L'intelligence et le calcul

194 Pages·2002·41.76 MB·French

by  Jean-Paul Delahaye

L ' i n t e l l i g e n c e
e t l e c a l c u l
de Gôdel aux ordinateurs
quantiques
Jean-Paul Delahaye
BELIN • POUR LA SCIENCE
8, rue Férou
75278 Paris Cedex 06
Dans la même collection
L'ordre du chaos
Ces hormones qui nous gouvernent
Les fossiles, témoins de l'Évolution
Les instruments de l'orchestre
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Les mécanismes de la vision
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Merveilleux nombres premiers
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couverture : Mike Aglio/Cosmos
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© Pour la Science 2002 ISSN 0224-5159 ISBN 2-84245-040-X
Table des matières
Introduction 4
La complexité et le calcul
1. Les lois de tout ou rien 6
2. La compression des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. La ressemblance mathématisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Mathématiques et philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5. Le complexe surgit-il du simple? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
L'ordinateur du futur sera-t-il quantique?
6. Les ordinateurs quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7. Les lois nouvelles de l'information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8. Logique de la téléportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9. Un kit universel de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10. La loi de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
L'ordinateur intelligent?
11. Les ordinateurs mathématiciens- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12. Le monde des machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13. L'intelligence humaine à nouveau dominée? ..................... 102
14. Aléas du hasard informatique ................................ 110
Raisonnements mathématiques
15. Certitudes sans démonstrations? ............................. 118
16. Raccourcis dans les démonstrations ........................... 126
17. Champernowne, et quelques autres ........................... 135
18. Négligeable, mais troublant .................................. 143
Indécidabilité et contradictions
19. Les propositions indécidables ................................ 151
20. Promenade au pays des indécidables .......................... 160
21. Ignorance ou indécidabilité? ................................. 168
22. Les vérités mathématiques .................................. 175
23. Statut mathématique des contradictions ....................... 183
Bibliographie .............................................. 190
Introduction
Progressivement depuis plusieurs siècles les de nos sens nous faisant découvrir des mondes
machines se sont installées parmi nous. insoupçonnés (télescopes, microscopes, accéléra
Machines pour l1industrie (métiers à tisser, teurs de particules, automates pour le séquen
moulins à eaux et à vent, puis moteurs à explo çage du génome, etc.).
sion pour toutes sortes de travaux, etc.), Les machines sont de plus en plus nom
machines destinées à nous transporter (trains, breuses et de plus en plus proches. Nous sommes
voitures, bateaux, avions, fusées), machines pour cernés!
nous aider dans les taches quotidiennes (fours de De mécaniques et destinées à accroître notre
toutes sortes, réfrigérateurs, machines à laver le force physique, elles sont depuis peu devenues
linge ou la vaisselle, moulins à moudre le café, logiques et informationnelles et servent à
etc.), machines pour l1écriture et le dessin (impri accroître nos capacités mentales de calcul, de rai
meries, machines à taper, ordinateurs de traite sonnement, de mémorisation et de traitement de
ment de texte, tables traçantes), machines pour l'information. Leur invasion change le monde,
compter (montres et horloges, calculatrices méca mais aussi notre conception du monde et nos
niques puis ordinateurs pour la comptabilité, les théories sur le monde. Les mathématiques ont
statistiques ou le calcul scientifique), machines par exemple été bouleversées par les concepts
pour soulager notre mémoire et nous aider à ran nouveaux tirés de la théorie du calcul née dans les
ger nos données (tabulatrices à cartes perforées, cerveaux de Kurt Géidel, Alonzo Church et Alan
systèmes informatiques de bases et de banques Turing dans la décennie 1930-1940, et, à cette
de données), machines pour nous divertir (jeux occasion, les mathématiques ont découvert cette
d1échec électroniques, stations de jeux gra terrible indécidabilité que personne aujourd1hui
phiques, simulateurs, appareils de réalité vir n1est certain de comprendre pleinement.
