Maß und Wahrscheinlichkeit

549 Pages·2009·8.62 MB·German

by  Klaus D. Schmidt (auth.)

Springer-Lehrbuch
Klaus D. Schmidt
Maß und Wahrscheinlichkeit
123
Prof.Dr.KlausD.Schmidt
TechnischeUniversitätDresden
LehrstuhlfürVersicherungsmathematik
FachrichtungMathematik
ZellescherWeg12-14
01062Dresden
Deutschland
ISBN978-3-540-89729-3 e-ISBN978-3-540-89730-9
DOI10.1007/978-3-540-89730-9
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
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MathematicsSubjectClassification(2000):28-01,60-01
(cid:2)c 2009Springer-VerlagBerlinHeidelberg
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Vorwort
JedeZeiterfordertihreeigeneSichtderDinge.DasAnliegendiesesBuchesist
es, in einer Zeit des U¨bergangs von einer Vielfalt von Diplomstudieng¨angen
zueinernochgr¨oßerenVielfaltvonBachelor–undMaster–Studieng¨angenund
der damit verbundenen Tendenz zur Verlagerung der Studieninhalte von der
Theorie zur Anwendung, die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie im
Spannungsfeld zwischen Theorie und Anwendung darzustellen.
Als theoretische Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Maß– und
Integrationstheorieunverzichtbar,und zu einem gewissenGradgilt dies auch
fu¨rdieTopologie,aufderunteranderemderBegriffderBorelschenσ–Algebra,
die Konstruktion des Lebesgue–Maßes und die Konstruktion stochastischer
Prozesse beruht.
AufderanderenSeiteerfordernAnwendungenderWahrscheinlichkeitstheorie
ein umfangreiches Repertoire an Methoden zur Konstruktion wahrscheinlich-
keitstheoretischer Modelle. Grundlegend sind hier zum einen der Begriff der
Unabh¨angigkeit und zum anderen der Begriff der bedingten Erwartung und
der davon abgeleitete Begriff der bedingten Verteilung. In Anwendungen der
WahrscheinlichkeitstheorieistschließlichauchdieKenntnisderEigenschaften
spezieller univariater und multivariater Verteilungen erforderlich.
Neben der Darstellung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie liefert
dieses Buch mit zahlreichen Aufgaben auch Ansatzpunkte fu¨r das Studium
spezieller Fragestellungen, von denen einige theoretisch orientiert sind und
andere sich aus Anwendungen insbesondere im Bereich der Statistik und der
Versicherungsmathematik ergeben.
Ein Autor, der st¨arker der angewandten reinen Mathematik als der reinen
angewandtenMathematik verhaftet ist, ist geneigt, mathematische Aussagen
unter m¨oglichst allgemeinen Voraussetzungen zu beweisen. Die Aufgabe, ein
Lehrbuch zu schreiben, setzt dieser Versuchung natu¨rliche Grenzen, und so
vi Vorwort
habe ich mich bemu¨ht, zwischen dem Streben nach Allgemeinheit und der
Beschr¨ankung auf das Wesentliche ein Gleichgewicht zu finden.
Bei der Arbeit an diesem Buch habe ich vielf¨altige Unterstu¨tzung erhalten:
– Klaus Th. Hess und Mathias Zocher haben die Entstehung des Buches
begleitet und mir als anregende Gespr¨achspartner zur Seite gestanden.
– Lothar Partzsch und Wilfried Schenk haben Teile des Manuskriptes
durchgesehen und wertvolle Hinweise gegeben.
– Elisabeth L¨oser, Alexander Ludwig, Andreas Ringel und viele andere
Studenten haben zu wesentlichen Verbesserungen beigetragen.
– Mandy Karzig hat fast alle Beispiele und Aufgaben zu univariaten und
multivariaten Verteilungen u¨berpru¨ft.
– ChristianeWeberhatTeiledesManuskriptesmitderihreigenenunu¨ber-
trefflichen Sorgfalt korrekturgelesen und zusammen mit Elisabeth L¨oser
bei der Erstellung des Symbolverzeichnisses und des Sachverzeichnisses
mitgewirkt.
Ihnen allen sei herzlich gedankt.
Schließlich danke ich dem Springer–Verlag und insbesondere Clemens Heine
fu¨r die angenehme Zusammenarbeit.
Dresden, im November 2008 Klaus D. Schmidt
Inhaltsverzeichnis
Einleitung ..................................................... 1
Teil I Mengensysteme und Abbildungen
1 Mengensysteme............................................ 7
1.1 Topologien ............................................. 8
1.2 σ–Algebren ............................................. 14
1.3 Dynkin–Systeme ........................................ 16
1.4 ∩–stabile Mengensysteme................................. 17
1.5 Halbringe und Ringe..................................... 20
2 Topologische R¨aume und messbare R¨aume ................ 25
2.1 Urbilder von Mengensystemen ............................ 25
2.2 Topologische R¨aume und stetige Abbildungen............... 27
2.3 Messbare R¨aume und messbare Abbildungen................ 29
3 Produktr¨aume............................................. 33
3.1 Produkte und Projektionen............................... 33
3.2 Produkte von topologischen R¨aumen....................... 36
3.3 Produkte von messbaren R¨aumen ......................... 39
Teil II Maßtheorie
4 Mengenfunktionen......................................... 43
4.1 Inhalte................................................. 43
4.2 Maße .................................................. 49
4.3 Signierte Maße .......................................... 56
viii Inhaltsverzeichnis
5 Fortsetzung von Maßen.................................... 63
5.1 Eindeutigkeitssatz ....................................... 63
5.2 A¨ußere Maße ........................................... 65
5.3 Existenzsatz ............................................ 67
5.4 Approximationssatz...................................... 70
5.5 Lebesgue–Maß .......................................... 72
6 Transformation von Maßen ................................ 79
6.1 Bildmaße............................................... 79
6.2 TranslationsinvarianteMaße auf B(Rn)..................... 80
6.3 Lineare Abbildungen des Lebesgue–Maßes .................. 85
Teil III Integrationstheorie
7 Messbare Funktionen ...................................... 91
7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum.................. 92
7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum ..................101
8 Lebesgue–Integral .........................................109
