Locally compact groups

313 Pages·2006·1.57 MB·English

by  Stroppel M.

stroppel_titelei 16.1.2006 11:12 Uhr Seite 1
SS EE
MM MM
EE SS
S E E M S
M M
E S
stroppel_titelei 16.1.2006 11:12 Uhr Seite 2
EMS Textbooks in Mathematics
EMS Textbooks in Mathematicsisa book series aimed at students or professional mathematicians
seeking an introduction into a particular field. The individual volumes are intended to provide not
only relevant techniques, results and their applications, but afford insight into the motivations and
ideas behind the theory. Suitably designed exercises help to master the subject and prepare the
reader for the study of more advanced and specialized literature.
Jørn Justesen and Tom Høholdt, A Course In Error-Correcting Codes
Peter Kunkel and Volker Mehrmann, Differential-Algebraic Equations. Analysis and Numerical
Solution
stroppel_titelei 16.1.2006 11:12 Uhr Seite 3
Markus Stroppel
Locally Compact Groups
S E
M M
E S
SS EE E M S
MM MM uropean athematical ociety

EE SS
stroppel_titelei 16.1.2006 11:12 Uhr Seite 4
Author:
Markus Stroppel
Institut für Geometrie und Topologie
Universität Stuttgart
D-70550 Stuttgart
Germany
2000 Mathematical Subject Classification (primary; secondary):
22D05, 22-01; 20E18, 22A25, 22B05, 22C05, 22D10, 22D45, 22F05, 12J10, 43A05, 54H15, 22A15
Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie;
detailed bibliographic data are available in the Internet at http://dnb.ddb.de.
ISBN 3-03719-016-7
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is
concerned, specifically the rights of translation, reprinting, re-use of illustrations, recitation, broadca-
sting, reproduction on microfilms or in other ways, and storage in data banks. For any kind of use
permission of the copyright owner must be obtained.
© 2006 European Mathematical Society
Contact address:
European Mathematical Society Publishing House
Seminar for Applied Mathematics
ETH-Zentrum FLI C4
CH-8092 Zürich
Switzerland
Phone: [phone]
Email: [email protected]
Homepage: www.ems-ph.org
Cover: The stones of the wall represent the fundamental building blocks in the theory of locally com-
pact groups: finite (and thus compact) groups, and connected Lie groups (including the additive
group of real numbers, and linear groups over the reals).
From these blocks, general locally compact groups are built using constructions like cartesian pro-
ducts and projective limits. The commuting diagram describes a projective limit, thus indicating a
concept central to the theory discussed in the book.
Typeset using the author’s TEX files: I. Zimmermann, Freiburg
Printed on acid-free paper produced from chlorine-free pulp. TCF°°
Printed in Germany
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Preface
This book introduces the reader to the theory of locally compact groups, leading
fromthebasicsabouttopologicalgroupstomoreinvolvedtopics,includingtrans-
formation groups, the Haar integral, and Pontryagin duality. I have also included
several applications to the structure theory of locally compactAbelian groups, to
topologicalringsandfields. Thepresentationisroundedoffbyachapterontopo-
logicalsemigroups,payingspecialrespecttoresultsthatidentifytopologicalgroups
insidethiswiderclass. InordertoshowtheresultsfromPontryagintheoryatwork,
IhavealsoincludedthedeterminationofthoselocallycompactAbeliangroupsthat
are homogeneous in the sense that their automorphism group acts transitively on
thesetofnon-trivialelements. Acrucialbutdeeptoolforanydeeperunderstand-
ingoflocallycompactgroupsistheapproximationbyLiegroups. Thechapteron
Hilbert’sfifthproblemgivesanoverview. Thechartfollowingthisprefacegivesa
roughimpressionofthelogicaldependencebetweenthesections.
Duringmyacademiccareer,Ihaverepeatedlylecturedontopicsfromtopolog-
ical algebra. Apart from a regular seminar including topics from the field, I have
given graduate courses on topological groups (1994/95), locally compact groups
(1995/96),Pontryaginduality(1996/97),Haarmeasure(1997),andtopologicalal-
gebra (1999/2000). The present notes reflect the topics treated in these courses.
A suitable choice from the material at hand may cover one-semester courses on
topological groups (Sections 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), locally compactAbelian
groups (Sections 3, 4, 6, 12, 14, 20, 21, 22, 23, 24), topological algebra (groups,
rings,fields,semigroups: Sections3,4,5,6,9,10,11,26,28,29,30,31).
I have tried to keep these notes essentially self-contained. Of course, as with
any advanced topic, there are limits. A reader is supposed to have mastered lin-
ear algebra, but only a basic acquaintance with groups is required. Fundamental
topologicalnotions(topologies, continuity, neighborhoodbases, separation, com-
pactness,connectedness,filterbases)aretreatedinSection1andinSection2. The
more advanced topic of dimension is included only as a reference for the outline
in Chapter H. The section about Haar integral draws (naturally) from functional
analyticsources.
Almosteverysection(withthesystematicexceptionofthoseinChapterH)is
accompaniedbyexercises. Thesehavebeentestedinclass,butofcoursethisisno
guaranteethattheywillworkwellagainwithanyothergroupofstudents. Every
readerisadvisedtousetheexercisesasameanstocheckherunderstandingofthe
topicstreatedinthetext. Occasionally,theexercisesalsoprovidefurtherexamples.
Aremarkonthebibliographyisinorder. Thepresentbookismeantasastu-
dent text, and historic comments are kept to a minimum. We give references to
theliteraturewhereweneedresultsortechniquesthatarebeyondthescopeofthis
vi Preface
book. Suggestions for further reading would surely include the two volumes by
E.HewittandK.A.Ross[15],[16]. Quiterecentcontributionsaretheimpressive
monographs by K. H.Hofmann and S.A.Morris [23], [24]. About locally com-
pact abelian groups, we only mention the book by D. L.Armacost [2]. The notes
by I.Kaplansky [35] treat abelian groups but go well beyond into the solution of
Hilbert’s Fifth Problem. Topological fields are the subject of the monographs by
N.Shell[57],S.Warner[65],W.Wiesław[68],and(underthepretextofdoingnum-
‘
bertheory)theonebyA.Weil[67]. Thetheoryoflocallycompactgroupsnaturally
incorporatesdeepresultsfromLietheory. Amongthemanybooksaboutthatsub-
ject,wementiontheonesbyN.Bourbaki[4],S.Helgason[14],G.Hochschild[18],
A.L.OnishchikandE.B.Vinberg[43],andV.S.Varadarajan[64].