tuelle), machines pour gérer nos emplois du Ce monde de machines conduit à aborder des
temps et nos affaires quotidiennes qu1on range objets et des situations extraordinairement com
dans notre cartable (ordinateur portable, agenda plexes et de ce changement quantitatif naît un
électronique), machines pour faire de la musique, changement qualitatif: le monde de la complexité
lire, dessiner, produire des images ou des anima est un continent où nous découvrons chaque jour
tions (électrophone, magnétophone, livre électro des nouveautés que remettent en question nos
nique, ordinateurs manipulant les sons digitaux, plus anciennes certitudes. Aujourd1hui les ordi
imprimantes couleurs, appareils photos, caméras nateurs sont devenus des objets équivalents en
de cinéma et de vidéo, projecteur de cinéma, télé capacité de traitement de l'information aux cer
visions), machines pour communiquer (télé veaux des êtres vivants, ceux des humains étant
graphes, téléphones, télécopieurs, ordinateurs sur le point d1être rejoints. Plus que jamais nous
reliés à internet). Et il y a aussi bien sûr toutes les sommes conduit à nous poser la question de notre
machines de la science qui multiplient le pouvoir nature : Sommes-nous des machines? Les
machines nous égaleront-elles en intelligence? quantiques? Y a-t-il un argument fondamental
Finiront-elles par nous dépasser? qui nous autorise dès aujourd'hui à dire que la
De troublantes situations apparaissent déjà, téléportation est impossible? Peut-on mathéma
et par exemple à propos des jeux de hasard l'ordi tiser la notion de simple et de complexe et si oui
nateur semble rattraper l'homme et le battre. quelles en sont les conséquences? Le monde n'est
Est-ce la fin de l'homme biologique et le début il au fond qu'un grand calcul? De nouvelles pra
d'un nouvel homme à base de silicium, ou d'une tiques des mathématiques sont-elles rendues
humanité hybride associant des composants de possibles par les ordinateurs? Qu'est-ce que la
l'homme ancestral avec d'autres provenant des certitude mathématique? L'ignorance et l'indéci
machines intelligentes à venir? dabilité sont-elles une même chose? Qui est
Les perspectives de développement de l'ordi concerné par l'indécidabilité logique?
nateur semblent s'étendre indéfiniment et de C'est de tout cela que ce livre veut vous entre
nouvelles idées comme celle du calcul quantique tenir, l'objectif étant de fournir à chacun des élé
suggèrent que nous n'atteindrons pas prochaine ments pour penser à ce futur si mystérieux et
ment de limites physiques qui nous empêche inquiétant que nous ne saurons comprendre
raient d'améliorer nos systèmes artificiels de qu'avec les nouveaux outils et concepts que les
calcul. mathématiques et l'informatique ont récemment
Sans vouloir décrire le futur (chose qu'il faut forgés pour nous.
laisser aux auteurs de science-fiction) mille ques Cet ouvrage est composé d'articles parus dans
tions se présentent à l'esprit et méritent qu'on y la revue Pour la Science, aucune connaissance
réfléchisse attentivement : Quel est le rapport spécialisée n'est requise pour le lire. Les textes
entre hasard et calcul? L'ordinateur peut-il sont indépendants et peuvent être abordés dans
démontrer des théorèmes mathématiques inté l'ordre que vous souhaitez.
ressants? Est-il possible d'envisager que nous ne Un index et des informations complémen
soyons nous-mêmes que des machines à calculer taires sur le livre sont à la disposition des lecteurs
et si oui qu'en résulte-t-il logiquement? Que per sur le site internet de Pour la Science à l'adresse:
mettrait la mise au point des ordinateurs www. pourlascience.com.
1
Les lois de tout ou rien
À l'infini, le monde se simplifie : certaines propriétés y
sont toujours vraies ou toujours fausses ...
