Table Of Content

LÆREBOK M A T E M A T I S K ANALYSE R. TAMBSLYCHE Fhv. professor i ren matematikk ved Universitetet i Oslo FØRSTE DEL FUNKSJONER AV ÉN FRI VARIABEL FEMTE UTGAVE OSLO 1964 GYLDENDAL NORSK FORLAG FR. BAGGES KGL. HOFBOCTRYKKERI. KBHVN. FORORD TIL FØRSTE UTGAVE Under arbeidet med denne læreboka i Matematisk analyse har jeg i første rekke tatt sikte på eksamensfordringene ved Norges Tekniske Høgskole, og valget av emner er i hovedsaka bestemt av dette. Men jeg har funnet det rimelig a ta med en del stoff som ligger utafor disse fordringene. For en del gjelder det emner av særlig verd for anvendingene, slik at boka skulle være til hjelp for dem som trenger analysen som hjelpemiddel. Men jeg har også gått mer grundig inn på spørsmål av prinsipiell viktighet enn strengt nødvendig for det nevnte eksamensbehovet. På den måten håper jeg at boka også skulle være brukbar som grunnlag for mer inn gående studier i matematikk. Det sier seg sjøl at jeg har gjort mit ytterste for å gjøre fram stillinga så klar og lett forståelig som råd er. Når det gjelder emner hvor erfaring viser at mistak lett oppstår, har jeg prøvd å rydde slike mistak av veien ved å gå mest mulig utførlig fram. Men ikke en gang den mest fullkomne framstillinga vil gi den studerende det riktige utbytte dersom en ikke hele veien kaster lys over inn førte begrep og almene resultat ved detaljerte, gjennomregnete eksempler. Jeg har derfor ikke spart på slike eksempler, enda det måtte føre til at boka svulmet en del opp. Av samme grunn har jeg overalt føydd til rikelig med oppgaver til øving. Jeg har vært så heldig å få utstrakt hjelp av professor Ernst Jacobsthal som har gått gjennom første del i korrektur og har revidert manuskriptet til annen del. Et stort antall rettelser og for bedringer er blitt resultatet av dette samarbeidet, og jeg bringer ham med dette min hjerteligste takk for den utmerkede hjelpa. Samtidig takker jeg med glede forlag og trykkeri for den vel viljen de har møtt ønsker fra min side med og for utmerket arbeid. Trondheim, juni 1940. L Tambs Lyche. FORORD TIL FJERDE UTGAVE Endringene fra forrige utgave er verken mange eller betydelige. Det viktigste har vært å søke utryddet de altfor mange trykkfeil som hadde sneket seg inn. At det framrakende arbeid trykkeriet har utført her har vært til uvurderlig hjelp, er det unødig å påpeke. I noen grad har jeg i denne utgaven gjort bruk av de enkleste logiske tegn, spesielt for „union“ og „snitt“. Den uheldige typografiske oppstilling i tredje utgave av dette bind er bragt tilbake til den tidligere ordning med ulike skrift størrelser. R. T. L. Oslo, desember 1960. FORORD TIL FEMTE UTGAVE En viktig endring er foretatt i denne nye utgaven, idet Riemann- integralet, som tidligere bare har vært kort omtalt, her er lagt til grunn for innføringen av integralbegrepet. For det første er dermed større almengyldighet oppnådd, og for det annet kan resultatene herfra da straks brukes i kapitlet om fourierrekker, der Riemann- integralet allerede før er lagt til grunn. Ellers er endringene fra forrige utgave ubetydelige og berører vesentlig enkelte punkter av terminologien (t. d. konsekvent bruk av „supremum“ og „infimum" istedenfor de mindre heldige navn „øvre og nedre grense"). Oslo, januar 1964. R. T. L. INNHOLD I. Grenser. III. Derivert og differensial. 1. Reelle tall og tallfølger................ 1 29. Tangenten til en kurve.............. 69 2. Tallmengder og områder............. 11 30. Funksjonsdifferens og derivert 70 3. Fri variabel...................................... 20 31. Deriverbarhet................................ 72 4. Funksjoner....................................... 21 32. Differensialet................................. 78 5. Diagram............................................. 23 33. Den deriverte av en konstant. 80 6. Avbildning........................................ 24 34. Den deriverte av en sum.......... 81 7. Funksjonssymbolet....................... 25 35. Den deriverte av et produkt. . 82 8. Grenseverd av funksjoner........... 27 36. Den deriverte av en brøk......... 82 9. To setninger om funksjoners 37. Kjerneregelen................................ 83 grenseverd....................................... 32 38. Den deriverte av potensfunk- 10. Ensidige grenseverd...................... 33 sjonen............................................. 86 11. Kontinuitet...................................... 34 39. Den deriverte av de trigono 12. Vesentlig og uvesentlig diskon metriske funksjonene............... 86 tinuitet............................................. 