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Mathematik Kompakt Martin Brokate Götz Kersting Maß und Integral 2. Auflage Mathematik Kompakt Mathematik Kompakt Herausgegeben von: Martin Brokate, Garching, Deutschland Aiso Heinze, Kiel, Deutschland Karl-Heinz Hoffmann, Garching, Deutschland Mihyun Kang, Graz, Österreich Götz Kersting, Frankfurt, Deutschland Moritz Kerz, Regensburg, Deutschland Otmar Scherzer, Wien, Österreich Die Lehrbuchreihe Mathematik Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der Dip- lomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor- und Masterabschlüssen. Inhaltlich werden unter Berücksichtigung der neuen Studienstrukturen die aktuellen Entwicklungen des Faches aufgegriffen und kompakt dargestellt. Die modular aufgebaute Reihe richtet sich an Dozenten und ihre Studierenden in Bachelor- und Masterstudiengängen und alle, die einen kompakten Einstieg in aktuelle Themenfelder der Mathematik suchen. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben stehen zur Verfügung, um die Anwendung der Inhalte zu veranschaulichen. • Kompakt: relevantes Wissen auf 150 Seiten • Lernen leicht gemacht: Beispiele und Übungsaufgaben veranschaulichen die Anwendung der Inhalte • Praktisch für Dozenten: jeder Band dient als Vorlage für eine 2-stündige Lehrveran- staltung Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/7786 Martin Brokate · Götz Kersting Maß und Integral 2. Auflage Martin Brokate Götz Kersting Fakultät für Mathematik Institut für Mathematik Technische Universität München Goethe-Universität Frankfurt München, Deutschland Frankfurt am Main, Deutschland ISSN 2504-3846 ISSN 2504-3854 (electronic) Mathematik Kompakt ISBN 978-3-0348-0987-0 ISBN 978-3-0348-0988-7 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0988-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer Basel AG 2011, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. 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Die Anschrift der Gesellschaft ist: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland Vorwort Die moderne Maß- und Integrationstheorie ist ein prominenter Abkömmling der Can- torschen Mengenlehre, auch spielte sie für deren Ausformung eine wichtige Rolle. Die Wurzeln der Maß- und Integrationstheorie finden sich also in Bereichen, die man gemeinhin der Reinen Mathematik zurechnete. Gleichwohl hat sie Bedeutung gewonnen gerade auch für solche Gebiete der Mathematik, die schon lange Anwendungsbezüge pflegen – für die Funktionalanalysis, die Theorie der partiellen Differentialgleichungen, die angewandte Analysis und Steuerungstheorie, die Numerik, die Potentialtheorie, die Ergodentheorie, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik. Die Maß- und Integra- tionstheorie lässt sich also nicht recht in das Schema Reine versus Angewandte Mathe- matik einpassen (ein Schema, das heutzutage ja auch zunehmend an Überzeugungskraft verliert). Unter diesem Eindruck haben wir unser Lehrbuch geschrieben. Wir haben sehr wohl Leser im Blick, die die Theorie anderswo einsetzen wollen und sich eine konzentrierte Darstellung der wichtigsten Resultate wünschen. Dabei liegt uns aber am Herzen, die Maß- und Integrationstheorie als ein in sich stimmiges, abgerundetes und durchsichtiges System von Aussagen über Flächen, Volumina und Integrale zu präsentieren. Wir mei- nen, dass sich dies in kompakter Weise realisieren lässt, so dass sie ihren Platz im Bache- lor für Mathematik bekommt. Mathematisch gesehen hat die Maß- und Integrationstheorie in ihrem Kernbereich weitgehend ihre Form gefunden. Doch denken wir, dass sich in der Darstellung des Stof- fes noch Akzente setzen lassen. Unsere Anordnung des Stoffes folgt nicht dem von ver- schiedenen Autoren gewählten Aufbau. Dazu seien ein paar Hinweise gegeben. Anders als sonst behandeln wir die Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Maße nicht gleich am Anfang. Wir meinen, dass damit den Bedürfnissen der Studierenden eher gedient ist: Zunächst einmal