Manuskript zur Vorlesung Ringe und Moduln [Lecture notes]

58 Pages·2005·0.307 MB·German

by  Dieter Neßelmann

Manuskript zur Vorlesung
Ringe und Moduln
gehalten an der
U n i v e r s i t ¨a t R o s t o c k
von
Prof. Dr. Dieter Neßelmann
Rostock, Juli 2005
Fassung vom 13. Oktober 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe 1
2 Ideale in kommutativen Ringen 22
3 Kettenbedingungen 29
4 Halbeinfache Ringe und Moduln 38
5 Struktur halbeinfacher Ringe 46
1 Grundbegriffe
Ringe
Wir geben zun¨achst eine Reihe von Definitionen an zu den Grundbegriffen Ring, Ideal,
Modul, die sp¨ater verwendet werden. Diese Begriffe sind zum Teil aus der Algebra-
Vorlesung bekannt. Die Definitionen beziehen sich durchweg auf den allgemeinen Fall,
bei dem die Kommutativit¨at nicht gefordert wird. Alle Einschr¨ankungen auf die Kom-
mutativit¨at werden explizit benannt.
Definition 1.1: Ein Ring (R, +, ·) ist eine nicht-leere Menge R zusammen mit zwei
bin¨aren Operationen
+ : R×R −→ R (Addition)
· : R×R −→ R (Multiplikation)
mit folgenden Eigenschaften:
a) (R, +) ist eine abelsche Gruppe (mit dem ”neutralen Element” 0:
∀a ∈ R gilt 0·a = a·0 = 0)
b) (R, ·) ist assoziativ: a·(b·c) = (a·b)·c
c) · ist links- und rechtsdistributiv u¨ber +:
a·(b+c) = a·b+a·c
(b+c)·a = b·a+c·a.
Wir setzen daru¨ber hinaus stets voraus, dass R ein Einselement 1 besitzt:
∀a ∈ R gilt a·1 = 1·a = a.
Ist R 6= {0}, dann ist auch 1 6= 0 (andernfalls w¨are ∀a ∈ R : a = a·1 = 1·a = 0).
Bei der Multiplikation lassen wir den Punkt weg, falls kein Missverst¨andnis zu erwarten
ist, also ∀a, b ∈ R : a·b = ab, und einfach R fu¨r (R, +, ·).
Ringe k¨onnen Nullteiler besitzen:
Definition 1.2:Seia ∈ R, a 6= 0.DannheißtaNullteiler inR,falleinb ∈ Rexistiert,
so dass ab = 0 oder ba = 0. Ist ab = 0, dann heißt a Linksnullteiler; ist ba = 0, dann
heißt a Rechtsnullteiler.
Typische Beispiele von Ringen mit Nullteilern sind Matrizenringe:
1
Ist
( ! )
x y
R = ; x,z ∈ Z, y ∈ Z/2·Z ,
0 z
dann sei
! ! ! ! !
2 0 0 1 2 0 0 1 0 0
a = , b = ⇒ ab = =
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
⇒ a ist Linksnullteiler, aber kein Rechtsnullteiler:
! ! ! !
x y 2 0 2x y 0 0
= = ⇐⇒ x = y = z = 0.
0 z 0 1 0 z 0 0
Lemma 1.3: Sei a ∈ R und a 6= 0.
(1) Ist a kein Linksnullteiler, dann folgt aus ab = ac auch b = c.
(2) Ist a kein Rechtsnullteiler, dann folgt aus ba = ca auch b = c.
Beweis: (1) ab = ac ⇒ a(b−c) = 0 ⇒ b−c = 0 ⇒ b = c. (2) folgt genauso, qed.
Vergleichbar wie mit Nullteilern verh¨alt es sich mit der Invertierbarkeit.
Definition 1.4:
(1) a ∈ R heißt links-invertierbar :⇔ ∃b ∈ R : ba = 1 (b heißt Linksinverses zu a).
(2) a ∈ R heißt rechts-invertierbar :⇔ ∃b ∈ R : ab = 1 (b heißt Rechtsinverses zu
a).
(3) a ∈ R heißt invertierbar, wenn es sowohl links- als auch rechtsinvertierbar ist. In
diesem Fall stimmen Links- und Rechtsinverses u¨berein und sind damit eindeutig
bestimmt: Sei b0 Linksinverses und b Rechtsinverses von a =⇒
b0 = b0 ·1 = b0(ab) = (b0a)b = b, a−1 := b = b0.
(4) Elemente a ∈ R, die ein Inverses besitzen, heißen Einheiten von R. Die Menge
der Einheiten von R bezeichnen wir mit U(R) (units).
