Matematica: 1

248 Pages·2013·38.723 MB·Italian

by  Stefano Bertocchi, Loredana Mola

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Copertina di Marina llacqua e Elisabetta Ronchi
Stampato da Arti Grafiche Franco Battaia S.r.l., Zibido San Giacomo (MI)
per conto di Alpha Test S.r.l.
nel novembre 1999
INDICE
INTRODUZIONE ............................................................................................ 9
TEORIA DEGLI INSIEMI ..................................................................... 11
1.1 Il concetto di insieme ................................................ .. ... 11
1.1.1 Simbologia ............. .............. . ...... 11
1.1.2 Rappresentazione di un insieme ................ .......... . ... 11
1.1.3 Definizioni.. . ............................. . ........................................................ 12
1.2 Corrispondenze fra insiemi ........................... ............ . ....... 12
1.2.1 Corrispondenza univoca . . ..... . ...................... . 12
1.2.2 Corrispondenza biunivoca................... .. 12
1.3 Operazioni con gli insiemi...... ........................................... . . 13
1.3.1 lntersezione o prodotto logico (and). .. ............................................ 13
1.3.2 Unione o somma logica (or)... . . ............................. 13
1.3.3 Differenza ............... ......... .. 13
1.3.4 Complemento o negazione logica (not) .............. 13
1.3.5 Proprietà delle operazioni con gli insiemi. ..................................................... 14
1.3.6 Quantificatori .... ............................................ . ...................................... 14
1.3.7 Prodotto cartesiano. ......................... . .......................... 14
2 NUMERI E LORO OPERAZIONI ......................................................... 19
2.1 Numeri naturali................................................ ....... ... ................... 19
2.1.1 Operazioni fondamentali e loro proprietà ...................................................... 19
2.1.2 Divisione con resto ...................... . ......................... 20
2.1.3 Numeri primi.. ............. .......... . ...................................... 20
2.1.4 Criteri di divisibilità. . ............................................ 20
2.1.5 Scomposizione in fattori primi .......... .... ........ .... . ....... 21
2.1.6 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo.. . ....... 21
2.2 Numeri interi relativi ............ .... ................... .. ..................... 22
2.2.1 Valore assoluto di un numero relativo.. . ............................................ 22
2.2.2 Confronto fra numeri relativi ........................ 22
2.2.3 Operazioni fra numeri relativi. . ...... 23
3 FRAZIONI E NUMERI DECIMALI ........................................................ 29
3.1 Numeri razionali ....................................................................................... 29
3.1.1 Proprietà invariantiva e frazioni equivalenti .................................................... 29
3.1.2 Operazioni tra frazioni. ................... ..... . .. 30
3.2 Numeri decimali e frazioni generatrici ...................................................... 31
3.2.1 Operazioni tra numeri decimali . .................... ....... .. .... 32
4 PERCENTUALI E PROPORZIONI ..................................................... .41
4.1 Percentuali e loro applicazioni ................................................................. 41
4.1.1 Problemi di sconto ... ................. . .............. 42
4.1.2 Problemi di interesse.. ........................ . ........... 42
4.1.3 Variazione percentuale . . .................... .. ......... 42
4.2 Proporzioni ................................................................................................ 43
!MLPHA TEST · · ·· · · ·· · ·• · ·· · · .. · · ·•· · .. · · · · · .. · · · · · ....... · · · · · · · · ·•· · ... INDICE .......... · · · ............... ~ ·•· · · .. · .. · .. · · ·· .... · · .. · ................. · · 5
5 POTENZE .... , ....................................................................................... 51
5. 1 Definizione di potenza............................................................ . ..... 51
5.2 Proprietà delle potenze ............................................................................. 51
5.3 Potenze e operazioni fondamentali. ........................................................ 52
5.4 Proprietà distributive delle potenze ........................................................... 53
