Markov Decision Processes in Artificial Intelligence

466 Pages·2010·19.098 MB·English

by  Olivier Sigaud, Olivier Buffet

Markov Decision Processes in Artificial Intelligence
Markov Decision Processes
in Artificial Intelligence
MDPs, Beyond MDPs and Applications

Edited by
Olivier Sigaud
Olivier Buffet
First published 2008 in France by Hermes Science/Lavoisier in two volumes entitled: Processus
décisionnels de Markov en intelligence artificielle © LAVOISIER 2008
First published 2010 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
Apart from any fair dealing for the purposes of research or private study, or criticism or review, as
permitted under the Copyright, Designs and Patents Act 1988, this publication may only be reproduced,
stored or transmitted, in any form or by any means, with the prior permission in writing of the publishers,
or in the case of reprographic reproduction in accordance with the terms and licenses issued by the
CLA. Enquiries concerning reproduction outside these terms should be sent to the publishers at the
undermentioned address:
ISTE Ltd John Wiley & Sons, Inc.
27-37 St George’s Road 111 River Street
London SW19 4EU Hoboken, NJ 07030
UK USA
www.iste.co.uk www.wiley.com
© ISTE Ltd 2010

The rights of Olivier Sigaud and Olivier Buffet to be identified as the authors of this work have been
asserted by them in accordance with the Copyright, Designs and Patents Act 1988.

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Markov decision processes in artificial intelligence : MDPs, beyond MDPs and applications / edited by
Olivier Sigaud, Olivier Buffet.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-1-84821-167-4
1. Artificial intelligence--Mathematics. 2. Artificial intelligence--Statistical methods. 3. Markov
processes. 4. Statistical decision. I. Sigaud, Olivier. II. Buffet, Olivier.
Q335.M374 2010
006.301'509233--dc22
2009048651

