Manuskript zur Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes]

94 Pages·2009·0.4 MB·German

by  Dieter Neßelmann

Manuskript zur Vorlesung
Elemente der Algebra und Zahlentheorie
gehalten an der
U n i v e r s i t ¨a t R o s t o c k
von
Prof. Dr. Dieter Neßelmann
Rostock, Oktober 2008
Fassung vom 16. November 2009
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
1 Einfu¨hrung in die Zahlentheorie 1
2 Primzahlen I 15
3 Rechnen mit Kongruenzen 23
4 Gruppen, Ringe, K¨orper 36
5 Primzahlen II - Der kleine Fermat’sche Satz 52
6 Polynome, K¨orpererweiterungen 59
7 Konstruierbare Zahlen und Konstruierbarkeit 75
8 Regul¨are n-Ecke 81
0 Einleitung
Geometrie,ArithmetikundAlgebraverk¨orperndieGrunds¨aulenderMathematik.Man
kann die Grundbegriffe und elementaren Eigenschaften der (euklidischen) Geometrie
(Punkt, Gerade, ...) und der Arithmetik (natu¨rliche Zahlen) als gegeben betrachten.
Um sie als Grundlage fu¨r die Mathematik verwenden zu k¨onnen, w¨ahlen wir den axio-
matischen Aufbau. Es wird nicht gesagt, was“ diese Objekte sind, sondern mit Axio-
”
men wird festgelegt, wie hiermit zu rechnen“ ist. Die Mathematik leitet dann nach
”
bestimmtenRegelndurchlogischesSchließenhierausneueAussagen(S¨atze)her,womit
den Grundbegriffen eine Struktur beigegeben wird. Eines der wichtigsten Teilgebiete,
mit deren Hilfe diese Strukturen beschrieben werden, ist die Algebra.
Diese Vorlesung stellt nun Grundlagen der Arithmetik, Zahlentheorie und Algebra zu-
sammen, wie sie etwa fu¨r das Lehramt an Grund-, Haupt- und Realschulen ben¨otigt
werden.
1 Einfu¨hrung in die Zahlentheorie
Natu¨rliche Zahlen betrachten wir als gegeben; sie sind den Schu¨lern der Primarstufe
erfahrungsgem¨aßbekannt.DieseEinstellunghatallerdingsdenNachteil,dasseseigent-
lich nicht m¨oglich ist, aus diesem Gegebensein“ Strukturen abzuleiten, die natu¨rliche
”
Zahlen in sich bergen. Daher wird fu¨r den Lehrer der Primar- und Sekundarstufe I ein
axiomatischer Aufbau skizziert. Aus Zeitmangel muss auf Beweise weitgehendst ver-
zichtet werden; man kann sie etwa in den zitierten Lehrbu¨chern [15] und [3] nachlesen.
Grundlegende strukturelle Aussagen werden jedoch bewiesen.
Peano-Axiome (Guiseppe Peano, 1858 - 1932)
Eine nicht-leere Menge N mit einem ausgezeichneten Element 0 ∈ N und einer Abbil-
dungν : N −→ NvonNinN(Nachfolgerfunktion:istν(x) = y,dannheißty Nachfolger
von x und x Vorg¨anger von y), heißt Menge natu¨rlicher Zahlen, wenn folgende Axiome
erfu¨llt sind:
(N1) Die Abbildung ν ist injektiv, d.h. zwei verschiedene natu¨rlichen Zahlen haben
auch verschiedene Nachfolger oder: ν(x ) = ν(x ) ⇒ x = x .
1 2 1 2
(N2) ν(N) = N\{0}, d.h. jede natu¨rliche Zahl 6= 0 besitzt einen Vorg¨anger, 0 besitzt
keinen Vorg¨anger.
1
(N3) (Prinzip der vollst¨andigen Induktion) Sei M ⊆ N eine Menge natu¨rlicher Zahlen
mit folgenden Eigenschaften:
i) 0 ∈ M
ii) x ∈ M ⇒ ν(x) ∈ M
Dann gilt M = N.