6 MONOMI E POLINOMI ........................................................................ 61
6.1 Monomi ................................................................................................... 61
6.1.1 Grado di un monomio intero.. .. .............................. 61
6.1.2 Menomi simili e somma tra menomi ............................................................... 61
6.1.3 Prodotto tra menomi e potenza intera di un monomio .................................... 61
6.1.4 Quoziente tra menomi... ... ... . .. .......... ..................... .. 62
6.1.5 Massimo comune divisore (M.C.D.) di più monomi .. .. .... 62
6.1.6 Minimo comune multiplo (m.c.m.) di più monomi ......................... 62
6.2 Polinomi ...... .. .... . . .. . ... .. .. . .... .. . . . .. ... 63
6.2.1 Grado di un polinomio .... ........... ....... . .................. 63
6.2.2 Somma di polinomi.. .. .............................. 63
6.2.3 Prodotto e quoziente di un polinomio per un monomio .... 63
6.2.4 Prodotto di polinomi . .. .......... 64
6.2.5 Prodotti notevoli .............................................................................................. 65
6.2.6 Potenza di un binomio e triangolo di Tartaglia.. . ......... 66
6.2.7 Principio di identità di due polinomi .... 67
6.2.8 Quoziente di due polinomi ........ 67
6.2.9 Regola di Ruffini ....... .. ................................................................ 69
6.2.1O Divisibilità di a0 ± b0 per a± b ...... 70
6.3 Scomposizione di un polinomio in fattori...... .. ........................ 71
6.3.1 Raccoglimento a fattore comune . .. ....................................................... 71
6.3.2 Raccoglimento a fattore parziale.... . ... 71
6.3.3 Scomposizione tramite i prodotti notevoli ..................................... 72
6.3.4 Scomposizione tramite i binomi notevoli .... 73
6.3.5 Scomposizione di un trinomio di secondo grado ................................. . ... 73
6.3.6 Scomposizione tramite la regola di Ruffini ...................................................... 74
6.3.7 Riepilogo dei metodi di scomposizione in fattori .......................... 75
6.3.8 M.C.D. e m.c.m. di più polinomi ....................................................... 75
6.4 Frazioni algebriche.................................................. ... 76
6.4.1 Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore .............................. 76
6.4.2 Somma di frazioni algebriche ........................................................................ 77
6.4.3 Prodotto di frazioni algebriche.. .. .............................................. 77
6.4.4 Potenza di frazioni algebriche ....................................................... 77
6.4.5 Quoziente di frazioni algebriche..... .. ...................... 77
7 EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI DI PRIMO GRADO ........... 87
7.1 Uguaglianze, disuguaglianze e identità .................................................... 87
7.2 Equazioni .................................................................................................. 88
7.2.1 Soluzione di un'equazione ....... 88
7.2.2 Equazione impossibile, indeterminata, determinata ... 88
7.2.3 Tipi di equazioni ............................................................................... 89
7 .2.4 Condizioni di esistenza delle espressioni frazionarie ..................................... 89
7.2.5 Equazioni equivalenti. .. ............................................................. 90
7.2.6 Forma normale di un'equazione......... . ............................................. 91
7.2.7 Grado di un'equazione in forma normale .................................................... 91
7.2.8 Equazioni intere di primo grado .... . .............. ....... . ...... 92
7.2.9 Equazioni letterali (parametriche) di primo grado ........................................... 93
7.2.10 Equazioni frazionarie di primo grado ............................. . 93
6 ........................................................................ MATEMATICA 1 ..................................................... ©ALPHA TEST
7.3 Disequazioni................................................................................ . .... 94
7.3.1 Disequazioni equivalenti ................... . ... 94
7 .3.2 Disequazioni intere di primo grado ... 95
7.3.3 Rappresentazione della soluzione di una disequazione ......................... 95
7.3.4 Segno di un prodotto o di un quoziente ................. 96
7 .3.5 Disequazioni frazionarie ... 96
