Matemática Aplicada e Análise Numérica

263 Pages·2017·5.26 MB·Portuguese

Matemática Aplicada e Análise Numérica
UmaIntroduçãocomOctave
Pedro Serranho
SecçãodeMatemática
DepartamentodeCiênciaseTecnologia
UniversidadeAberta
2017

Conteúdo
1 Motivação 1
1.1 Exemploconhecido: Omodelodequedalivre . . . . . . . . . . . . 2
2 Teoriadoerro 5
2.1 ErrosdeArredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Propagaçãodeerros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 OutrasFormasdeErro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 PrincípiosBásicosdeAnáliseFuncional 13
3.1 EspaçosnormadosedeBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 EspaçosdeBanachdedimensãofinita . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Espaçospré-HilbertianosedeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Condicionamento 23
4.1 Normasdematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Condicionamentodesistemaslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Regularização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1 Regularizaçãopordecomposiçãoemvaloressingulares . . . 37
4.3.2 RegularizaçãodeTikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 LocalizaçãodeValorespróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.1 TeoremadeGershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 AproximaçãodeFunções 49
5.1 FórmuladeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 InterpolaçãoPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Interpolaçãoporsplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 AproximaçãoporMínimosQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.1 RegressãoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.2 RegressãoExponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.3 RegressãoPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
ii CONTEÚDO
6 MétodosIterativosparaEquaçõesNão-Lineares 99
6.1 Métododabisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Métododopontofixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.1 Métododopontofixogeneralizado . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 MétododeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.1 MétododeNewtonGeneralizado . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4 MétododaSecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7 SistemasLinearesdeEquações 141
7.1 Métodositerativospararesoluçãodesistemaslineares . . . . . . . 142
8 Integraçãonumérica 157
8.1 Quadraturassimplescomnósigualmenteespaçados . . . . . . . . 158
8.1.1 Regradostrapéziossimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.1.2 RegradeSimpsonsimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.1.3 RegrasdeNewton-Cotesdeordemsuperior . . . . . . . . . 169
8.2 Quadraturascompostascomnósigualmenteespaçados . . . . . . . 170
8.2.1 Regradostrapézioscomposta . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2.2 RegradeSimpsoncomposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.3 Quadraturascomnósnão-igualmenteespaçados . . . . . . . . . . . 181
9 MétodosNuméricosparaequaçõesdiferenciaisordinárias 187
9.1 MétododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.1.1 MétododeEulerparaEDOsescalaresdeprimeiraordem . 190
9.1.2 MétododeEulerparaEDOsvetoriaisdeprimeiraordem . . 196
9.1.3 MétododeEulerparaEDOsescalaresdeordemn. . . . . . 200
9.2 MétodosdeRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.2.1 MétodoRKdopontomédio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2.2 MétodoRKdeEulermodificado . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.2.3 MétododeRKdeordem4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10 MétododasDiferençasFinitas 225
10.1 EquaçãodoCalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.2 Casounidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.2.1 MétodoExplícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.2.2 MétodoImplícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.2.3 MétododeCrank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.3 CasoBidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.3.1 Dominiospoligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Capítulo 1
Motivação
Umdosmaioresdesafiosdosdiasdehojeemciênciaéacapacidadedefazerpre-
visões. Este é um processo complicado com várias fases e que raramente passa
por executar a experiência cujo resultado queremos descobrir, devido aos eleva-
dos custos ou pouco tempo disponível. Uma das possibilidades para conseguir
prever passa por fazer a modelação do problema. Neste âmbito, a Matemática
temaplicaçõesemváriasáreas,desdeasmaisrecentestecnologiasnasváriasen-
genharias a áreas da saúde, passando pela meteorologia, arquitetura ou arte. A
própria natureza apresenta padrões matemáticos que se repetem e podem por-
tantoserprevistos.
Problema da 1.Modelação Modelo
vida real Matemático
2a) Análise 2b)Teoria da
Matemática Aproximação
Previsão
Solução aproximada
Solução exacta +
Estudo do erro
Resultado
3. Interpretação
Figura1.1: Esquemadoprocessodeprevisão.
Dadoumproblemadavidareal,oprimeiropassoéconstruirummodeloma-
temático que aproxima o problema. Geralmente, o modelo matemático implica
2 1.1. Exemploconhecido: Omodelodequedalivre
uma aproximação do problema inicial. O controlo do erro efetuado neste passo
saiforadoâmbitodestaunidadecurricular. Tendoummodelomatemáticoéne-
cessário resolvê-lo. A resolução poderá implicar resolver equações, inequações,
maximizar ou minimizar funções, entre outros. Muitas vezes não é possível en-
contrar soluções exatas dos modelos, pelo que é necessário recorrer a métodos
numéricos que aproximam as soluções com uma margem de erro controlável.
Porúltimo,dadaasoluçãodomodelomatemáticoénecessáriointerpretá-lapara
conseguir encontrar o resultado previsto. O processo de previsão precisa ainda
deservalidadopelasobservaçõesdarealidadeparasemostrarfiável.
Neste texto vamos estar principalmente interessados em resolver modelos
matemáticos(focando-nosnasuaresoluçãonumérica,istoé,emdeterminarapro-
ximações da solução exata) e na interpretação da sua solução. Nos próximos ca-
pítulosvamosestudaralgunsmodelosemétodossimples,comaplicaçõesvárias
nasáreasdaengenhariaeindústria,nomeadamenteemcasosemquearesolução
analíticanãoéconhecidaouédemasiadomorosa.
Começamosporapresentarummodelosimples,combasenumaequaçãodi-
ferencial.
1.1 Exemplo conhecido: O modelo de queda livre
Um dos exemplos mais simples é o que modela a queda livre de um corpo. Va-
mossuporqueumcorpoemmovimentoverticalseencontrainicialmenteauma
altura y e velocidade v . Seja y = y(t) a altura do corpo no instante t. Por
0 0
definição, a velocidade v = v(t) do corpo no instante t é a derivada da função
posição y(t), ou seja, v(t) = y(cid:48)(t). Sabemos ainda que a aceleração do corpo é a
aceleraçãogravíticag ≈ 9.8nosentidonegativo,peloqueasegundaderivadada
funçãoposiçãoy édadapor
y(cid:48)(cid:48)(t) = −g.
Se adicionarmos as condições iniciais, queremos encontrar a solução do pro-
blema
 y(cid:48)(cid:48)(t) = −g, t ≥ 0