(N3) besagt einfach, dass man durch Abz¨ahlen alle natu¨rlichen Zahlen erhalten kann,
wenn man mit 0 beginnt (ersetzt man 0 durch x , dann erh¨alt man alle natu¨rlichen
0
Zahlen ab x ).
0
Satz 1.1 ∀ x ∈ N gilt ν(x) 6= x.
Beweis Sei M = {x ∈ N|ν(x) 6= x}
Behauptung: M = N
1. 0 ∈ M, da nach (N2) 0 keinen Vorg¨anger besitzt.
(N1)
2. Sei x ∈ M, also ν(x) 6= x =⇒ ν(ν(x)) 6= ν(x), also auch ν(x) ∈ M
=(N⇒3) M = N, qed.
Wir definieren Addition und Multiplikation wie folgt:
Definition 1.2
1. (Addition) Sei n ∈ N beliebig.
i) n+0 := n
ii) angenommen, n+x sei bereits definiert, dann sei
n+ν(x) := ν(n+x)
=(N⇒3) ∀m ∈ N ist n+m definiert.
2. (Multiplikation) Sei n ∈ N beliebig.
i) n·0 := 0
ii) angenommen, n·x sei bereits definiert, dann sei
n·ν(x) := n·x+n
=(N⇒3) ∀m ∈ N ist n·m definiert.
2
Auf den Beweis, dass hiermit Operationen definiert werden (Eindeutigkeit) sowie der
zugeh¨origen, bekannten Rechengesetze wird verzichtet.
Wir definieren: 1 := ν(0), woraus sich wegen n+ν(x) = ν(n+x) ergibt: n+1 = ν(n).
ν(0) spielt tats¨achlich die Rolle der Eins: ∀x ∈ N ist x·ν(0) = x·0+x = x.
Grunds¨atzlicheBedeutungfu¨ralgebraischeundzahlentheoretischeUntersuchungenhat
die Einfu¨hrung einer Ordnung und der Nachweis, dass dieses eine Wohlordnung“ ist.
”
Definition 1.3 ∀x, y ∈ N gilt
x < y :⇐⇒ ∃a ∈ N, a 6= 0, mit x+a = y.
Wir schreiben auch y > x und x ≤ y, falls x < y oder x = y.
Es gilt:
∀a ∈ N, a 6= 0, ist 0+a = a, also a > 0 und
∀x ∈ N ist ν(x) = x+1 > x.
Satz 1.4 a) ∀x, y, z ∈ N gilt: x < y und y < z ⇒ x < z (Transitivit¨at)
b) Fu¨r beliebige x, y ∈ N gilt genau eine der Beziehungen:
x < y oder x = y oder x > y.
Beweisa)Seix < y, y < z undetway = x+s, z = y+t = x+(s+t)mits 6= 0, t 6= 0,
also auch s+t 6= 0 (Beweis U¨A) ⇒ x < z.
b) Sei a ∈ N fest vorgegeben, L(a) := {x ∈ N, x < a}, R(a) := {x ∈ N, x > a}.
Wir zeigen:
1. M := L(a)∪{a}∪R(a) = N;
2. L(a), {a}, R(a) sind paarweise disjunkt.
Aus 1. und 2. folgt die Aussage b).
0 ∈ M, denn entweder a = 0 oder a 6= 0, dann ist a > 0 und 0 ∈ L(a).
Sei x ∈ M. Ist x = a oder x ∈ R(a) ⇒ ν(x) ∈ R(a); ist x ∈ L(a) ⇒ x < a, etwa
x+s = a, s 6= 0 ⇒ ∃t ∈ N, s = ν(t) ⇒
x+s = x+ν(t) = ν(x+t) = ν(x)+t = a.
3
Gilt t = 0 ⇒ ν(x) = a ∈ M; gilt t 6= 0 ⇒ ν(x) ∈ L(a) ⊂ M =(N⇒3) M = N, qed.
Wir k¨onnen nun den wichtigen Satz vom kleinsten Element beweisen.
