Logic˘a matematic˘a

267 Pages·2009·0.95 MB·Romanian

Logic˘a matematic˘a
George Georgescu1, Afrodita Iorgulescu2
1 Universitatea din Bucure¸sti, Catedra de Fundamentele Informaticii
2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatic˘a Economic˘a
October 1, 2009
2
3
4
5
Prefa¸t˘a
Logica se ocup˘a de legile gˆandirii (ra¸tiunii)¸si anume de acele propriet˘a¸ti struc-
turale formale ale gˆandirii care aparˆın reflectarea propriet˘a¸tilor lumii reale. Deci
avemgˆandirea,realitatea¸sileg˘aturadintreele. Inlogic˘aexist˘asubstituien¸tiabstrac¸ti
pentru gˆandire, pentru realitate ¸si pentru leg˘atura dintre ele ¸si anume, limbajul L
substituie gˆandirea, structura S substituie realitatea (unde S este mai mult decˆat
o colec¸tie de lucruri susceptibile de a fi corelate, caˆın¸teles, diferitelor expresii din
limbaj), iar interpretarea I substituie leg˘atura (I este o func¸tie).
LimbajulLestefixat,darseconsider˘amaimulteinterpret˘arialeluiLˆındiferite
structuri; aceasta pentru c˘a, pe de-o parte, nu¸stimˆın care realitate (lume) partic-
ular˘a ne reg˘asim cu adev˘arat, pe de alt˘a parte pentru c˘a logicienii sunt interesa¸ti
de principiile universale, care sunt adev˘arateˆın orice lume posibil˘a.
Oteorie(ˆınsenstehnic)esteunlimbajLˆımpreun˘acuomul¸timeT depropozi¸tii
sauformuledinL. Inpractic˘a,oteorieestedefinit˘afiesintactic,fiesemantic,adic˘a:
- T poate fi format˘a din toate formulele care rezult˘a printr-o rela¸tie de implicare
sintactic˘a dintr-o mul¸time de axiome sau
- T poate fi format˘a din toate formulele care sunt adev˘arateˆın orice interpretare
considerata˘.
Scopulprincipalallogiciiestestudiulˆınparalelalrela¸tieideimplicaresintactic˘a
(formal˘a):
p(cid:96)q (q se deduce din p conform unor reguli prestabilite)
¸si al rela¸tiei de implicare semantic˘a (real˘a):
p|=q (dac˘a p este adev˘arat˘a, atunci q este adev˘arat˘a).
Logica clasic˘a este bivalent˘a, ˆın sensul c˘a mul¸timea valorilor de adev˘ar are
dou˘a elemente: adev˘arul ¸si falsul. Logica propozi¸tiilor este teoria T a tuturor for-
mulelor valide (i.e. care sunt adev˘arate ˆın orice interpretare) ˆıntr-un limbaj L
al propozi¸tiilor. Aceast˘a teorie este decidabil˘a (exist˘a un algoritm care, aplicat
oric˘arei formule, ne spune dac˘a ea este din T). Logica predicatelor este teoria T
a tuturor formulelor valide ˆıntr-un limbaj L al predicatelor. Presupunand c˘a L
are cel pu¸tin un simbol de func¸tie de rang cel pu¸tin 1 sau un simbol de rela¸tie de
rang cel pu¸tin 2, atunci T nu este decidabil˘a, dar este axiomatizabil˘a (i.e. exist˘a
o axiomatizare a lui T (cu axiome ¸si reguli de inferen¸t˘a) sub care formulele lui T
sunt demonstrabile).
In secolul al 19-lea apar primele sisteme de logic˘a polivalent˘a.
In evolu¸tia unei teorii¸stiin¸tifice se disting patru etape succesive: etapa descrip-
tiv˘a, etapa inductiv˘a, etapa deductiv˘a ¸si etapa axiomatic˘a. Organizarea ¸stiinteiˆın
teorii deductive este legat˘a de evolu¸tia matematicii ¸si de expansiunea metodelor
saleˆın celelalte ¸stiin¸te.
”Euafirmcaˆınoricedisciplin˘aanaturiiseg˘ase¸stedefaptnumaiatˆataadev˘arat˘a
¸stiin¸t˘a cˆat˘a matematic˘a se cuprindeˆın ea” (Immanuel Kant).
6
Logicamatematic˘aeste¸stiin¸tacarearecaobiectstudiulformelorpropozi¸tionale
¸siallegilordera¸tionarecuexpresiipropozi¸tionale, precum¸simetodelecarepermit
realizarea acestui studiu.
