Table Of Content

* LINEÁRIS ALGEBRA Irta: do.£e4Xold Mnlen egyeteal adjunktus 1992 Változatlan utánnyomás: 15/2007 Kiadja a Pannon Egyetemi Kiadó 8200 Veszprém, Egyetem u. 10. Pf.: 158. Telefon/fax: 88/422-022/4133 Drótposta: [email protected] http://www. vein.hu/kiado Felelős kiadó: Egyházy Tibomé dr. a Pannon Egyetemi Kiadó vezetője Készült B5 formában, 10,6 (A/5) ív teηedelemben a Veszprémi Egyetem nyomdájában Műszaki vezető: Szabó László VE 76/1993 TARTALOMJEGYZÉK Oldal 1. AZ Rn VEKTORTÉR...................................................................................................... 3 Rendezett szám n-esek, műveletek............................................................... 3 Lineáris függetlenség, függőség, rang . ✓...................................................... 5 Generátorrendszer, bázis, dimenzió................................................................ 10 Altér, generátum, dlrekt összeg....................................................................... 18 2. Rn -> Rn TÍPUSÚ LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK, nxm -ES MÁTRIXOK.................... 24 Lineáris leképezések, mátrixok......................................................................... 24 Lineáris leképezés mátrixa .................................................................................. 26 Műveletek lineáris leképezésekkel, mátrixokkal ....................................... 30 Lineáris leképezés és mátrix rangja......................... 41 Lineáris transzformáció és kvadratikus mátlrx Inverze........................ 42 Áttérés új bázisra................................................................................................... 47 Lineáris egyenletrendszerek................................................ 51 Négyzetes mátrix és lineáris transzformáció determinánsa.................. 58 3. ABSZTRAKT VEKTORTEREK............................................................................................. 70 A vektortér fogalmának általánosítása.......................................................... 70 V -* W típusú lineáris leképezések................................................................ 78 4. SKALÁRIS SZORZATOS VEKTORTEREK............................................................................ 84 Skaláris szorzatok .............................................................................................. 84 Skaláris szorzatos terek tulajdonságai...................................................... 88 Ortogonal 1 tás............................................................................................................... 93 5. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK SZERKEZETE................................................................. 104 Dl agonal Ízál hatóság, sajátérték, sajátvektor........................................... 104 Sajátérték, sajátvektor meghatározása.......................................................... 108 Skaláris szorzatos terek lineáris transzformációinak dlagonalÍzálhatósága ............................................................................................... 114 - 3 - 1. AZ Rn VEKTORTÉR Rendezett szám n-esek, műveletek Jelölések: R valós számok halmaza N = {0,1,2,...} természetes számok halmaza n := <1,2..........n), ahol n € N, n > 0. 1.1. Definíció. Az f: n -> R, 1h>×i típusú függvényeket valós számokból képzett rendezett n-eseknek nevezzük, és (x , x.........x ) -nel jelöljük, x -t a rendezett n-es 1-dik komponensének hívjuk. Rn Jelöli a valós számokból képzett rendezett n-esek halmazát. 