LSIS , CNRS UMR - 6168 Commande de Robots à Articulations Flexibles Equipe SASV

65 Pages·2012·2.1 MB·French

LSIS,CNRSUMR-6168 CommandedeRobotsàArticulationsFlexibles
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1
0
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r
b
m
e
v
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N
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e
l
b
a
i
r
a
V
Pagedáccueil e
r
u
t
c
PagedeTitre u
r
t
S
Sommaire á
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q
i
(cid:74) (cid:73) at
m
o
t
Page1de65 u
A
s
Retour me
è
t
FullScreen ys
S
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Fermer —
Quitter V
S
A
S
e
p
i
u
q
E
N.K.M’Sirdi [email protected] 1 •First •Prev •Next •PLoalsytte•cGhoMBaarscekill•eFullScreen •Close •Quit
LSIS,CNRSUMR-6168 CommandedeRobotsàArticulationsFlexibles
- Nacer K. M’Sirdi; Professeur Polytech Marseille, Aix Marseille Université et chercheur au LSIS UMR 7296,
2
1
0 responsabledugroupederechercheSASV
2
e
r L’objet de ce chapitre est une introduction à la commande de robots manipulateurs à articulations
b
m
e flexibles. L’introduction des flexibilités des articulations dans la modélisation double le nombre de de-
v
o
N grés de liberté par rapport au cas rigide. La position de l’axe de l’actionneur est différente de celle du
bras.Cettedifférencepeutêtrepriseencomptedemanièresimplifiéeeninsérantuneraideurdetorsionau
-
—
e niveau de chaque articulation. Les lois de commande ignorant ces flexibilités trouvent tout de suite leurs
l
b
a
i performances limitées et deviennent peu efficaces. Nous montrerons, dans ce chapitre, cette limitation et
r
a
V
aborderonslasynthèsedeloisdecommandeappropriées.
Pagedáccueil e
r
u
t Référence: Chapitre du livre édité W. Khalil chez Hermes, 2002. Commande de robots à articulations
c
PagedeTitre u
r
t flexibles.
S
Sommaire á
s Mots-clés:Commandederobotsrapides,articulationsflexibles,stabilisation,commanderobuste,
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q Keywords:Robotcontrol,Flexiblejoints,Robustcontrol.
i
(cid:74) (cid:73) at
m
o
t
Page2de65 u
A
0.1. Introduction
s
Retour me
è
t
FullScreen ys La présence d’élasticité dans les transmissions entre les actionneurs et les bras peut avoir une grande in-
S
-
Fermer — fluence sur la dynamique du robot. Les manipulateurs utilisant des transmissions par courroies, par arbres
Quitter V detransmissionoupar”harmonicdrive”ontdansleurfonctiondetransfertunerésonance/anti-résonance
S
A (Sweetetal.,Canudasetal.etc...).Lapositionangulairedel’axedel’actionneurdanscecasestdifférente
S
e
p de celle du bras. Le nombre de degrés de liberté à contrôler est ainsi doublé par rapport au cas d’articu-
i
u
q
E lations non flexibles. Cette différence peut être modélisée, de manière simplifiée, en insérant une raideur
de torsion K au niveau de chaque articulation. La bande de fréquence occupée par ce phénomène dépend
N.K.M’Sirdi [email protected] 2 ••FFiirrsstt ••PPrreevv ••NNeexxtt ••PLLoaalssyttte••cGGhooMBBaaarsccekkill••eFFuullllSSccrreeeenn ••CClloossee ••QQuuiitt
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- directement de la valeur de la raideur. Pour des valeur de K faibles, cette bande est vers les basses fré-
2
1
0 quences (oscillations de forte amplitude à basses fréquences). Pour de grandes valeurs de K, cette bande
2
e
r est à hautes fréquences (oscillations de faible amplitude). La fréquence de résonance est fonction de la
b
m
e position angulaire. Les lois de commande ignorant ces flexibilités peuvent présenter des oscillations voire
v
o
N l’instabilité.
