Table Of Content

LÆREBOK i MATEMATISK ANALYSE AV R. TAMBS LYCHE Professor i ren matematikk ved Universitetet i Oslo ANNEN DEL FUNKSJONER AV FLERE FRI VARIABLE FJERDE UTGAVE GYLDENDAL NORSK FORLAG OSLO 1962 NB Rana Depotbiblioteket © Gyldendal Norsk Forlag A/S 1940 and 1953 FOLKEBOKSAMUHG 5lo 13686 FR. BAGGES KGL. HOFBOGTR YKKER1 KØBENHAVN FORORD TIL TREDJE UTGAVE Også i denne annen del av Matematisk analyse er en del avsnitt revidert. I kapitel 9 er begrepet »rang« av en matrise innført for å få en bedre gjennomført behandling av lineære likningssett. Set ningen om den uniforme kontinuitet (nr. 160) er gitt en slik form at innføringen av dobbeltintegral i kapitel 15 er blitt mere tilfreds stillende. Som i de tidligere utgaver er en rekke avsnitt satt med mindre skrift; slike avsnitt kan forbigås uten at det bryter sammenhengen; dog er der blant disse avsnitt også bevisene for en del setninger, der selve setningen er nødvendig for sammenhengen. Det er meg en glede på dette sted å takke forlaget for dets imøtekommenhet og trykkeriet for hurtig og fortrinlig arbeide. Oslo i april 1958. R. Tambs Lyche,. FORORD TIL FJERDE UTGAVE Endringene fra tredje utgave er få. Det tilføyde avsnitt om residuesetningen er gitt nummer 240 A for å kunne beholde den videre nummerering uforandret. Boulder (Colorado), februar 1962. R. T. L. INNHOLD IX. Determinanter. XI. Romkurver. 125. Løsning av lineære likninger 1 148. Vektorfunksjoner..................... 64 126. Permutasjoner............................. 2 149. Tangenten til en romkurve 65 127. Matriser.......................................... 5 150. Buelengden av en romkurve 68 128. Determinanter............................. 8 151. Krumning av romkurver. . . 70 129. Setninger om determinanter 10 *152. Smygplan og hovednormal. 73 130. Utvikling av en determinant 16 *153. Torsjon......................................... 75 131. Multiplikasjon av determi *154. Frenets formler....................... 77 nanter ........................................... 19 155. Kurveintegral............................ 79 132. Pangen av en matrise............ 21 *156. Vektor integral........................... 80 133. Den cr amer ske regelen........... 23 134. Almene lineære likningssett . 25 XII. Funksjoner av flere fri variable. X. Vektorregning 157. Plane punktmengder.............. 83 og analytisk romgeometri. 158. Funksjoner av to fri variable 89 159. Konvergente punktfølger.. . 91 135. Kartesiske koordinater........... 31 160. Grenseverd og kontinuitet . 92 136. Vektorer...................................... . 32 161. Funksjoner av flere fri 137. Addisjon og subtraksjon av variable..................................... 97 vektorer....................................... 34 138. Komponenter av en vektor. 35 XIII. Partielle deriverte. 139. Parallellskyving av koordinat systemet. ..................................... 38 162. Partielle deriverte................... 99 140. Retningskoser og retningstall 39 163. Totalt differensial................... 101 141. Skalar multiplikasjon av to 164. Den deriverte av en sammen vektorer....................................... 40 satt funksjon.......................... 103 142. Vektorproduktet........................ 45 165. Tangentplanet........................... 104 143. Det skalare tre vektorproduk 166. Paraboloider.............................. 107 tet.................................................. 49 167. Implisitte funksjoner............. 110 144. Vektorrom..................................... 52 168. Partielle deriverte av funk 145. Den rette linjen og planet. . 54 sjoner av flere variable. . . 113 *146. Dreining av koordinatsyste 169. Ellipsoiden.................................. 116 met................................. 59 170. Den enkappete hyperboloi- *147. De eulerske vinklene................. 62 den............................................... 118 171. Den tokappete hyperboloi- 194. Dobbeltintegral over et den. ............................................. 120 rektangel som grensen for 172. Jacobideterminanten.............. 