Математические модели теоретической физики с примерами решения задач в СКМ Maple: [курс леекций с примерами задач в пакете Maple]

264 Pages·2016·3.337 MB·Russian

by  Ю. Г. Игнатьев, А. А. Агафонов , Казанский федеральный (Приволжский) университет, Институт математики и механики имени Н. И. Лобачевского

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
спримерамирешениязадачвСКМMaple
Ю.Г.Игнатьев, А.А.Агафонов
Казанский(Приволжский)федеральныйуниверситет
Институтматематикиимеханикиим.Н.И.Лобачевского
Казанскийуниверситет
2016
УДК530.12+531.51+517.944+519.713+514.774
ББК22.632
B87
ПечатаетсяпорекомендацииУченогосовета
Институтаматематикиимеханикиим.Н.И.Лобачевского
ИзбранныематериалыМеждународногонаучногосеминара«Нелинейныемоделив
механике,статистике,теорииполяикосмологии»Казань,5-7ноября2016г.(GRACOS-
2016).Т.2./ИгнатьевЮ.Г.,АгафоновА.А.Математическиемоделитеоретической
физикиспримерамирешениязадачвСКМMaple.–Казань:Казанскийуниверситет,
И20з1(cid:262)6-в,о- 2А6Н6 сР.Т- , I2S0B1N6.9 7–8 -256-49 4с.9 9–0 0IS1B0-N9 .978-5-9690-0318-7
профессоркафедрытеоретическойфизикиМосковскогогосудар-
ственногоуниверситетаим.М.В.Ломоносова,д.ф.-м.н.ГальцовД.В.
Рецензенты:
. профессоркафедрытеоретическоймеханикиимехатроникиНацио-
нальногоисследовательскогоуниверситета«Московскийэнергетиче-
скийинститут»,д.ф.-м.н.,КирсановМ.Н.
Вучебникеданократкоеизложениеосновтеоретическойфизикивформелекцийдля
студентов-математиковИнститутаматематикиимеханикиКазанскогофедерального
университетапокурсам«Математическиеосновыфизики»и«Математическиемодели
теоретическойфизики».Вучебникенаосновепринципанаименьшегодействияипринци-
паобщейковариантности,Лагранжевогоформализмаипринциповсимметрииизложены
основытеоретическоймеханики,включаярелятивистскую,иклассическойтеорииполя,
включаярелятивистскуютеориюгравитацииикосмологию.Лекциидополненырешени-
емтиповыхзадач,каканалитическимиметодами,такиметодамипрограммированияв
прикладномматематическомпакетеMaple.Вконцекаждойлекциисодержитсясписок
рекомендуемойлитературы.Учебникпредназначендлястудентовфизико-математических
факультетовуниверситетов,атакжемагистрантовиаспирантов,специализирующихсяв
областитеоретическойфизикииматематическогомоделирования. Ил.95.Библиогр.31.
назв.
Thetextbookisabriefpresentationofthefoundationsoftheoreticalphysicsintheform
oflecturesforstudents-MathematicsInstituteofMathematicsandMechanics,KazanFederal
Universitycourses«MathematicalFoundationsofPhysics»and«MathematicalModelsofTheoretical
Physics».Inthetextbookonthebasisofprincipleofleastactionandtheprincipleofgeneral
covariance,Lagrangianformalismandsymmetryprinciplesofthefundamentalsoftheoretical
mechanics,includingrelativisticandclassicalfieldtheory,includingtherelativistictheoryof
gravitationandcosmology.Lecturesaresupplementedtocarryouttasksasanalyticalmethodsand
programmingmethodsinappliedmathematicspackageMaple.Attheendofeachlecture,alist
ofrecommendedliterature.Thetextbookisdesignedforstudentsofphysicalandmathematical
facultiesofuniversities,aswellasundergraduateandgraduatestudentsspecializinginthefield
oftheoreticalphysicsandmathematicalmodeling.