Dans un premier temps nous illustrerons, à travers une analyse d’un cas à un degré de liberté, ces
-
—
e limitations de performances et montrerons comment aborder la synthèse de lois de commande appro-
l
b
a
i priées. Ensuite, nous généraliserons l’approche à n degrés de liberté. Il existe dans la littérature plusieurs
r
a
V
approches de commande, certaines d’entre elles sont basées sur la linéarisation (Spong et al.) d’autres
Pagedáccueil e
r
u
t utilisent les techniques de perturbation singulière ou l’approche par les variétés intégrales dans le cas de
c
PagedeTitre u
r
t faiblesflexibilités(Spongetal.etFicolaetal.).
S
Sommaire á
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q
(cid:74) (cid:73) ati 0.2. Modèle et propriétés utiles pour la commande
m
o
t
Page3de65 u
A
0.2.1. Système électrique moteur charge (1DDL)
s
Retour me
è
FullScreen yst Considéronsunmoteuràcourantcontinudontl’arbreestreliéàunréducteurneprésentantpasdeflexibili-
S
- tés. On suppose négligeable les jeux et les frottements secs (Coulomb). Notons les paramètres du système
Fermer —
delafigurecidessous,commesuit:K estlegainencourant;J etJ sontlesinertiesdel’arbremoteur
Quitter V m m c
S etdelachargerespectivement.feetfssontlescoefficientsdefrottementvisqueuxauniveaudesarbresde
A
S
e transmissiondumoteuretdelachargeτ = K .iestlecoupleproduitparlemoteuràcourantcontinu.
p m m
i
u
q Dans le cas où l’axe serait rigide, nous avons la position q et la vitesse q˙ de l’arbre moteur qui sont
E m m
proportionnelles à celles de la charge : q = Nq et q˙ = Nq˙, avec le même coefficient multipliant le
m m
N.K.M’Sirdi [email protected] 3 •••FFFiiirrrsssttt •••PPPrrreeevvv •••NNNeeexxxttt •••PLLLoaaalsssytttte•••cGGGhoooMBBBaaaarscccekkkill•••eFFFuuullllllSSScccrrreeeeeennn •••CCClllooossseee •••QQQuuuiiittt
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ab FIGURE 0.2.1–Chaînedetransmissionrigide
i
r
a
V
Pagedáccueil e
r couple de charge ramené du côté charge τ = Nτ . Sous l’hypothèse de rigidité et sans perturbation, le
u c m
t
c
PagedeTitre u systèmes’écrira:
r
t
S
Sommaire á Jmq¨m +fm.q˙m +τc = Km.i = τm (0.2.1)
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q Onpeutaussiécrire:
i
(cid:74) (cid:73) at
m
o
Page4de65 ut (J +J N2)q¨+(f +f N2)q˙ = Jq¨+fq˙ = NK .i (0.2.2)
A c m c m m
s
Retour me
è Lesystèmeestdusecondordre,onadeuxvariablesd’étatxT = (q,q˙).Lafonctiondetransfertd’untel
t
FullScreen ys
S systèmepeuts’écrire:
-
Fermer — Q(p) NK
m
H(p) = = (0.2.3)
Quitter V I(p) p(Jp+f)
S
A
S
e 0.2.2. Système de transmission avec flexibilité
p
i
u
q
E On ne peut plus négliger la flexibilité si le robot doit effectuer des mouvements rapides et précis. En effet,
une élasticité apparaît au niveau des articulations, entre l’actionneur et le bras. Nous allons considérer les
N.K.M’Sirdi [email protected] 4 ••••FFFFiiiirrrrsssstttt ••••PPPPrrrreeeevvvv ••••NNNNeeeexxxxtttt ••••PLLLLoaaaalssssyttttte••••cGGGGhooooMBBBBaaaaarsccccekkkkill••••eFFFFuuuullllllllSSSSccccrrrreeeeeeeennnn ••••CCCClllloooosssseeee ••••QQQQuuuuiiiitttt
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ab FIGURE 0.2.2–Chaînedetransmissionavecréducteurdevitesseetflexibilités
i
r
a
V
Pagedáccueil re élasticités qui apparaissent au niveau de l’articulation pour une chaîne de transmission à 1 DDL. Dans ce
u
t
c
PagedeTitre u quisuit,onneconsidèrequelaflexibilitéauniveaudelaliaisonetonsupposelebrasrigide(voirfigureci
r
t
S
Sommaire á dessous).Notonsqueq estdifférentdeqm.