Satz 1.5 a) Jede nicht-leere Menge M ⊆ N besitzt ein kleinstes Element, d.h. ∃x ∈
0
M, so dass ∀x ∈ M gilt x ≥ x . Dieses ist eindeutig bestimmt, also das kleinste
0
Element in M.
b) Jede nicht-leere endliche Menge M ⊆ N besitzt ein eindeutig bestimmtes gr¨oßtes
Element.
Beweis a) Wir beweisen die Aussage zun¨achst fu¨r ein abgeschlossenes Intervall
[0, n] := {x ∈ N : x ≥ 0 und x ≤ n}.
Sei also M ⊂ [0, n] eine beliebige nicht-leere Teilmenge.
1. n = 0 ⇒ [0, 0] = {0} und M = {0} ⇒ x = 0.
0
2. Wir zeigen: wenn die Aussage fu¨r n = k erfu¨llt ist, dann ist sie auch fu¨r n =
ν(k) = k +1 erfu¨llt.
Sei M ⊂ [0, ν(k)], M 6= ∅, und etwa M = M ∩[0, k].
1
2.1. M = ∅ ⇒ M = {ν(k)} ⇒ x = ν(k);
1 0
2.2. M 6= ∅ ⇒ ∃x ∈ M derart, dass ∀x ∈ M gilt x ≤ x und
1 0 1 1 0
x ≤ k < ν(k) ⇒ ∀x ∈ M gilt x ≤ x.
0
Sei nun M ⊆ N, M 6= ∅, beliebig ⇒ ∃n ∈ M und es ist M := M ∩[0, n] 6= ∅ ⇒ M
1 1
hat ein kleinstes Element x : ∀x ∈ M ist x ≤ x.
0 1 0
Ist nun x ∈ M beliebig, dann ist
a) x ≤ n ⇒ x ∈ M ⇒ x ≤ x;
1 0
b) x > n ⇒ x ≤ n < x.
0
Ist x ein weiteres kleinstes Element in M, dann gilt nach Satz 1.4 b) x < x oder
1 1 0
x = x oder x > x , also x = x .
1 0 1 0 1 0
b) folgt unmittelbar aus Satz 1.4. Qed.
Weniger spektakul¨ar ist die Aussage, dass jede endliche Menge M natu¨rlicher Zahlen
eine gr¨oßte besitzt, denn wir brauchen die Elemente von M nur zu ordnen
a < a < ··· < a
1 2 n
4
und erhalten die gr¨oßte Zahl aus M.
Die Algebra und Zahlentheorie basieren auf dem A¨quivalenzprinzip bzw. der A¨quiva-
lenzrelation mit dem Hauptsatz u¨ber A¨quivalenzrelationen.
Definition 1.6 Sei M 6= ∅ eine beliebige Menge und ∼ eine Relation in M, die gewis-
se Elemente aus M in Beziehung zueinander setzt. ∼ heißt A¨quivalenzrelation, wenn
folgende Bedingungen erfu¨llt sind:
(R) ∀x ∈ M gilt x ∼ x (reflexiv);
(S) ∀x, y ∈ M gilt: x ∼ y ⇒ y ∼ x (symmetrisch);
(T) ∀x, y, z ∈ M gilt: x ∼ y und y ∼ z ⇒ x ∼ z (transitiv).
Beispiele findet man sofort bei der Teilbarkeit in N:
m ∼ n :⇐⇒ m und n lassen bei Division durch 5 (bzw. k > 0) denselben Rest.
Eine A¨quivalenzrelation in einer Menge M bewirkt eine Aufteilung dieser Menge in
Klassen wie folgt:
1) x, y ∈ M liegen in derselben Klasse (Teilmenge) M0 ⊆ M ⇔ x ∼ y;
2) sind M , M ⊂ M verschiedene Klassen, dann ist M ∩M = ∅
1 2 1 2
(falls M ∩M 6= ∅, etwa x ∈ M ∩M ⇒ ∀x ∈ M und ∀x ∈ M gilt: x ∼ x
1 2 1 2 1 1 2 2 1
und x ∼ x ⇒ x ∼ x ⇒ x ∈ M und x ∈ M , also M = M , Wid.)