7.4 Sistemi di equazioni .................................................................................. 97
7 .4.1 Soluzione di un sistema .... 97
7.4.2 Grado di un sistema .............. 97
7.4.3 Metodi risolutivi dei sistemi lineari..... ..................... . ............. 98
7.4.4 Sistemi lineari.. . ............... 98
7 .4.5 Sistemi lineari con più equazioni in più incognite .... 99
7.5 Sistemi di disequazioni ............................................................................. 99
8 FORMULARIO DI GEOMETRIA ELEMENTARE ............................... 107
8.1 Geometria piana ..................................................................................... 107
8.1.1 Angoli ...................... ........................ .......................... ..107
8.1.2 Triangoli ..... 108
8.1.3 Criteri di congruenza fra triangoli ................................................ . ..... 109
8.1.4 Perimetro e area dei triangoli .... ................ . ...................... 109
8.1.5 Triangoli equilateri .................... . ...... 110
8.1.6 Triangoli isosceli ........................ . ........................... 110
8.1.7 Triangoli rettangoli.. .. .. 111
8.1.8 Perimetro e area dei poligoni .......... 112
8.1.9 Poligoni regolari ......................... . .. 113
8.1.1O Circonferenza e cerchio. .................... . .... 114
8.2 Geometria solida ..................................................................................... 115
8.2.1 Parallelepipedi .............. 115
8.2.2 Piramide e tronco di piramide ... 115
8.2.3 Poliedri regolari .................................... . ... 116
8.2.4 Cilindro ....................... . .... 117
8.2.5 Sfera... ......................... . 117
8.2.6 Cono e tronco di cono ............. 117
C ALPHA TEST •··•·······••·········•···•··•···•···•····•··········•····•· INDICE ·····••··••··•·····••············•···•····•••···•·········•·········•········ 7

INTRODUZIONE
Gli spilli fissano le idee. Con questo slogan Alpha Test mette a disposizione degli stu
denti una nuova collana di libri tascabili, utili per lo studio e il ripasso delle principali mate
rie di studio della scuola superiore e dei primi anni di università. Con oltre 15 titoli
pubblicati, la collana offre strumenti di preparazione sintetici dedicati sia alle discipline
scientifiche (Matematica, Fisica, Biologia, Chimica, Geometria, Scienze della Terra ecc.)
che a quelle umanistiche (Storia, Filosofia, Latino ecc).
In ogni volume, l'esposizione dei concetti fondamentali è accompagnata da numerosi
esercizi, test e quesiti di verifica risolti e commentati che rispondono a una conce
zione editoriale e didattica innovativa, sviluppata in Italia proprio da Alpha Test e oggi
ampiamente utilizzata e diffusa.
Tali caratteristiche rispondono pienamente alle diverse prove di valutazione in uso oggi
nella scuola italiana e rendono i volumi particolarmente indicati anche per la prepara
zione al nuovo esame di maturità, la cui terza prova scritta, come è noto, prevede in
molti casi quesiti a risposta multipla, domande a risposta chiusa ecc.
A "fissare le idee" contribuiscono anche le immagini, le schede e le tabelle riassuntive
e gli utilissimi formulari e glossari. Ogni argomento trattato è completato da numerosi
esercizi svolti e da test di verifica risolti e commentati.
!.:utilizzo dei due colori, di una grafica particolarmente accurata e di un linguaggio chiaro
ed essenziale rendono lo studio estremamente piacevole oltre che efficace. l punti chiave,
le definizioni, gli esempi più significativi sono evidenziati tramite l'uso di simboli di imme
diata individuazione, in grado anch'essi di fissare le idee.
Realizzata con la collaborazione di numerosi insegnanti e docenti universitari, la collana è
frutto dell'esperienza più che decennale maturata nei settori dell'orientamento e della for
mazione da Alpha Test, da sempre attenta alle esigenze degli studenti e ai cambiamenti
che interessano da vicino il mondo della scuola, dell'università e della formazione in
genere.
Gli Spilli- MATEMATICA 1
La Matematica è una materia studiata in quasi tutte le scuole di ogni ordine e grado e nella
maggior parte dei casi viene affrontata anche nell'ultimo anno della scuola media supe
riore. Questo significa che essa non è solo oggetto di interrogazioni e verifica durante
l'anno scolastico, ma anche materia d'esame nella terza prova scritta e nel colloquio della
nuova maturità. Questo volume si propone come strumento di ripasso completo e chiaro
su tutti gli argomenti previsti dal programma.
