Logique, Réalisabilité et Concurrence

181 Pages·2017·1.89 MB·French

by  Emmanuel Beffara

Logique, Réalisabilité et Concurrence
Emmanuel Beffara
To cite this version:
Emmanuel Beffara. Logique, Réalisabilité et Concurrence. Mathématiques [math]. Université Paris-
Diderot - Paris VII, 2005. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00011205￿
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Submitted on 15 Dec 2005
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Université Paris 7 – Denis-Diderot
UFR d’Informatique
Thèse
pour l’obtention du diplôme de
Docteur de l’Université Paris 7, spécialité informatique
Logique, Réalisabilité et
Concurrence
présentée et soutenue publiquement par
Emmanuel Beffara
le 6 décembre 2005
devant le jury composé de
M. Vincent Danos directeur de thèse
M. Thomas Ehrhard
M. Marcelo Fiore rapporteur
M. Kohei Honda
M. Martin Hyland rapporteur
M. Jean-Louis Krivine
ii
Merci
Merci à Vincent Danos qui, tout en me laissant toujours une grande liberté, a
beaucoup influencé mon travail et ma vision de la science.
MerciàMarceloFioreetàMartinHylandd’avoiracceptéd’êtrelesrapporteurs
de cette thèse.
MerciàThomasEhrhard,MarceloFiore,KoheiHonda,MartinHylandetJean-
LouisKrivined’avoiracceptédefairepartiedujury.Jesuisextrèmementhonoré
de la présence de chacun d’entre eux.
Merci à mon coauteur François Maurel, dont l’influence sur cette thèse ne se
limite pas à sa participation au chapitre 8.
Merciàtouslesmembresdel’équipePPS,etnotammentàJuliuszChroboczek,
Jean-Louis Krivine, Olivier Laurent, Paul-André Melliès et Alexandre Miquel
qui, au cours de nombreuses discussions sur la science et le reste, ont beaucoup
contribué à mon édification.
Merci à ceux d’ailleurs qui m’ont incité à leur raconter l’avancement de mes
travaux, parmi lesquels Laurent Regnier et Daniel Hirschkoff, et merci à Jade
Alglave dont le stage a contribué à me mettre les idées en place.
Merci aux joyeux thésards de PPS et du Liafa qui, par leurs discussions pas
toujours scientifiques, sont largement responsables de la bonne ambiance qui
règne à Chevaleret.
Merci à mes amis et parents pour leur soutien et leur encouragement, et mes
excuses pour n’avoir pas toujours su leur expliquer mes travaux.
Et merci à ceux qui se sentiraient vexés de ne pas avoir été remerciés ici.
iv
Table des matières
Notations 1
1 Introduction 3
1.1 Logique et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Programmation concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Réalisabilité classique 13
2.1 Curry-Howard en logique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Un λ-calcul avec contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Réalisabilité classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Quantification du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Types de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Définition d’un type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Réalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Structures de contrôle typées 29
3.1 Approches de la disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Loi de Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Le tiers-exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Le tiers-exclu symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4 Tautologies disjonctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Formes normales disjonctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Spécifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Synthèse de combinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Correction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Le π-calcul polarisé 51
4.1 Termes et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Sémantique par réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.2 Système de transition étiqueté . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Bisimulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Typage des noms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Types et interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Connexion et substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.3 Localisation et abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
vi Table des matières
4.4 Comparaison avec d’autres calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1 Substitution, fusion, connexion . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.2 Autres systèmes de types . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Réalisabilité concurrente 71
5.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Réalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1 Orthogonalité, comportements . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Multiplicatifs : connecteurs spatiaux . . . . . . . . . . . . 78
5.2.3 Modalités : connecteurs temporels . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.4 Adéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.1 Démon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 May testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.3 Fair testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.4 Terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Connecteurs construits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.1 Modalités linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.2 Choix et gardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4.3 Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4.4 Répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4.5 Synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Traduction de systèmes classiques 101
6.1 λ-calcul simplement typé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Logique classique : LKT et LKQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 Traductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.2 Simulation en appel par nom . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.3 Simulation en appel par valeur . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Correction sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3.1 Observations et environnements. . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.2 D’une réalisabilité à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7 Exemples d’applications 121
7.1 Spécification de processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.1 Construction de tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.2 Bon comportement des termes typés . . . . . . . . . . . . 122
7.1.3 Schémas de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2 Contrôle et concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.1 Linéarité en λ-calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.2 Linéarité et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.3 Choix et contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8 Réseaux concurrents 137
8.1 Termes et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.1.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.1.2 Termes et transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.1.3 Graphes et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.1.4 Fragments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 Expressivité des gardes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Table des matières vii
8.2.1 Traduction explosive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.2 Traduction par duos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3.1 Réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3.2 Sommes et gardes non monotones . . . . . . . . . . . . . 156
Conclusion 161
Bibliographie 165
viii Table des matières
Notations
Réalisabilité classique
notation ensemble entité définition
x,y,z λ-variables 2.1 (p. 14)
t,u,v Λ λ-termes ′′
ρ,ρ constantes de pile ′′
i
π,π Π piles ′′
i
t∗π Λ×Π exécutables ′′
⊥⊥ observation, orthogonalité 2.4 (p. 16)
[A] P(Π) valuation 2.6 (p. 17)
A P(Λ) interprétation, synonyme de [A]⊥⊥ ′′
Jt(cid:13)KA t réalise A, synonyme de t∈ A ′′
J K
Ensembles et variables
variable ensemble entité définition
ε P polarité 4.1 (p. 52)
u,v,x N nom (de canal) 4.2 (p. 52)
α,β action élémentaire ′′
S,T Σ branchement / processus séquentiel ′′
P,Q Π processus / terme du ~π-calcul ′′
e étiquette de transition 4.10 (p. 56)
ℓ,m L localité 8.1 (p. 139)
π,ρ Υ garde ′′
s,t type de canal 4.19 (p. 62)
I,J,K interface ′′
A,B C comportement 5.9 (p. 76)
I
p,q processus anonyme 4.29 (p. 66)
I,J,K sorte / interface anonyme ′′
A,B C type / comportement anonyme 5.9 (p. 76)
I
Γ,∆ séquent / type de processus 5.1 (p. 72)