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e Les équations relatant la dynamique de l’actionneur sont données par ce qui suit, en supposant N = 1
u
q
i
(cid:74) (cid:73) at pour simplifier l’écriture et avec K la raideur équivalente à K1 et K2 au niveau des axes d’entrée et de
m
o sortieduréducteur.
t
Page5de65 u
A J q¨+f q˙+Kq = Kq
s c c m (0.2.4)
Retour me J q¨ +f q˙ +K(q −q) = K i = u
è m m m m m m
t
FullScreen ys
S Enpassantàunereprésentationsousformedefonctionsdetransfert,nouspouvonsécrire:
-
Fermer —
K
Quitter V Q(p) = Q (p) = H (p)Q (p) (0.2.5)
S J p2 +f p+K m 1 m
A c c
S K K
uipe Qm(p) = Jmp2 +fmp+KQ(p)+ Jmp2 +fmmp+KI(p) = H2(p)Q(p)+H3(p)I(p) (0.2.6)
q
E
N.K.M’Sirdi [email protected] 5 •••••FFFFFiiiiirrrrrsssssttttt •••••PPPPPrrrrreeeeevvvvv •••••NNNNNeeeeexxxxxttttt •••••PLLLLLoaaaaalsssssytttttte•••••cGGGGGhoooooMBBBBBaaaaaarscccccekkkkkill•••••eFFFFFuuuuullllllllllSSSSScccccrrrrreeeeeeeeeennnnn •••••CCCCClllllooooossssseeeee •••••QQQQQuuuuuiiiiittttt
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- Nousavonspourletransfertentrée-sortiedusystème:
2
1
0
2 Q(p) K K
re H (p) = = m (0.2.7)
b 0 I(p) (J p2 +f p+K)(J p2 +f p+K)−K2
m m m c c
e
v
o
N Le système est d’ordre 4 et l’entrée de commande unique devra permettre de stabiliser les deux sorties
q etq.
- m
—
le H1(p) s’obtient de l’équation (0.2.5) alors que H2(p) et H3(p) s’obtiennent des équations (0.2.6). Les
b
a deux premières fonctions de transfert montrent que toute variation ou mouvement à l’entrée q provoque
ri m
a
V une perturbation de la sortie q et réciproquement. Ces couplages ont un amortissement qui dépend de
Pagedáccueil e
r
ctu fm et de fc; si l’une des variables est stabilisée (en agissant sur l’entrée v), l’autre évoluera avec une
PagedeTitre u
Str dynamique imposée par celle de H2(p) ou réciproquement de H1(p). On ne pourra donc se contenter de
Sommaire á
stabiliser qu’une seule des sorties q ou q sans tenir compte de l’autre si les termes de frottements (ou
s m
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q amortissements)sontfaibles.
i
(cid:74) (cid:73) at
m
o
t
Page6de65 Au 0.2.3. Système avec articulations flexibles à plusieurs DDL
s
Retour me
è Pour un robot à n+1 segments et n articulations, lorsque ces dernières présentent des déformations dues
t
FullScreen ys
S àleurélasticité,nouspouvonsconsidérerleshypothèsessuivantespourlamodélisation:
-
Fermer —
Hypoth‘ese1: Les déformations apparaissent au niveau des articulations et ont de faibles amplitudes.