ISBN 978-5-9690-0318-7 © (cid:580)(cid:602)(cid:609)(cid:602)(cid:615)(cid:619)(cid:612)(cid:610)(cid:611) (cid:621)(cid:615)(cid:610)(cid:604)(cid:607)(cid:618)(cid:619)(cid:610)(cid:620)(cid:607)(cid:620), 2016
© (cid:578)(cid:605)(cid:615)(cid:602)(cid:620)(cid:630)(cid:607)(cid:604) (cid:600).(cid:573)., 2016
© (cid:578)(cid:609)(cid:606)(cid:602)(cid:620)(cid:607)(cid:613)(cid:630)(cid:619)(cid:620)(cid:604)(cid:616) (cid:570)(cid:612)(cid:602)(cid:606)(cid:607)(cid:614)(cid:610)(cid:610) (cid:615)(cid:602)(cid:621)(cid:612) (cid:586)(cid:588), 2016
Оглавление
Обэтойкниге 8
Введение,8 •Структуракниги,10
1 Динамическиесистемыифазовоепространство 11
Понятиеодинамическойсистемеидинамическихпеременных,11 •
Понятиеодинамическойсистемеистепеняхеесвободы,11 •
Фазовоепространстводинамическойсистемы,13 •Принципнаи-
меньшегодействия(ПНД),15 •Дополнительныесвойствафункции
Лагранжа,17
Литератураклекции,18
Математическаямодельдвижениятелаводнородномполетяжести
приналичиитрения,18
2 ЭлементывариационногоисчисленияивыводуравненийЭйлера-
Лагранжа 25
Простаяпостановкавариационнойзадачи,25 •Вариацияиеесвой-
ства,26 •ВыводуравненияЭйлера,29
Литератураклекции,33
Задачивариационногоисчисления,33
3 Принципнаименьшегодействиянапримерегеодезических 37
Геодезическаякаккратчайшая,соединяющаядветочкиповерхности,
37 •Выводуравненийгеодезических,38 •Интегралуравненийгео-
дезических,39 •Примерыгеодезических,40 •Математические
моделигеометрическойоптики,43
Литератураклекции,47
Построениегеодезическихлинийнаповерхности,47
Компьютерноемоделированиепучкасветовыхлучейвнеоднород-
нойанизотропнойоптическойсреде,54
Компьютерноемоделированиедисперсиисветовыхлучейвнеодно-
роднойанизотропнойоптическойсреде,60
4 Механическиесистемы 65
Преобразованиеевклидовапространства,65 •Группапреобразова-
нийевклидовапространстваигруппапреобразованийГалилея,65 •
Классическаямеханикаоднойчастицы,66
Литератураклекции,68
Задача,68
4 Оглавление
5 Теорияодномерныхколебаний 73
Одномерныеколебаниямеханическойсистемывблизиточкиравно-
весия,73 •Линейныеодномерныеколебаниямеханическойсисте-
мы:вынужденныеколебания,76 •Линейныеодномерныеколебания
механическойсистемы:резонанс,76 •Линейныеодномерныеколе-
баниямеханическойсистемы:диссипативныепроцессы,77
Литератураклекции,79
Моделированиелинейныхколебаний,80
6 Математическаямодельнелинейныхколебаний 90
Нелинейныеодномерныеколебаниямеханическойсистемывблизи
точкиравновесия,90 •Механизмспонтанногонарушениясимме-
трии,91
Литератураклекции,92
Численноемоделированиеспонтанногонарушениясимметриив
СКМMaple,93
7 Движениевцентрально-симметрическомполе 99
Постановказадачиодвижениичастицывцентрально-симметри-
ческомполе,99 •Принципобщейковариантностииопределение
тензора,99•Ковариантноедифференцирование,101•Ковариантное
обобщениеуравненийдвижения,101 •Уравнениядвижениявцен-
трально-симметрическомполе,102 •Решениеуравненийдвижения
вцентрально-симметрическомполе,103
Литератураклекции,107
Компьютерноемоделированиедвижениятелавцентрально-сим-
метрическомполевСКМMaple,107
8 Основырелятивистскоймеханики 116
Принципыспециальнойтеорииотносительности,116 •Двумерные
преобразованияЛоренца-Пуанкаре,119 •Законсложенияскоростей
исокращениепромежутков,120 •Четырехмерныйвекторскорости,
121 •Импульс-энергияиформулаЭйнштейна,122 •Дефектмассыи
распадчастиц,123
Литератураклекции,124
Задачао«парадоксеблизнецов»,124
9 Уравнениядвижениязарядавэлектромагнитномполе 129
Четырехмерныйвекторныйпотенциалэлектромагнитногополя,129•
Действиедлячастицывэлектромагнитномполе;уравнениядвиже-
ниязаряда,130 •Уравнениядвижениязарядаитензорэлектромаг-
нитногополя,131 •Уравнениядвижениязарядаи“3+1”-разбиение,
