Médio. Cada nova propriedade é seguida de exemplos e exercícios resolvidos, por meio dos quais é explicitada sua utilidade. Quanto às atividades, tanto os exercícios como os problemas estão organizados em ordem crescente de dificuldade. A obra é ainda complementada por um Manual do Professor, no qual são apresentados, de forma detalhada, os objetivos gerais da coleção e os objetivos específicos de cada volume, além dos principais documentos oficiais sobre o Ensino Médio, uma bibliografia comentada para o professor, sugestões de atividades e a resolução de todos os exercícios e problemas do livro. Mesmo com todo o esforço feito para o aperfeiçoamento desta obra, nós, autores, sabemos que sempre existirão melhorias a fazer. Para isso, é importante conhecermos a opinião de professores e alunos que utilizaram nossa co- leção em sala de aula, de forma que receberemos qualquer crítica ou sugestão que seja enviada à nossa editora. Os autores 3 2CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p003a010.indd 3 8/6/18 1:50 PM Conheça seu livro atmolgmoésaOb nrobdi scpoeao r ondv eteso seq sgPuem'e. ,se Cpenogrtonmojs eOeitdnaPetn'ro,da ,p onios dodtoroet mooég ,osoesn ntatalimmdoeb pnéomtes iodti evpfooin n(i“trpo oa P rs ase ocnbiomr eda eo” )ae di xcooo e mviexoro t aivc emarlt,e iocdabidlt eae- Pirâmide C1APÍT4ULO Abertura do capítulo sen a 5 med(OP') OP'aPA kcotsrettuhS/namunaK raceoblmoaArc d tiioeamnmdaaoag onse omcd ooc nad ctpeoeí ttúaiubddleiooar ntuor,a stnTdreriiençâsaeOO rAeãçni BnbÔaxoqgn sSoPu auDedaE el d55oorapR vao q ro Vres esue de Asa sitnmese Çâ ee ffeagÃneiinmgmnmn dg5Otuioai uçeedd rdsãndlPOaaio.aaoit PPdo:ad n a" aoonPt n e5dolPcat,a a "edoe Pt hr/e1o sP/ieito .ptOo "iuErxo P 5odoltéae'p o, vn P con teuePosdormstm"asto ai5 oc ppatsa ear O alirnt gPímdovo'a e ;i05n t l0ce o cOim ,mrcoPcoe meaPudmt "n (,rOa:pfi Pera d2er'p e)êedfnnio--c ia trigonomOéPt'riacaP s''ePrá cAhaBanco de immagens/Arquivo da editoraado p eA dce5rgs edosác0PstusIOtmocoét0iromumEsarioP itnl0cdeâlPnrdssoiim paaaçosmc sdEpsameoo adéottstsaAneoorissalr.mroudr tsC ra ideet tu r siessGbm duro– a.od ensníe oen)erddra a d,esa uvEôtseinac d osalelota,usdnas gm o nhsere sLa.l stsesisíovanadmeagsoo p ees in nmsrtehnum ícceitnteaMptinaav aeimdeisePsnt orrcep úc ueotescfmoi ,aimrínécormi o,t, naedud du oeâttetlsaçadaoigoermolaammecmo,rãocri s i ssoar.gsoaGdaaaosit a l dglteasvoaa .aptrd irdszdeiae cma aolpiMalG es ahrramnadrpsdie a eoe rmaedtdeao Uiblânçerorsco e. edvn-aGãnmâérm e. issde ar ommerPLi ae tztio e es ideeiédss à ictrntcemdr ac)r,erâo tdo, ,siêreodT s manau,odat ssme ier ú desod nd:pei r ra dmtccodcoLaeropir ooue doaoe udraudQnP o pon .eeçlNdale nusatiosMsTõ rnea attié Qe toâelrouerm tprfonuduGidmss rrugap,oteeeé ç ai íroas zrunindãondsdad.iivé amoapd atd e aee,ee o osos V msdde aa l idL(p afeniein lcad rrdeoéi cossoeoorerueseim stâ,na çd v ei f l eMammrohóGãrui ne fnada reogíiiv,ueicqza ietcd oaVeol iiédum iêogmaeslrsdsv oen sduos –ani e u-Pd o a, oras ao ( u parfd aei opespmn, rroM t Forínrri lx leA 4iaeqsoia mn5uc.eGo, ç0Ae ensrbaa0 asst r, ede nie sapmémgsdanii driueímoseâp a mstPcnmcid.euo i tiÉdrien oomdâao stssaemtseé o ,s ú im hdsneoãaic joideas eo àfm sasG ma siizrnóoaéltsive,d oimaloshos pa s cég íedmrenoioeb tmmsroCo.Al éuo,CP tnstÍarTe dUiimcroLooO a ,sm1 n4 E atg|i igiPstoIo Rd .ÂkcotsreettuhMS/etohcaratni naw eelatakIDE409 caorqmuoit etetucrnao leo gairat,e h.istória, 36 Ilustrações: nBanco de imagens/Arquievo da editoragNa2potoood iroQ Pvtdrsseaeaiin .nnçOqasaãtdeu emalone s ddOad e.e no .es CP om so 0PPp e3no'o n(sso Pi potieid rv é daoen eicromae und4amdAigom oeq n emuoún a smtddoee3orPe nér aord ta Q onieud)n t.troaeiseld siepaazn oalad a Osed a m,iPoPt i e' n0vqemeoudg aia “dctpniaavadad roaaa lP gcq éoAiumbcaruadip”cr aaadn 4 opodotr o edQo ese, i nixsàçaoes õd emgaden mdos ePaOe s d'n e,P iosnd n0estaeo ng dq aoeOtusimvP,ea o 'a vbiéass r PqeiAaur vaae- Observação Observações aparecem em momentos oportunos Um pouco de história para complementar o estudo, ccdcoooelmn ocUhoc eomancs s oi ptmp