Quitter V
S
A Elles apparaissent uniquement selon l’axe du mouvement de l’articulation (sous forme de torsion
S
pe sansflexion).
i
u
q
E
Hypoth‘ese2: CesélasticitéspeuventêtremodéliséespardescouplesdetorsionavecuneraideurKetles
rotors des actionneurs ne présentent pas de mouvements autres que selon l’axe de rotation et n’ont
N.K.M’Sirdi [email protected] 6 ••••••FFFFFFiiiiiirrrrrrsssssstttttt ••••••PPPPPPrrrrrreeeeeevvvvvv ••••••NNNNNNeeeeeexxxxxxtttttt ••••••PLLLLLLoaaaaaalssssssyttttttte••••••cGGGGGGhooooooMBBBBBBaaaaaaarsccccccekkkkkkill••••••eFFFFFFuuuuuullllllllllllSSSSSSccccccrrrrrreeeeeeeeeeeennnnnn ••••••CCCCCClllllloooooosssssseeeeee ••••••QQQQQQuuuuuuiiiiiitttttt
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- pasd’excentricité.
2
1
0
2
Ces hypothèses expriment une simplification de l’expression du mouvement, dans l’espace. Elles per-
e
r
b
m mettent de conduire la modélisation de la même manière que pour les robots rigides par la méthode de
e
v
o Lagrange en considérant 2n coordonnées q = [qT,qT]. Ceci nous conduit à une matrice d’inertie, symé-
N m
triquedéfiniepositive,delaforme:
-
—
(cid:34) (cid:35)
e
l A(q) A (q)
b 2
a A (q) = (0.2.8)
ri f AT(q) J
Va 2 m
Pagedáccueil e
r
u
ct Où A(q) présente l’inertie du robot manipulateur rigide équivalent, Jm l’inertie des actionneurs et A2(q)
PagedeTitre u
tr traduit les couplages inertiels des différents axes et leurs actionneurs. Notons également que l’énergie
S
Sommaire á
potentielle doit inclure, en plus des termes dus à la gravitation, ceux liés aux flexibilités des transmissions
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q E (q):
i pf
(cid:74) (cid:73) at (cid:34) (cid:35)
m K −K
o E (q) = (q −q )TK(q −q ) = qT q (0.2.9)
t pf m m
Page7de65 u −K K
A
s
Retour me La modélisation n’étant pas l’objectif de ce chapitre, nous allons nous limiter, dans la suite, au cas des
è
t
FullScreen ys modèles réduits (simplifiés) avec A (q) = A = 0 nul. Ceci correspond à la plupart des manipulateurs, en
S 2 2
-
Fermer — raisonduchoixeffectuélorsdelaconceptionpourl’optimisationcinématique.Deplus,cetteoptimisation
donne souvent A = 0, lorsque la conception du robot a pris en compte ce phénomène. On écrit alors le
Quitter V 2
S
A vecteurq (dedimension2n)delamanièresuivante,oùq = [qT,qT]avecq lespositionsangulairesdesbras
S m
ipe et qm celles des actionneurs. Récemment, une étude permettant l’exploitation de la méthode de Newton
u
q Eulerpouruncalculrécursifdumodèleetdesoninverseestproposéedans(KhaliletGautier00).
