Logik und Algebra : eine praxisbezogene Einfuahrung fur Informatiker und Wirtschaftsinformatiker

161 Pages·2007·0.719 MB·German

by  Frank Staab

Wirtschaftsinformatik kompakt
In dieser Reihe erscheinen:
Bächle:E-Business
Bächle/Kolb:Einführung in die Wirtschaftsinformatik
Faust/Homberger/Kessel:Java
Heinrich:Operations Research
Heinrich:Allgemeine Systemanalyse
Heinrich/Stuck:Objektorientierte Systemanalyse
Kessel:Einführung in Linux
Preiß:Entwurf und Verarbeitung relationaler Datenbanken
Staab:Logik und Algebra
Stoll:IT-Management
Logik und Algebra
Eine praxisbezogene Einführung für
Informatiker und Wirtschaftsinformatiker
von
Prof.Dr.Frank Staab
Berufsakademie Villingen-Schwenningen
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
R.OldenbourgVerlag MünchenWien
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Lektorat: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, [email protected]
Herstellung: Anna Grosser
Coverentwurf: Kochan & Partner, München
Cover-Illustration: Hyde & Hyde, München
Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier
Druck: MB Verlagsdruck, Schrobenhausen
Bindung: Thomas Buchbinderei GmbH, Augsburg

ISBN 978-3-486-58370-0
„Wird das Geschaute und Erlebte in der Sprache der Logik nachgebildet,
so treiben wir Wissenschaft. Wird es durch Formen vermittelt, deren Zu-
sammenhänge dem bewussten Denken unzugänglich, doch intuitiv als sinn-
voll erkannt sind, so treiben wir Kunst“
(Albert Einstein, 1879-1955)

„Menschen, die von der Algebra nichts wissen, können sich auch nicht
die wunderbaren Dinge vorstellen, zu denen man mit Hilfe der genannten
Wissenschaft gelangen kann“
(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 -1716)
Vorwort
Die Stoffgebiete Logik und Algebra finden sich - zum Teil in unterschiedlicher Aufteilung
und Zusammensetzung - in den Curricula nahezu aller Informatik- und Wirtschaftsinforma-
tikstudiengänge. Sehr häufig sind diese Einführungsveranstaltungen jedoch sehr theorie-
lastig. Insbesondere die Mathematisierung und Kalkülisierung der Logik lässt mögliche
Anwendungsbezüge und das Aufzeigen der Relevanz für spätere Informatikvorlesungen
meist völlig vermissen. So kommen viele Studenten zu dem Schluss, dass es sich bei dem
vermittelten Stoff um ein Gebiet handelt, das lediglich zum Erwerb eines Scheines oder zum
Bestehen der Klausur notwendig ist. Dies ist in zweifacher Hinsicht fatal: Erstens kann mit
Fug und Recht behauptet werden, dass es sich hierbei um die grundlegenden Gebiete der
Informatik schlechthin handelt. Ein Computer ist letztendlich nichts anderes, als in Hardware
umgesetzte Boolesche Algebra. Ohne Verständnis dieser algebraischen Struktur kann man
die Funktionsweise eines Rechners nie begreifen, und dazu sollte jeder Informatik- oder
Wirtschaftsinformatikstudent in der Lage sein, auch dann, wenn sein Aufgabengebiet später
nicht der Entwurf digitaler Schaltungen sein wird. Zweitens ist das Fehlen solcher Anwen-
dungsbezüge auch deswegen schade, weil sie immer wieder auf der Hand liegen und damit
zur Motivation für den sonst eher als „trocken“ geltenden Stoff dienen könnten. Ein gutes
Beispiel hierfür ist der auf der Mengenlehre aufbauende Begriff der Relation, welcher später
grundlegend für das Verständnis relationaler Datenbanken ist. In diesem Buch werden – um
bei diesem Beispiel zu bleiben - die Zusammenhänge zwischen Relationen, Funktionen und
relationalen Datenbanken tiefer aufgezeigt, als dies üblicherweise in anderen, rein mathema-
tisch orientierten Einführungswerken üblich ist. Ein weiteres Beispiel für den engen Zusam-
menhang zwischen formaler Logik und praktischer Informatikanwendungen liefert die Um-
setzung der Prädikatenlogik erster Ordnung in die Programmiersprache PROLOG. Ziel die-
VI
ses Buches ist daher, dem Leser klarzumachen, dass hier kein Stoffgebiet zum „Abhaken“
vermittelt wird, sondern dass wichtige Grundlagen für viele weitere Informatikvorlesungen
gelegt werden.
Ein weiterer wesentlicher Unterschied zu anderen Einführungswerken ist der, dass die Ver-
mittlung der Theorie nicht über die sonst für mathematische Einführungswerke meist typi-
sche Abfolge von „Definition, Satz, Beweis, …“ erfolgt, sondern sich eher an gut verständli-
chen Beispielen orientiert.
Die Stoffauswahl orientiert sich an der Modulbeschreibung für die Vorlesung Logik und
Algebra der Berufsakademien in Baden-Württemberg. Die gleichnamige Vorlesung wird
dort seit Jahren von mir gehalten. Selbstverständlich ist dieses Buch auch für alle anderen
Studenten der Informatik und Wirtschaftsinformatik an Universitäten und Hochschulen inte-
ressant. Das Curriculum unterscheidet sich auf diesem Gebiet nicht wesentlich. Die folgende
Frage, die mir von meinen Studenten nach einer Vorlesung immer wieder gestellt wird, dürf-
te wohl auch für andere Hochschulen typisch sein: „Gibt es dazu noch mehr Aufgaben?“
Deswegen habe ich mich bemüht, außer den Beispielen viele Übungsaufgaben in dieses
Werk mit aufzunehmen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind in Kapitel 6 Schritt für Schritt
detailliert ausgeführt und nicht nur grob skizziert. Damit ist dieses Buch auch hervorragend
zum Selbststudium geeignet.
Mein besonderer Dank gilt meiner Frau Miriam. Ihr kam, wie schon in der Vergangenheit
bei ähnlichen Werken, wieder die anstrengende und abendfüllende Aufgabe zu, dieses Buch
zu redigieren.

