Magnétohydrodynamique confinée appliquée aux plasmas de fusion magnétiques

141 Pages·2017·8.72 MB·French

by  Jorge Morales Mena

Magnétohydrodynamique confinée appliquée aux
plasmas de fusion magnétiques
Jorge Morales Mena
To cite this version:
JorgeMoralesMena. Magnétohydrodynamiqueconfinéeappliquéeauxplasmasdefusionmagnétiques.
Other. Ecole Centrale de Lyon, 2013. English. ￿NNT: 2013ECDL0025￿. ￿tel-00995867￿
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N◦ d’ordre: 2013 25 ANNE´E 2013
−
´
ECOLE CENTRALE DE LYON
LABORATOIRE DE ME´CANIQUE DES FLUIDES ET D’ACOUSTIQUE
T ` ’U ´ L
HESE DE L NIVERSITE DE YON
DE´LIVRE´E PAR L’E´COLE CENTRALE DE LYON
SPE´CIALITE´ : ME´CANIQUE DES FLUIDES
E´COLE DOCTORALE MEGA
C
ONFINED MAGNETOHYDRODYNAMICS
APPLIED TO MAGNETIC FUSION PLASMAS
Pre´pare´e au Laboratoire de Me´canique des fluides et d’Acoustique
Soutenue publiquement le 1er Octobre 2013
par
J A. M
ORGE ORALES
Directeur de the`se
WOUTER J.T. BOS
Jury de the`se
Rapporteurs CAROLINE NORE
MARINA BE´COULET
Pre´sident FABIEN S. GODEFERD
Examinateurs WOUTER J.T. BOS
HINRICH LU¨TJENS
KAI SCHNEIDER
Invite´s YANN CAMENEN
NICOLAS PLIHON

RE´SUME´
Ladescriptionmagne´tohydrodynamiqueestutilise´epoure´tudierlesplasmasdefusion
par confinement magne´tique dans deux configurations: tokamak et reversed field pinch.
Uneme´thodedeFourierpseudo-spectraleetunetechniquedepe´nalisationenvolumesont
employe´es pour re´soudre les e´quations. La me´thode de pe´nalisation permet d’introduire
des conditions aux limites de Dirichlet et donc de faire varier facilement la ge´ome´trie
conside´re´e. Les simulations dans des ge´ome´tries toro¨ıdales de type tokamak montrent
l’apparition spontane´e de vitesses. Une importante composante toro¨ıdale se de´veloppe si
le syste`me est peu dissipatif. Il est aussi montre´ que la brisure de syme´trie dans la forme
delasectiondutorefaitapparaˆıtreunmomentangulairetoro¨ıdal. PourleReversedField
Pinch on montre l’e´mergence de structures he´lico¨ıdales. La forme de ces structures varie
en fonction des coefficients de transport ainsi que du parame`tre de pincement du champ
magne´tique impose´. Pour comple´ter l’e´tude on compare les re´sultats du tore aux calculs
dans un cylindre pe´riodique. Les diffe´rences dans la dynamique des deux cas sont mises
en avant. Finalement les simulations sont confronte´es a` des expe´riences et un meilleur
accord est observe´ entre simulation et expe´rience pour la ge´ome´trie toro¨ıdale que pour la
ge´ome´triecylindrique.
Mots cle´s : magne´tohydrodynamique, tokamak, reversed field pinch, me´thode de
pe´nalisation en volume, me´thode Fourier pseudo-spectrale, moment angulaire, influence
delatoro¨ıdicite´.
ABSTRACT
Amagnetohydrodynamicdescriptionisusedtostudymagneticfusionplasmasintwo
different configurations: tokamak and reversed field pinch. A Fourier pseudo-spectral
method with a volume penalization technique are used to solve the system of equations.
The penalization method is used to introduce Dirichlet boundary conditions and it al-
lowstoeasilymodifytheconsidergeometry. Thesimulationsofatokamakconfiguration
in a toroidal geometry show the spontaneous appearance of velocities. These velocities
are dominated by their toroidal component if the system is little dissipative. It is also
shown that the symmetry breaking of the cross section of the torus causes a toroidal an-
gular momentum to develop. For the Reversed Field Pinch configuration we show the
appearanceofhelicalstructures. Theshapeofthesestructuresvarieswiththevalueofthe
transport coefficients and with the pinch ratio parameter of the imposed magnetic field.
To complete the study, we compare the results of simulations obtained in toroidal and
in periodic cylindrical geometries. The differences in the dynamics of these two cases
are highlighted. Finally, simulations are compared to experimental data and a significant
better agreement is observed between the simulation and the experiment for the toroidal
geometrythanforthecylindricalcase.
Keywords: magnetohydrodynamics, tokamak, reversed field pinch, volume penali-
zation method, spectral method, toroidal momentum, quasi single helicity, toroidicity
effects.