sind die Konvergenzsätze für Integrale wichtig, die Kons- truktion von Maßen, so schön sie auch nach Carathéodory gelingt, kann demgegenüber erst einmal zurückstehen. Deswegen behandeln wir diese Konstruktionen erst gegen Ende unseres Lehrbuches (was nicht ausschließt, das ein Dozent sie in seiner Vorlesung doch vorzieht). Hier haben wir eine Darstellung gewählt, die übliche Erörterungen von V VI Vorwort Mengensystemen wie Mengenalgebren, Halbringe etc. vermeidet und direkt zum Ziel führt. Auch an einigen anderen Stellen gibt es neue Akzente. Dabei haben wir nicht im Sinn, die Theorie in allen ihren Verästelungen vorzuführen. Wir konzentrieren uns auf ihren Kern (so wie wir ihn sehen) und stellen darüber hinaus Resultate dar, die Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik herstellen. Für die Analysis betrifft das z. B. das Glätten von Funktionen durch Faltung oder die Transfor- mationsformel von Jacobi. Für die geometrische Maßtheorie gehen wir auf Hausdorff- maße und -dimensionen ein. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln wir u. a. Kerne sowie Maße auf unendlichen Produkträumen nach Kolmogorov. Am Ende versu- chen wir, in zwei Kapiteln Bezüge zur Funktionalanalysis herzustellen, so wie uns das für ein Verständnis der Theorie nützlich erscheint. Zur Orientierung des Lesers haben wir manche Abschnitte mit einem * markiert, sie können erst einmal überschlagen werden. An Kenntnissen setzen wir den Stoff voraus, der in den Anfängervorlesungen für Mathematik an den Universitäten behandelt wird. Aus der Topologie benutzen wir kom- mentarlos nur elementare Konzepte (offen, abgeschlossen, kompakt, Umgebung, Stetig- keit, alles in metrischen Räumen). Was darüber hinausgeht, erörtern wir in der einen oder anderen Weise. Historische Anmerkungen finden sich in Fußnoten. Ein konziser Text, wie wir in angestrebt haben, kann nicht an die Stelle umfassen- der Werke treten. Wir wollen deswegen auch nicht ein bewährtes Lehrbuch wie das von Elstrodt ersetzen, ganz zu schweigen klassische Texte wie die von Halmos oder Bauer. Im Anhang nennen wir noch weitere Einführungen in die Theorie, von allen haben wir wesentlich profitiert. Wir erlauben uns, dies im Einzelnen nicht weiter zu belegen, wie das in einem Lehrbuch wohl gestattet ist. Was die ursprüngliche erste Auflage angeht, haben wir gerne Vorschläge zum Text und Korrekturhinweise von Christian Böinghoff und Henning Sulzbach übernommen. Für die vorliegende zweite Auflage bedanken wir uns bei Folkmar Bornemann für einige Hinweise. Dem Birkhäuser Verlag danken wir zum wiederholten Male für die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit. München und Frankfurt/Main Martin Brokate Dezember 2018 Götz Kersting Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ...................................................... 1 2 Messbarkeit .................................................... 7 3 Maße .......................................................... 19 4 Das Integral von nichtnegativen Funktionen ......................... 29 5 Integrierbare Funktionen ......................................... 41 6 Konvergenz .................................................... 53 7 Eindeutigkeit und Regularität von Maßen ........................... 63 8 Mehrfachintegrale und Produktmaße .............................. 73 9 Absolute Stetigkeit .............................................. 89 10 Die Transformationsformel von Jacobi .............................. 111 11 Konstruktion von Maßen ......................................... 117 12 Hilberträume ................................................... 135 13 Banachräume ................................................... 153 Literatur ........................................................... 169 Stichwortverzeichnis ................................................. 