1.2. Állítás. Legyen x,y € Rn. x = y *→ xj = y , i = l,2,...,n. Bizonyítás: Következik abból, hogy két függvény pontosan akkor egyenlő, ha értel mezési tartományuk megegyezik, és bármely értelmezési tartománybei 1 elemhez a függvények által hozzárendelt képelemek egyenlőek. 1.3. Definíció. Legyen x = (x.........,x ), y = (y.,... ,y ) 6 Rn, A € R. In In Az x és y rendezett n-esek összege: x÷y := (x1÷y1. x2÷y2...........xn÷yj. Az x rendezett n-es X-szorosa: λ∙x := (Xx , Xx , ..., Xx ). 12 n Megjegyzés. A rendezett n-esek körében értelmezett fenti két művelet az analízis ből ismeretes (függvények összeadására és skalárral való szorzására vonat kozó) ún. pontonkénti művelet. - 4 ~ Példa. χ := (-2, 5, 4, 0, -3) y := (1. 3, 0, -2, 7) Ekkor: x+y = (-1, 8, 4, -2, 4) 3x = (-6, 15, 12, 0, -9) 2x-y = 2x+(-l)y = (-5, 7, 8, 2, -13). 1.4. Állítás. Az (Rn, +, •) struktúra alaptulajdonságai Bármely a,b,c e Rn, λ,μ ∈ R esetén: (VI) a+b = b+a (V2) (a+b)+c = a+íb+c) (VζJ) létezik olyan o ∈ Rn elem, melyre minden a € Rn esetén a+o = a. ∕o -t Rn nulleiemének hívjuk./ (V4) Minden a e Rn -hez létezik olyan a’ € Rn, hogy a+a’ = o. /a’ -t az "a" elem ellentettjének nevezzük./ (V5) λ(a+b) = λa+λb (V6) λ(μa) = (λμ)a (V7) (λ+μ)a = λa+μa (V8) l-a = a . Bizonyítás: Használjuk fel a rendezett n-esek összegének 111. skalárszorosának ér telmezését és a valós számok közötti műveletek tulajdonságait! Rn nulleleme: o = (0,0,...,0), az a = (a ,a , ...,a ) elem ellentettje az 12 n a’ = (-a ,-a ,...,-a ) elem. 12 n Megjegyzés. Mivel az (Rn, +, •) struktúra rendelkezik a vektorterekre Jellemző (V1)-(V8) tulajdonságokkal (ld. később!), Rn -t (n-dlmenziós valós) vektortérnek, vagy (n-dlmenziós valós) koordinátatérnek, elemeit n-dlmenziós vektoroknak is nevezzük. - 5 - 1.5. Definíció. Legyen a ,.. . , a € Rn, λ.........λ e R. 1 k 1 k A λ a +λ a +... +λ a vektort az a.........a vektorok λ ,... , λ skalárok- 1122 kk l k l k kai vett lineáris kombinációjának nevezzük. Ha λj = λg = ... = λfc = 0, akkor a lineáris kombinációt triviálisnak nevezzük. Megjegyzések. (1) Legyen H c Rn. H-beli elemek lineáris kombinációja a kővetkezőt Jelenti: tetszőlegesen kiválasztott véges sok H-beli vektorból képzett lineáris kombináció. (2) Triviális lineáris kombináció nullvektort ad. Másrészt, a nullvektor minden H c Rn vektorhalmazból kombinálható lineárisan (esetleg nem triviálisan is!). Példák. (1) Az a = (-5,0,1), aβ ■ (3,4,-2), a « (-1,1,1) vektoroknak a 12 3 -1,2,1 skalárokkal vett lineáris kombinációja: (-1)•(-5,0,1) * 2∙(3,4,-2) + 1∙ (-1,1,1) - (10,9,-4) (2) Az a1 = (“2,1,3) és ag = (1,0,1) vektorokból a o € R3 vektor csak triviálisan állítható elő: 0∙⅛1 + 0∙a2 = (0,0,0). A v = (5,-2,3) és vg = (-10,4,-6) vektorokból R3 nulleleme nem triviálisan is előállítható: 2vj + lvg = (0,0,0). Lineáris függetlenség, függőség, rang 1.6. Definíció. * 1 Az a.........a vektorok lineárisan összefüggők, ha belőlük a null vektor 1 k---------------------------------------------- nem triviális lineáris kombinációval előállítható. Ellenkező esetben a vek torokat lineárisan függetleneknek nevezzük. Egy vektorhalmaz lineárisan független, ha minden véges részhalmaza ilyen, ellenkező esetben pedig lineárisan összefüggő. - 6 - 1.7. Megjegyzések. (1) Null vektort tartalmazó vektorhalmaz lineárisan összefüggő. (2) Egy egyelemű vektorhalmaz pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha az egyetlen eleme nullvektor. (3) Lineárisan