rolrueueoiçcnctãooetoo rsd semdeom ohas i t scetomónrátiaat itcoo , gsmrraedieáopagtossfdaMrlçbui titimcm esõlEacaeranaCaCtstueadmne adee ,eiamsçtoio sdtnmonFuan yõ eA áianemod tngsrltvemsnaeelniuiae coloUiasti s,eynatmo e mm lá a 1e. vcsp dS hcld tm3l8siéoiasaraiagear.aunc 5,árm etgiusé msppeoToin8rdt ce eb ieriar pu.mo.ocz s eaAn riSugrrV q neasi saaãoseriamcuaiocssio té s srtteialhdor rs uyrePc q tam eap)emilui e(a, uguz:auCcpl mrm urre Belsiesoatnrlo iotoomaOseCase a tca la :qYrb.Ima mluseia EsIEpbeisuedIenzssdyR,ga r, el aegnls stp,a areeeae oam.soCutaeresCry,t a , a d rdpccc,n nde.rçhn ga(e.eo,Baol1seomã oiBort rlrm8adi Muo rgirec.sse 2raco e Huaoicp ah dn1m czsteicnienmutse-tahoereóomtait ,1t ó zp ile mmii2asnrnu8anamro i0xçate9sçrd1fás ti oãoadpt0us5ãoaatti,a.or eilego) a se cqí,d- -sc o s sadude i c j-eae dáo -,o - Trinity College, Cambridge, Inglaterra. Andrew Michael/Alamy/Fotoarena aapdriceisoennatiasn sdoob rinef oor cmonaçteõúedso . dqrehdeneuouss femtrot eeaclamunocnçtnapiaãdntodroad.io dbUodseu e om pí nrspeao rpnlm oadoob empluceaeomcrsroara e samr ais so168bre ••• • •e •eO O cSlO meeO moO eeO R em leo jl eDuqaal eelV eeelenutí emlCeaneamlrenmaee mmi doEmmtezms meoipine Xn, ecopnoe e nsaeqtednsEotdn oirttnjou a tddMor ojt cost aqeoiee q roeoz ãqPglu req u snqqsoueAqesefLuqeuuvee emur nOeeu e5eerra eeeú ene esor le1rs e ,ms -crteess tdnásdstu2iás p2toáeet euaámt 3nrán2 rntá1 menAà aopna aansaan. s4aara5 clae0 lmaA i r l ioin nlqiçnan ml3c inllhian tu tuhi3onahanetaãahe nmah2rd ahi t adri a3aora z3aopo i2 ,i 2r s,e z1sap,A e1c, c m, n eclo,ip Acoidt cdohlnlcoao ol ouoqleouhds.lu len uus lnioautonutaíneias inmp an v t ea 2asuoio 1asx pb2, e1 s,ã e2mo,o 1é , méom,et é l, éao m aén aé3n pai 3 acsa3 2a u2la1a o2 oi231j nq15m,1 2n5 15u an5 té 5enm 5e4 ro 3 sr 5a.. r 2.1ae 0q.e 2Utdg .u<2paamau1a.rl s.eiilter s.<oeldree le íemnmni mtcdzea,i iemnd1cnea t<aot ipo . jpro e<aqrfru e Aanar ,elb5 qe-au sai(exeaijor ijéà) ,m d ule ei3 mn sanhs,s aa cecpodso)c nobe)n)Ca( s se() asPNa)3eEdo idt Cp2t tao saDniesraeiharaovnltrnucss el ota sa pAmtotar41ttimtxbu r•esareaes .1 sia• V u ee .rs m verV rsoDe pai dacl aam stmAaie BegAstaoeeatiA iv miauaasdoçaeuAiar,t v,di:sdn ns eT aa jitdilaBmadVo ggladdao e)rme eo 4 ,pamAas rrrmamos r :t oeail,áálqmoo aduelos iCardd rertta5ffiru vwreei,éogniivluaenoo i rqaécctemor,taespee.rg é su tnooaosl Tfw bv al esoo u s ulbr6o es maoes (ta t odrdea eddena ri8iiã ocmue ldddoaa ee a rmcaitç oêdrnbdpxhe ae lá amrp o deãIft atmeaoli , or ésvuumoiohsoem acmd sdraoaé r mnarwé o oo u (auonsqi umasqauoeçrehlp cnt,sv amdduéim suicã itnopo)tdosell i rer oeuoeoed(ir(orseaaaié ro Bzmt ddrreap m os ar e aoasAiermsfutbeeçere íts)rure b)2v)mbeemãar rnlr.m emn2aetaooaeravmoic ii lx0raç i cdd blddi asho péiaanp1 ãpnidnaiseoato rae ça5ror doept fep oneenro)1ãoeeor o .a0rrdnb 1nav 2poorsm ev( ar ioeloc2m qo oconaeavhe ei ro p usltrstiçm psem e nasetiem o acteõptom tfitçtamv5ao a r aeroread 1(ãoa ênm.e6e atn s l 12ao hpos1ct tmnpPal a2a ugae a .(0hs fetddta lun urô r.i )hooaerirhnie ( aannaatm5íorblai tooem tspiIaçdr1or( rucld rrpaio;ãAaesrh2assaiiroaosdao o seé saeso1m t xr;ul rduoa r,)cq ine( ,vcêçm( e,shppai utB saaocãss, éarro)e1 5am lono éoseBc rd)d8 dp n j axaro adauoeidlda0eriat es emhmsfnfeeamlm)sa uma.as is(ctda.awca noscteiaoobds.ise2ç çaitlnrui oroo4i)õ mãéa ,t tctafnt, maeeo,r ue aan paaoprs emnrp1édg asr ma açaí4n ooier td m mãq3 umot am hravqi0omuslrleaoodéouo.te iludrmedho,dPer o saAetroo soe rarpesaas,,o r lor on p0 s3asBábdea(sr,6trh garrno2 p ,o ied i ee)pm creofs 1med mu ewo ,sa5oeto anvn a )es ,dic is çtlr4t sarmvoiéãrpeoã2ma!aõ 2wammotrm oa)mepahre i!.recnos bpvoédoo. o a ipeorr oosssneráeal 4 õs (asva rvf8rtoo eaet idad)asqao, slr le tm onet u oeevp d rbmrtame5miae eteald ior rs s-rpie2phaexr s oqr8 rode alreea eau reas ( astvcaae fs)ii eis, s smo2t r, rã n,êê0aoans r m -é s Vinicius Tupinamba/Shutterstock pedcanocToum ureorfionr sv oma piEoptgoqpeõsser srúde uturicoaddet poeafa oa usonctr sdiien o cvde aeçdnjei ád eãbaisd taorutioodra s suelsc eisari t or, 102 apresentados. A seção Um pouco mais sobre, no fi nal de determinados capítulos, oferece a oportunidade de complementar ou aprofundar alguns dos conteúdos abordados. Exercícios Exercícios UDmet eCproomnVusaiiacmnd(xb(eoabo da1rg(ns e Oxb(m2O a mt•2 cd b1eeqbú o •yaao2 iuslsn as tO2be1s1eeisies h as)m ysdra cito ) nées ?ver (ccoe1e ? oaet ú usqsdyz)na e( e yOmia i us?hmq f1msorc5 imo e1bia utyzes1u1rbei as ç a e a(tr1mm 5mm1ce.