8.1 Positive einfache Funktionen ..............................110
8.2 Positive messbare Funktionen .............................115
8.3 Integrierbare Funktionen .................................123
8.4 Lp–R¨aume..............................................135
9 Berechnung des Lebesgue–Integrals........................147
9.1 Integralinduzierte Maße und signierte Maße.................148
9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte ....................149
9.3 Absolutstetige und singul¨are Maße.........................155
9.4 Integration nach einem Bildmaß...........................163
9.5 Integration nach einem eingeschr¨ankten Maß................165
9.6 Produktmaße ...........................................168
9.7 Integration nach einem Produktmaß .......................175
9.8 Lebesgue–Integralund Riemann–Integral ...................180
Teil IV Wahrscheinlichkeitstheorie
10 Wahrscheinlichkeitsr¨aume .................................193
10.1 Wahrscheinlichkeitsr¨aume und Zufallsgr¨oßen ................194
10.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsr¨aume ........................196
10.3 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨aume....................198
10.4 Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨aumen...........202
10.5 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsr¨aumen..........204
10.6 Satz von Andersen/Jessen ................................209
Inhaltsverzeichnis ix
11 Unabh¨angigkeit............................................219
11.1 Unabh¨angige Familien von Ereignissen .....................219
11.2 Unabh¨angige Familien von Ereignissystemen ................229
11.3 Unabh¨angige Familien von Zufallsgr¨oßen ...................236
11.4 Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨aumen...................241
12 Univariate Verteilungen ...................................245
12.1 Verteilungen und Verteilungsfunktionen ....................245
12.2 Transformationen von Verteilungen ........................267
12.3 Momente ...............................................274
12.4 Zentrale Momente .......................................285
13 Multivariate Verteilungen .................................293
13.1 Verteilungen und Verteilungsfunktionen ....................293
13.2 Transformationen von Verteilungen ........................301
13.3 Randverteilungen........................................302
13.4 Unabh¨angigkeit .........................................309
13.5 Verteilungen von Summen von Zufallsvariablen..............314
13.6 Momente ...............................................319
13.7 Zentrale Momente .......................................323
14 Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen ...............331
14.1 Fast sichere Konvergenz..................................331
14.2 Stochastische Konvergenz.................................333
14.3 Konvergenz im p–ten Mittel ..............................335
15 Gesetze der Großen Zahlen ................................337
15.1 Schwache Gesetze der Großen Zahlen ......................337
15.2 Starke Gesetze der Großen Zahlen .........................341
15.3 Satz von Glivenko/Cantelli ...............................353
15.4 Irrfahrten ..............................................357
Teil V Vertiefung der Wahrscheinlichkeitstheorie
16 Erzeugende Funktionen....................................369
16.1 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion....................370
16.2 Momenterzeugende Funktion..............................378
16.3 Kumulantenerzeugende Funktion ..........................381
16.4 Charakteristische Funktion ...............................383
17 Schwache Konvergenz und Zentraler Grenzwertsatz........391
17.1 Schwache Konvergenz....................................392
17.2 Straffheit...............................................400
17.3 Zentraler Grenzwertsatz..................................405
x Inhaltsverzeichnis
18 Bedingte Erwartung .......................................409
18.1 Bedingte Erwartung einer positiven Zufallsvariablen .........410
18.2 Bedingte Erwartung und bedingte Integrierbarkeit...........416
18.3 Bedingte Erwartung als Projektion ........................426
18.4 Martingale .............................................428
19 Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Verteilung......435
19.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit ..............................435
19.2 Bedingte Unabh¨angigkeit.................................438
19.3 Bedingte Verteilung......................................442
19.4 Bedingte Dichte .........................................446
19.5 Bedingte Gesetze der Großen Zahlen.......................451
20 Regularit¨at und Satz von Kolmogorov .....................455
20.1 Regularit¨at .............................................456
20.2 Satz von Kolmogorov ....................................458
Anhang
A Fakult¨at und Gamma–Funktion............................465
A.1 Fakult¨at und Binomial–Koeffizient.........................465
A.2 Gamma–Funktion und Beta–Funktion......................466
B Vektorr¨aume, Ordnung und Topologie .....................467
B.1 Vektorr¨aume............................................467
B.2 Ordnung ...............................................468
B.3 Topologie...............................................469
B.4 Ordnung und Topologie ..................................470
C Der Euklidische Raum.....................................471
C.1 Vektoren und Matrizen...................................471
C.2 Ordnung ...............................................473
C.3 Topologie...............................................474
C.4 Ordnung und Topologie ..................................474
Literaturverzeichnis ...........................................475
Symbolverzeichnis .............................................477
Sachverzeichnis ................................................481