Table Of Content

© Typotex Kiadó Lineáris algebra www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó V. V. Praszolov Lineáris algebra TypoTEX 2005 www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó A mű eredeti címe: Problems and Theorems in Linear Algebra c American Mathematical Society, 1994 (cid:0) A könyv az támogatásával a Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyv- támogatási Pályázat keretében jelent meg. Hungarian translation c Csaba Ferenc, Typotex, 2005 (cid:0) Lektorálta: Uhrin Béla ISBN 963 9548 51 0 Témakör: algebra,elméleti matematika KedvesOlvasó! Önre gondoltunk, amikor a könyv előkészítésén munkálkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra fűzhetjük, ha belép a Typoklubba, ahonnan értesülhet új kiadványa- inkról,akcióinkról, programjainkról, ésamelyet awww.typotex.hu címen érhet el. Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hibajegyzéket is, mert sajnos hibák olykor előfordulnak. KiadjaaTypotexkiadó,az1795-benalapított MagyarKönyvkiadókésKönyvter- jesztők Egyesülésének tagja. Felelős kiadó: Votisky Zsuzsa Műszaki szerkesztő: Csaba Ferenc Terjedelem: 17,8 (A/5) ív Készült a Naszály Print Kft. nyomdájában Felelős vezető: Hemela Mihályné www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó Tartalom Előszó vii Jelölések, elnevezések ix I. Determinánsok 1 1. A determinánsok elemi tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Aldeterminánsok, kofaktorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. A Schur-komplemens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Szimmetrikus függvények, hatványösszegek,Bernoulli-számok 21 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II. Vektorterek 36 5. Duális tér. Ortogonális komplementer . . . . . . . . . . . . . 39 6. Lineáris leképezés kép- és magtere. Faktortér . . . . . . . . . 44 7. Vektortér bázisa. Lineáris függetlenség . . . . . . . . . . . . . 48 8. Mátrix rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9. Alterek. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció . . . . . . . . . 54 10. Komplexesítés és valósítás. Unitér terek . . . . . . . . . . . . 58 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 III. Kanonikus alakok 65 11. Lineáris leképezés nyoma és sajátértékei . . . . . . . . . . . . 65 12. A Jordan-féle normálalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13. A minimál- és a karakterisztikus polinom . . . . . . . . . . . 80 14. A Frobenius-féle kanonikus alak . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 15. A főátló átalakításai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 16. A poláris felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 17. További speciális felbontások . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 18. A Smith-féle normálalak.Elemi osztók . . . . . . . . . . . . . 92 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 IV. Speciális mátrixok 100 19. Szimmetrikus és Hermite-féle mátrixok . . . . . . . . . . . . . 100 20. Két Hermite-féle forma szimultán diagonalizációja . . . . . . 105 21. Ferdén szimmetrikus mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó 22. Ortogonális mátrixok. A Cayley-transzformáció . . . . . . . . 110 23. Normális mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 24. Nilpotens mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 25. Projekciók. Idempotens mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . 116 26. Involúciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 V. Multilineáris algebra 128 27. Multilineáris leképezések és tenzorszorzatok . . . . . . . . . . 128 28. Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus tenzorok. . . . . . . . . 