ã(eo :trt cbdrNromcr e eg a(rvmfis ,diccz 2gee e azoio2lhdd s sa ii 2eb onn h ot2sla2 1e t osaec be face1m a)oia t m áe) madcif?m rbd li?ah fa cebezf) o1os zspg uem2 f? se 5 gol oe 5lq egz2co ,bo s2ur c2 tdu m t5 rtadd ei mvecáhoiva naeegerd ad agfgm1edlt í hloomf a2e2 esahaa2s rdmd dcn bgg2n ú 22dbaca 2tf3aoaleged ol natss o pcb i aiefee c2aya ) mdahnhe giu fde nn,?xgiage abmcxa geea czd hx2l1 ci b2,eó f1 e efr oe2 5 h1hibsde,g neq.g d b imp?n 2 est ubig ? by he( opi(tyc1d(a t m d1refsya1rc so aciaiç 1f iéa)me ei1re)sdeãd q m 8gqc g 5oo.hmad5xf) .zu z)i 12 , z ess1 n p1 eia 500 yd a ei5eao (i s,5a2, o( Saibejd 2 s netgamf o ,padiesano d b a ) zpob1oin2 mí)rag?r v:b t ?déum(( e re b2(ar1t eb3lbagludmeeo,aa m ffb e emege 2gg ees hqaooe q fro .dpia1)osui.san)sn hee sc i)n dudt d actc?2oeãied meold(c 2rhoor v haaSm ac n a 5emuú naon2alqimonu rmnh.doa)rr il a ac1csoe u 2odsdeo::,i s ( ieoogb 1rs:mvd e; tx2da es2gb,el mpo ceftaagerehe af2 c )rhe1 p?tmig ina(2pv 3acriadabn n adeembdaqd htd)z.neoe) i2;tr n eàmst ceuúdie.nbnagsa imc td2aitoa u s taoironfiuhlzdu oi2çm-aãd sgopbe odd sbizeehs snívsaeec fl i, , vtraoctoeêearpr aómelgrrasirseaHec iscsnpcdáiueoeooia znnunnsrdatt matoeodeeadb o dadedpojso eseersg .átte reudiaEtmvaxi diolcfincee a oacdorcsdsdcureo o edíal nc.dse sitatomóoãdsplo e iid c eao r 25S.c 2 NaoC4rbQam.oeo Ue u mncfplnmabia)srg d a 2ld)iiar udomm)3téuoo ceer á.o a q eeaoaDdrrrv suennre, soava á ee ttasq alOsdraotno eduleemeo dl rooné) éera4BnI l ou sdtr arçoõeers : d o tBa nc c1o6 a fdedCe ocir dtmagesoemPndts/A05rr iqnou)iv o r(data; re diitAe o°crar io p2sâmnbtâ e iB2?ˆ2 eneAggcn)c n6aO. nrcgoaoAu mgA0C trmm u0)nB)a°rslue aa.,5olo n,l9o4alre o2 mc o u dc,n e7Mutc4 M?57mteaet 5mu5li rNM4elcmtc 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'a) q(0B:i s caxçânc5 s45o'yx sc,nãoCo Oma soe goy5s5 'cnp ,Psun). q eo,qtod l Qe arordsqe 2no m 1 , )i)??md tad op eeoeos cy ax o?,, s eopPv t ?:urucéo?nsd o' sssor.r P son ateaaanDsei tcn enn roonaeba dd qsP PdTqio2o12 o'Ara ( . x i ' gd(s,11o5 oaey,ró n) ni6ee gcto) ,eaie mrB22m mc?'e u(,, 7s t sn(ee,er0 u6fissn,aea) cc ó,0resbrr êo) ee,C,c nb vvvo'dtcee(á6eoeimml,amri d9du oo)daoem ssess-:: 190 CAPÍTULO 8 | MATRIZES191 eaerEex xaesenmeorEctlmmpeuícnlç ipitaãdoolmoesdo r dro ssemese s eepouo lsr lEhrvo eciobxdparleoep eosrmríst ctquó aículcrsooeii.osno , ac dshuee áxir tit oeleéisaxsc emneomiscl tovpau isllddoe adsiotde oeso r s VamVEoTasXem mEcEoaMoXslscP E:cuLaMlOalcPr 7u LoltO aidcr e8 aEEot1 2e dxxod3orii)e)ssoe4 mO 1) ttot CS MMeeodd)beio4 MM anodda mmraasAAptuuuouuS Srpaeoomre uuacctllmmroooooddini ttrrppsoolla ppuiiicmm1ssttiiavtnppaasaammmaarriiesae,,sppooollass ggaa nssii:mm bllppod(ss:ddnccdoommiid1ee dccfaasooaaauu tunnaa7eg1ppoeaa nn ::mmoottaaaann9mt aa8 oomm1hhOOss 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43din2r 3l lps1estero oe o1pax i 5 t3r 4nxo 1r5nsmyo 9 p6eti 2t spd23dê a 5 0é25 sc145 t e<p1emAp °,5e4ô, o 51 <:6 1 ,x 2ps n fi .! olp 1s t5 x c2ms svOg1ée 1 }t iep1n2!. or< mim,e nH d,uú3 i 1 s2é ss ,oom 5,o10 mp432 ?,pte41s3sp osp,s2eVn,,: .p coa9d edroédc11Du58i .2omn seioa,01o0m2 a vs n<ps2p r°4% íecl23v3ee2,ac epm o p ,x1n5 xastylg 5l Oa<e u t e1loeOas< 2< i 3sno sma-2b 3 6 s :H2 p)344 15t t 0e ?pmpeaPe; s,p 9° sr rlqelo ; 85 o.ení ? qnu2 o 00 Ongna5 ud e° 1oú <b! o1e c221 s,m592t i pep!esI<rt8x m cen1e n s<0é 52ur8nh1 e° o( n01f2 an1 1 4 aV)p°9f5p 1 01 eop51 . p pe5 Vr 18 0d ê,5 20[ <o nd22<0°3 m 1cem 23 <25?0isp2aí , nss2 m V2 4250eeti.o]xr . n. 1 im,<pg2 ?o.o o2 2cn5xd poo Vo2 nm,< j 1u0é 52 np9t<prt8io c Cc0ém )ai° mr s ee<eaa n1 glp18 .e.10m2439°pp Psão22 aOrcosesn 04pIlustrações: Banco de imaAgreqnuisv/o da editora 