ebook img

Logic˘a matematic˘a PDF

267 Pages·2009·0.95 MB·Romanian
by  
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Logic˘a matematic˘a

Logic˘a matematic˘a George Georgescu1, Afrodita Iorgulescu2 1 Universitatea din Bucure¸sti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatic˘a Economic˘a October 1, 2009 2 3 4 5 Prefa¸t˘a Logica se ocup˘a de legile gˆandirii (ra¸tiunii)¸si anume de acele propriet˘a¸ti struc- turale formale ale gˆandirii care aparˆın reflectarea propriet˘a¸tilor lumii reale. Deci avemgˆandirea,realitatea¸sileg˘aturadintreele. Inlogic˘aexist˘asubstituien¸tiabstrac¸ti pentru gˆandire, pentru realitate ¸si pentru leg˘atura dintre ele ¸si anume, limbajul L substituie gˆandirea, structura S substituie realitatea (unde S este mai mult decˆat o colec¸tie de lucruri susceptibile de a fi corelate, caˆın¸teles, diferitelor expresii din limbaj), iar interpretarea I substituie leg˘atura (I este o func¸tie). LimbajulLestefixat,darseconsider˘amaimulteinterpret˘arialeluiLˆındiferite structuri; aceasta pentru c˘a, pe de-o parte, nu¸stimˆın care realitate (lume) partic- ular˘a ne reg˘asim cu adev˘arat, pe de alt˘a parte pentru c˘a logicienii sunt interesa¸ti de principiile universale, care sunt adev˘arateˆın orice lume posibil˘a. Oteorie(ˆınsenstehnic)esteunlimbajLˆımpreun˘acuomul¸timeT depropozi¸tii sauformuledinL. Inpractic˘a,oteorieestedefinit˘afiesintactic,fiesemantic,adic˘a: - T poate fi format˘a din toate formulele care rezult˘a printr-o rela¸tie de implicare sintactic˘a dintr-o mul¸time de axiome sau - T poate fi format˘a din toate formulele care sunt adev˘arateˆın orice interpretare considerata˘. Scopulprincipalallogiciiestestudiulˆınparalelalrela¸tieideimplicaresintactic˘a (formal˘a): p(cid:96)q (q se deduce din p conform unor reguli prestabilite) ¸si al rela¸tiei de implicare semantic˘a (real˘a): p|=q (dac˘a p este adev˘arat˘a, atunci q este adev˘arat˘a). Logica clasic˘a este bivalent˘a, ˆın sensul c˘a mul¸timea valorilor de adev˘ar are dou˘a elemente: adev˘arul ¸si falsul. Logica propozi¸tiilor este teoria T a tuturor for- mulelor valide (i.e. care sunt adev˘arate ˆın orice interpretare) ˆıntr-un limbaj L al propozi¸tiilor. Aceast˘a teorie este decidabil˘a (exist˘a un algoritm care, aplicat oric˘arei formule, ne spune dac˘a ea este din T). Logica predicatelor este teoria T a tuturor formulelor valide ˆıntr-un limbaj L al predicatelor. Presupunand c˘a L are cel pu¸tin un simbol de func¸tie de rang cel pu¸tin 1 sau un simbol de rela¸tie de rang cel pu¸tin 2, atunci T nu este decidabil˘a, dar este axiomatizabil˘a (i.e. exist˘a o axiomatizare a lui T (cu axiome ¸si reguli de inferen¸t˘a) sub care formulele lui T sunt demonstrabile). In secolul al 19-lea apar primele sisteme de logic˘a polivalent˘a. In evolu¸tia unei teorii¸stiin¸tifice se disting patru etape succesive: etapa descrip- tiv˘a, etapa inductiv˘a, etapa deductiv˘a ¸si etapa axiomatic˘a. Organizarea ¸stiinteiˆın teorii deductive este legat˘a de evolu¸tia matematicii ¸si de expansiunea metodelor saleˆın celelalte ¸stiin¸te. ”Euafirmcaˆınoricedisciplin˘aanaturiiseg˘ase¸stedefaptnumaiatˆataadev˘arat˘a ¸stiin¸t˘a cˆat˘a matematic˘a se cuprindeˆın ea” (Immanuel Kant). 6 Logicamatematic˘aeste¸stiin¸tacarearecaobiectstudiulformelorpropozi¸tionale ¸siallegilordera¸tionarecuexpresiipropozi¸tionale, precum¸simetodelecarepermit realizarea acestui studiu. Instudiulpropozi¸tiilorsaualexpresiilorpropozi¸tionale, logicamatematic˘aeste interesat˘a numai de valoarea logic˘a. R. Descartes, prinˆıncercarea de a forma o¸stiin¸t˘a matematic˘a general˘a, a stim- ulatcercet˘arilelogiceˆındirec¸tiasimbolismuluimatematic, lucrurealizatpar¸tialde G. Leibniz. La jum˘atatea secolului al 19-lea, George Boole ¸si Augustus De Morgan au in- trodus metodele matematice ˆın logic˘a, creˆand logica matematic˘a. Calculul logic al lui G. Boole este bivalent ¸si se face dup˘a regulile din algebr˘a; el st˘a la baza calculatoarelor actuale. Contribu¸tii ulterioare au adus G. Frege, G. Peano, B. Russell ¸si G¨odel. Primul tratat modern de logic˘a matematic˘a, ”Principia Mathematica” a fost scris de B. Russell ¸si A.N. Whitehead,ˆıntre 1910-1913. Intr-o etap˘a ulterioar˘a apare logica polivalenta˘ (cu mai multe valori de adev˘ar), prin lucr˘arile lui J. L(cid:195) ukasiewicz ¸si L.E. Post, apoi ale lui C.C. Chang. In ¸tara