E
N.K.M’Sirdi [email protected] 7 •••••••FFFFFFFiiiiiiirrrrrrrsssssssttttttt •••••••PPPPPPPrrrrrrreeeeeeevvvvvvv •••••••NNNNNNNeeeeeeexxxxxxxttttttt •••••••PLLLLLLLoaaaaaaalsssssssytttttttte•••••••cGGGGGGGhoooooooMBBBBBBBaaaaaaaarscccccccekkkkkkkill•••••••eFFFFFFFuuuuuuullllllllllllllSSSSSSScccccccrrrrrrreeeeeeeeeeeeeennnnnnn •••••••CCCCCCClllllllooooooossssssseeeeeee •••••••QQQQQQQuuuuuuuiiiiiiittttttt
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- Entenantcomptedelaréductionauniveaudesactionneurs,lecomportementdynamiqued’unmanipu-
2
1
0 lateuravecarticulationsflexiblesestdécritpar:
2
e
r
b
m A(q)q¨+A q¨ +C(q,q˙)q˙+G(q)+V(q,q˙)+K(q −N−1q ) = 0
ve 2 m m (0.2.10)
No Jmq¨m +AT2q¨+Bmq˙m −KN−1(q −N−1qm) = τm
-
— A(q):matricesymétriquedéfiniepositive
e
bl K :coefficientderaideurdesliaisons
a
i
Var Jm :matricesymétriquedéfiniepositive,matriced’inertiedesactionneurs
Pagedáccueil re N :lamatricedescoefficientsderéduction
u
t
PagedeTitre uc V(q,q˙)représentelesfrottementsramenésauniveaudesaxesmoteurs
r
t
S
Pour l’application de plusieurs stratégies de commande, souvent on utilise une formulation du modèle
Sommaire á
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e en deux équations. En prenant les hypothèses suivantes : A = 0, J = N2J , B = N2B , τ = Nτ et
u 2 m m m
q
(cid:74) (cid:73) ati qM = N−1qm ,lesystèmedevientalors:
m
o
t
Page8de65 u
A A(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)+V(q,q˙)+K(q −q ) = 0
M
s (0.2.11)
Retour me Jq¨ +Bq˙ −K(q −q ) = τ
M M M
è
t
FullScreen ys
S
- 0.2.4. Modèle en deux étages
Fermer —
Quitter V Lemodèleestreécritdesorteàmettreenévidencedeuxétagesnonindépendantsdusystème.Cesderniers
S
A
S sont définis par des variables traduisant les positions et vitesses des bras du robot (bloc 1) et des variables
e
p
i représentantlesécartsentrelespositionsetvitessesdesmoteursetcellesdesbrasdurobot(bloc2).
u
q
E La paramétrisation du système en deux étages facilite la synthèse de la commande. Elle a été utilisée
pourlapremièrefoispar(Chenetal.dans[29])pourlecalculd’unecommandeendeuxétapes.
N.K.M’Sirdi [email protected] 8 ••••••••FFFFFFFFiiiiiiiirrrrrrrrsssssssstttttttt ••••••••PPPPPPPPrrrrrrrreeeeeeeevvvvvvvv ••••••••NNNNNNNNeeeeeeeexxxxxxxxtttttttt ••••••••PLLLLLLLLoaaaaaaaalssssssssyttttttttte••••••••cGGGGGGGGhooooooooMBBBBBBBBaaaaaaaaarsccccccccekkkkkkkkill••••••••eFFFFFFFFuuuuuuuullllllllllllllllSSSSSSSSccccccccrrrrrrrreeeeeeeeeeeeeeeennnnnnnn ••••••••CCCCCCCClllllllloooooooosssssssseeeeeeee ••••••••QQQQQQQQuuuuuuuuiiiiiiiitttttttt
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2
1
0
2
e
br (cid:63) (cid:63)
m 2nd étage 1er étage
ve τ (cid:45) systèmeflexible z,(cid:45)z˙ systèmerigide (cid:45)q,q˙
o
N
M,C,G,J,B,K M,C,G
-
—
e FIGURE 0.2.3–Systèmeendeuxétages
l
b
a
i
r
a
V Les équations qui représentent le modèle du robot à articulations flexibles sont réécrites, en posant
Pagedáccueil e
r
u z = (q −q),delamanièresuivante:
ct M
PagedeTitre u
r
t
S