Königsfeld, im Februar 2007
Frank Staab
Inhalt
1 Einleitung 1
2 Logik 3
2.1 Logik als Formalisierung der natürlichen Sprache.....................................................3
2.2 Aussagenlogik............................................................................................................4
2.2.1 Grundlegende Verknüpfungen und Wahrheitstafeln..................................................4
2.2.2 Implikation und Äquivalenz.......................................................................................7
2.2.3 Syntax und Semantik der Aussagenlogik.................................................................10
2.2.4 Tautologien und logische Gesetzmäßigkeiten..........................................................13
2.3 Normalformen..........................................................................................................16
2.3.1 Disjunktive und konjunktive Normalformen............................................................18
2.3.2 Kanonische disjunktive und kanonische konjunktive Normalformen......................20
2.4 Logisches Schließen und Resolution........................................................................22
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2..............................................................................................26
3 Mengen, Relationen und Abbildungen 29
3.1 Grundbegriffe...........................................................................................................29
3.2 Mengenalgebra.........................................................................................................32
3.2.1 Algebraische Strukturen...........................................................................................32
3.2.2 Mengenalgebraische Operationen............................................................................35
3.3 Relationen................................................................................................................38
3.3.1 Zweistellige Relationen............................................................................................38
3.3.2 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen.......................................................................39
3.3.3 n-stellige Relationen.................................................................................................42
3.4 Abbildungen.............................................................................................................43
3.5 Relationale Datenbanken..........................................................................................45
3.5.1 Relation in der Datenbanktheorie.............................................................................45
3.5.2 Relationenalgebra.....................................................................................................48
3.5.3 Funktionale Abhängigkeiten in Relationen..............................................................53
3.6 Aufgaben zu Kapitel 3..............................................................................................56
VIII
4 Boolesche Algebra und Schaltalgebra 59
4.1 Boolesche Algebren.................................................................................................59
4.1.1 Modelle der Booleschen Algebra.............................................................................61
4.1.2 Schaltalgebra als Modell einer zweielementigen Booleschen Algebra....................64
4.2 Disjunktive Minimalform, Quine-McCluskey Algorithmus....................................74
4.3 KV-Diagramme........................................................................................................79
4.3.1 Ableitung der disjunktiven Minimalform aus KV-Diagrammen.............................79
4.3.2 KV-Diagramme bei nicht vollständig definierten Funktionen.................................84
4.4 Verknüpfungsbasen..................................................................................................87
4.5 Grundlegende Schaltungen......................................................................................91
4.5.1 Schaltgatter..............................................................................................................91
4.5.2 Schaltnetze...............................................................................................................93
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4.............................................................................................99
5 Prädikatenlogik und logisches Programmieren 102
5.1 Grundlagen der Prädikatenlogik.............................................................................102
5.2 Logisches Programmieren......................................................................................105
5.2.1 PROLOG................................................................................................................105
5.2.2 Erweiterung der Resolution auf die Prädikatenlogik..............................................110
5.3 Aufgaben zu Kapitel 5...........................................................................................116
6 Lösungen zu den Aufgaben 118
6.1 Lösungen zu Kapitel 2...........................................................................................118
6.2 Lösungen zu Kapitel 3...........................................................................................123
6.3 Lösungen zu Kapitel 4...........................................................................................128
6.4 Lösungen zu Kapitel 5...........................................................................................135
L iteraturverzeichnis 142
In dex 144
Abbildungsverzeichnis

Abb. 4.1: Einfacher Stromkreis mit Schalter..................................................................65
Abb. 4.2: Grundsymbole der Schaltertechnik für 0 und 1..............................................65
Abb. 4.3: “und“-Verknüpfung als Reihenschaltung.......................................................65
Abb. 4.4: „oder“-Verknüpfung als Parallelschaltung.....................................................66
Abb. 4.5: Negation als Ruhekontaktschaltung...............................................................67
Abb. 4.6: Ansteuerung einer Siebensegmentanzeige......................................................85
Abb. 4.7: Siebensegmentanzeige....................................................................................85
Abb. 4.8: Symbole für Schaltgatter................................................................................92
Abb. 4.9: Bauplan des Halbaddierers.............................................................................94
Abb. 4.10: Symbol des Halbaddierers (HA).....................................................................95
Abb. 4.11: Bauplan des Volladdierers..............................................................................97
Abb. 4.12: Symbol des Volladdierers (VA).....................................................................98
Abb. 4.13: Abbildung Addierer mit durchlaufendem Übertrag........................................98