Linearna algebra

255 Pages·2008·19.28 MB·Croatian

by  Damir Bakić

UDŽBENSIVCEIU ČIULZ IAŠGTRAE BU
MANUALUINAI VERSSITUTDAITOIRSZU AMG RABIENSIS
Izdavač
Školskknaj igd.ad.,
Masarkyova 2Z8a,rge b
Zai zdavača
AntŽeu župlr,o f.
Urdencia
ŠtefiDcuam ančiPćo ljspkrio,f .
Recenzenti
drs.e I.v icGaus ći
drs.e Z.o raVno ndraček
drs.e M. iro Pkrime
Naslodvinziacjun irala
SnjeGžragnića
© ŠKOLSKAK NJIGdA.d,., Z agreb, 2008.
Nijedido oavnek n jigen es mijes eu množavati,
fotokopirian tin abi lkooj in ačirne producirati
bezn akladnipkisoavnoag d opšutenj.a
Objavljiovvaongsj vee uičšinlougd žbeniokdao brjieSo e nat
Sveučilui šZtaag rebu okdllausk0eo3 m2 -01/0i7u -r0. 1/95
broj3a8 0-02/6od-8 0.tr8a v-nj8a 2 00g8o.din e.
Damir Bakić
Lineaarlngae bra
Zagre2b0,0 8.
Predgovor
Namjmeirj abe i nlaap ipsrkaaittčiua dnž benika llgiensbeardaerr;žn aej no
zaoknr,au lžnieep redruigg;o ,ra olnzieap nrestNraomgi.j ejnej esnt udentima
in astavknaiuocd ižmbaez nasi tka ndjaderndondgiio šikn ujrlsi neaalrgneeb re
uobičnaasj tejundum i atemaifit ziiknkeape r eddiprlaozmisnkio.j
Lineaarlngaej begr raa mnaat ematipkreo ukčvoaejvkaat oprrsoks,et ore
lineoapretnreoai rs eu asvtlei nejaerdnniahKd ožnbkir.re etanlui lzianceiajrun e
algenbarlea zuai nmaol igteiočmkjeoiotj,dr niousp nrooo srtikmlaa osrai ­jenti
ranih dduvjžieii ndtair miue nTzipij reo.s ptroerdvilsa jtjiaus hodtioščunk uu
izgroapdćtneejj oiver e iktoprrsoksiitlh oi rnaeo aprenriahSt voorpjaoe.oe pnć,j e
pakl,i neaalrgneab ra naolpaeztrioa rifu uan ktceiooraninajaliln iozji .
Vektorskiig urpj ardejonsoutd co ernit ruallonugmi aoh d ermnaotje ma­
ticSit.o lgiarn neaaal gebra naplraizmiju ed nšruiu rgmoiakmtu e matičkim
disciplJiendanemakakes.onti zvanp rimjjeesne lj iuneaalrgneaib drura u gim
pridrnoiatm eud ruštzvnennaotisimm Ua s.v ipmr jinemamsale idsjieu o snovi
isotbir adzaanpcir:l o ebkmo inj jimeo gudćier eikletikn sop lriicjinetasštniooitj i
se" lineart.ija zpirroaktsini"em,ki liriman teia prrnoibml ekmoosjmeiz atim
rješmaetvoamd aal ineaalrgne.eb re
Svrjheoa v ougd žbepnriikkagaz laatvrine eza utlleit neaalrgneueb roep ­
seguuk ojseemo vtae oruiojbai čiazjlesantžoue d enptrivgemo ad isnteju dai
matemaItp ionk aeč.ii nzul agipa oin zjbam oartue rpirjeaploćaz en dasatje e
udžbpeonainjkpe nr aimjeijnjnem atematiNčaaproikgmolana.,v m naitneur ijala
ič ibniel jsep šrkeveda ankjoajs aad mr žsatou depnrtvigemo ad miantee matike
ifi zinkaPe M F-Suv eučuiZ laigšrtteaib jue kom poslgjoedadi.nn jih desetak
Ip,ao kdč ittleajsaen ez ahtinjiekavkapa soveobp nroe dznpaodnrjaez;u ­
mijesvetka ep ozvnaaenu jobiečnmaeaj temantoitčakicve il jajedeo as nnovnim
elemenntaniiemvt oaer jiesk upiom vaat emaltoigčiSkkteeo v.gj ae rduajć eem
ovaju džbebniiptkri i stuikp oarčiasn.t �aJn,ujd. ednrtuigpmisoahe ,b pnroi ro­
dosvlnoithe,h niie čkkoinho mfaskkueilt.hta
·
U sadrnžoamsj misuldžueb niskeg ootvpood udasrp ar ograimsoot­m
imenkoogla ez gasi tjudpernvgteoe d ipnree ddipsltoumdsikjoag matematike na
PMF-Meamtatiočdkjoeml u SuvZ eaugčrielbiuš.ti adOa ejs jeinb oivolnda­aa
bramnait jaelor riganikzapoir raiakčttiaie n fi kasaund žb.eZ ntaiosk asmv jesno