228 CAPÍTULO 4 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS93 Exercícios complementares 1 .E2 Ct.3 3rUax D e.rhâl 4me U ceefn or.el5ult4 meó Cagserrcr.l2ds gêreue Nrauac3 gdrp3inml,mllCn oa2ó6o oauceo pceíbm fd.o g icu )criiaiice m)nd( asnscaonitp lUpoQraeoeeiietsC 2od. s2viêF anópdppdto tnsug qo6cafaci0r4naqoa Bsatoodloteeraoco mousola%a2plc sui nasei e nsli,opmrsnhao rledn °ri heatmuretpadaa,rén .iccd oa.Ciaatt epsa c•ipnorcsd-ezs qaêud• oierr t•daiooeonrSã l, art o •á rndauul e iaáuieoe d nrnsiadAoooPnFn A mr. tommaBtt 2s,mB e Crsrto is dhs)Cla sBnAmmoeep i3ie c 'ie aea c,ccAeeguad?,dapot i'n Cda te 0dtar nDDmoreqs A mu oi en Aéfçddtencos0Di.siptstnui rtar ds 'oo ágmeeao .0te a e e mcoealuiaFelrae r ceux s da lm 3 uelop rE mdort me oaoo iregeeeEcdé, miAnj ar oBa â 2qdtssoEerpsonhc e oa rart' Den, em usaea'nriBrtl.r ioqtse dircCmtcaira e rer aa egisea'atcptnrguoa'd2cie.ainr ep lãCts aiuro dde em uadóeraeoãást4i. csar .eomdlo'aoens d og nspeo 0oD ueã.e pAFop msnr st as as0i so d ppFsl3on'eFa aoc fár aal :e pc ndooporpa,ááa si iortlm be 1rramnnribepir drqea baéarãmqn il4miaimo tfmhriocoaatr.u irçodsuoae.hq oca caeac :gDmae turar neoa aul rudCnanod(oaaed aieeiFterddeurems,trsdo?'omrmor stto)s,ooo c aig eosâ is ss Eospsoadesa stsDc d r.a een p - euo .r e dodm ivernurAdgtdCrdlacndmas aaáoaac u -iueinaielhsp asm ntuniceu m ald aàreae .qontemim3 csiril ra ruas n - éd i cocadd,dr m.aue ciAu u -(oese-,AmDoímfnr osst ,urs)âslrAcfs iea r n me ehonvne ehsdeãr7rS ca Endegt am pê.o ccioa ad -rD 8BaeOin diinneb-ésoCs,mmaa. auu' cs caat,e, AA oo5aammi FFeen ala ffa ssccBBffddii r iicc3ddmmiicggeod..rrii4 eeoaauu cc.AA5e102 A,qaap senUss/sollmãçuuurrd oddrpe Ru ss aaiiddAAnnaaoommppe eess eeerrtffssttaaaaaa sseeeeé33aaee A aaemm aaattrraabb rrmm rr00rr iiggaaB llDaattnnoottaaêêaasseebbee aaeebbll55rree))vv iioo ''iieennii sstt,,55cccc ddrrcc ))ssaa11xxmmoo aaeeQQssttsspp ccccoo ))ddmm88ooiiaa ssll77iiQQ ss rr,,mmeeiiaassssoottccuu00??11eecc QQ aa22ccaaaa eemmaauummtt mm??ddtt dduunn00 aaááxxmmpp°°QQ uuêêaauuaattmmmmmmssiiaaaaaass rrllnnddss,,lltt,,eeeemmiioommnnooccaauu ss eenn vvrrssuu,,ssnn aaccttee eennllyyuuss.. ffnnqq aaaaiissttoo ttaa aaaaaa,,aaee:: ggAAddssqqttaaoo qqlloo uuddlltteellssssUU BBrr oo llee rr ooaaiimmooffuu rrSSccvvppssuuééggee aadd 22aaxxêêiiss ÊÊCCnnrr ssooddmmeemmuu ii aa eeuucczzaa NN nn aaggoossoomm ooll dd ppffaa llCC iiii ssff55mmoott iieecctt uuee vvrrddllIImmppiiddeeaann ccddaaaaAA aaiiee ggcciiee ttpprraa22 mmaaoorr oovvrriiaaaaeeDDeett??,,rrLL99ttuussaauuzzééee,,ll°° iitteeEEttmm oorrssiitt ppiicc eess88eecc tt,,nnllnniiss qq ttrrccttrrPPoorraaee ttssccââooeettttrroohh eecc RRaaooppuuaaffiiaaeemmssrraappaaoott ddiinnaarr aaOOeemmttoonnsscc..aallrrooeemm22ii ll PP rr nn eeddcc ccrrxxeeiinn55oo,,ddaa dd OOssll ,,eemm aaêêppxxuu aassCCiiaa rree aaEERR cc,,eeããaaaauunnaaaarrnn aa ÇÇtt llaattppxxrrttooêêDDee33aaeemmoooo aaÃÃrriioommddppllssggddccttppyyyyyeemmOOnnnneenn..ááoo llnn oo ooaaaa,,ii5zzzzzc5ceerreeff llrraatt tt ttaassssttiiee iiddssccf f rrrrttaaoorrrrttaannssmmdd ee ..iiii,,oo buunnaa5ccssooiiaannaa dddd pp 33rr oottaiiiiooddaaee ccaaii IIddddnn âoommyyvviiaauu)oo.qq 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iioreiAecco)al,ra,rj m a 7eaatmn,çC Ae q rndtzp adfd )o Aoudaoat aac )nasac? a e rr saspa qi m 3A ne1rsa8iqml3 puum5pcalda3 uearms0aurni o3ea bpn °eelmtltt ia çoareevahgdara earllr meuaa ecio jámn,zdaedida sr aaçectlaesm e:ioãpmsa1 z edr oodé miaiiakni nnn ne dcmddiduhfiodt iaeanovcooma i iRRr chelprodsddu çdãdo/UoFJcF,m 20a12.aa eoqaafvBoddo euia.,mR dao ioen-e uas c, ç n C m ossfaar neesae a sf p rqcit-pgieBeruvueôtriêodsr-nnrBaanscao dei imagenns/c c.oArdquivo da eadaitoriaaeas s, gdcoaveeol ri asgTasnslutnEetuieenbdsnsrúsuettota da ld veasnotoair s avsrsdeo ei sosepsç u d nrcõeaiaaaen dopcpscebiír iotape judenpapletaroiaise iv,ers osaeax.esçxeu naãrxstcmoioalí ibcmpaeriansoe r ds eao o Enem e vestibulares CAPÍTULO 3 | TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER77 E(npEOaOaibern ) âsd)m ed emeDmeADAgs sieul)doe iJ ecrnvo aahdeãm oosos e