Definition 1.5:
(1) Ein kommutativer Ring (mit 1) und ohne Nullteiler heißt ein Integrit¨atsbereich.
(2) Ein Ring (mit 1), in dem jedes von 0 verschiedene Element ein Inverses besitzt:
U(R) = R\{0}, heißt ein Schiefk¨orper (engl.: division ring).
2
(3) Ein kommutativer Schiefk¨orper heißt ein K¨orper.
Beispiel fu¨r einen Schiefk¨orper: Hamiltons reelle Quaternionen
HR = {a+bi+cj +dk; a,b,c,d ∈ R}
mit i2 = −1, j2 = −1,ij = −ji = k (⇒ k2 = −1).
U¨A: HR ist ein Ring.
(HR, +, ·) ist nicht kommutativ. Ist α = a+bi+cj+dk, dann sei α = a−bi−cj−dk.
Es gilt
α·α = a2 +b2 +c2 +d2 ∈ R.
Fu¨rα 6= 0existiertdaherα−1 = (a2+b2+c2+d2)−1·α.FolglichistHR einSchiefk¨orper.
Entsprechend ist
HQ = {a+bi+cj +dk ∈ HR; a,b,c,d ∈ Q}
ebenfalls ein Schiefk¨orper.
U¨A: HR k¨onnen wir auch als Matrizenring schreiben:
( !(cid:12) )
α β (cid:12)
HR = (cid:12) α, β ∈ C .
(cid:12)
−β α (cid:12)
! ! !T
α β α −β α β
Ist A = ∈ HR, dann sei A = = . Wir erhalten
−β α β α −β α
!
αα 0
A·A = ∈ R2×2.
0 ββ
Entsprechend wird
( !(cid:12) )
α β (cid:12)
HQ = (cid:12) α, β ∈ Q[i] .
(cid:12)
−β α (cid:12)
Satz 1.6:
(1) Jeder endliche Integrit¨atsbereich ist ein K¨orper.
(2) Jeder endliche Schiefk¨orper ist ein K¨orper (Satz von Wedderburn).
Beweis nur zu (1); (2) siehe Vorlesung zur Algebra: Sei R ein endlicher Integrit¨atsbe-
reich, a ∈ R, a 6= 0 und Φ : R −→ R mit Φ (b) := ab ∀b ∈ R.
a a
Behauptung: Φ ist injektiv.
a
3
Sei etwa Φ (b) = Φ (c) ⇒ ab = ac ⇒ (Lemma 1.3) b = c.
a a
Wenn b s¨amtliche Werte von R durchl¨auft, so auch Φ (b) ⇒
a
∃b∗ : Φ (b∗) = 1 = ab∗ = b∗a
a
da R kommutativ, qed.
Wichtig fu¨r die Charakterisierung von Ringen und Moduln (sp¨ater) sind die Substruk-
turen. Bei Ringen haben wir 2 Arten: Unter (Teil-)ringe und Ideale; bei Moduln sind es
die Unter- oder Teilmodule. Ideale in Ringen sind eng mit homomorphen Abbildungen
verbunden.
Definition 1.7: Sei R ein Ring. Eine Teilmenge S ⊆ R heißt Unterring (Teilring) von
R :⇐⇒ S ist mit denselben Verknu¨pfungen wie R ein Ring.
S ist Teilring von R ⇐⇒ S ist eine (additive) Untergruppe von R, die bezu¨glich der
Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. die Multiplikation in S fu¨hrt nicht aus S heraus.
Definition 1.8: Seien R und S Ringe. Eine Abbildung von R in S (”eindeutig von -
∼
in”) heißt ein Homomorphismus (f : R → S) :⇐⇒ ∀a, b ∈ R gilt
(1) f(a+b) = f(a)+f(b)
(2) f(a·b) = f(a)·f(b)
Istf eineindeutig”von-auf”,dannheißtf einIsomorphismusundRundSzueinander
∼
isomorph: R = S.
Kern der Abbildung: Kerf := {a ∈ R; f(a) = 0}
Bild der Abbildung: Imf := {c ∈ S; ∃a ∈ R : f(a) = c}.
Fu¨r die Elemente des Kerns gelten folgende Eigenschaften:
(1) a, b ∈ Kerf ⇒ f(a+b) = f(a)+f(b) = 0+0 = 0 ⇒ a+b ∈ Kerf
(2) a ∈ Kerf, r ∈ R beliebig =⇒
f(a·r) = f(a)·f(r) = 0·f(r) = 0
f(r·a) = f(r)·f(a) = f(r)·0 = 0
=⇒ a·r ∈ Kerf und r·a ∈ Kerf.