noastr˘a, cercet˘arile de logic˘a matematic˘a au fost ini¸tiate de Gr. C. Moisilˆın 1933 ¸si cunoscˆın prezent o mare dezvoltare. Aplica¸tiile logicii matematice se reg˘asesc la teoria algebric˘a a automatelor, la programarea automat˘a, la programarea logic˘a, la bazele de date rela¸tionale, ˆın inteligen¸ta artificial˘a. Cercet˘arile contemporane tind s˘a extind˘a considerabil sfera aplica¸tiilor (logica fuzzy se aplic˘aˆın economie, de exemplu). In paralel cu logica matematic˘a,¸siˆın strans˘a leg˘atura cu ea, s-a dezvoltat alge- bra logicii matematice (teoria algebrelor Boole, teoria algebrelor MV, a algebrelor L(cid:195) ukasiewicz-Moisil, etc.), care constituieˆın prezent un capitol separat din algebr˘a. In aceast˘a lucrare sunt prezentate logica clasic˘a, cu dou˘a valori de adev˘ar, ¸si modelul ei algebric, algebra Boole. Algebrele logicilor cu mai multe valori sunt prezentate in [29]. Lucrarea se adreseaz˘a studen¸tilor facult˘a¸tilor de matematic˘a informatic˘a ¸si in- formatic˘a economic˘a, dar ¸si unui public mai larg. Bucure¸sti, Septembrie 2009 Autorii Contents 1 Calculul propozi¸tiilor (Prez. neformalizat˘a) 11 1.1 Propozi¸tiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Valorea de adev˘ar a unei propozi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Calculul predicatelor (Prez. neformalizat˘a) 23 2.1 Predicatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Valoarea de adev˘ar a unui predicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Latici 33 3.1 Mul¸timi (pre)ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Principiul dualit˘a¸tii. Diagrama Hasse . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Reprezentarea unei rela¸tii binare pe o mul¸time finit˘a prin matrice boolean˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.3 Prim(ultim)element,minorant(majorant),infimum(supre- mum). Axioma lui Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1 Latici Ore ¸si latici Dedekind. Echivalen¸ta lor . . . . . . . . . 38 3.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.3 Latici distributive. Latici m˘arginite complementate. . . . . . 44 4 Algebre Boole 49 4.1 Algebre Boole: defini¸tie, exemple, propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1 Defini¸tia algebrei Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.2 Exemple de algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.3 Propriet˘a¸ti ale algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.4 Implica¸tia ¸si echivalen¸ta boolean˘a . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 O defini¸tie echivalent˘a a algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Axiomele (B1) - (B7) implic˘a (A1) - (A4) . . . . . . . . . . . 56 4.2.2 Axiomele (A1) - (A4) implic˘a (B1) - (B7) . . . . . . . . . . . 57 4.2.3 Aplica¸tiile α ¸si β sunt mutual inverse . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Inel Boole. Echivalen¸ta cu algebra Boole . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4 Subalgebre, homomorfisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5 Filtre (ideale) ¸si congruen¸te. Algebre Boole cˆat . . . . . . . . . . . . 70 7 8 CONTENTS 4.5.1 Filtre (ideale) ¸si sisteme deductive . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5.2 Congruen¸te. Coresponden¸ta filtre - congruen¸te . . . . . . . . 71 4.5.3 Algebra Boole cˆat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5.4 Filtru generat de o mul¸time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.6 Teorema de reprezentare a lui Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.7 Algebre Boole atomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.8 Dualitatea algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.9 Algebre Boole injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.10 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.10.1 Mul¸timi fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . 93 5 Mul¸timi 95 5.1 Conceptelefundamentalealeteorieimul¸timilor: clasa¸siapartenen¸ta; mul¸timea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Rela¸tia de incluziune ¸si rela¸tia de egalitateˆıntre clase (mul¸timi) . . 98 5.2.1 Rela¸tia de incluziuneˆıntre clase (mul¸timi) . . . . . . . . . . . 98 5.2.2 Rela¸tia de egalitateˆıntre clase (mul¸timi) . . . . . . . . . . . . 99 5.3 Opera¸tii cu mul¸timi. Algebra Boole a mul¸timilor . . . . . . . . . . . 