Instudiulpropozi¸tiilorsaualexpresiilorpropozi¸tionale, logicamatematic˘aeste
interesat˘a numai de valoarea logic˘a.
R. Descartes, prinˆıncercarea de a forma o¸stiin¸t˘a matematic˘a general˘a, a stim-
ulatcercet˘arilelogiceˆındirec¸tiasimbolismuluimatematic, lucrurealizatpar¸tialde
G. Leibniz.
La jum˘atatea secolului al 19-lea, George Boole ¸si Augustus De Morgan au in-
trodus metodele matematice ˆın logic˘a, creˆand logica matematic˘a. Calculul logic
al lui G. Boole este bivalent ¸si se face dup˘a regulile din algebr˘a; el st˘a la baza
calculatoarelor actuale.
Contribu¸tii ulterioare au adus G. Frege, G. Peano, B. Russell ¸si G¨odel. Primul
tratat modern de logic˘a matematic˘a, ”Principia Mathematica” a fost scris de B.
Russell ¸si A.N. Whitehead,ˆıntre 1910-1913.
Intr-o etap˘a ulterioar˘a apare logica polivalenta˘ (cu mai multe valori de adev˘ar),
prin lucr˘arile lui J. L(cid:195) ukasiewicz ¸si L.E. Post, apoi ale lui C.C. Chang. In ¸tara
noastr˘a, cercet˘arile de logic˘a matematic˘a au fost ini¸tiate de Gr. C. Moisilˆın 1933
¸si cunoscˆın prezent o mare dezvoltare.
Aplica¸tiile logicii matematice se reg˘asesc la teoria algebric˘a a automatelor, la
programarea automat˘a, la programarea logic˘a, la bazele de date rela¸tionale, ˆın
inteligen¸ta artificial˘a. Cercet˘arile contemporane tind s˘a extind˘a considerabil sfera
aplica¸tiilor (logica fuzzy se aplic˘aˆın economie, de exemplu).
In paralel cu logica matematic˘a,¸siˆın strans˘a leg˘atura cu ea, s-a dezvoltat alge-
bra logicii matematice (teoria algebrelor Boole, teoria algebrelor MV, a algebrelor
L(cid:195) ukasiewicz-Moisil, etc.), care constituieˆın prezent un capitol separat din algebr˘a.
In aceast˘a lucrare sunt prezentate logica clasic˘a, cu dou˘a valori de adev˘ar, ¸si
modelul ei algebric, algebra Boole. Algebrele logicilor cu mai multe valori sunt
prezentate in [29].
Lucrarea se adreseaz˘a studen¸tilor facult˘a¸tilor de matematic˘a informatic˘a ¸si in-
formatic˘a economic˘a, dar ¸si unui public mai larg.
Bucure¸sti, Septembrie 2009
Autorii
Contents
1 Calculul propozi¸tiilor (Prez. neformalizat˘a) 11
1.1 Propozi¸tiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Valorea de adev˘ar a unei propozi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Calculul predicatelor (Prez. neformalizat˘a) 23
2.1 Predicatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Valoarea de adev˘ar a unui predicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Latici 33
3.1 Mul¸timi (pre)ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Principiul dualit˘a¸tii. Diagrama Hasse . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Reprezentarea unei rela¸tii binare pe o mul¸time finit˘a prin
matrice boolean˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Prim(ultim)element,minorant(majorant),infimum(supre-
mum). Axioma lui Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Latici Ore ¸si latici Dedekind. Echivalen¸ta lor . . . . . . . . . 38
3.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Latici distributive. Latici m˘arginite complementate. . . . . . 44
4 Algebre Boole 49
4.1 Algebre Boole: defini¸tie, exemple, propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Defini¸tia algebrei Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Exemple de algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.3 Propriet˘a¸ti ale algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.4 Implica¸tia ¸si echivalen¸ta boolean˘a . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 O defini¸tie echivalent˘a a algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Axiomele (B1) - (B7) implic˘a (A1) - (A4) . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 Axiomele (A1) - (A4) implic˘a (B1) - (B7) . . . . . . . . . . . 57
4.2.3 Aplica¸tiile α ¸si β sunt mutual inverse . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Inel Boole. Echivalen¸ta cu algebra Boole . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Subalgebre, homomorfisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Filtre (ideale) ¸si congruen¸te. Algebre Boole cˆat . . . . . . . . . . . . 70
7
8 CONTENTS
4.5.1 Filtre (ideale) ¸si sisteme deductive . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.2 Congruen¸te. Coresponden¸ta filtre - congruen¸te . . . . . . . . 71
4.5.3 Algebra Boole cˆat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.4 Filtru generat de o mul¸time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6 Teorema de reprezentare a lui Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7 Algebre Boole atomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 Dualitatea algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.9 Algebre Boole injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.10 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10.1 Mul¸timi fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Mul¸timi 95