2 1 2 1 2 2 1 1 2
S
3) Jedes Element x liegt in einer Klasse M ( ⇒ M = M ).
x x∈M x
Umgekehrt liefert jede Aufteilung einer Menge M in Klassen eine A¨quivalenzrelation
in M, wobei
x ∼ y ⇐⇒ x und y liegen in derselben Klasse.
Und schließlich fu¨hrt der Weg
A¨quivalenzrelation −→ Klasseneinteilung −→ A¨quivalenzrelation
wieder zu der Ausgangsrelation zuru¨ck.
Dieses Prinzip wird z.B. zur Einfu¨hrung ganzer Zahlen, also negativer Zahlen verwen-
det:
5
In N hat die Gleichung a+x = b mit a, b ∈ N genau dann eine L¨osung x , wenn b ≥ a.
0
Wir schreiben x = b−a ist L¨osung mit der Vereinbarung: a+(b−a) = b.
0
Um den Fall b < a zu behandeln, gehen wir von N zu N×N = {(a, b)|a, b ∈ N} u¨ber
und definieren in N×N eine A¨quivalenzrelation:
1) A¨quivalenzrelation in N×N:
(a, b) ∼ (c, d) :⇐⇒ a+d = b+c
(U¨A: ∼ ist eine A¨quivalenzrelation) ⇒ Einteilung in Klassen
(a, b) := {(x, y) ∈ N×N| (x, y) ∼ (a, b)}.
2) Rechnen mit Klassen:
(a, b)+(c, d) := (a+c, b+d)
(a, b)·(c, d) := (ac+bd, ad+bc);
dann hat (a, b)+X = (c, d) stets eine (eindeutig bestimmte) L¨osung, und zwar
X = (b+c, a+d), denn
(a, b)+(b+c, a+d) = (a+b+c, a+b+d) = (c, d).
Wir schreiben −a := (0, a) ∀a ∈ N und wieder a fu¨r (a, 0). Damit erhalten wir eine
Einbettung von N in N×N. Es ist
a+(−a) = (a, 0)+(0, a) = (a, a) = (0, 0)
und (0, 0) = (a, a) ist die Null in N×N. Wir haben also lediglich −a als L¨osung der
Gleichung a+x = 0 definiert; (a, b) hat die Bedeutung von a−b.
Teilbarkeitsfragen werden durchweg im Bereich der ganzen Zahlen Z behandelt.
Definition 1.7 Eine Zahl m ∈ Z teilt n ∈ Z (m|n) :⇐⇒ ∃x ∈ Z mit n = m·x.
Satz 1.8 ∀a, b, c, d, x, y ∈ Z gilt
1. d|a ⇒ d|a·b
2. d|c und c|a ⇒ d|a
3. d|a und d|b ⇒ d|x·a+y ·b
6
4. d|c ⇒ c = 0 oder |d| ≤ |c|
5. d|c und c|d ⇒ |c| = |d|
Beweis U¨bung
Folgerung 1.9 Jede natu¨rliche Zahl n hat h¨ochstens n positive Teiler, also insbeson-
dere nur endlich viele Teiler. Jede ganze Zahl a ∈ Z hat h¨ochstens endlich viele Teiler.
Beweis U¨bung
Fu¨r die weiteren U¨berlegungen fu¨hren wir den Begriff der Teilermenge ein.
Definition 1.10 Die Menge aller positiven Teiler einer ganzen Zahl a ∈ Z nennen wir
Teilermenge von a und bezeichnen sie mit T(a):
T(a) := {x ∈ N : x|a}.
Bemerkung 1.11 - ∀a 6= 0 ist die Teilermenge T(a) eine endliche Menge.
- ∀a ∈ Z ist 1 ∈ T(a), also T(a) 6= ∅.
- Sind a, b ∈ Z ganze Zahlen, dann ist der Durchschnitt T(a)∩T(b) die Menge der
gemeinsamen Teiler von a und b.