131•ТензорМаксвеллаидискриминантныйтензор,132•Инварианты
Оглавление 5
электромагнитногополя,134 •“3+1”–разбиениеуравненийдвиже-
ния,интегралэнергии,136
Литератураклекции,137
АлгебраическиеоперациинадтензорамивСКМMaple,137
10 Движениезаряженныхчастиц:интегрированиеуравненийЭйлера-
Лагранжа 141
Постоянныеиоднородныеэлектромагнитныеполя,141 •Движение
впостоянномоднородномэлектрическомполе,142 •Движениев
постоянномоднородноммагнитномполе,143 •Движениевпостоян-
ныходнородныхскрещенныхполях,144 •Движениевпостоянных
однородныхскрещенныхполяхсучетомтрения,145
Литератураклекции,146
Математическоеикомпьютерноемоделированиедвиженияэлектри-
ческогозарядавскрещенныхэлектрическомимагнитномполях,147
11 ЧетырехмерныйвекторплотноститокаиуравненияМаксвелла 153
Четырехмерныйвекторплотноститокаиуравнениенепрерывности,
153 •ФункцияДиракаиеесвойства,154 •Многомернаяδ-функция
иинвариантнаяфункцияисточника,156 •Четырехмерныйвектор
плотноститокаизаконсохранениязаряда,157 •УравненияМаксвел-
лаимонопольДирака,160 •ЧастныерешенияуравненийМаксвелла:
поленеподвижноготочечногозаряда,161 •Частныерешенияурав-
ненийМаксвелла:поледвижущегосяточечногозаряда–потенциалы
Лиенара-Вихерта,162
Литератураклекции,163
ОбобщенныефункциивСКМMaple,164
12 Тензорэнергии-импульсаэлектромагнитногополя 170
Общиепринципыполучениятензораэнергии-импульса,170•Тензор
энергии-импульсаэлектромагнитногополя,172 •Тензорэнергии-
импульсачастиц,173
Литератураклекции,175
КомпьютерноемоделированиепотенциальныхполейвСКМMaple,
175
13 Принципырелятивистскойтеориигравитации 183
Принципэквивалентностиигеометрическийхарактергравитаци-
онного поля, 183 • Николай Иванович Лобачевский – Коперник
геометрии,186 •КовариантноедифференцированиеитензорРима-
на,188 •СвойстватензораРимана,188 •УравненияЭйнштейна,189
Литератураклекции,189
ТензорныевычислениявтеориигравитациивСКМMaple,190
6 Оглавление
14 Линейноеприближениеобщейтеорииотносительности 196
РазложениетензораРиманапослабостигравитационногополя,196•
Разложениетензораэнергии-импульса,198 •Уравнениялинейной
теориигравитациииихрешения,199 •Гравитационныеволны,200
Литератураклекции,202
Моделированиемалыхвозмущенийсферическисимметричногопро-
странства-временивСКМMaple,202
15 Сферически-симметричныегравитационныеполя 208
СвязьтеориигравитациистеориейгруппЛи,208 •Казанскийгео-
метр–физиктеоретикАлексейЗиновьевичПетров,209•Сферическая
симметрия,алгебраическаяструктуратензораЭйнштейна,211 •Вы-
числениеметрическихвеличинвслучаесферическойсимметрии,
212 •УравненияЭйнштейнадляслучаясферическойсимметрии,
212 •РешениеШварцшильда,214
Литератураклекции,215
Математическоеикомпьютерноемоделированиедвижениямассив-
нойчастицывметрикеШваршильда,216
16 ТеорияФридманаизотропнойоднороднойВселенной 225
ПочемунашаВселеннаяоднородная,изотропнаяиневсегдабы-
латакой,каксейчас?,225 •Трехмерныепространствапостоянной
кривизныиметрикиФридмана,226 •Создательтеориирасширя-
ющейся Вселенной – Александр Александрович Фридман, 229 •
КинематикаВселеннойФридмана,229 •УравненияЭйнштейнаи
законысохранения,231 •РешенияФридмана,232
Литератураклекции,234
ТензорныевычислениядляметрикиФридманавСКМMaple,235
17 ГорячаямодельВселеннойГеоргияГамова 240
ОсновоположниктеоретическойастрофизикиигорячеймоделиВсе-
ленной–ГеоргийАнтоновичГамов,240 •Локальноетермодинами-
ческоеравновесие,240 •Локальноетермодинамическоеравновесие:
макроскопическиескаляры,241 •Законысохраненияиэволюция
температуры:нерелятивистскийгаз,243 •Законысохраненияиэво-
люциятемпературы:ультрарелятивистскийгаз,244 •ФермииБозе
газыэлементарныхчастиц,244
Литератураклекции,247
18 КосмологическаяпостояннаяиускорениеВселенной 248
Стандартнаякосмологическаямодельсоскалярнымвакуумом,248 •