5.1 Conceptelefundamentalealeteorieimul¸timilor: clasa¸siapartenen¸ta;
mul¸timea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Rela¸tia de incluziune ¸si rela¸tia de egalitateˆıntre clase (mul¸timi) . . 98
5.2.1 Rela¸tia de incluziuneˆıntre clase (mul¸timi) . . . . . . . . . . . 98
5.2.2 Rela¸tia de egalitateˆıntre clase (mul¸timi) . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Opera¸tii cu mul¸timi. Algebra Boole a mul¸timilor . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Reuniunea ¸si intersec¸tia a dou˘a mul¸timi. Complementara
unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.2 Generalizare: reuniunea ¸si intersec¸tia a n mul¸timi . . . . . . 103
5.3.3 Generalizare: reuniunea ¸si intersec¸tia unei familii de mul¸timi 104
5.3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 Rela¸tii 107
6.1 Produs cartezian a dou˘a mul¸timi. Rela¸tii binare . . . . . . . . . . . 107
6.1.1 Produs cartezian a dou˘a mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.2 Rela¸tii binare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2 Generalizare: Produs cartezian a n mul¸timi (n≥2). Rela¸tii n-are. . 109
6.2.1 Produs cartezian a n mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.2 Rela¸tii n-are (n≥2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3 Opera¸tii cu rela¸tii. Algebra Boole a rela¸tiilor . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.1 Disjunc¸tia, conjunc¸tia ¸si nega¸tia unei rela¸tii binare . . . . . . 111
6.3.2 Implica¸tia ¸si echivalen¸ta rela¸tiilor binare . . . . . . . . . . . . 112
6.3.3 Algebra Boole a rela¸tiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Algebra rela¸tional˘a a rela¸tiilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.1 Compunerea ¸si inversarea rela¸tiilor binare . . . . . . . . . . . 114
6.5 Baze de date rela¸tionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.1 Reprezentarea rela¸tiilor. Defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.2 Limbajele de prelucrare a datelor . . . . . . . . . . . . . . . . 120
CONTENTS 9
7 Sistemul formal al calculului propozi¸tional (L) 121
7.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Sintaxa ¸si algebra calculului propozi¸tional . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.1 Propriet˘a¸ti sintactice ale lui L . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.2 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 1 . . . . . . . . . . . . 141
7.2.3 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 2 . . . . . . . . . . . . 145
7.2.4 Prealgebre Boole. Algebrele Boole ca prealgebre Boole cˆat . . 149
7.3 Semantica calculului propozi¸tional L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3.1 Mul¸timi consistente. Teorema de completitudine extins˘a (tare)159
7.4 Teorema de completitudine versus Teorema lui Stone . . . . . . . . . 163
7.5 Exemple de deduc¸tii formale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Sistemul formal al calculului cu predicate 175
8.1 Structuri ¸si limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2 Semantica calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 Exemple de enun¸turi universal adev˘arate. . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4 Sintaxa calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.5 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului cu predicate . . . . . . . . 208
8.5.1 Algebre Boole monadice. Algebre Boole cilindrice. . . . . . . 211
8.6 Teorema de completitudine. Modele Henkin . . . . . . . . . . . . . . 213
8.7 Cum se stabile¸ste dac˘a o formul˘a este teorem˘a formal˘a . . . . . . . . 223
9 Dimensiunea probabilist˘a a logicii clasice 227
9.1 Probabilit˘a¸ti pe algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.1.1 Evenimente ¸si probabilit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.1.2 Propriet˘a¸ti ale probabilit˘a¸tilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.1.3 σ-algebre ¸si σ-probabilit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.1.4 Teorema lui Carath´eodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.1.5 Teorema Horn-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.2 Modele probabiliste ale calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . 244
9.2.1 Structuri probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.2.2 Teorema de completitudine a lui Gaifman . . . . . . . . . . . 249
9.2.3 C˘atre o teorie a modelelor probabiliste . . . . . . . . . . . . . 251
10 CONTENTS