171 VII 1 Einleitung DieBestimmungspeziellerFlächeninhalte,VoluminaundIntegraleisteinuraltesThemader Mathematik.UnübertroffensinddieLeistungendesArchimedes,namentlichseineBestim- mung von Kugelvolumen und -oberfläche als 4π/3 bzw. 4π. Später war man dann in der Lage,mitverschiedenenHilfsmittelndenWertimmer(cid:2)neuerspeziellerIntegralezuberech- nen.AufgabenwiedieBestimmungdesWertesvon ∞ sinx dx (nämlichπ/2)habendie 0 x AnalysisseitEulerbeschäftigt. Ende des 19. Jahrhunderts verlor das Thema an Bedeutung, es gab da nicht mehr viel Neueszuentdecken.DiesistderZeitpunkt,zudemdieMaß-undIntegrationstheorieauf denPlantrat.AuchsiebefasstsichmitInhaltenoder(wiewirimFolgendensagenwerden) Maßen von Mengen und mit Integralen von Funktionen, ihre Fragestellung hat sich aber gewandelt. Sie lautet nicht mehr „Was ist das Maß dieser oder jener Menge?“ sondern „WelcheMengensindmessbar,welcheFunktionenintegrierbar?“.WelchenMengenkann manalsoinstimmigerWeiseeinMaßzuordnen,welchenFunktioneneinIntegral.Wasderen WertimEinzelnenist,wirdzweitrangig,indenVordergrundtretenallgemeineRegelndes Integrierens. Der Zusammenhang zum Differenzieren, der seit Newton und Leibniz über einenlangenZeitraumimVordergrundstand,verliertseinebeherrschendeStellung. SolchePerspektivwechselsindinderMathematiknichtungewöhnlich.InunseremFall hatteermitderEntwicklungzutun,dassmanIntegralenichtmehrumihrerselbstwillen betrachtete,sondernsiealsHilfsmittelinanderweitigenmathematischenUntersuchungen brauchte.HistorischistdainsbesonderedieFourier-AnalysevonFunktionenzunennen,die ZerlegungvonreellenFunktioneninSinus-Schwingungen.DerenKoeffizienten(Amplitu- den) lassen sich durch gewisse Integrale ausdrücken – dabei merkte man bald, dass man dafürEigenschaftenderIntegrationbenötigte,diediedamalszurVerfügungstehendenInte- gralbegriffenichtbietenkonnten. ©SpringerBaselAG2019 1 M.BrokateundG.Kersting,MaßundIntegral,MathematikKompakt, https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0988-7_1 2 1 Einleitung DieMaß-undIntegrationstheorienachLebesgueentstandimGroßenundGanzenzwi- schen den Jahren 1900 und 1915, mit wesentlicher Vorarbeit von Borel1 aus dem Jahre 1894. Die Pioniere von damals hatten von Anfang an ihren Blick auf die grundlegenden Eigenschaftenvon Maß und Integralgelenkt.Borel war dererste,der fürMaße nichtnur die Additivität, sondern auch die σ-Additivität forderte. Dies bedeutet, dass nicht nur für endlichvieledisjunktemessbareMengenB , B , ... ⊂ Rd mitMaßenλ(B ), λ(B ), ... 1 2 1 2 dieVereinigungB=B ∪B ∪··· messbaristunddasMaß 1 2 λ(B)=λ(B )+λ(B )+··· 1 2 besitzt,sonderndassdieseEigenschaftauchfürjedeunendlicheFolgeB , B , ...disjunkter 1 2 messbarerMengengilt.Borelerkannte,dasssichnurmitdieserAnnahmeeinefruchtbare mathematischeTheorieergibt.ImEinzelfall,wieimBildbeimKreis, ergab sich natürlich nichts Neues. Lebesgue2, der Begründer der modernen Integrations- theorie,gingdanninseinergrundlegendenAbhandlungzurIntegrationausdemJahre1901 vonsechsEigenschaftenaus,dieIntegralevernünftigerweiseerfüllenmüssen. DieMaß-undIntegrationstheoriebautaufderMengenlehreaufundkommtnichtohnederen Schlussweisenaus.ErstmitHilfederMengenlehrefandsicheinWegzumvollenSystem dermessbarenTeilmengendesRd undandererRäume.DabeierweistsichdieserWegals vergleichsweiseabstraktundindirekt.UmseineBerechtigungzuerkennen,istesvielleicht angebracht,ersteinmaleinenBlickaufanschaulichereAnsätzezuwerfen,auchwenndiese letztlichnichtzielführendwaren. 1Émile Borel,1871–1956,geb.inSaint-Affrique,tätiginParisanderÉcoleNormaleSupérieure und der Sorbonne. Seine bedeutenden Beiträge betreffen nicht nur die Begründung der Maßtheo- rie,sondernauchFunktionentheorie,Mengenlehre,Wahrscheinlichkeitstheorieundmathematische Anwendungen.DiesesWirkenverbandermiteinerpolitischenKarriere,alsParlamentsabgeordneter, MarineministerundschließlichMitgliedderRésistance. 2Henri Lebesgue,1875–1941,geb.inBeauvais,inParistätiganderSorbonneundamCollègede France.SeineBegründungderIntegrationstheorieisteinMarksteininderMathematik,dabeikonnte eraufVorarbeitenvonBorelundBairezurückgreifen.MitseinenMethodenerzielteerdannResultate überFourier-Reihen.
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