L es noms de famille se raréfient : les enfants Prenons un exemple : la propriété qu'un
prennent le nom du père, et cette coutume graphe «possède un triangle». C'est une pro
fait que les noms des couples qui n'ont que priété du premier ordre, car si x, y, z, ... dénotent
des filles disparaissent. Ainsi, de 1350 à nos jours, des nœuds, elle indique «qu'il existe au moins
les trois quarts des noms de famille anglais ont été trois nœuds x, y, z tels que le nœud x est lié au
effacés de l'état civil. À la limite, c'est-à-dire après nœud y et que le nœud y est lié au nœud z et que
un temps infini, il ne restera plus qu'un seul nom. le nœud z est lié au nœud X». D'après le résultat
Ce phénomène illustre un type de lois mathéma de Glebskii, à l'infini, elle est soit vraie à 100
tiques, les lois zéro-un (ou lois de tout ou rien). pour cent, soit fausse à 100 pour cent : quand
Plus un théorème est simple et inattendu vous construisez des graphes à partir den nœuds
plus on l'aime, et plus il suscite de travaux; c'est donnés, et que vous déterminez au hasard avec
le cas de cette loi zéro-un démontrée en 1969 par une pièce de monnaie (donc avec une probabilité
Y. Glebskii et ses élèves de l'Université de Gorki 1/2) si deux points du graphe sont reliés ou non
(maintenant Nijni Novgorod). Redécouverte en (voir la figure 1), la proportion de graphes qui
1972 par Ronald Fagin, de l'Université de Berke possèdent un triangle tend vers 1lorsque n aug
ley, la loi zéro-un porte sur les propriétés des mente : 100 pour cent des graphes aléatoires
graphes, une arborescence de segments issus de possèdent un triangle.
nœuds ; quand le nombre de nœuds augmente La propriété «avoir un chemin de longueur 3
indéfiniment, la loi stipule que la probabilité que reliant toute paire de nœuds» (on dit aussi plus
ces propriétés soient vérifiées s'approche, soit de simplement «être de diamètre inférieur à trois»)
100 pour cent, soit de 0 pour cent. En d'autres s'exprime aussi par une formule du premier
termes, à l'infini, ces propriétés des graphes sont ordre : «pour toute paire de nœuds x et y, il existe
soit certainement vraies, soit certainement deux nœuds u et v, tels que le nœud x est lié au
fausses (il n'est pas possible qu'à l'infini une pro nœud u et que le nœud u est lié au nœud v et que
priété soit vraie dans 50 pour cent des cas). le nœud v est lié au nœud y».
Notons que l'on peut mettre les nouveaux nœuds D'après la loi zéro-un, à l'infini cette pro
n'importe où : la loi est de nature topologique. priété «avoir un chemin de longueur 3 reliant
La loi s'applique aux propriétés du premier toute paire de nœuds» est donc vraie dans 100
ordre d'un graphe ; une telle propriété est défi pour cent des cas ou fausse dans 100 pour cent
nie par une formule aussi longue que l'on veut, des cas. Un peu d'attention (ou l'utilisation d'un
mais ne fait intervenir que l'égalité, la notion de algorithme tiré d'une démonstration due à
lien, et les éléments de base du langage de la A. Blass et F. Harary, de l'Université du Michi
logique :pour tout, il existe, et, ou, implique, non, gan) montre encore que c'est une propriété vraie
équivalent. dans 100 pour cent des cas. Il est clair que tout
LES LOIS DE TOUT OU RIEN 7
graphe qui possède cette propriété est d'un seul on réussit indirectement à résoudre le problème.
tenant (on dit aussi connexe), donc, à l'infini, un Grâce à ce genre d'astuces, on démontre, à
graphe est toujours d'un seul tenant. partir du résultat de Glebskii, qu'à l'infini un
graphe n'est jamais planaire (un graphe est pla
naire s'il peut être dessiné sur une feuille de
Les formules ne sont pas toutes
papier sans que jamais deux liens ne se croisent);
du premier ordre
qu'un graphe n'est jamais 3-coloriable (un graphe
Malheureusement toutes les propriétés inté est 3-coloriable si l'on peut colorier ses nœuds en
ressantes des graphes ne s'expriment pas avec utilisant trois couleurs de façon que deux nœuds
des formules du premier ordre. Ainsi la propriété liés ne soient jamais de la même couleur) ; ou
«être d'un seul tenant» n'est pas une propriété du même n'est jamais 4-coloriable, 5-coloriable, etc.