The abstract notion of a topological group seems to appear first in a paper by
F.Leja[38]. HistoricalhallmarksofthetheoryarethebooksbyL.S.Pontrjagin[48]
andA.Weil[66].
I was introduced to the theory of topological groups in a course at the uni-
versity at Tübingen, given by H. Reiner Salzmann, during the summer term in
1987. Thatcoursestartedwithanintroductiontothebasics(includingsubgroups,
quotients,separationproperties,andconnectedness),generalpropertiesoflocally
compactgroups(existenceofopensubgroups,extensionproperties),adiscussion
oftopologicaltransformationgroups(leadingtoFreudenthal’sresultsaboutlocally
compactorbitsoflocallycompactLindelöfgroups). Themainpartofthatcourse
consistedofadiscussionofPontryaginduality,itsproofandseveralconsequences,
culminatingintheclassificationofcompactAbeliangroups. Surely,theselectures
contributed to my decision to take up research in mathematics. What impressed
medeeplywastheinterplayofsubtlyinterwoventheories(topology,grouptheory,
functional analysis), leading to deep results, with applications in pure as well as
applied mathematics. Later on, I had the opportunity to work with Karl Heinrich
Hofmann at Darmstadt. During this lasting collaboration, the seed of fascination
withthetopicswascultivated,ripeningintoafull-grownaddictiontothetheoryof
locallycompactgroupsanditsvariousapplications.
In my own teaching, I try to pass on the beauty of the subject as well as the
fascination that my academic teachers have instilled in me. I do hope that these
noteshelptoadvancethisfascination.
Many students and colleagues have read and criticized scripts accompanying
my lecture courses, and parts of the present version. Explicitly, I wish to thank
Andrea Blunck, Martin Bulach, Agnes Diller, Helge Glöckner, Jochen Hoheisel,
Martin Klausch, Peter Lietz, and Bernhild Stroppel. The errors that remain are
mine.
Stuttgart,December2005 MarkusStroppel
LogicalDependencebetweentheSections
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)9(cid:4)(cid:8)(cid:7)(cid:7) (cid:5)(cid:9)(cid:6)(cid:12)(cid:12)(cid:10)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:9)(cid:9)(cid:7)(cid:6)(cid:7)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:10)(cid:6)(cid:7)(cid:2)(cid:6)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:6)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:5)7(cid:7)(cid:10)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:5)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:12)(cid:12)(cid:10)(cid:7)(cid:5)(cid:11)(cid:11)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:10)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:10)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)14346(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7) (cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)(cid:6)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:4)(cid:6)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:4)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:4)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:6)(cid:8)1(cid:2)(cid:4)(cid:6)(cid:8)(cid:4)(cid:8)5(cid:7)(cid:7)(cid:2)(cid:4)(cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:9)(cid:6)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:8)(cid:4)(cid:2)8(cid:4)(cid:8)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:10)(cid:10)(cid:2)(cid:6)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:4)(cid:2)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)5(cid:9)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:5)(cid:9)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)2(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)
(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9) (cid:9) (cid:3)
1100 28 2200 12 1166 (cid:9) (cid:3)
(cid:9) (cid:3)
(cid:9) (cid:3)
(cid:9) (cid:3)
(cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:9) (cid:3)
29 21 13 17 (cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)
(cid:9) (cid:3)
(cid:9) (cid:3)
(cid:9) (cid:3)
(cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:9) (cid:3)
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)(cid:11)(cid:11) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)
30 2222 14 18 (cid:9) (cid:3)
(cid:10)(cid:10) (cid:9) (cid:3)
(cid:10) (cid:9) (cid:3)
(cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7) (cid:12)(cid:12)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10) (cid:9)(cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9) (cid:9) (cid:3)
11(cid:6) 31 23(cid:6) 1199 (cid:9) (cid:3)
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:7)(cid:7) (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)2(cid:4)(cid:8)4(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)2(cid:4)(cid:8)7(cid:5)(cid:9) (cid:9)(cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:7)(cid:7) (cid:7)(cid:7)(cid:9)(cid:3)(cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:9) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9) (cid:8)(cid:8)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9) (cid:3)(cid:3)
2255 222666 (cid:3)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:7)(cid:7) (cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:8)(cid:8)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:9)
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:5)(cid:9)(cid:4)(cid:13)(cid:13)(cid:11)(cid:4)(cid:11)(cid:11)(cid:4)(cid:11)(cid:4)(cid:11)(cid:4)(cid:11)(cid:4)(cid:11)(cid:10)(cid:4)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:10)(cid:11)(cid:10)(cid:4)(cid:11)(cid:10)(cid:12)(cid:4)(cid:12)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:10)(cid:4)(cid:12)(cid:11)(cid:12)(cid:10)(cid:12)(cid:12)32(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) 3333
34 (cid:13)(cid:13)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)35(cid:12)(cid:12)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10) (cid:14)(cid:14)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:7)(cid:7) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:15)(cid:15)
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)
36 37 38 39 40
(cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9) (cid:2)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:9)
Anarrowfrom k to (cid:2) inthischartindicatesthatSectionk containsmaterialthatis
necessaryforSection(cid:2).