y(cid:48)(0) = v
0



y(0) = y
0
que modela a queda livre de um corpo com altura inicial y e velocidade ini-
0
cial v . Note-se que neste modelo estamos a desprezar as forças de atrito do ar,
0
ilustrandoqueomodelojáéemsiumaaproximação.
1. Motivação 3
Asoluçãodaequaçãopodeserdadaporintegraçãodireta,nomeadamente
(cid:90) (cid:90)
y(cid:48)(t) = y(cid:48)(cid:48)(t)dt = − gdt = −gt+C
para algum C ∈ R. Pela condição inicial para a velocidadey(cid:48)(0) = v , temos C =
0
v peloque
0
y(cid:48)(t) = v −gt.
0
Integrandodenovoemt,obtemos
(cid:90) (cid:90) t2
y(t) = y(cid:48)(t)dt = v −gtdt = v t−g +C
0 0
2
para algum C ∈ R. De novo, pela condição inicial para a altura y(0) = y , te-
0
mosC = y peloqueasoluçãodoproblemaédadapor
0
t2
y(t) = y +v t−g , t ≥ 0
0 0
2
o que nos dá a equação (já conhecida da Física) do movimento de uma partícula
uniformementeacelerada(comaceleração−g)emmovimentoretilíneo.
Este exemplo ilustra um caso simples de resolução analítica de um modelo
paraumfenómenofísico. Outroscasosparticularesdeequaçõesdiferenciaispo-
demsertambémresolvidosanaliticamente,comoporexemploequaçõesdiferen-
ciaisordináriaslineares,oudecoeficientescontantes,oudevariáveisseparáveis.
Para uma análise mais cuidada destes e de outros casos de possibilidades de
resoluçãoanalítica,podeconsultarporexemplo[1,2,3].
No entanto é fácil de compreender que em casos mais complexos o processo
para obter uma solução analítica pode ser bem mais complicado ou mesmo não
ser possível. Por exemplo se for introduzido no modelo a resistência do ar em
forma de força de atrito F , teríamos pela segunda lei de Newton (F = m.a) que
a
aaceleraçãodocorposeriadadapor
F
y(cid:48)(cid:48)(t) = −g + a
m
em que m é a massa do corpo e a força de atrito é geralmente considerada como
proporcionalàvelocidade
F = Ay(cid:48)(t),
a
emqueotermoAdependedaformadoobjetoedadensidadedoar,entreoutros.
Em particular, se pensarmos que a densidade do ar depende da altura (e para
facilitar)deformalinear,istoé,A = Cy(t)ficamoscomaequação
y(t)y(cid:48)(t)
y(cid:48)(cid:48)(t) = −g +C
m
4 1.1. Exemploconhecido: Omodelodequedalivre
quedeixadeserumaequaçãolinearnasoluçãoy.
Assim é necessário encontrar formas expeditas de obter soluções de proble-
masmaiscomplexosmotivadosporaplicaçõesreais,porexemploqueenvolvam
equações não-lineares ou equações às derivadas parciais, uma vez que na maio-
ria dos problemas com aplicações práticas a solução analítica não é possível de
obter.
Conformejáfoireferidonestaintrodução,geralmenteopreçoapagarporter
ummétodopararesolverestasequaçõeséqueasoluçãoencontradadeixadeser
