MA111 - Cálculo I - Aula 23 - Substituição Trigonométrica. Comprimento de Arco.

20 Pages·2017·0.71 MB·Portuguese

by  Marcos Eduardo Valle

MA111 - Cálculo I
Aula 23 - Substituição Trigonométrica. Comprimento de Arco.
Marcos Eduardo Valle
Nas aulas anteriores apresentamos o teorema fundamental do
cálculo e o conceito de integral indefinida.
Depois apresentamos as técnicas de substituição e integração
por partes.
Vimos também algumas técnicas para integrar certas
combinações de funções trigonométricas.
Na aula de hoje, veremos que as funções trigonométricas podem
ser utilizadas para resolver integrais que não envolvem
explicitamente funções trigonométricas.
Veremos também como calcular comprimento de uma curva dada
por y = f(x), a ≤ x ≤ b.
Substituição Trigonométrica - 1
Quando surgir no integrando uma expressão envolvendo
(cid:112)
a2−x2,
substituir
x = asenθ,
para
π π
− ≤ θ ≤ .
2 2
Nesse caso,
(cid:112)
a2−x2 = acosθ,
e
dx = acosθdθ.
Exemplo 1
Calcule √
(cid:90) 9−x2
dx.
x2
Lembre-se que
(cid:90) (cid:90)
1
dθ = cossec2θdθ = −cotgθ.
sen2θ
Exemplo 1
Calcule √
(cid:90) 9−x2
dx.
x2
Lembre-se que
(cid:90) (cid:90)
1
dθ = cossec2θdθ = −cotgθ.
sen2θ
Resposta:
√ √
(cid:90) 9−x2 9−x2 (cid:16)x(cid:17)
dx = − −sen−1 +c.
x2 x 3
Exemplo 2
Calcule
(cid:90)
x
√ dx.
3−2x −x2
Exemplo 2
Calcule
(cid:90)
x
√ dx.
3−2x −x2
Resposta:
(cid:90) (cid:18) (cid:19)
x (cid:112) x +1
√ dx = − 3−2x −x2−sen−1 +c.
3−2x −x2 2
Substituição Trigonométrica - 2
Quando surgir no integrando uma expressão envolvendo
(cid:112)
a2+x2,
substituir
x = atgθ,
para
π π
− ≤ θ ≤ .
2 2
Nesse caso,
(cid:112)
a2+x2 = asecθ,
e
dx = asec2θdθ.
Exemplo 3
Encontre
(cid:90)
1
√ dx.
x2 x2+4
Exemplo 3
Encontre
(cid:90)
1
√ dx.
x2 x2+4
Resposta:
√
(cid:90) 1 x2+4
√ dx = − +c.
x2 x2+4 4x