Contents
Preface v
A Preliminaries 1
1 MapsandTopologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 ConnectednessandTopologicalDimension . . . . . . . . . . . . 19
B TopologicalGroups 26
3 BasicDefinitionsandResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 LinearGroupsoverTopologicalRings . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 SolvableandNilpotentGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
C TopologicalTransformationGroups 91
9 TheCompact-OpenTopology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10 TransformationGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11 Sets,Groups,andRingsofHomomorphisms. . . . . . . . . . . . 105
D TheHaarIntegral 113
12 ExistenceandUniquenessofHaarIntegrals . . . . . . . . . . . . 113
13 TheModuleFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14 ApplicationstoLinearRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 128
E CategoriesofTopologicalGroups 143
15 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16 ProductsinCategoriesofTopologicalGroups . . . . . . . . . . . 147
17 DirectLimitsandProjectiveLimits. . . . . . . . . . . . . . . . . 156
18 ProjectiveLimitsofTopologicalGroups . . . . . . . . . . . . . . 165
19 CompactGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
F LocallyCompactAbelianGroups 174
20 CharactersandCharacterGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
21 CompactlyGeneratedAbelianLieGroups . . . . . . . . . . . . . 181
22 Pontryagin’sDualityTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
23 ApplicationsoftheDualityTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . 194
24 MaximalCompactSubgroupsandVectorSubgroups . . . . . . . 203