© ALPHA TEST ..................................................... INTRODUZIONE ...................................................................... 9
In questo volume vengono trattati in forma chiara e sintetica i seguenti argomenti:
• teoria degli insiemi; • potenze;
• numeri e loro operazioni; • monomi e polinomi;
• frazioni e numeri decimali; • equazioni e disequazioni di primo grado;
• percentuali e proporzioni; • formulario di geometria elementare.
Il volume è inoltre completato da numerosi disegni e diagrammi, nonché da oltre 100 tra
esercizi e test di verifica totalmente commentati e svolti.
Tra gli autori, Stefano Bertocchi e Loredana Mola (docenti di Matematica) e Alberto Sironi
(docente di Fisica), insegnanti nelle scuole superiori e già autori di numerose pubblicazioni
per la scuola e l'università.
Gli altri due volumi dedicati alla matematica nella collana Gli Spilli sono Matematica 2
(radicali, equazioni e disequazioni di secondo grado, esponenziali e logaritmi, trigonome
tria, geometria analitica) e Matematica 3 (funzioni, successioni e limiti, derivate, studio di
funzioni, integrali, calcolo combinatorio e calcolo delle probabilità).
Saranno molto gradite e apprezzate le osservazioni dei lettori che possono essere inviate
al seguente indirizzo:
Alpha Test S.r.l.
via Mercalli, 14-20122 Milano
lei. 025845980- fax [phone]
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Allo stesso indirizzo si può richiedere il catalogo completo e gratuito dei libri Alpha Test.
Le informazioni aggiornate sui libri editi da Alpha Test sono disponibili anche su Internet
all'indirizzo http://www.alphatest.it.
Simboli utilizzati nel testo
Definizioni
Osservazioni e concetti importanti
Esempi e applicazioni
~ Esercizi svolti
~ Test di verifica
10 ·· · ·· · · · ··· ·· · ·· ··· ·· ·· · ·· . ... ·. ...... ·. ......... ·· . .. ·· . . ·. .... ·· · . ·· MATEMATICA 1 ...................................................... © ALPHA TEST
1 TEORIA DEGLI INSIEMI
1.1 Il concetto di insieme
Un insieme può essere inteso come una collezione di oggetti (detti membri o elementi
dell'insieme): il concetto di insieme e quello di elemento di un insieme sono concetti pri
mitivi, ossia non definibili tramite concetti più semplici.
Un insieme A risulta definito quando esiste una "regola" specifica (o univoca) che per
mette di stabilire se un qualunque elemento x appartiene o meno all'insieme A.
Esempi di insiemi:
r::lr • insieme delle consonanti dell'alfabeto italiano;
• insieme degli stati europei;
• insieme dei numeri relativi;
• insieme delle frazioni.
Gli insiemi possono essere finiti (numero limitato di elementi) oppure infiniti (numero illi
mitato di elementi).
1.1.1 Simbologia
• x E A; x appartiene ad A
• x e A; x non appartiene ad A
• A ç;; B; A è contenuto in B (A è sottoinsieme di B)
• A c B; A è contenuto propriamente in B (A è sottoinsieme proprio di B)
1.1_2 Rappresentazione di un insieme
Ogni insieme può essere rappresentato in tre modi distinti:
• tramite la rappresentazione geometrica (ossia tramite i diagrammi di Eulero-Venn): gli
insiemi sono indicati da linee chiuse (cerchi, ellissi. ..) ;
• tramite la rappresentazione estensiva (o tabulare): tutti gli elementi vengono elencati,
dividendoli tramite virgole o punti e virgola;
• tramite la rappresentazione intensiva: gli elementi sono individuati tramite la legge di
appartenenza.
L'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano può essere così rappresentato:
r::lr
• rappresentazione geometrica
• rappresentazione estensiva: {a; e; i; o; u}
• rappresentazione intensiva: {x l x è una vocale dell'alfabeto italiano}
(da leggersi "insieme di tutti gli elementi x tali che x sia una vocale dell'alfabeto
italiano").