független vektorok részhalmaza Is lineárisan független. (4) Lineárisan összefüggő vektorokhoz további vektorokat véve is lineárisan összefüggő vektorhalmazt kapunk. (5) Az üres halmaz lineárisan független. Példák. (1) Tudva, hogy R2 elemei a sik helyvektoraival azonosíthatók, könnyen belátható, hogy R2-ben két vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha egy egyenesre esik. Bármely három vagy annál több elemből álló vektorhalmaz R -ben lineárisan összefüggő. (2) Hasonlóan, R elemeit a tér helyvektoraival azonosítva, megállapíthat juk, hogy két 111. három vektor pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha egy egyenesen 111. egy síkban helyezkedik el. R -bán a négy vagy annál több elemből álló vektorhalmazok lineárisan összefüggők. 1.8. Állítás. Az a , ...,a vektorok pontosan akkor lineárisan összefüggők, ha vala melyikük előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként. Bizonyítás. 1./ Tegyük fel, hogy az a , ...,a vektorok lineárisan összefüggők. Ekkor létezik olyan lineáris kombináció, melyre: λ a + ... + λ a = o, és létezik 1: A *0. 11 k k 1 - 7 - λ Így a = - a - 1 azaz a előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként. i 2./ Tegyük fel, hogy valamelyik vektor (legyen pl. aj) előáll a többi vektor lineáris kombinác1ójaként: a1 aιaι + a 1-1 a1-1 ♦ a Hl a 1*1 + .. + ak a k . Ekkor: o a a + .. + α a + (-l)∙aι + a a_ * ... + a a , 1 1 1-1 1-1 1*1 Hl k k azaz a nullvektor előáll az a ,... ,a vektorok nem triviális lineáris 1 k kombinációjaként, Így lineárisan összefüggő. 1.9. Állítás. Egy H c Rn vektorhalmaz pontosan akkor lineárisan független, ha a vektortér bármely vektora legfeljebb egy féle képpen állítható elő H-beli elemek lineáris kombinációjaként. Bizonyítás: arra az esetre, ha H = {vj.........vfc} véges. 1/ . Legyenek a v.........vfc vektorok lineárisan függetlenek. Indirekt módon tegyük fel, hogy az x vektor két féle képpen is előáll v^.........Vk lineáris kombinációjaként: x=αv+...+αv (1) 11 k k × = β1vι + ... ♦ βkvk (2) (-bl)ől kivonva (2)-t: o = (a -β )v + ... + (a-βu)v 111 k k k Mivel v.........vfc lineárisan függetlenek, belőlük a null vek tor csak triviálisan állítható elő, így « -βl =0, 1=1..........k a ≡ β , i = 1,. .., k , azaz az x vektor kétféle előállítása ugyanaz. - 8 - 2./ Ha a vektortér bármely eleme legfeljebb egy féle képpen állítható elő a .........vektorokból, akkor a null vektor előállítása Is csak egy féle képpen - mégpedig triviálisan - történhet, azaz vι,... , V lineárisan k független. A bizonyítás hasonló akkor is, ha H nem véges. 1.10. Definíció. Legyen H c Rn. A H vektorhalmaz rangja r, ha H elemeiből kiválasztható r db lineárisan független vektor, de bármely r+1 db vektor már lineárisan összefüggő. Jelölés: r(H). Megjegyzés. Ha H = (o), akkor r(H) = 0. Ha H tartalmaz legalább egy o -tói különböző elemet, akkor r(H) t 1. Példa. V := (4,2,0) 1 V := (1,0,-1) 2 V := (5,2,3) 3 V := (-2,5,7) H :« <v^v_,v ,v > c R3 « 1 2 3 4 A H halmaz elemeit vizsgálva, a lineáris függetlenség definícióját alkalmazva könnyen ellenőrizhetjük, hogy pl. a v ,v ,v vektorok lineárisan 12 3 függetlenek. Ugyanis a A v + A v + A v = o vektoregyenlet a következő, komponensekre 11 ZZ 3 3 felírt egyenlőség-rendszerrel ekvivalens: 4A + A + 5A = 0 1 2 3 2A + 2A = 0 1 3 - A + 3A = 0 2 3 A fenti egyenletrendszernek egyetlen megoldása van a A ismeretlenekre: A = A = A =0 12 3 vagyis a v1∙v2∙v3 vektorokból a nullvektor csak triviálisan állítható elő, így ezek a vektorok lineárisan függetlenek.