Основныесоотношениястандартнойкосмологическоймодели,249 •
КачественныйанализдинамическойсистемыСКМ,250 •Фазовые
траекториидинамическойсистемы(18.25),254
Литератураклекции,255
Оглавление 7
КачественнаятеорияОДУвСКМMaple,257
Приложения 258
Физическиеконстантыиразмерностьфизическихединиц,258 •
Списокобозначений,259 •ФункцииБесселямнимогоаргумента,260
Списоклитературы 261
Об этой книге
Введение
ВниманиюЧитателяпредлагаетсякнига,посвященнаякраткомуизложению
основтеоретическойфизикивклассическойеечасти,обращеннаяпреждевсего
студентам-математикам.Главнойцельюкнигиявляетсядонесениеосновныхпо-
ложенийтеоретическойфизикидлячитателей,слабознакомыхсфизическими
методамиисследования,длякоторыхтакназываемые«физическиесоображе-
ния»,плотнонаселяющиекнигипофизике,представляютсятуманнымиаб-
стракциями,этакимиразломамиматематическойлогики.Какпоказываетопыт,
переводэтихфизическихсоображенийнастрогийматематическийязыкпорой
представляетвесьмагромоздкуюпоследовательностьопераций,выполнение
которыхрезко«раздувает»объемтекста,приэтомсамасущностьфизического
явлениячастоотходитнавторойплан.Поэтомуприпопыткенаписаниятакой
книгиученыйсталкиваетсяспроблемойнахождения«точкиравновесия»меж-
дустрогостьюизложенияматериалаиегообъемом.Последнийопределяется
учебнойпрограммойдисциплины:наматмехеКФУ–это17лекцийдлястуден-
товпрофиля«Математикаикомпьютерныенауки»и20лекцийдлястудентов
педагогическогопрофиля.Приэтомнадоучитывать,чтокурсаобщейфизики
этистудентынепроходили,ауровеньсовременнойшкольнойподготовкипо
физикиоставляеточеньжелатьлучшего.
Следуетотметить,чтопопыткасозданиятакогоучебникаужепредпринима-
ласьпрофессоромМосковскогоуниверситетаД.В.Гальцовым[1],ноегоучебник
посвящен,восновном,теорииполя,какклассической,такиквантовой,ина-
писанязыком,понятным,можетбыть,студентаммехматаМГУ,нодостаточно
сложным,например,дляпониманияматематикам-педагогамилиматематикам-
информатикам.Поэтомунашучебниксодержитнекоторыематематические
вставки,посвященные,например,ковариантномудифференцированию,свой-
ствамтензораРимана,δ-функцииДирака,группамЛиит.п.Длякомпенса-
циинеобходимогообразовательногоминимумапофизикеАвторыприбеглик
максимальнойиллюстративностиучебника,иллюстрируяосновныепонятия
рисунками(цветнымивэлектроннойверсии).Крометого,приразработкекурса
иучебникабылапримененаосновнаяидеяосновоположникаматематическо-
гомоделированияакадемикаА.А.Самарского[2]–триадыматематического
моделирования.
СогласноА.А.Самарскому«...математическаямодель-этоэквивалентобъ-
екта,отражающийвматематическойформеважнейшиеегосвойства-законы,
которымонподчиняется,связи,присущиесоставляющимегочастям,ит.д.»[2],
причем«...самапостановказадачиоматематическоммоделированиикакого-
либообъектапорождаетчеткийпландействий.Егоможноусловноразбитьна
9
триэтапа:модель-алгоритм-программа(см.Рис.1).
Рис.1 ТриадаматематическогомоделированияпоакадемикуСамарскому.
Напервомэтапевыбирается(илистроится)“эквивалент”объекта,отража-
ющийвматематическойформеважнейшиеегосвойства-законы,которым
онподчиняется,связиприсущиесоставляющимегочастямит.д..Математи-
ческаямодель(илиеефрагменты)исследуетсятеоретическимиметодами,что
позволяетполучитьважныепредварительныезнанияобобъекте.
Второйэтап-выбор(илиразработка)алгоритмадляреализациимоделина
компьютере.Модельпредставляетсявформе,удобнойдляприменениячислен-
ныхметодов,определяетсяпоследовательностьвычислительныхилогических
операций,которыенужно.произвести,чтобынайтиискомыевеличинысза-
даннойточностью.Вычислительныеалгоритмыдолжнынеискажатьосновные
свойствамоделии,следовательно,исходногообъекта,бытьэкономичнымии
адаптирующимисякособенностямрешаемыхзадачииспользуемыхкомпьюте-
ров.