Eine Unterstruktur eines Ringes mit diesen beiden Eigenschaften des Kerns, die im
wesentlichen die charakteristischen Eigenschaften der Null sind, ist das Ideal. Daher
die oben erw¨ahnte enge Verknu¨pfung des Ideals mit homomorphen Abbildungen.
4
Definition 1.9: Sei R ein Ring und a ⊆ R, a 6= ∅ eine Teilmenge von R. a heißt Ideal
in R
:⇐⇒ (1) a ist eine additive Untergruppe von R
(2) ∀r ∈ R : r·a ⊆ a
(3) ∀r ∈ R : a·r ⊆ a.
Sind lediglich (1) und (2) erfu¨llt, dann heißt a Linksideal in R; sind nur (1) und (3)
erfu¨llt, dann heißt a Rechtsideal in R. Eine Teilmenge, die sowohl Links- als auch
Rechtsideal ist, ist also ein Ideal in R.
∼
Satz 1.10 (Homomorphiesatz fu¨r Ringe): Wenn f : R → S ein Homomorphismus
ist, dann ist Kerf ein Ideal von R und umgekehrt: Zu jedem Ideal a ⊆ R geh¨ort ein
∼ ∼
Homomorphismus f : R → S, so dass Kerf = a und S = R/a.
Beweis siehe Algebra-Vorlesung.
Lemma 1.11: Sei R ein Schiefk¨orper und a ⊆ R ein Ideal. Dann ist a = R oder
a = {0}.
Beweis: Angenommen, ∃a ∈ a und a 6= 0 ⇒ ∃a−1 ∈ R ⇒ a·a−1 = 1 ∈ a ⇒ a =
R, qed.
∼
Folgerung 1.12: Sei R ein Schiefk¨orper und f : R → S ein Homomorphismus. Dann
ist f injektiv oder f ≡ 0.
Beweis: Angenommen, f sei nicht injektiv, also Kerf 6= {0}, etwa a ∈ Kerf, a 6=
0 ⇒ Kerf = R ⇒ f ≡ 0, qed.
Umgekehrt nennt man Ringe R, die lediglich {0} und R als Ideale besitzen, einfache
Ringe. Es gibt einfache Ringe, die keine Schiefk¨orper sind. Beispiele ergeben sich aus
den sp¨ater zu untersuchenden Matrizenringen
M (R) = Rn×n (n ≥ 1, Rn×n sind (n,n)-Matrizen mit Elementen aus R.
n
IstReinSchiefk¨orper,dannistM (R)eineinfacherRingundfu¨rn > 1keinSchiefk¨orper.
n
!
1 2
Beispiel: R = R, dann ist in M (R) etwa a = 6= 0 und nicht invertierbar.
2
1 2
Module
R sei wieder ein beliebiger Ring mit Einselement 1, der nicht kommutativ sein muss.
Definition 1.13:
(1) EinLinks-R-Modulisteine(additivgeschriebene)abelscheGruppeM zusammen
5
mit einer Skalarmultiplikation
· : R×M −→ M
(r, m) 7→ rm ∈ M
mit folgenden Eigenschaften:
(a ) ∀a ∈ R und ∀m, n ∈ M gilt a(m+n) = am+an;
l
(b ) ∀a, b ∈ R und ∀m ∈ M gilt (a+b)m = am+bm;
l
(c ) ∀a, b ∈ R und ∀m ∈ M gilt (ab)m = a(bm);
l
(d ) ∀m ∈ M gilt 1m = m.
l
(2) Entsprechend heißt eine abelsche Gruppe M mit einer skalaren Rechtsmultipli-
kation
· : M ×R −→ M
(m, r) 7→ rm ∈ M
mit obigen Eigenschaften, jedoch die Multiplikanden vertauscht, ein Rechts-R-
Modul:
(a ) ∀a ∈ R und ∀m, n ∈ M gilt (m+n)a = ma+na;
r
(b ) ∀a, b ∈ R und ∀m ∈ M gilt m(a+b) = ma+mb;
r
(c ) ∀a, b ∈ R und ∀m ∈ M gilt m(ab) = (ma)b;
r
(d ) ∀m ∈ M gilt m1 = m.
r
Man kann formal aus jedem Rechtsmodul einen Linksmodul und umgekehrt machen
durch. Hierzu folgende
Bemerkung 1.14:
(1) Sei R kommutativ. Dann hat jeder Links-R- Modul M auch die Struktur eines
Rechts-R-Moduls (und umgekehrt) durch die Multiplikationsvorschrift
m·r := rm bzw. r·m := mr ∀r ∈ R und ∀m ∈ M.