izosutvaovdiionaz agl aens jkouvpno-tečoireninjjisscj kaei d,hin n eaprednijih
temsda r usgter aTniide r.u igzio setndaiiv jlejplpoouvmtia temaiti izčvkainh­
(
matematpirjčinkemaip,hvo ijensanpiohm keonmae,n vteazraazn aii zhg radnju
teoriii njdei viddoupnarolispneoej edimnaithe mateikčsatrean,pz oispvain og
literdaettuarsleuji nzeoln oižk lasičsnviemu čiuldižšbneinpmir coifemsao ra
) u
S.K ureipK e.H o rvaUtzit ć,opa o.v ijčeisnnjeieo npiricasez liačsipteikaht a
nastaniik zag raldinjneea alrgneekb aroe moderne matdeamnaatsi čke teorije
suš irdooksot nuapm nnio gobrionjtneirmn etskiemn csitkrlaonpiecdaimjas ke
oriajceein.jt
vi Prdegoovr
Matearjlioe rgj anizianr nas ljedeći ančinU.v odnpoo glavljej eu i zvjesnom
smislpuro log:u n jesmepuri akzujep rostorr adivjektoras n amjerom das ep re­
ponzai u svojik oncept vektorspkroogs torNaa.g lasazka ton ijnea potpunosti
v stm V2(0iV) 3 (0U).ra
izlaganvjeać,n as truktusronjimvi a prostora p vo
radlia kšegu viud sat rukotdluurčsiuoam zao glednip rimjer vektorskog pros­
toruaz etprio storr adijvektora,a nemn ogoso fisticiranijii k orisniji( atlhein ički
zamršeniji)p rostkolras ao rijentiranihd užiVn3a." Dupgr"e map rostoVr3u
vraćjeeu nD o datkun akr ajud roupgogg lavlja.
Ud rugompo glavljuu vedejne p ojavme ktorspkroogs tonar aap starktnoj
razitneis uo brađene standtameredp npoeub ta ,zd eiemnezp,ioj tsptraoo.r
Trećpeo glavjlejp oes većeno matricU anmjeam.us un avedied noik azani
klasteiočrenmoiim a triamcai determinantama.
Četvrtop oglavljes ei zravnnaod ovezujen a prethodno i sadcrjžeil ovitu
diskusiju o sustavliinemarani h jednadžbi. Susvtilna iearjendniadhž bniis u
samou niverzzaadlanćakao jas ep rriodjnavolja unutarli nearne algebre iu
njezinimp rjinemamoan;si uu i zvjesnom smisils au dražjanj ezgrat eorij.eN a
primjteeruk, p roučavanjus ustavprair odno sneam ećpeo trebzaa u vođenjem
(Dojker elaltaikvon o
ip roučavavnišjeedimm enzionvaelkntiohr spkriohs tora
akceptipraottir ezbapu r oučavanjem vektorskogp rostorad imenzije4 u,vo đenje
prostoprrao izvoldjinem enjzekria jnjjee n eintutivino.).S lično,t ekp rip ro­uča
vansjusut alvinaea rnihj ednadžibmia mop riliku vidjetit eoro reanmg uid efektu
nad jelu.U tosmm islpuo,zi cioniranje poglavol jussata vmia lineajrendinha džbi
(poan da,p osljedična,ip oglvlaaj o matricmaa id eterminuai nztlnaaujmg aa)
linealagerbrenu evij ekj deel ikatpnoi t.aO nvjdesjemi ozg rateodrinjej zaup očeli
purčoavapastnrktanjih evemkt orspkroishto rat er azvojpeomt rebntoehgn ičkog
aparataT.e kt adsauo brađseunsitl ainveiar jneidhn adžab iu,n jihovom tret­
mansuu b itknoroiš etnir eztuiil ztpr aethodnih davju poglavlja. Dosljedna
provoevadkvbogap ruipvsjearotj atno bip oradzumdiasje p erijev sausltaav a
izliou vžoed npoag alvlja teoeor pirejatotriamb;ies es vrie zautolir t ješivosti
ir ješavasunsjtauva linearnih jeddonbaildijž obšiel egnatnije.T akavb ii zbor,
međutim,t eoridjaoi j ošn aglašeniapjsutr aktnu (mogućeip reapstrnaoktut.n u)
Zbogt ogaa iz, at oš tjoe p ogodnroa dvi jeižj beširaa nvjpaar ktinčihpr oble­
mas ustlianevaneri hjed naždbio bračdiipmtri jie, p oglavlje o sustaivaipkma
pretdhisokudsijiio operatorima.