121 en sum....................................... 169 *173. Énentydig avbilding............. 124 195. Dobbeltintegral over et om råde Q....................................... 170 XIV. Partielle deriverte 196. Almen definisjon av dobbelt av høyere orden. integral ....................................... 173 174. Partielle deriverte av annen 197. Anvendinger av dobbelt- orden.......................................... 128 integralet................................... 175 175. Partielle deriverte av høyere 198. Volumberegning ved orden.......................................... 131 dobbeltintegral....................... 177 176. Totale differensial av høyere *199. Integralformelen til Gauss . 179 orden........................................... 132 200. Integrasjon og derivasjon 177. Utviding til funksjoner av under integraltegnet............ 181 flere fri variable.................... 133 201. Integrasjon av totalt 178. Taylors formel for funksjoner differensial.............................. 189 av flere variable................... 134 *202. Innføring av nye variable. . 192 179. Elliptiske, hyperbolske og *203. Areal i krumlinjekoordinater 193 parabolske punkter på flata *204. Innføring av nye variable i dobbeltintegral. ...... 195 ........... 137 180. Ekstremalverd for funksjo *205. Arealet av krumme flate- ner av to variable............... 139 stykker........................ 198 181. Ekstremalverd for funksjo *206. Flateintegral.............................. 203 ner av flere variable........... 141 *182. Ekstremaloppgaver med til leggskrav................................... 142 XVI. Trippelintegral. *183. Metoden med ,,minste kva- 207. Trippelintegralet over et dratsum“.................... 144 parallellepiped......................... 205 *184. Krumlinjekoordinater............ 146 208. Trippelintegralet over et *185. Tangentplan............................... 148 område....................................... 207 *186. Fundamentalstørrelsene av 209. Anvendinger av trippel første orden.............. 149 integralet................................... 209 *187. Flateelementet.......................... 151 *210. Trippelintegral i sylinder *188. Flatekurver. ............................. 153 koordinater ............... 211 *189. Hovedkrumningene................ 156 *211. Trippelintegral i polar *190. Krumlinjekoordinater i koordinater ............... 212 rommet....................... 160 *212. Integralsetningen til Stokes 214 *213. Vektorfelt.................................. 216 XV. Dobbeltintegral. *214. Integralsetningen til Gauss i 191. Integral av en begrenset rommet........................ 221 funksjon..................................... 163 *215. Greens integralformel.......... 222 192. Integral som avhenger av en *216. Vektorpotensial....................... 223 parameter.................................. 164 *217. Innføring av nye variable i 193. Dobbeltintegral over et trippelintegral.......... 225 rektangel................................... 167 *218. Multiple integral................... 227 232. Eksponentialfunksjonen . ... 257 *XVII. Funksjoner 233. Trigonometriske funksjoner. 258 av komplekse variable. 234. Sirkulære funksjoner............ 260 219. Komplanare vektorer...... 230 235. Den almene potens- 220. Komplekse tall................... 232 funksjonen................................ 261 221. Sirkeldelingslikningen...... 234 236. Den deriverte av en holomorf 222. Funksjoner av en kompleks funksjon..................................... 262 variabel................................ 235 237. Cauchy-Taylor-rekken........... 263 223. Komplekse tallfølger og rek 238. En hjelpesetning om begren ker med komplekse ledd. . 237 sete funksjoner....................... 265 224. Avbilding............................... 239 239. Poler og vesentlig singulære 225. Flertydige funksjoner...... 240 punkter..................................... 266 226- Fundamentalsetningen for 240. Poler og nullpunkter i et om algebraen................. 243 råde. Hele transendente 227. Holomorfe funksjoner...... 