premier ordre. Pour la formuler, il faudrait écrire En revanche, le résultat de Glebskii-toujours
quelque chose du genre : « pour tous nœuds x et y, à cause de la limitation aux formules du premier
il existe des nœuds z 1, z2, ... ,zn tels que le nœud x ordre- ne permet pas de retrouver le résultat
est lié au nœud z et le nœud z est lié au nœud z démontré en 1976 parE. Wright qu'à l'infini tout
1 1 2
et ... le nœud zn est lié au nœud y.» graphe est hamiltonien (c'est-à-dire possède un
Les points de suspension qui nous paraissent chemin qui passe une fois et une seule par chaque
clairs ne font pas partie du langage autorisé nœud du graphe). Mieux (ou pire), un résultat de
quand on écrit des formules du premier ordre, et A. Blass et F. Harary montre qu'aucune formule
il n'y a aucun moyen de s'en passer: il n'existe pas du premier ordre n'entraîne la propriété d'être
de formule du premier ordre qui exprime la pro hamiltonien, et donc on ne pourra jamais déduire
priété de connexité. Le théorème de Glebskii ne (comme nous avions pu le faire dans le cas de la
permet donc pas de traiter directement laques connexité) la propriété de Wright du résultat de
tion de la connexité. Nous avons vu que cela Glebskii: aussi générale que soit la loi zéro-un de
n'était pas grave, car, en utilisant la propriété Glebskii, elle reste trop limitée, et c'est sans doute
intermédiaire du premier ordre «avoir un dia pourquoi on a cherché, et l'on cherche encore, à
mètre inférieur à 3» qui entraîne «être connexe», l'étendre et à la préciser.La connexité des graphes
a b
A
0
1
ffi
()
~
~ /~
(i /
------------- {fj
D E
1. Probabilité qu'un graphe aléatoire contienne un tri peut ne contenir aucun triangle (b) ou en contenir (c).
angle. On construit des graphes au hasard ayant n nœuds Une des conséquences de la loi zéro-un de Glebskii pour
en procédant comme sur cet exemple où n est égal à 5 (a). les graphes aléatoires est que, lorsque n augmente, la pro
On place les 5 nœuds A, B, C, D, E. Pour chaque couple de portion des graphes qui contiennent un triangle tend
nœuds, on lance une pièce de monnaie. Si on tombe sur vers 0 ou 1 (ici, c'est 1): à l'infini, toute propriété du pre
pile, on relie les deux nœuds, sinon on ne les relie pas. Le mier ordre d'un graphe aléatoire est vraie dans 100 pour
graphe ainsi obtenu est un graphe aléatoire den nœuds. Il cent des cas ou fausse dans 100 pour cent des cas.
8 • I:INTELLIGENCE ET LE CALCUL
étant particulièrement importante (elle s'applique Venons-en maintenant à un résultat empi
à des problèmes concrets comme la propagation rique récent qui agite beaucoup les chercheurs :
des incendies de forêt et l'extension des épidé l'existence d'un phénomène de seuil échappant à
mies), elle avait été étudiée dès 1960 par Paul toutes les généralisations connues de la loi zéro
Erdos et Alfred Renyi, qui avaient alors démontré un dans le problème crucial de la satisfiabilité.
le remarquable résultat suivant : si, lorsque n
tend vers l'infini, on choisit chaque lien d'un
Satisfiabilité d'un ensemble de clauses
graphe à n nœuds avec une probabilité p(n) (à la
place du 1/2 de tout à l'heure) et si le quotient Je vous dis:
p(n)/[log(n) 1 n] tend vers 0 (c'est-à-dire si p(n) 1. Luc est grand ou il porte un bermuda ou
devient négligeable devant [log(n) 1 n]) quand n c'est un enfant.