Petop oglavljeje u cijelsotip osvećenol inearnoipme ratoriim raepd tsavjla
centarlnid io izložneogm aterjaial. Poglavljez avršarveal atiovpnšoi rniizml a­
ganjme o spektru,s vojtsevnim iin varijantnim potprostortiems a vojstvenom
polnoimu.
glvje standardnog
Posljednšjees,tp oo al sadržapvrae gled materoi kjo­ala
načnodimeonnzailniumn itarnpiromst orima.O sobjitneao lg ašneau logaG ram­
Schmidtopvoas tupokrat ogonalizUavcrišjtee.jne o i n ekoltiipkinočih prmijena,
popQuRtf atokrizacije matrpircboel,en maabj oela jprokseti emp arciibjližnog
rješavanja suasvatl inejaedrnandibži.h
Predgovor vii
Svakpoo gvllezaj avvraoš dagovarsakjuupzćoaimdm a traakzalp iirčr­iote
deNeksiuo dn jsiahs vthienmi i,čd krugik asvolj uežažebp as tnroarge zoni­
. kt
rajna, tuer ćismeuav odneoi v opjmioi vlnia vondoevč neij ecen. iSvsiuz adaci
odbarnaii zo binlenfoer maarlvhnezie a daaktpar ijkneuep lPnMaF -Mat­ema
tičkoojdlmeu Sv eučiul ZiašgtraeO bnuas. e tsoaojsdim nošptrviaem rjsa
auditvoejžrbniti eih s npiiiht o olkkvijksizha dataa knaas,jt aedlu ag oišgnjiomd
radobmrjn oisha daihšn bjivi šiashie sntaak toijs upr oetkilhd esljećetav odili
vjžebiezk oleLgieianrjnaaa lgraeb
.
Nemogjuemć aet emattoeirjčiuku u p otpusnvolsatbdizea t teirs atnija
našergau mzjievnaajk rorezjša vnjaez atdaak.aZ atsoae vtjeumjč itatdeal jima
pokušsaajmuao lsnrtioj teniša ivedzeantdeeka.U v rštzeandeat trkesebh av atiti
kaion tegdritaoels kanti.
Ovajje udžbenuzip kto pnomasrotuhja k ioo lesgtau diei nn aai tzvara an
potiucraneji ce kjnzi,ig đe DumanćPč oljUs rkaiz.l ičitim
d u Školskoj Štefice i
fazamnaas tadnikelojav er upkisoač itsauidl aikl oir iospnaseikp er ijedloge moji
koglese P MF-MatemotjdilečaSvk eougč ilZigašrtenaba uč emium s rdačno
u
zahuvaejlmj.P osezbhanvoau ejlmjd o.cd rL.ji alnijA rambkašaiioćr eecnzen­
timpar,.o dfrI.v iGcuisću i,p rodfrM..i rkPrui micp ur odfrZ..o raVnoun ­
dračneabk runo ijkmo ripsrnjiidemmb amisa u gestUinjaajpmerazadi.vh aluj
­
jme i skvoiićj mema eu poiztnoiarg reišlkdiea ptriim ejdbike o mentare.
DamBiark ić
U Zageruožuj2a00k8 .
b,
Sadržaj
Popiosz naka 1
1.U vod 3
1.1R.a dijverkatvon.ri in .i . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . .
u
1.V2e.k toprrsoksVi3t( o0r). . . . ... . . . ... . .. .. . .. 1 . 5 .
1.3V.e ktoirtnsekrap jraes tuaasvtclaii rnnejiadhen adsžd bveii tjir i
neopzna.n ice 19
1.4Z.a da..c i . . 23
2.V ektorspkrio stori 24
2.1P.oa jmv ektoprrsoksotgo ra 24
2.2B.a zida i mean zij 33
2.3P.o tpr.o s.t o.r . . . . . . 49
2.4Z.a d.a. c i. . . . . . . . . 67
Dodtaakv:e ktoprrsoksVi3t or 71
3.
Matrice 73
Operaec misaj tricama 73
31..
Deetrminanta 80
3.2.
Rang 101
3.3. .
3.4Z.a da.c i. . . 117
4.S ustavlii nearjneidhn adžbi 122
4.1Rj. eivo it rukrtas kurpejašj ea.n 122
š sts u
4.2G.a usmsetoovdeaal imei nacij 126
4.3Z.a da.c i. . . . . . . . . . 13.2 .
5.L inearni operatori 135
5.1.O sonvnas tsalvv ionjeoaprentrioah.r a 136
5.2P.r oosrlt ineoaperrnaitho .r a. . 149
.
5.3D.ul anpir os.t or. . . . . . . . .1 52.
5.4M.a trziačpnliiis n eaorpneorga tora 159
5.5.S pekatr 170
5.6Z.da ac.i. . . . . . . . . . 1.8 8. . .
.
Predgovor
x
6.U nitarpnrio stori 195
6.1O.r togon.a l.n os.t . . . . . . . . .
198
62..O peorranitau nitaprrnoismt orima 218
6.3Z.da cai. . . . . . . 236
. . . . . . . . .
Literatura 241
Kazalpoo jmova 243
Životopis 247