Sommaire á M (q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q) = Kz (0.2.12)
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q Jz¨+B (q,q˙,z˙)+G (q,z) = τ (0.2.13)
i z z
(cid:74) (cid:73) at
m
o
Page9de65 ut avec
A
Retour mes Bz(q,q˙,z˙) = Bz˙ +Bq˙−JM (q)−1C(q,q˙)q˙
è
t
FullScreen ys Cette représentation met en évidence la décomposition du modèle en deux étages. Le premier étage est
S
-
Fermer — définiparl’équation(0.2.12)oùlesvariableslentes(q,q˙)traduisentlespositionsetlesvitessesdesbrasdu
robot.Lesvariablesrapides,représentéesparlesécartsentrelespositionsetvitessesdesarbresmoteurset
Quitter V
S
A lespositionsetvitessesdesbrasdurobot(z,z˙)
S
e
p L’avantage de cette représentation en deux étages est qu’elle permet de récupérer quelques bonnes
i
u
Eq propriétésdecommandemontréespourlesrobotssupposésrigides.Celles-cipeuventêtreexploitéespour
la synthèse de la commande. Nous remarquons que dans le cas limite où K → ∞, z → 0, nous avons
N.K.M’Sirdi [email protected] 9 •••••••••FFFFFFFFFiiiiiiiiirrrrrrrrrsssssssssttttttttt •••••••••PPPPPPPPPrrrrrrrrreeeeeeeeevvvvvvvvv •••••••••NNNNNNNNNeeeeeeeeexxxxxxxxxttttttttt •••••••••PLLLLLLLLLoaaaaaaaaalsssssssssytttttttttte•••••••••cGGGGGGGGGhoooooooooMBBBBBBBBBaaaaaaaaaarscccccccccekkkkkkkkkill•••••••••eFFFFFFFFFuuuuuuuuullllllllllllllllllSSSSSSSSScccccccccrrrrrrrrreeeeeeeeeeeeeeeeeennnnnnnnn •••••••••CCCCCCCCClllllllllooooooooossssssssseeeeeeeee •••••••••QQQQQQQQQuuuuuuuuuiiiiiiiiittttttttt
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-
2 u(t) x˙(t) ´ x(t) y(t)
01 (cid:45) B (cid:45)+ (cid:109) (cid:45) (cid:45) C (cid:45)
2
re (cid:54)+
b
m
ve A
o
N
FIGURE 0.3.1–Représentationd’état(schémafonctionnel)
-
—
e
l
b Kz → (τ −Jq¨−Bq˙) et en substituant ce résultat dans (0.2.12) nous retrouvons le modèle du robot
a
i
r
Va supposérigide.
Pagedáccueil e
r
u
t
c
PagedeTitre u
tr 0.3. Lois de commande d’un robot à 1 ddl
S
Sommaire á
s
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) e
u
q Danscettepartie,nousreprenonsl’exempledetransmissionflexibleàundegrédelibertédontleséquations
i
(cid:74) (cid:73) at
m relatantladynamiquesontdonnéesparcequisuit:
o
t
Page10de65 u
A
s J q¨+f q˙+Kq = Kq
Retour me c c m (0.3.1)
è J q¨ +f q˙ +K(q −q) = u
FullScreen yst m m m m m
S
Fermer —- (cid:104) (cid:105)
Ouencoresousformed’étatavecxT = q, q˙, q , q˙ :
m m
Quitter V
S
A
S x˙ = Ax+Bu
e (0.3.2)
p
i y = Cx = q
u
q
E
N.K.M’Sirdi [email protected] 10 ••••••••••FFFFFFFFFFiiiiiiiiiirrrrrrrrrrsssssssssstttttttttt ••••••••••PPPPPPPPPPrrrrrrrrrreeeeeeeeeevvvvvvvvvv ••••••••••NNNNNNNNNNeeeeeeeeeexxxxxxxxxxtttttttttt ••••••••••PLLLLLLLLLLoaaaaaaaaaalssssssssssyttttttttttte••••••••••cGGGGGGGGGGhooooooooooMBBBBBBBBBBaaaaaaaaaaarsccccccccccekkkkkkkkkkill••••••••••eFFFFFFFFFFuuuuuuuuuullllllllllllllllllllSSSSSSSSSSccccccccccrrrrrrrrrreeeeeeeeeeeeeeeeeeeennnnnnnnnn ••••••••••CCCCCCCCCClllllllllloooooooooosssssssssseeeeeeeeee ••••••••••QQQQQQQQQQuuuuuuuuuuiiiiiiiiiitttttttttt