133 29. A Pfaff-polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 30. Felbontható tenzorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 31. Tenzor rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 32. Tenzorszorzatoklineáris transzformációi . . . . . . . . . . . . 150 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 VI. Mátrixegyenlőtlenségek 157 33. Szimmetrikus és Hermite-féle mátrixok . . . . . . . . . . . . . 157 34. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . 162 35. Mátrixnormákra vonatkozó egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . 165 36. A Schur-komplemens és az Hadamard-szorzat. Emily Haynsworthtételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 37. Nemnegatív mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 38. Duplán sztochasztikus mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 VII.Mátrixok az algebrában és az analízisben 186 39. Kommutáló mátrixok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 40. Kommutátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 41. Kvaterniók és Cayley-számok.Clifford-algebrák . . . . . . . . 194 42. Mátrixalgebrák reprezentációja . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 43. A rezultáns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 44. Az általánosított inverz mátrix. Mátrixegyenletek . . . . . . . 212 45. Hankel-mátrixok és racionális függvények . . . . . . . . . . . 217 46. Mátrixfüggvények.Mátrixok differenciálása . . . . . . . . . . 218 47. Lax-párok és integrálható rendszerek . . . . . . . . . . . . . . 221 48. Adott sajátértékekkelrendelkező mátrixok . . . . . . . . . . . 225 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Appendix 236 Irodalom 241 Név- és tárgymutató 244 www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó Előszó Számos lineáris algebrával foglalkozó könyv van forgalomban, és közöttük nem egy igazán kiváló is akad. Azt gondolhatnánk, hogy a tárgyról már feleslegesújabbkönyvetírni.Kisséóvatosabbanfogalmazva:meglehet,hogy ezekből a könyvekből mindenki megtudhat mindent, ami csak érdekli, és hogy az újabb könyvek csupán a régi, jól ismert eredményeket ismételgeti Ez nyilvánvaló tévedés, bármilyen gyakrantalálkozunk is vele. A lineáris algebraterületén is időrőlidőre új eredmények,a régitételekre pedig egyszerűbb és elegánsabb bizonyítások születnek. A régi kézikönyvek- ből ezenfelül számos olyan, a hőskorból származó tétel hiányzik, amely ma is méltán tarthat igényt az érdeklődésünkre. Ebben a könyvbenazokatatételeket ésfeladatokatpróbáltamösszegyűj- teni, amelyek megértése, illetve megoldása egyetlen matematikára szakoso- dott hallgató számára sem lehetetlen. A könyvbena lineáris algebraszámításiaspektusainémileg háttérbe szo- rultak.Akönyvjelentősrészétolyaneredményekbemutatásánakszenteltem, amelyek ezidáig kizárólag szakfolyóiratokbanjelentek meg, de meggyőződé- sem, hogy méltóak a szélesebb olvasóközönségfigyelmére is. Feltételezem,hogyazOlvasóismerialineárisalgebraalapfogalmait:tudja, hogy mi egy mátrix, egy vektortér, egy bázis, egy lineáris leképezés és egy determináns. Ezektől eltekintve a szokásos kurzusokon tárgyalt valamennyi definícióéstétel–bizonyítássalegyütt–helyetkapakönyvben,sőtamaguk helyén az ismertnek tekintett fogalmakatés eredményeketis összefoglaltam. Külön hangsúlyt helyeztem arra, hogy az ismert tételek újabb keletű, nem szokványos,deannálelegánsabbbizonyításaitismertessemmegazOlvasóval. A könyv kizárólag véges dimenziós vektorterek elméletével foglalkozik. Többnyire valós vagy komplex vektorterekrőllesz szó, de alkalmanként a véges karakterisztikájútestek fölötti vektorterek is előkerülnek. A hivatkozások könnyen azonosíthatók: 36.2. a 36. szakasz 2. pontjára utal; a 36.2.feladat a 36.szakasz 2.feladata, a 36.2.2.Tétel a 36. szakasz2. pontjában szereplő második tétel. Köszönetnyilvánítás:AkönyvanyagaaMoszkvaiFüggetlenEgyetemen, az1991/92-estanévbentartottelőadásaimatölelifel.Akurzusrésztvevőinek