eptqpgniourubtoneoiCBupCrtB oBd ôel esarE Bsu r/ouãçudorpeRca/oãçudrorpeRnemu21r02 ,menEo2102 ,menEoisn t podod or eepdnesvoetsearov foeJ fiMoaorli vzã,aa eoei ddrB fde ooéresiu:scped nm)noA) o ihoDs,AD Aav sdare e-aus M pecr o poaDleje eClgaç.aE ãpCB CBodir edâ/oãçudorpeR/oãçudorpBeR emc2102 ,menE2102 ,menEsliasdseeMs d,e se:e semlolCe2102 ,mecnE/oãpçudorpeR ariremia ee mdnet elosi)nc nrhDoAea vp erlerat nuao,m dd oad peboCsBanlso/oãtçudorpeReco2102 ,m enEaçdAma a peonir ptâoom npitedoleçaE. , dadre eer semaEsolsgoaltulnvaumei çsdiãraeoaosç s ãdddoeea t seaq xlpuhibreaoesdvt, aaõ,se s RPaOeD eaAv eprsidssasooset tlriasmaum l úcsoçel,auãc tlonihaopm dom edcororeoe i ,sooem ndebrstee nssod nhee Maitsron a vp ipsqcadiaeriuraaârg eaa-mmarotide ad ov iuqrA/snegami eds ocnaB BCpeieAdrVr. nuoneiEstjno:tseoa osçps l eaã odnt oneedaD rvteEda oevslo B i dlAsf oaadt,c a zepeae siMsmrmrâlVuo m éiepcdsi CntdeaimarDetrmA eosiaoçu eiprãpsn oe odbtrd oiaaeoEe Vromep sid msip aertrDaoâ Ar ep rn msipreruCtMeâBrloipmeapde EsçreirdEeieã ;oeo snore/sneg ami bed ocnaBe dtmataarotide and oviuqraAéod t pmsa CMoBiperd â-lpgoamseu nepildi oadeea al daoi mladst o ebsa repgangsoeamemnt,it ve opaan oE stcdo e.pe sgam uAraioEr s:,o E apMnoan elti osM aMCr ,. mais importantes do país. 372 5 2CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p003a010.indd 5 8/6/18 1:50 PM Sumário Primeira parte Capítulo 1 – A circunferência Teorema dos cossenos ............................................... 65 trigonométrica .......................... 11 Teorema ................................................................... 66 Arcos e ângulos ........................................................... 11 Troque ideias – Área de um triângulo ............ 69 Medida e comprimento de arco .............................. 12 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 72 Unidades de medida de arcos e ângulos ................ 13 Exercícios complementares ...................................... 73 O comprimento de um arco .................................... 15 Testes ........................................................................... 77 Aplicações – Medindo distâncias inacessíveis ............................................................... 18 Capítulo 4 – Funções trigonométricas ... 83 Circunferência trigonométrica .................................. 20 Introdução .................................................................... 83 Números reais associados a pontos As demais voltas na circunferência da circunferência trigonométrica........................... 20 trigonométrica ............................................................ 84 Simetrias ................................................................. 23 Funções periódicas .................................................... 87 Enem e vestibulares resolvidos ............................... 25 Função seno ................................................................ 88 Exercícios complementares ...................................... 26 Período da função seno ........................................... 92 Testes ........................................................................... 29 Aplicações – A trigonometria Capítulo 2 – Razões trigonométricas e a roda-gigante ....................................................... 95 na circunferência .................... 35 Função cosseno ........................................................... 97 Seno .............................................................................. 35 Troque ideias – A trigonometria Valores notáveis ...................................................... 37 e o fenômeno das marés .................................... 102 Na calculadora ........................................................ 38 Função tangente ....................................................... 103 Cosseno ........................................................................ 40 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 106 Valores notáveis ...................................................... 