exataparaserapenasaproximada. Énestecontextoqueavançamosparaospró-
ximos capítulos, começando evidentemente por estabelecer formas apropriadas
demediroerrocometidonumaaproximação.
Capítulo 2
Teoria do erro
Associadoaqualquertipodemediçãoestásempreoerrocometido,partindodo
princípioquenapráticaumamediaçãonuncaéexata. Dependendodaescalado
aparelho de medida e da experiência do técnico de medição, podemos obter um
erro mais ou menos grosseiro. Existem várias formas de medir o erro. A mais
usual é o chamado erro absoluto e da aproximação x˜, em que consideramos o
x˜
módulodadiferençaentreovalorexatoxeaaproximaçãox˜,istoé,
e = |x−x˜|.
x˜
No caso geral, em que x não é um valor real (pode ser um vector, uma matriz,
uma função,...) convém considerar uma métrica adequada, substituindo-se o
móduloporumanormaadequada,istoé,
e = ||x−x˜||.
x˜
No entanto o erro absoluto nem sempre é um bom indicador da qualidade da
aproximação. Por exemplo, cometer um erro absoluto de um metro na distân-
cia entre Lisboa e Porto pode ser considerado bom, mas cometer o mesmo erro
absoluto na medição da altura de uma pessoa é considerado um erro grosseiro.
Destaforma,considera-setambémoerrorelativoδ dadopor
x˜
||x−x˜||
δ =
x˜
||x||
que nos indica a percentagem de erro cometido em relação à grandeza do valor
aaproximar. Temosentãoaseguintedefinição.
6
Definição2.1(Erroabsolutoerelativo).
Seja x˜ a aproximação de um valor exato x e seja ||.|| uma norma adequada
parax.
Chama-seerroabsolutoe a
x˜
e = ||x−x˜|| (2.1)
x˜
eerrorelativoδ a
x˜
||x−x˜||
δ = . (2.2)
x˜
||x||
Oerrorelativoindicaapercentagemdeerroemrelaçãoàgrandezadex.
Exercício 2.2. Determine os erros relativos e absolutos associados às aproxima-
çõesseguintes:
(a) Umlápismedeexatamente12.23cm.Comaajudadeumaréguacomescala
atéaosmilímetros,obteve-seamedição12.2cm.
(b) Conseguiu-semostrarteoricamentequeexistem64.345×1023 moléculasde
determinada substância num recipiente. No entanto, utilizando métodos
laboratoriais apropriados obteve-se o valor experimental de 64.554 × 1023
moléculas.
(c) De determinado ponto da terra, sabe-se que uma estrela conhecida está na
direção (0.23,0.65,0.72). No entanto, o telescópio utilizado para avistar a
estrela foi apontado na direção (0.2,0.6,0.7). (Nota: utilize a norma usual
paravectores.)
Resposta.
(a) Oerroabsolutoée = 0.03cmenquantoqueoerrorelativoéaproximadamen-
x˜
te0.00245.
(b) Oerroabsolutoée = 2.09×1022 moléculasenquantoqueoerrorelativoé
x˜
aproximadamente0.00325.
(c) O erro absoluto é aproximadamente e = 0.0616 enquanto que o erro rela-
x˜
tivoéaproximadamente0.0618.