tend vers l'infini, alors, à l'infini, la connexité est 2. Luc est petit ou il fume.
fausse à 100 pour. cent. 3. Luc est un enfant ou il ne porte pas de ber
Lorsque p(n)/[log(n) 1 n] devient infiniment muda ou il ne fume pas.
grand, en revanche, la connexité est vraie à 100 4. Luc est petit ou est adulte.
pour cent à l'infini. La fonction log(n) 1 n indique 5. Luc est petit ou il porte un bermuda.
donc le seuil de densité de la connexité: au-dessus 6. Luc est grand ou il fume.
de ce seuil, les graphes aléatoires sont d'un seul Est-ce possible? Si oui, que pouvez-vous dire
tenant ; en dessous, ils ne le sont pas. Très concrè de Luc? (le ou utilisé est le ou inclusif: A ou B est
tement, cela signifie que, si vous dessinez un vrai lorsque seul A est vrai, ou lorsque seul B est
graphe de 1 000 nœuds en choisissant au hasard vrai, ou lorsque A et B sont tous deux vrais).
de placer chaque lien possible avec la probabilité p Il s'agit d'un problème de satisfiabilité (on dit
plus grande que 0,7 pour cent (z log1 000/1 000), aussi satisfaisabilité, mais c'est aussi laid et plus
alors votre graphe sera d'un seul tenant. En long), et chaque phrase est appelée une clause.
revanche, si p est inférieur à 0, 7 pour cent, alors Ces ensembles de clauses sont importants en
votre graphe a toutes les chances d'être en informatique : ils sont caractéristiques des diffi
plusieurs morceaux. cultés qu'on rencontre avec les temps de calcul
a b c d
A--
~~
----
'~W ~
1 1 1 1 1
"'--- __:;:;
~
GRAPHE HAM ILT ONI EN
GRAPHE PLANAIRE GRAPHE NON PLANAIRE
e f
GRAPHE 4-COLORIABLE GRAPHE NON 4-COLORIABLE GRAPHE CONNEXE GRAPHE NON CONNEXE
2. Un graphe est planaire (a) s'il peut être dessiné sur le nœud du graphe. Un graphe est 4-co/oriab/e (e) si l'on
plan sans jamais faire se croiser deux arcs. Un graphe peut colorier les nœuds qui le composent en n'utilisant
est non planaire {b) dans le cas contraire, comme dans le que quatre couleurs et sans que deux nœuds liés par un
fameux problème où il s'agit de relier trois maisons aux arc soient coloriés identiquement. Un graphe est connexe
alimentations en gaz, eau et électricité sans que deux (g) si deux nœuds quelconques peuvent toujours être
tuyaux se coupent. Un graphe est hamiltonien (c) s'il reliés l'un à l'autre par un chemin du graphe. A l'infini
existe un chemin (une suite d'arcs) partant d'un point et tout graphe est non-planaire, non 4-coloriable,
y revenant, qui passe une fois exactement par chaque hamiltonien et connexe.
LES LOIS DE TOUT OU RIEN 9
des algorithmes, et de nombreuses questions se
A) ENSEMBLES DE CARACTÉRISTIQUES
ramènent à des ensembles de clauses (comme de G : ÊTRE GRAND ; F : FUMER ; B : PORTER UN BERMUDA ;
nombreux problèmes numériques se ramènent à E : ÊTRE UN ENFANT.
B) ENSEMBLES DE CLAUSES
des systèmes d'équations linéaires).