41 Exercícios complementares .................................... 106 Relações entre seno e cosseno ................................ 43 Testes ......................................................................... 111 Relação fundamental da trigonometria ................. 43 Arcos complementares ........................................... 44 Capítulo 5 – Transformações Tangente....................................................................... 45 trigonométricas .................... 118 Valores notáveis ...................................................... 46 Introdução .................................................................. 118 Relação entre tangente, seno e cosseno ................ 48 Fórmulas da adição e subtração ............................. 119 Outras razões trigonométricas ................................ 49 Cosseno da soma .................................................. 120 Cotangente............................................................... 49 Cosseno da diferença ............................................ 121 Cossecante .............................................................. 50 Seno da soma ........................................................ 121 Secante .................................................................... 51 Seno da diferença .................................................. 122 Relações decorrentes ............................................. 52 Tangente da soma ................................................. 122 Enem e vestibulares resolvidos ............................... 56 Tangente da diferença ........................................... 122 Exercícios complementares ...................................... 56 Razões trigonométricas de 2a ................................ 124 Testes ........................................................................... 58 Seno ....................................................................... 124 Cosseno ................................................................. 124 Capítulo 3 – Trigonometria em Tangente ................................................................ 124 triângulos quaisquer ............ 61 Transformação em produto ..................................... 127 Teorema dos senos ..................................................... 62 Transformação de somas Teorema ................................................................... 62 e diferenças de senos ........................................... 127 6 2CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p003a010.indd 6 8/6/18 1:50 PM Transformação de somas Multiplicação de um número real e diferenças de cossenos ...................................... 128 por uma matriz ........................................................... 180 Transformação de somas Propriedades ......................................................... 180 e diferenças de tangentes ..................................... 129 Multiplicação de matrizes ....................................... 181 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 130 Matriz identidade ...................................................... 185 Exercícios complementares .................................... 130 Propriedades ......................................................... 185 Testes ......................................................................... 135 Propriedades da multiplicação de matrizes ........ 186 Aplicações – Computação gráfica Capítulo 6 – Equações e inequações e matrizes ................................................................ 190 trigonométricas ..................... 139 Matriz inversa ........................................................... 193 Equações fundamentais .......................................... 139 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 195 Resolução da equação sen x 5 sen a ................... 140 Exercícios complementares .................................... 197 Resolução da equação cos x 5 cos a ................... 141 Resolução da equação tg x 5 5 tg a ..................... 