37 *40. Permanensen av differensialet. 87 13. Ensidig kontinuitet....................... 38 41. Tallet e............................................. 88 14. Kriterier på kontinuitet.............. 38 42. Grenseverdet lim(l+ f)1/É......... 92 <->o 15. Kontinuitet i et område.............. 41 43. Den deriverte av logaritmen . . 93 16. Fire setninger om kontinuitet. . 42 44. Naturlige logaritmer.................. 94 17. Supremum og infimum ............. 43 45. Den deriverte av eksponential 18. Maksimum av en kontinuerlig funksjonen.................................... 94 funksjon i et lukket område... 45 46. Grenseverdet lima;(lnz)ra........... 96 19. Skjæringssetningen........................ 47 x—> 04“ 20. Uniform kontinuitet..................... 50 47. Den deriverte av de sirkulære 21. Omvendte funksjoner.................. 54 funksjonene.................................. 97 48. Den deriverte av den almene potensfunksjonen....................... 98 II. Elementære funksjoner 49. Sammenstilling av deriva- sjonsreglene............................... 99 22. Potensfunksjon og polynom.... 57 50. Rolles setning.............................. 101 23. Trigonometriske funksjoner. ... 57 51. Sekantsetningen......................... 102 24. Eksponentialfunksjonen.............. 60 25. Logaritmen....................................... 61 IV. Integral. 26. Den almene potensfunksjonen . 61 27. Sirkulære funksjoner .................. 62 52. Areal begrenset av krumme 28. Elementære funksjoner.............. 65 linjer............................................. 105 53. Eksempel på beregning av *79. Bestemming av rasjonale null areal............................................. 107 punkter i et heltallig polynom 208 54. Riemann-integralet.................. I 10 80. Algebraiske funksjoner og 55. Integralregningens fundamen- Abelske integral....................... 210 talsetning................................. 116 81. Integral av formen 56. Det bestemte integralet.......... 124 | R(.r, ]/a.r2 + bx + c) il.r......... 213 57. „Metoden til Arkimedes“ . ... 128 82. Integral av formen 58. Metoden til Newton-Leibniz. 131 59. Det ubestemte integralet .... 135 | R(sinx, cos.r)d./'.................. 216 60. Enkle integrasjonsmetoder.. . 138 83. Integralet 61. Integral av diskontinuerlige Jm,n = j sinmx costlxdx .... 217 funksjoner.................................. 145 62. Integral mellom „uendelige 84. Tilnærmet beregning av be grenser14...................................... 149 stemte integral. Trapesme- 63. Integralet over et område... 153 toden........................................... 222 64. Integralet som funksjon av 85. Simpsons formel......................... 225 grensene...................................... 154 65. Mellomverdsetningen............... 156 VI. Deriverte av høyere orden. 66. Kontinuerlige kurver............... 158 67. Arealet av en sektor................. 166 86. Deriverte av høyere orden. . . 228 68. Moment og tyngdepunkt av 87. Geometrisk tyding av den flatestykker............................... 168 annen-deriverte........................ 231 69. Treghetsmomentet av et flate- 88. Glatte kurver.............................. 232 stykke.......................................... 173 89. Krumning.................................... 234 70. Monotone funksjoner og funk 90. Krumningssirkel og krum- sjoner med begrenset varia ningssentrum............................. 237 sjon............................................... 175 91. Evolute og evolvent.................. 240 71. Buelengde.................................... 180 *92. Omhyllingskurver...................... 240 *72. Flatestykker begrenset av kurver med buelengde. 186 VII. Taylors formel. 73. Volum........................................... 190 93. Tilnærmet beregning av ver det av en funksjon i nærheten V. Integrasjonsmetoder. av et punkt der en kjenner Tilnærmet beregning av bestemte egenskapene til funksjonen. 243 integral. *94. Newtons tilnærmingsmetode. 244 74. Fundamentalsetningen for al 95. Taylors formel............................. 247 gebraen....................................... 194 96. Beregning av eksponential- 75. Rasjonale funksjoner............... 196 funksjonen.................................. 250 76. Oppløsning av en ekte brøk- 97. Beregning av de trigonome funksjon i en sum av delbrø- triske funksjonene ................ 250 ker................................................ 197 98. Beregning av logaritmer .... 251 *77. Delbrøkoppløsning i et spe 99. Beregning av Arctgx.............. 256 sielt tilfelle.................... 