100 5.3.1 Reuniunea ¸si intersec¸tia a dou˘a mul¸timi. Complementara unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.2 Generalizare: reuniunea ¸si intersec¸tia a n mul¸timi . . . . . . 103 5.3.3 Generalizare: reuniunea ¸si intersec¸tia unei familii de mul¸timi 104 5.3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6 Rela¸tii 107 6.1 Produs cartezian a dou˘a mul¸timi. Rela¸tii binare . . . . . . . . . . . 107 6.1.1 Produs cartezian a dou˘a mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.1.2 Rela¸tii binare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2 Generalizare: Produs cartezian a n mul¸timi (n≥2). Rela¸tii n-are. . 109 6.2.1 Produs cartezian a n mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2.2 Rela¸tii n-are (n≥2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3 Opera¸tii cu rela¸tii. Algebra Boole a rela¸tiilor . . . . . . . . . . . . . 111 6.3.1 Disjunc¸tia, conjunc¸tia ¸si nega¸tia unei rela¸tii binare . . . . . . 111 6.3.2 Implica¸tia ¸si echivalen¸ta rela¸tiilor binare . . . . . . . . . . . . 112 6.3.3 Algebra Boole a rela¸tiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.4 Algebra rela¸tional˘a a rela¸tiilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.4.1 Compunerea ¸si inversarea rela¸tiilor binare . . . . . . . . . . . 114 6.5 Baze de date rela¸tionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.5.1 Reprezentarea rela¸tiilor. Defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.5.2 Limbajele de prelucrare a datelor . . . . . . . . . . . . . . . . 120 CONTENTS 9 7 Sistemul formal al calculului propozi¸tional (L) 121 7.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.2 Sintaxa ¸si algebra calculului propozi¸tional . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2.1 Propriet˘a¸ti sintactice ale lui L . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.2.2 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 1 . . . . . . . . . . . . 141 7.2.3 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 2 . . . . . . . . . . . . 145 7.2.4 Prealgebre Boole. Algebrele Boole ca prealgebre Boole cˆat . . 149 7.3 Semantica calculului propozi¸tional L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3.1 Mul¸timi consistente. Teorema de completitudine extins˘a (tare)159 7.4 Teorema de completitudine versus Teorema lui Stone . . . . . . . . . 163 7.5 Exemple de deduc¸tii formale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8 Sistemul formal al calculului cu predicate 175 8.1 Structuri ¸si limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.2 Semantica calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.3 Exemple de enun¸turi universal adev˘arate. . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.4 Sintaxa calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.5 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului cu predicate . . . . . . . . 208 8.5.1 Algebre Boole monadice. Algebre Boole cilindrice. . . . . . . 211 8.6 Teorema de completitudine. Modele Henkin . . . . . . . . . . . . . . 213 8.7 Cum se stabile¸ste dac˘a o formul˘a este teorem˘a formal˘a . . . . . . . . 223 9 Dimensiunea probabilist˘a a logicii clasice 227 9.1 Probabilit˘a¸ti pe algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.1.1 Evenimente ¸si probabilit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.1.2 Propriet˘a¸ti ale probabilit˘a¸tilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.1.3 σ-algebre ¸si σ-probabilit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.1.4 Teorema lui Carath´eodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.5 Teorema Horn-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2 Modele probabiliste ale calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . 244 9.2.1 Structuri probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.2.2 Teorema de completitudine a lui Gaifman . . . . . . . . . . . 249 9.2.3 C˘atre o teorie a modelelor probabiliste . . . . . . . . . . . . . 251 10 CONTENTS

Description:
4.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . 93. 5 Multimi. 95. 5.1 Conceptele fundamentale ale teoriei multimilor: clasa si apartenenta; multimea . 95. 5.2. Relatia de incluziune si relatia de egalitate ıntre clase (multimi) 98. 5.2.1 Relatia de
See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.