142 Testes ......................................................................... 201 Equações redutíveis às fundamentais ................. 143 Capítulo 9 – Sistemas lineares .................. 207 Resolução de equações em um intervalo qualquer ........................................ 145 Equação linear ........................................................... 207 Solução de uma equação linear ........................... 208 Inequações fundamentais ....................................... 146 Sistemas lineares 2 3 2 ........................................... 210 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 150 Interpretação geométrica e classificação ........... 211 Exercícios complementares .................................... 150 Sistemas lineares m 3 n .......................................... 213 Testes ......................................................................... 153 Um pouco de história – Capítulo 7 – Funções Os sistemas lineares ........................................... 213 trigonométricas Solução de um sistema ......................................... 214 inversas ...................................... 156 Matrizes associadas a um sistema ...................... 214 Representação matricial de um sistema ............. 215 Função arco-seno ...................................................... 156 Sistemas escalonados ............................................. 216 Função arco-cosseno ............................................... 159 Resolução de um sistema Função arco-tangente .............................................. 161 na forma escalonada ............................................. 216 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 163 Processo prático ................................................... 217 Exercícios complementares .................................... 163 Escalonamento ......................................................... 220 Testes ......................................................................... 164 Sistemas equivalentes .......................................... 220 Determinantes .......................................................... 226 Capítulo 8 – Matrizes ...................................... 166 Caso 2 3 2 .............................................................. 226 Caso 3 3 3 .............................................................. 227 Introdução .................................................................. 166 Um pouco de história – Um pouco de história – A origem dos determinantes ............................ 230 Como surgiram as matrizes .............................. 168 Troque ideias – Os sistemas lineares e Representação de uma matriz ................................ 168 o balanceamento de equações químicas ...... 231 Matrizes especiais .................................................... 169 Regra de Cramer ........................................................ 232 Matriz transposta ..................................................... 170 Caso 2 3 2 .............................................................. 232 Aplicações – Matrizes e imagens digitais ..... 173 Caso 3 3 3 .............................................................. 234 Igualdade de matrizes .............................................. 176 Discussão de um sistema ........................................ 235 Adição de matrizes ................................................... 176 Sistemas homogêneos ............................................. 238 Propriedades ......................................................... 177 Um pouco mais sobre – Determinantes Matriz oposta ............................................................ 178 de matrizes de ordem 3 e a regra Subtração de matrizes ............................................. 178 de Sarrus .................................................................. 240 7 2CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p003a010.indd 7 8/6/18 1:50 PM Sumário Enem e vestibulares resolvidos ............................. 241 Abaixamento da ordem Exercícios complementares .................................... 