Hierzu haben wir nur (c ) (bzw. (c )) nachzuweisen:
r l
m·(ab) = (ab)m = (b·a)m = b(am) = b(m·a) = (m·a)·b
6
(2) Allgemeiner: Wenn R Anti-Isomorphismus Φ : R −→ R besitzt, so dass
Φ(ab) = Φ(b)·Φ(a) ∀a, b ∈ R,
dann hat jeder Links-R-Modul M auch die Struktur eines Rechts-R-Moduls (und
umgekehrt) durch die Multiplikationsvorschrift
m·r := Φ(r)m ∀r ∈ R und ∀m ∈ M :
(c ) : (m·a)·b = Φ(b)(m·a) = Φ(b)(Φ(a)m) = (Φ(b)Φ(a))m = Φ(ab)m = m·(ab).
r
Beispiel sp¨ater!
(3) Fu¨r einen beliebigen Ring R sei Rop der Ring mit gleicher Addition und entge-
gengesetzter Multiplikation:
∀a, b ∈ R ist a·b := ba
(U¨A: (Rop, +, ·) ist ein Ring, der isomorph zu R ist: Die Abbildung Φ : R −→
Rop mit Φ(a) = a ∀a ∈ R und Φ(ab) := b·a ist ein Anti-Isomorphismus.)
Dann ist jeder Links-R-Modul M ein Rechts-Rop-Modul.
Wir haben wieder (c ) zu pru¨fen:
r
m·(a·b) = (a·b)m = (ba)m = b(am) = b(m·a) = (m·a)·b.
Daher ist es fu¨r Strukturuntersuchungen unerheblich, ob wir es mit Links- oder Rechts-
moduln zu tun haben. In der Regel w¨ahlen wir Linksmoduln. Wenn es unerheblich ist,
ob wir es mit Links- oder Rechtsmoduln zu tun haben, sprechen wir auch einfach von
R-Moduln.
Homomorphismen von R-Moduln sind analog zu Vektorraum-Homomorphismen defi-
niert.
Definition 1.15: Seien M, N R-Moduln und f : M → N eine Abbildung von M in
N. f heißt ein R-Modulhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften erfu¨llt sind:
(1) ∀m , m ∈ M gilt f(m +m ) = f(m )+f(m );
1 2 1 2 1 2
(2) ∀r ∈ R und ∀m ∈ M gilt f(rm) = rf(m).
Die Menge aller R-Homomorphismen von M in N bezeichnen wir mit Hom (M, N).
R
Ist M = N, dann heißt f ein Endomorphismus und wir schreiben
End (M) := Hom (M, M).
R R
7
Ein 1-1-Homomorphismus von M auf sich, also ein Endomorphismus, der eine Um-
kehrabbildung besitzt, heißt ein Automorphismus von M : Aut (M).
R
Fu¨r f ∈ Hom (M, N) definieren wir Kerf und Imf wie oben:
R
Kerf = {m ∈ M; f(m) = 0};
Imf = {n ∈ N; ∃m ∈ M : f(m) = n}.
Kerf und Imf sind abelsche Untergruppen von M bzw. N .
Ist M ein R-Modul und R = k ein K¨orper, dann ist offenbar M ein Vektorraum u¨ber
k; Module sind daher eine direkte Verallgemeinerung von Vektorr¨aumen, wenn wir als
Multiplikatorenbereich Ringe statt K¨orper zulassen.
Beispiele:
(1) Jede abelsche Gruppe G ist ein Z-Modul:
n ∈ Z, n > 0, g ∈ G ⇒ n·g = g +g +...+g
| {z }
n−mal
n = 0 ⇒ n·g := 0; n < 0 ⇒ n·g := −(−n·g)
Homomorphismen: Ist f : G →∼ G0 ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt
f(n·g) := f(g)+...+f(g) = n·f(g) fu¨r n > 0 und
f(−g) := −f(g) =⇒ f(n·g) = n·f(g) ∀n ∈ Z.
(2) Sei R ein beliebiger Ring. Dann wird Rn (n > 0) ein R-Modul durch
r·(b ,...,b ) := (rb ,...,rb )
1 n 1 n
| {z }
∈Rn
(3) R sei ein Ring, a ⊆ R sei ein (Links-)Ideal ⇒ R/a wird ein (Links-)R-Modul:
r·a := r·a, a ∈ R/a.
Definition 1.16: Ein R-Modul, der fu¨r sich wieder ein Ring ist, heißt eine R-Algebra,
sofern folgende Bedingung fu¨r die Multiplikation erfu¨llt ist:
∀r ∈ R und ∀m , m ∈ M gilt r(m ·m ) = (rm )m = m (r·m ) (1.A)
1 2 1 2 1 2 1 2
Beispiele:
(1) Jeder Ring ist eine Z-Algebra.
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