1) G OU BOUE; 2) NON G OUF; 3) E OU NON BOU NON F;
On sait résoudre un problème de satisfiabi 4) NON G OU NON E ; 5) NON G OU B ; 6) G OU F
lité en essayant tous les cas possibles et en rete C) ARBRE DE TOUS LES CAS POSSIBLES
nant ceux qui rendent vraies toutes les clauses
(on dit «qui satisfont toutes les clauses»), quand
~· ~
on en trouve. Comme les cas sont nombreux, par
ces méthodes énumératives, on ne peut traiter / G 1N ONG
que des problèmes dont le nombre de variables
logiques (être adulte, porter un bermuda, etc.)
B NONB NONB
est limité. On ne sait aujourd'hui résoudre effica 1\ 1\ /\ 1\
cement et avec certitude que les problèmes de
satisfiabilité dont le nombre de variables ne
F NON F F NON F F NON F F NON F
dépasse pas 500. A/\AAAAAA
Voici la solution de notre exemple, qu'on
obtient ici par un raisonnement direct. Si Luc est
grand, alors il fume (d'après 2) et c'est un adulte E NON E E NON E E NON E E NON E E NON E E NON E E NON E E NON E
(d'après 4), donc il ne porte pas de bermuda
(d'après 3), mais alors la clause 5 n'est pas satis D) SOLUTIONS : NON G, B, F, E ; NON G, NON B, F, E.
faite. Donc Luc est petit. Mais alors il fume
(d'après 6). Si Luc est un adulte, on obtient (avec 3. Pour traiter un problème de satisfiabilité d'un ensemble
de clauses, on construit l'arbre de toutes les possibilités
1) qu'il porte un bermuda et (avec 3) qu'il n'en
(chaque branche correspond à une éventualité), puis on
porte pas, ce qui est contradictoire, et donc Luc explore chaque branche en étudiant si elle rend vraies
les clauses. Ici deux branches conviennent. L'idée des
est un enfant. On a obtenu que Luc est un enfant,
algorithmes les plus efficaces n'est que l'amélioration de
petit, qui fume (mais que font ses parents!). On cette méthode: on choisit l'ordre des variables pour
éviter d'explorer entièrement chaque branche.
vérifie que cela suffit pour rendre vraies les six
clauses de l'énoncé; nous ne pouvons donc pas Autrement dit : avant le seuil 1, un ensemble
savoir si Luc porte un bermuda. On dit alors que aléatoire de 2-clauses est très probablement
l'ensemble de six clauses est satisfiable et qu'il satisfiable ; au-delà, il est très probablement
possède deux modèles : dans l'un, Luc est un insat isfiable.
enfant, petit, qui fume et porte un bermuda ; dans
l'autre, Luc est un enfant, petit, qui fume, mais
Le seuil mystérieux à 4,25
qui ne porte pas de bermuda.
Notre exemple est composé de deux clauses à Plus remarquable est le cas des ensembles de
trois morceaux (dénommés 3-clauses) et de 3-clauses. Lorsque l'on considère des ensembles
quatre clauses à deux morceaux (appelées aléatoires de 3-clauses, on constate un phéno
2-clauses). Un remarquable résultat de seuil a mène de seuil du même genre pour la valeur 4,25.
été démontré en 1992 pour les ensembles de Hélas, dans ce cas, on ne sait rien démontrer.
2-clauses (dû indépendamment à V. Chvatal et On a observé que, si le rapport [nombre de
B. Reeb, W. Fenandez de la Vega, et A. Goerdt) : 3-clauses]/[nombre de variables] est supérieur à
lorsque le nombre de variables augmente, si le 4,25, alors l'ensemble de 3-clauses est le plus sou
quotient du nombre de clauses sur le nombre de vent insatisfiable, alors que, si ce même rapport
variables est supérieur à un nombres supérieur à est inférieur à 4,25, l'ensemble de 3-clauses est le
1, alors la proportion de problèmes satisfiables plus souvent satisfiable.
tend vers zéro. Si ce quotient reste inférieur à un Il n'est pas étonnant que plus il y a de
nombre s'lui-même inférieur à 1, alors la propor clauses, plus le nombre de problèmes aléatoires
tion de problèmes satisfiables tend vers un. insatisfiables est grand ; ce qui est étonnant,