245 funksjoner................................. 270 228. Integrasjon i det komplekse 240A. Kesiduesetningen.................. 273 område.................................. 248 241. Konform avbilding................ 278 229. Cauchys integralsetning. . . . 250 242. Konform avbilding fra en 230. Cauchy-integralet............... 253 flate til en annen................ 281 231. Den komplekse logaritmen. 255 9. kapitel DETERMINANTER 125. Løsning av lineære likninger. — Fra algebraen vet en hvordan en kan løse et sett av lineære likninger, når antallet av lik ninger er det samme som antallet av ukjente. Har en n likninger med n ukjente, kan en eliminere en av de ukjente mellom to og to av likningene til en får n— 1 likninger med n— 1 ukjente. Fortset ter en dette, så får en til slutt en eneste likning med 1 ukjent, som en så kan løse. (Foreløpig ser vi da bort fra det tilfelle at likningene er avhengig av hverandre eller står i strid med hverandre). Er koeffisientene i likningene bestemte tallstørrelser, kan en gjennomføre regningen uten altfor svært arbeid, dersom ikke an tallet av likninger er for stort. Men er koeffisientene bokstavstør relser, vil en se at det snart blir ytterst innviklet. Alt for n = 3 blir de uttrykkene en får lite oversiktlige i det almene tilfellet. Nå skal vi se at en kan skrive løsningen av et slikt likningssett på en oversiktlig måte, slik at det blir mulig å utføre forskjellige regneoperasjoner med løsningene, uten å utføre de vidtløftige reg ningene. Det er dette som opprinnelig er formålet med de størrel sene en kaller determinanter. Eksempel. Likningene a2x + b2y = c2 har løsningene cA —atc2— x —--------------, y —-----------— ? a-J)2——a2^1 dersom a±b2 — a2b1=^0. (ai ^i\ Setter en opp koeffisientene i likningene i en tabell: , kaller vi den liknings- (7 \ \ a* b o / al C1 \ . ' er likningssettets ,,totalmatrise“. ^2 ^2 C2/ Av disse matrisene kan en jo ta ut koeffisientene for hver av de ukjente i hver av likningene, av den siste også tallene på likningenes høyre side. Av tallene i koeffi- Matematisk analyse II. — 1 2 9. KAPITEL 125 sientmatrisen kan. en danne den felles nevner i formlene for x og y, nemlig «1&2 —«2^1’ kaller denne størrelsen for likningssettets „determinant“. Oppgaver. a. Løs likningssettet + b2y+c2z = d2 a3x + c3z = d3 . b. Vis at løsningen av likningssettet a^ + b-^ + ^z = d± a^x-yb^y-Yc^z = d2 a3x-\-b3y-\-c3z = d3 blir brøker som får til nevner (kanskje på fortegnet nær) D = H~ ^1C2^3 + Cl®2^3 ^1C2^3 ^1^2C3 C1^2^'3 • 126. Permutasjoner. — Har en et antall innbyrdes ulike tegn, t. d. tall eller bokstaver, kan en ordne dem i en rekke på ulike vis. De tre bokstavene a, b og c kan en t. d. ordne på 6 ulike måter: abc, acb, bac, boa, cab, cba . Hver slik ordning kaller vi en per mutasjon av disse tegnene. Ord ningen bca er t. d. en permutasjon av bokstavene a, b og c, og 3412 er en permutasjon av tallene, 1, 2, 3 og 4. Det er lett å finne hvor mange innbyrdes ulike permutasjoner en kan få, om en har n slike tegn. La oss kalle dette antallet Pn. Vi tenker oss valt ut i fleng ett av de n tegnene og setter det på første plass. Da er det n— 1 tegn igjen å ordne på de n— 1 plassene som er igjen, og dette kan en gjøre på Pn_r ulike måter. For hvert av de n tegnene en setter på første plass får en altså P?l_1 ulike permutasjoner, der for må en få Pn = nPn_1. Nå er sjølsagt Pj = 1, for ett tegn kan en bare ,,ordne“ på én måte. Og da får en P2 = 2PX =2-1, P3 = 3P2 = 3-2-1, osv. Ålment Pn = n{n— l)(n — 2). . .2 • 1 = n! . Vil en ordne om tegnene fra én permutasjon til en annen, kan en åpenbart gjøre det slik at en etter hvert lar to og to tegn bytte plass. En kan tilmed gjøre det slik at en hver gang bytter to tegn som står ved siden av hverandre. Vil en t. d. gå over fra permuta- sjonen cadbe til bdeca, kan en gjøre det gjennom trinnene: cadbe, cabde, cbade. bcade, bcdae, bdcae, bdcea, bdeca , der de to bokstavene som hver gang blir byttet om, er strøket under. En slik ombytting av to tegn kaller vi en transposisjon („plass-