203 100. Binomialformelen .................... 258 78. Integrasjon av rasjonale funk 101. Maclaurins formel for sjoner................................. 205 Arcsinæ ...................................... 259 102. Hyperbelfunksjonene............ 261 11 5. Rekker der leddene er funk *103. Restleddet i Simpsons formel 262 sjoner av x................... 303 104. Maksimal- og minimalverd. 265 116. Uniform konvergens............... 304 105. „Ubestemte uttrykk"............ 273 117. Kriterier på uniform konver gens............................................ 307 118. Regning med uniformt kon vergente rekker...................... 309 VIII. Rekker. 119. Potensrekker............................. 313 120. Uniform konvergens av po 106. Grensetall for tallfølger......... 277 tensrekker................................ 316 107. Største og minste grensetall. 278 121. Trigonometriske rekker......... 317 108. Konvergente tallfølger.......... 281 122. Taylorrekken............................. 318 109. Konvergente rekker............... 283 *123. Analytisk funksjon................. 319 110. Det almene konvergensprin- *124. Tallet n er irrasjonalt........... 321 sippet for rekker.................... 286 111. Absolutt og betinget konver Tillegg. gens............................................ 289 Reelle tall. 112. Forholdskriteriet, rotkrite- riet og integralkriteriet. ... 293 § 1. Innledning................................ 323 *113. Multiplikasjon av konver § 2. Intervallinnsnevringer.......... 324 gente rekker........................... 298 § 3. Reelle tall................................. 331 *114. Konvergente produkt........... 299 Hovedsetning om reelle tall. 333 1. kapitel. GRENSER 1. Reelle tall og tallfølger. — Grunnlaget for den matematiske analysen er de reelle tallene. Her vil vi gå ut fra at de viktigste egenskapene hos de reelle tallene er kjent, (se tillegget etter kap. 8). Derfor skal vi bare nevne dem som vi får mest bruk for og samtidig gjøre rede for noen nye navn og skrivemåter som det viser seg nyttig å bruke. I. Reelle tall kan vi ordne etter størrelsen: er % og (3 to fritt valgte reelle tall, har vi alltid én bestemt av de tre relasjonene ocefi, II. Er v og /S to fritt valgte reelle tall, slik at a < /?, kan vi alltid finne et tredje, y, slik at Avbilder vi de reelle tallene på tallinjen, så svarer det et bestemt punkt på tallinjen til hvert valgt reelt tall, og omvendt : det svarer et bestemt reelt tall til hvert valgt punkt på tallinjen. III. Betyr a2, a3, . . ., otn, . . . reelle tall som er valgt ut etter en eller annen forskrift, slik at det svarer et bestemt tall txn til hvert naturlig tall n, så kaller vi en slik rekke tall for en tallfølge. Istedenfor å skrive <%1; <%2, <x3, . . ., an, . . . skriver vi kort {an} og kaller det „tallfølgen En slik tallfølge kaller vi opptil monoton dersom hvert tall er minst så stort som det som går foran: cx-n+i = v “ 1» 2, 3, ... og nedtil monoton dersom hvert tall er høyst så stort som det som går foran: = 1? 2, 3, ... . Matematisk analyse I — 1 1 9 1. KAPITEL En monoton tallfølge er en som enten er opptil monoton eller nedtil monoton. Sier vi at tallfølgen {an} er voksende, mener vi at <xn+i> «n, og likedan sier vi at {<xm} er avtakende dersom <xn+l< <xn- Dersom det fins et slikt tall S at &n — > for alle n, kaller vi S en øvre skranke for tallfølgen {aJ-, og vi sier at tallfølgen er opptil begrenset. Dersom det fins et slikt tall s at ocn v s . for alle n, kaller vi s en nedre skranke, og sier at tallfølgen er nedtil begrenset. Er tallfølgen både opptil og nedtil begrenset, slik at alle tallene ligger mellom to faste skranker, kaller vi den kort begrenset. Eksempel 1. Den naturlige tallrekken er en opptil monoton (voksende) tall følge. Den er nedtil begrenset (0 er t. d. en nedre skranke), men ikke opptil begrenset. Eksempel 2. Setter vi 1 «n = 1 + — , n 0 aj "i 1 ■ ---------------------------- 1 1l 2 vil tallfølgen {aw} være be- Fig. 1. grenset (1 er en nedre skranke, 2 en øvre skranke). Den er nedtil monoton. Eksempel 3. Setter vi 1 an = 2 —( — !)”• — , 0 a, «5 n i 2 3 vil tallfølgen {aw} være be Flg. 2 grenset, men den er ikke monoton. E ksempel 4. Setter vi = (-l)«n , er tallfølgen {<%n} verken opptil eller nedtil begrenset og heller ikke monoton. Eksempel 5. Setter vi <xn=l, er tallfølgen {an} begrenset og både opptil og nedtil monoton. (Bare når alle tallene i tallfølgen er like store er den på en gang opptil og nedtil monoton). Eksempel 6. Vi vet at det ikke finnes noen brøk som opphøydd i annen potens gir 2. Men vi har . < 2 < 1 52 1,412 < 2 < 1,422 1,4142 < 2 < 1,4152