© ALPHA TEST ................................................. TEORIA DEGLI INSIEMI ................................................................ 11
1.1.3 Definizioni
Due insiemi A e B sono uguali quando contengono gli stessi elementi.
L'insieme vuoto (indicato con 121) è un insieme privo di elementi.
Può capitare che la rappresentazione intensiva di insieme non sia completa, ossia che
non consenta di identificare univocamente l'insieme.
Per esempio, l'insieme A= {x 11 <x< 5}, ossia l'insieme dei numeri compresi fra 1
(jff' e 5 (estremi esclusi), non è univocamente determinato: se infatti x è un numero
intero, l'insieme A conterrà solo tre elementi (ossia A= {2; 3; 4}), mentre se x è un
numero decimale, l'insieme A sarà infinito.
Occorre, in altre parole, indicare l'ambiente da cui trarre gli elementi dell'insieme.
L'insieme ambiente o universo (indicato con U) contiene la totalità dei possibili
elementi.
In questo senso, l'insieme delle vocali
dell'alfabeto italiano ha come universo
U proprio l'alfabeto italiano:
1.2 Corrispondenze fra insiemi
Dati due insiemi A e B, se esiste un criterio che permette di associare elementi di A con
elementi di B, si dice che i due insiemi sono legati da una corrispondenza (o relazione).
A= {1, 2, 3, 4, 5 ... }; B = {0, 1}
(jff' Esempio di corrispondenza: associare ad ogni numero dispari di A l'elemento "O" di
B e ad ogni numero pari di A, l'elemento ''1" di B.
1.2.1 Corrispondenza univoca
Tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza univoca (da A a B) quando a ogni
elemento a di A corrisponde uno e un solo elemento b di B.
Per affermare che tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza univoca, è necessario
che sia definita una legge che permette di decidere, preso un qualunque elemento a E A,
qual è il corrispondente elemento bE B.
La corrispondenza univoca fra gli elementi di A e quelli di B viene anche detta funzione o
applicazione q> di A in B e viene indicata con q>: A --+ B.
1.2.2 Corrispondenza biunivoca
/ Tra due insiemi vi è una corrispondenza biunivoca quando a ogni elemento di un
" insieme corrisponde uno e un solo elemento dell'altro insieme e viceversa.
Per affermare che tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza biunivoca, è necessario
che sia definita una legge che associa a ogni elemento a E A, uno e un solo elemento
bE B, e viceversa a ogni bE B uno e un solo elemento a E A. La corrispondenza biuni
voca fra gli elementi di A e quelli di B viene anche detta trasformazione tra A e B.
12 ······································································ MATEMATICA 1 ...................................................... ©ALPHA TEST
1.3 Operazioni con gli insiemi
1.3.1 lntersezione o prodotto logico (and)
L'insieme intersezione di A e B è l'insieme degli elementi appartenenti contemporanea
mente ad A e a B, ossia a entrambi gli insiemi. In simboli:
An B={XIXE AeXE B)
A = {0, 3, 8}; B = {0, 3, 22, 70}: A n B = {0, 3}
r:Jr
A
1.3.2 Unione o somma logica (or)
L'insieme unione di A e B è l'insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B, ossia
ad almeno uno dei due insiemi. In simboli:
A u B = {x l x E A oppure x E B)
A = {0, 3, 8}; B = {0, 3, 22, 70}: A u B = {0, 3, 8, 22, 70}
r:Jr
A
1.3.3 Differenza
L'insieme differenza di A e B (considerati in questo ordine) è l'insieme degli elementi di A
non appartenenti a B. In simboli:
A-B = {x l x E A e x e B)
A= {0, 3, 8}; B = {0, 3, 22, 70}: A- B= {8}
r:Jr
A
1.3.4 Complemento o negazione logica (not)
L'insieme complementare di A è l'insieme di tutti gli elementi dell'ambiente U non appar
tenenti a A. In simboli:
A ~ {x l x E U e x e A}
A= {O, 3, 8}; u ={O, 3, 8, 22, 70}: A = {22, 70}
r:Jr
A
CIALPHA TEST ................................................. TEORIA DEGLI INSIEMI ............................................................... 13