C
ONTENTS
Notations ix
I Introduction 1
II Numericalmethodandvalidation 5
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 MHDEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Thenumericalcode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Pseudo-spectraldiscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Penalizationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Time-discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Parallelperformances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Two-dimensionalvalidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1 Two-dimensionalTaylor-Couetteflow . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 TheZ-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Assessment of the regularization method to enhance the perfor-
manceofthepenalizationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Three-dimensionalvalidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.1 PeriodicMHDvalidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2 Ohmicdecayinaperiodiccylinder . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3 Three-dimensionalTaylor-Couetteflow . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 MagnetohydrodynamicTaylor-Couetteflow . . . . . . . . . . . . 28
6.5 Flowinducedbyahelicalmagneticfield . . . . . . . . . . . . . 30
7 Concludingremarksconcerningthenumericalmethod . . . . . . . . . . 33
III Magnetohydrodynamicallygeneratedvelocitiesinconfinedplasma 35
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Geometryandgoverningequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Resultsanddiscussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
CONTENTS
3.1 Generationoftoroidalvelocitiesatlowviscous
Lundquistnumber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 SimulationsforhigherviscousLundquistnumbers . . . . . . . . 43
3.3 Influenceofthesafetyfactoronthedynamics . . . . . . . . . . . 52
3.4 Influenceofthereversaloftheimposedtoroidalmagneticfield . . 55
4 Concludingremarksaboutthegenerationofvelocitiesintoroidalgeometries 57
IV Magnetohydrodynamics for high pinch ratios in toroidal and cylindrical ge-
ometries 61
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Toroidalsimulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1 Dynamoeffectandtransitiontoahelicalstate . . . . . . . . . . . 65
2.2 Evolutionofglobalquantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3 Timeevolutionofthedifferenttoroidalmodes . . . . . . . . . . 73
2.4 Summaryofthetoroidalsimulations . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Cylindricalsimulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1 Helicalflows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Evolutionofglobalquantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Timeevolutionofthedifferentaxialmodes . . . . . . . . . . . . 85
4 Comparisonbetweentheresultsintoroidalandcylindricalgeometry . . . 87
4.1 Intercomparisonofthesimulations . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Comparisonwithexperimentaldata . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Concludingremarksaboutthetoroidalandcylindricalsimulations . . . . 91
V Conclusion 93
A TheoreticalanalysisoftheHermiteregularization 97
1 Analysisofamodelproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Evaluationoftheerror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B Imposing non homogeneous Neumann boundary conditions with a penaliza-
tionmethod 103
1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Testcase: one-dimensionalinstationarydiffusionproblem . . . . . . . . 104
C Correspondingexplicitschemeofthesemi-implicitpenalizationmethod 107
D Calculationoftheimposedpoloidalmagneticfield 109
vi
CONTENTS
E Relation of the dimensionless MHD equations to physical values from the
JETtokamak 111
F Largescaleforcingofaplasmadynamo 117
Bibliography 119
vii

N
OTATIONS
A Vectorpotential
a Smallradiusofthetorus/Radiusofthecylinder
B Magneticfield
E Energy
E Electricfield
F Forcefield
F Force/Reversalparameter(RFP)
F Fouriertransform
Ha Hartmannnumber
j Currentdensityfield
k Cartesianwavevector
k Boltzmannconstant
B
L/L Length
m Poloidalwavenumber/Mass
M ViscousLundquistnumber
n Toroidalwavenumber
P Pressure
Pr MagneticPrandtlnumber
q Safetyfactor/Charge