241 de um determinante .................................................. 261 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 265 Testes ......................................................................... 247 Exercícios complementares .................................... 265 Capítulo 10 – C omplemento sobre Testes ......................................................................... 267 determinantes ....................... 253 Tabela trigonométrica ........................................ 270 Determinante de matriz quadrada de ordem n ..... 253 Respostas ................................................................ 271 Cofator ................................................................... 253 Teorema de Laplace .............................................. 254 Significado das siglas Propriedades dos determinantes........................... 255 dos vestibulares .................................................... 296 Segunda parte Capítulo 11 – Á reas de Razão entre áreas de figuras planas superfícies planas ................ 299 semelhantes .............................................................. 328 Introdução .................................................................. 299 Enem e vestibulares resolvidos ............................. 330 Exercícios complementares .................................... 330 Área do retângulo ..................................................... 300 Testes ......................................................................... 335 Área do quadrado ...................................................... 301 Área do paralelogramo ............................................ 303 Capítulo 12 – G eometria espacial Área do triângulo ...................................................... 304 de posição ................................ 347 Casos particulares ................................................ 305 Um pouco de história – Expressões da área de um triângulo ................... 306 Área do losango ........................................................ 310 O desenvolvimento da Geometria ................. 347 Área do trapézio ........................................................ 312 Noções primitivas (ou iniciais) ................................ 350 Proposições primitivas (ou iniciais) ....................... 351 Um pouco de história – Como obter a área de um triângulo isósceles Determinação de planos .......................................... 352 a partir de um retângulo? ................................ 313 Posições relativas de dois planos .......................... 354 Polígono regular ....................................................... 315 Posições relativas de uma Elementos notáveis de um polígono regular ....... 316 reta e um plano .......................................................... 355 Lado e apótema do quadrado inscrito .................. 316 Propriedades ......................................................... 356 Lado e apótema do hexágono regular inscrito .... 317 Posições relativas de duas retas ........................... 356 Lado e apótema do triângulo equilátero inscrito .... 318 Algumas propriedades............................................. 358 Área do polígono regular ......................................... 319 Ângulos de duas retas ............................................. 360 Área do círculo e suas partes .................................. 321 Retas que formam ângulo reto ............................... 361 Área do círculo ...................................................... 321 Reta e plano perpendiculares ................................. 362 Área do setor circular ........................................... 324 Planos perpendiculares ........................................... 363 Área da coroa circular .......................................... 325 Área do segmento circular ................................... 326 Projeções ortogonais ............................................... 365 8 2CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p003a010.indd 8 8/6/18 1:50 PM