Натретьемэтапесоздаютсяпрограммы,“переводящие”модельиалгоритм
надоступныйкомпьютеруязык.Книмтакжепредъявляютсятребованияэко-
номичностииадаптивности.Ихможноназвать“электронным”эквивалентом
изучаемогообъекта,ужепригоднымдлянепосредственногоиспытанияна“экс-
периментальнойустановке”-компьютере.Создавтриаду“модель-алгоритм
-программа”,исследовательполучаетврукиуниверсальный,гибкийинедо-
рогойинструмент,которыйвначалеотлаживается,тестируетсяв“пробных”
вычислительныхэкспериментах.Послетогокакадекватность(достаточноесо-
ответствие)триадыисходномуобъектуудостоверена,смодельюпроводятся
разнообразныеиподробные“опыты”,дающиевсетребуемыекачественные
иколичественныесвойстваихарактеристикиобъекта.Процессмоделирова-
10 Обэтойкниге
ниясопровождаетсяулучшениемиуточнением,померенеобходимости,всех
звеньевтриады...».
Такимобразом,академикА.А.Самарскийдалчеткое,ставшееклассическим,
определениеобъектаматематическогомоделированияиосновныхзадачмате-
матическогомоделирования.Этаидеяматематическогомоделированияибыла
положенавосновуданногокурса—т.е.,мыпопыталисьсвестиисследование
физическихобъектовиявленийкпостроениюихматематическихикомпьютер-
ныхмоделей.Этаидеяразвиваласьс2004годаоднимизАвторов(см.,например,
[3]).Еслиотносительнопервыхдвухэтаповсозданияматематическоймодели
всеотносительноясно,тотретийэтапмоделированияможетбытьосуществ-
ленразличнымипрограммнымисредствами.Намивыбранадляэтогосистема
компьютернойматематики(СКМ)Maple.Рядисследованийпоказывает,что
этасистемаявляетсянаиболеепростой,удобнойифункциональнойдляреше-
ниязадачфизико-математическогообразования.Укажемнадваучебникапо
теоретическоймеханики,созданныенаосновеиспользованияMaple,–[4],[5].В
рядекнигВ.З.Аладьева,Д.П.Голоскокова,В.П.Дьяконова,идр.такжерассмот-
ренызадачиматематическогомоделированияразличныхфизическихсистемв
СКМMaple[6]–[15].Отметим,чтокомпьютерныеклассыинститутаматемати-
киимеханикиим.Н.И.ЛобачевскогоКазанскогофедеральногоуниверситета
обеспеченылицензионнымиверсиямипакетовMaple18иMathematica8,что
даетвозможностьреализоватьуказаннуюидею.Следуеттакжеотметить,что
курсулекцийобычнопредшествует«нулевая»лекциявформатеинтерактив-
нойпрезентацииЮ.Г.Игнатьева«Современныезнанияоструктуреиэволюции
Вселенной»,имеющейсвоейцельюмотивироватьстудентовнаизучениеданно-
гокурса,атакжечастичнокомпенсироватьизъянысовременногошкольного
образованиявобластифизикииастрономии.Подробностикомпьютерного
моделированиявСКМMapleЧитательможетнайтивкнигеЮ.Г.Игнатьева[3].
Структуракниги
Учебникнаписанвформатеконспектовлекцийсприложениямизадачпотеме
идополнительнойлитературойпотемелекции.Какуказывалось,большинство
задачсодержитпрограммнуюреализациювкодахматематическихмоделей
исследуемыхявлений.Общийсписоклитературынаходитсявконцекниги.Лек-
ции,какирисункикним,подготовленыпрофессоромЮ.Г.Игнатьевым,задачи,
какирисункикним,разработаныпрофессоромЮ.Г.Игнатьевымик.ф.-м.н.
А.А.Агафоновым.Оформлениекнигииподготовкамакетакизданиювыполне-
ныА.А.Агафоновым.Вконцекнигисодержитсятакженекотораясправочная
информация,подготовленнаяЮ.Г.Игнатьевым.
АвторыбудутблагодарныЧитателямзаотзывыокнигеикритическиезаме-
чания.Следуетотметить,чтолекцииввидеотдельныхpdf-файловразмещены
такженаличнойстраницеЮ.Г.Игнатьева(http://kpfu.ru/main?p_id=28384).
Авторы