Definition 1.12 (gr¨oßter gemeinsamer Teiler ggT) Sind a, b ∈ Z ganze Zahlen,
dann ist T(a) ∩ T(b) 6= ∅ und endlich und besitzt daher ein eindeutig bestimmtes
gr¨oßtes Element d (Satz 1.5b). d heißt der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a und b.
Bezeichnung: d = ggT(a,b) = (a,b).
Entsprechend kann man die gemeinsamen Teiler von endlich vielen ganzen Zahlen
a ,...,a ∈ Z (n = 2) aus dem Durchschnitt T(a ) ∩ ... ∩ T(a ) (6= ∅) erhalten
1 n 1 n
und den gr¨oßten gemeinsamen Teiler
ggT(a ,...,a ) := max{x : x ∈ T(a )∩...∩T(a )}.
1 n 1 n
Definition 1.13 Zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z heißen teilerfremd, wenn ggT(a,b) = 1.
Eine einfache und effektive Methode, den gr¨oßten gemeinsamen Teiler zweier ganzer
Zahlen zu bestimmen, liefert der Euklidische Algorithmus. Der Algorithmus liefert eine
Reihe weiterer sch¨oner Eigenschaften, die mit dem ggT zusammen h¨angen. Zun¨achst
folgenden
7
Satz 1.14 (Divison mit Rest) Sei a, b ∈ Z, b 6= 0, dann gibt es q ∈ Z, r ∈ N mit
0 ≤ r < |b| und a = b·q +r. q und r sind eindeutig bestimmt.
Beweis Sei
M := {a−x·b : x ∈ Z und a−x·b = 0}.
Dann ist offenbar M ⊆ N, M 6= ∅, und M besitzt daher wegen Satz 1.5a) ein kleinstes
Element r = 0, etwa r = a−x ·b.
0
Offenbar ist 0 ≤ r < |b|, dann falls r ≥ |b|, w¨are a − x · b − |b| ∈ M und < r. Wir
0
setzen q := x und erhalten a = q ·b+r.
0
q und r sind eindeutig bestimmt. Denn falls ein weiteres Paar q , r mit a = q ·b+r
1 1 1 1
und 0 ≤ r < |b| existieren wu¨rde, h¨atten wir
1
0 = (q −q )·b+(r−r ) oder (q −q )·b = r −r.
1 1 1 1
Hieraus folgt b||r −r|, was wegen |r −r| < |b| nur fu¨r |r −r| = 0 also r = r m¨oglich
1 1 1 1
ist. Daher ist auch (q −q )·b = 0 und wegen b 6= 0 auch q = q, qed.
1 1
Euklidischer Algorithmus
Sei a, b ∈ Z, a, b 6= 0, dann fu¨hren wir die Division mit Rest wie folgt aus:
a = q ·b + r (0 ≤ r < |b|) falls r > 0, dann
1 1 1 1
b = q ·r + r (0 ≤ r < r ) falls r > 0, dann
2 1 2 2 1 2
r = q ·r + r (0 ≤ r < r ) falls r > 0, dann
1 3 2 3 3 2 3
.
.
.
r = q ·r + r (0 < r < r ) bis r > 0, und
k−2 k k−1 k k k−1 k
r = q ·r r = 0
k−1 k+1 k k+1
Ist b ein Teiler von a, dann ist ggT(a,b) = |b| und wir sind nach dem ersten Schritt
fertig.
Andernfalls (b - a), sei r (k ≥ 1) der letzte von 0 verschiedene Rest. Wegen r > r >
k 1 2
··· > r > 0 existiert solch ein k.
k
Behauptung: r = ggT(a, b)
k
Beweis:r |r ⇒ r |r ⇒ ... ⇒ r |b ⇒ r |a ⇒ r ∈ T(a)∩T(b)undr ≤ ggT(a,b).
k k−1 k k−2 k k k k
Ist d = ggT(a, b) ⇒ d|r ⇒ d|r ⇒ ... ⇒ d|r ⇒ d ≤ r und daher d = r .
1 2 k k k
8