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-84821-167-4

Printed and bound in Great Britain by CPI Antony Rowe, Chippenham and Eastbourne
Table of Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
ListofAuthors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
PART1.MDPS: MODELS AND METHODS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chapter1.MarkovDecisionProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
FrédérickGARCIAandEmmanuelRACHELSON
1.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.Markovdecisionproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1.Markovdecisionprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2.Actionpolicies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3.Performancecriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.Valuefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1.Thefinitecriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2.Theγ-discountedcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3.Thetotalrewardcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4.Theaveragerewardcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.Markovpolicies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1.Equivalenceofhistory-dependentandMarkovpolicies . . . . . . 12
1.4.2.MarkovpoliciesandvaluedMarkovchains . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.Characterizationofoptimalpolicies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1.Thefinitecriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1.1.Optimalityequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1.2.EvaluationofadeterministicMarkovpolicy . . . . . . . . . 15
1.5.2.Thediscountedcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2.1.EvaluationofastationaryMarkovpolicy . . . . . . . . . . . 16
1.5.2.2.Optimalityequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3.Thetotalrewardcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
v
vi MarkovDecisionProcessesinAI
1.5.4.Theaveragerewardcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.4.1.EvaluationofastationaryMarkovpolicy . . . . . . . . . . . 24
1.5.4.2.Optimalityequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.OptimizationalgorithmsforMDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1.Thefinitecriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2.Thediscountedcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2.1.Linearprogramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2.2.Thevalueiterationalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2.3.Thepolicyiterationalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.3.Thetotalrewardcriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.3.1.PositiveMDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.3.2.NegativeMDPs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.4.Theaveragecriterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.4.1.Relativevalueiterationalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.4.2.Modifiedpolicyiterationalgorithm . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.Conclusionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapter2.ReinforcementLearning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
OlivierSIGAUDandFrédérickGARCIA
2.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1.Historicaloverview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.Reinforcementlearning:aglobalview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1.Reinforcementlearningasapproximatedynamicprogramming. . 41
2.2.2.Temporal,non-supervisedandtrial-and-errorbasedlearning . . . 42
2.2.3.Explorationversusexploitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.4.Generalpreliminariesonestimationmethods . . . . . . . . . . . . 44
2.3.MonteCarlomethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.FromMonteCarlototemporaldifferencemethods . . . . . . . . . . . . 45
2.5.Temporaldifferencemethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1.TheTD(0)algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2.TheSARSAalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.3.TheQ-learningalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.4.TheTD(λ),SARSA(λ)andQ(λ)algorithms . . . . . . . . . . . . 51
2.5.5.EligibilitytracesandTD(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.6.FromTD(λ)toSARSA(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.7.Q(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.8.TheR-learningalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.Model-basedmethods:learningamodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.1.Dynaarchitectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6.2.TheE3algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.3.TheR algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
max
Contents vii
2.7.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.8.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Chapter3.ApproximateDynamicProgramming . . . . . . . . . . . . . . . 67
RémiMUNOS
3.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.Approximatevalueiteration(AVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1.Sample-basedimplementationandsupervisedlearning . . . . . . 71
3.2.2.AnalysisoftheAVIalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.3.Numericalillustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.Approximatepolicyiteration(API). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1.AnalysisinL∞-normoftheAPIalgorithm . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2.Approximatepolicyevaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3.Linearapproximationandleast-squaresmethods . . . . . . . . . . 80
3.3.3.1.TD(λ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3.2.Least-squaresmethods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.3.3.Linearapproximationofthestate-actionvaluefunction . . . 85
3.4.DirectminimizationoftheBellmanresidual . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.TowardsananalysisofdynamicprogramminginLp-norm . . . . . . . 88
3.5.1.IntuitionofanLpanalysisindynamicprogramming. . . . . . . . 89
3.5.2.PACboundsforRLalgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Chapter4.FactoredMarkovDecisionProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ThomasDEGRISandOlivierSIGAUD
4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.ModelingaproblemwithanFMDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.1.Representingthestatespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2.TheCoffeeRobotexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.3.Decompositionandfunction-specificindependence . . . . . . . . 101
4.2.3.1.Transitionfunctiondecomposition . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.3.2.DynamicBayesiannetworksinFMDPs . . . . . . . . . . . . 103
4.2.3.3.FactoredmodelofthetransitionfunctioninanFMDP. . . . 104
4.2.3.4.Factoredmodeloftherewardfunction. . . . . . . . . . . . . 105
4.2.4.Context-specificindependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.PlanningwithFMDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.1.Structuredpolicyiterationandstructuredvalueiteration. . . . . . 108
4.3.1.1.Decisiontrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.1.2.Representationofthetransitionfunction . . . . . . . . . . . 108
4.3.1.3.Representationoftherewardfunction . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1.4.Representationofapolicy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1.5.Representationofthevaluefunction . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.1.6.Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
viii MarkovDecisionProcessesinAI
4.3.2.SPUDD:stochasticplanningusingdecisiondiagrams . . . . . . . 112
4.3.2.1.RepresentingthefunctionsofanFMDPwithADDs . . . . . 113
4.3.2.2.Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.3.ApproximatelinearprogramminginFMDPs . . . . . . . . . . . . 115
4.3.3.1.Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.3.2.Representationofthetransitionfunction . . . . . . . . . . . 116
4.3.3.3.Representationoftherewardfunction . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.3.4.Policyrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.3.5.Representationofthevaluefunction . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3.6.Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.Perspectivesandconclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Chapter5.Policy-GradientAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
OlivierBUFFET
5.1.Reminderaboutthenotionofgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.1.Gradientofafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.2.Gradientdescent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.Optimizingaparameterizedpolicywithagradientalgorithm . . . . . . 130
5.2.1.ApplicationtoMDPs: overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.1.1.Firstattempttodefineaparameterizedpolicy. . . . . . . . . 131
5.2.1.2.Exampleofdefinitionofaparameterizedpolicy . . . . . . . 131
5.2.2.Finitedifferencemethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.3.Gradientestimationoff inanMDP,caseofthefinite
timehorizon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.3.1.Timehorizon1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.3.2.TimehorizonT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.4.Extensiontotheinfinitetimehorizon:discountedcriterion,
averagecriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.4.1.Caseofaregenerativeprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.4.2.Usingamovingwindow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.4.3.Usingadiscountfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.5.Partiallyobservablecase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.6.Continuousactionspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.Actor-criticmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3.1.AgradientestimatorusingtheQ-values . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3.2.Compatibilitywithanapproximatevaluefunction . . . . . . . . . 144
5.3.2.1.ApproximatingQθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.2.2.Compatibilityoftheapproximators . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.3.Anactor-criticalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Contents ix
Chapter6.OnlineResolutionTechniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
LaurentPÉRETandFrédérickGARCIA
6.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.1.1.Exploitingtimeonline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.1.2.Onlinesearchbysimulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2.OnlinealgorithmsforsolvinganMDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.1.Offlinealgorithms,onlinealgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.2.Problemformalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2.2.1.Forwardsearchoverareasoninghorizon . . . . . . . . . . . 156
6.2.2.2.Treeorgraph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2.2.3.Complexityandefficiencyoftheforwardsearch . . . . . . . 157
6.2.3.OnlineheuristicsearchalgorithmsforMDPs . . . . . . . . . . . . 158
6.2.3.1.Generalprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2.3.2.TheRTDPalgorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2.3.3.TheLAO∗ algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.4.Kearns,MansourandNg’ssimulation-basedalgorithm . . . . . . 163
6.2.4.1.ComplexityandconvergenceofKearnsetal.’salgorithm . . 165
6.2.4.2.Efficiencyandpracticalconsiderations . . . . . . . . . . . . 165
6.2.5.TesauroandGalperin’srolloutalgorithm . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2.5.1.Complexityandconvergenceoftherolloutalgorithm . . . . 166
6.2.5.2.Efficiencyoftherolloutalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3.Controllingthesearch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.3.1.Errorboundsandpathologyoftheforwardsearch . . . . . . . . . 168
6.3.1.1.Pathologyofthesimulation-basedforwardsearch . . . . . . 168
6.3.1.2.Searchingforagoodcompromisebetweendepth
andwidth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.2.Iterativeallocationofsimulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.2.1.Multi-armedbanditsandexplorationinMDPs . . . . . . . . 171
6.3.3.Focusedreinforcementlearning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3.3.1.Globalsamplingerrorestimation. . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.3.2.Organizingthesearchinsuccessivetrajectories . . . . . . . 175
6.3.3.3.Convergenceandpracticalconsiderations . . . . . . . . . . . 176
6.3.4.Controlledrollout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.4.1.Choiceofthehorizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.4.2.Iterativeallocationofsimulations . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
PART2.BEYOND MDPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Chapter7.PartiallyObservableMarkovDecisionProcesses . . . . . . . . 187
AlainDUTECHandBrunoSCHERRER
7.1.FormaldefinitionsforPOMDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.1.DefinitionofaPOMDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
x MarkovDecisionProcessesinAI
7.1.2.Performancecriteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1.3.Informationstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.1.3.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.1.3.2.Completeinformationstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.3.3.Sufficientstatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.3.4.Beliefstates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.4.Policy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.1.5.Valuefunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.Non-Markovianproblems:incompleteinformation. . . . . . . . . . . . 196
7.2.1.Adaptedpolicies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.2.Discountedreward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.2.1.Adaptedstochasticpolicies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.2.2.Adaptedvaluefunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.2.3.Convergenceofadaptedalgorithms . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.3.Adaptedalgorithmsandadaptedaveragerewardcriterion . . . . . 201
7.3.Computationofanexactpolicyoninformationstates . . . . . . . . . . 202
7.3.1.Thegeneralcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.1.1.Finitehorizon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.1.2.Infinitehorizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.3.2.Beliefstatesandpiecewiselinearvaluefunction . . . . . . . . . . 203
7.3.2.1.Choiceoftheθvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3.2.2.Infinitehorizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.Exactvalueiterationalgorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.1.Stepsforthedynamicprogrammingoperator . . . . . . . . . . . . 207
7.4.2.AparsimoniousrepresentationofV . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.4.2.1.Region. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.4.2.2.Parsimoniousrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.2.3.Pruningofdominatedvectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.2.4.Pruning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.2.5.Choiceofavectorforabeliefstate . . . . . . . . . . . . . . 215
7.4.3.TheWITNESSalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.4.3.1.Neighborhoodofavector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.4.3.2.Thealgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4.4.Iterativepruning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4.4.1.Completeenumeration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4.4.2.Incrementalenumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.5.Policyiterationalgorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.6.Conclusionandperspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.7.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chapter8.StochasticGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
AndriyBURKOV,LaëtitiaMATIGNONandBrahimCHAIB-DRAA
8.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Contents xi
8.2.Backgroundongametheory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2.1.Somebasicdefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2.1.1.Criteriadistinguishingdifferentformsofgames . . . . . . . 230
8.2.2.Staticgamesofcompleteinformation . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.2.1.Gamesinstrategicform,purestrategy,mixedstrategy. . . . 232
8.2.2.2.Zero-sumgameandminimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2.2.3.Equilibriumindominatingstrategies. . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.2.4.Nashequilibrium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.2.3.Dynamicgamesofcompleteinformation . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2.3.1.Gamesinextensiveformwithperfectinformation . . . . . . 241
8.2.3.2.Repeatedgames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.3.Stochasticgames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.3.1.Definitionandequilibriumofastochasticgame . . . . . . . . . . 246
8.3.2.Solvingstochasticgames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3.2.1.Gamemodelavailable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.3.2.2.Gamemodelunavailable,A−iobserved,equilibrium
learners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.3.2.3.Gamemodelunavailable,A−iobserved,opponent
modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.3.2.4.Gamemodelunavailable,A−inotobserved . . . . . . . . . 256
8.3.3.Complexityandscalabilityofmulti-agentlearningalgorithms . . 262
8.3.4.Beyondthesearchforanequilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3.4.1.Efficientplay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3.4.2.Regretminimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.3.4.3.Metastrategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.3.5.Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.4.Conclusionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.5.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Chapter9.DEC-MDP/POMDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
AurélieBEYNIER,FrançoisCHARPILLET,DanielSZERand
Abdel-IllahMOUADDIB
9.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2.Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.3.MultiagentMarkovdecisionprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.4.Decentralizedcontrolandlocalobservability . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.4.1.DecentralizedMarkovdecisionprocesses . . . . . . . . . . . . . . 281
9.4.2.Multiagentteamdecisionproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.4.3.Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.5.Sub-classesofDEC-POMDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.5.1.Transitionandobservationindependence . . . . . . . . . . . . . . 285
9.5.2.GoalorientedDEC-POMDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.5.3.DEC-MDPswithconstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288