hasznos megjegyzéseikért, a kézirathoz fűzött értékes javaslataikért D.V. www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó viii ELŐSZÓ Beklemisevnek, D.B. Fuchsnak, A.I. Kosztrikinnek, V.S. Retaknak, A.N. Rudakovnak és A.P. Veszelovnak tartozom köszönettel. Az 1996-osmásodik kiadás újdonsága – néhány apró hiba kijavításán túl – a lineáris leképezéspárokra vonatkozó Kronecker-tételbizonyítását tartal- mazó 12.6. pont. www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó Jelölések, elnevezések (cid:1)(cid:0)(cid:0) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:0)(cid:0) egy oszlopbólés sorbólálló(„ -es”)mátrix; (cid:0)(cid:0) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:1) az (cid:1)(cid:1)-e(cid:0)s n(cid:2)é(cid:2)g(cid:2)yze(cid:1)t(cid:1)es(cid:0)mátrixokat -ed rendű mátrixnak nevezzük; (cid:4)(cid:1)(cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:1)(a félreérthetőség elkerülése végett alkalmanként: ) a mátrix - edi(cid:1)k(cid:2)(cid:3)soraés -edikoszlopametszéspontjábanállóeleme (az(cid:1)(cid:2)(cid:4)-(cid:3)ediksor -edi(cid:5)k eleme); (cid:6) (cid:5) (cid:6) szintén az mátrixot jelöli; (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:0) az mátrixot jelöli, ahol ; (cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:5) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:7) (cid:5)(cid:8)(cid:6) (cid:4) (cid:2) (cid:2) és egyaránt az m(cid:3)átrix(cid:3)determinánsát jelöli; (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:1)(cid:0)(cid:2)(cid:8) (cid:0) (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:0) az(cid:4) (cid:4) mátrix determinánsa; (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:5) (cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:5) (cid:4) (cid:4)az a (cid:2)mát(cid:2)rix, amelynek egyetlen nemnulla eleme van: az -edik sor és a (cid:9)-e(cid:2)d(cid:3)ik oszlop metszéspontjában álló 1; (cid:5) (cid:6) az -es és az -s mátrix szorzata: az a -s (cid:0)(cid:10) (cid:7) (cid:4) (cid:0) (cid:4) (cid:11) (cid:10) (cid:7) (cid:11) (cid:1)(cid:12)(cid:2)(cid:3)(cid:2) mátrix, amel(cid:1)yben (cid:0) (cid:1), tehát az mátrix -edik so(cid:1)ránakés a (cid:12)(cid:2)(cid:6) (cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:3)(cid:6) (cid:12)(cid:2)(cid:6) (cid:0) (cid:5) mátrix -adik oszlopá(cid:3)n(cid:1)a(cid:0)k skaláris szorzata; (cid:10) (cid:14) (cid:4) az az -es diagonális mátrix, amelyben , a töb(cid:3)b(cid:6)i(cid:7)(cid:8)(f(cid:1)ő(cid:15)á(cid:0)t(cid:8)ló(cid:2)n(cid:2)(cid:2)k(cid:8)(cid:15)ív(cid:0)ü(cid:2)li) elem(cid:4)ped(cid:4)ig 0; (cid:1)(cid:2)(cid:2) (cid:0) (cid:15)(cid:2) (cid:1) az egységmátrix (vagy identitásmátrix); ha szükséges, az(cid:16) (cid:0) (cid:3)(cid:6)-(cid:7)e(cid:8)s(cid:1)e(cid:9)g(cid:8)y(cid:2)s(cid:2)é(cid:2)g(cid:8)m(cid:9)(cid:2)átrixot jelöli; (cid:4) (cid:4) (cid:16)(cid:0) az(cid:1) alakú mátrixokat, ahol egy szám, skaláris mátrixnak nevezzük; (cid:1)(cid:16) (cid:1) az mátrix transzponáltja, , ahol ; (cid:7) (cid:7) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:0)(cid:1)(cid:3)(cid:2) az mátrix konjugáltja; , ahol ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:3) jelöli az mátrixot; (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:0) www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics © Typotex Kiadó x JELÖLÉSEK,ELNEVEZÉSEK az számoknak az a permutációja, amelyre (cid:9) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:4) (cid:17) (cid:0) (cid:9)(cid:8)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:8)(cid:4) (cid:14)(cid:0) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:14)(cid:0) (cid:5); az (cid:6) permutációt , az halmaz (cid:9) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:4) (cid:17)(cid:1)(cid:5)(cid:2) (cid:0) (cid:14)(cid:2) (cid:1)(cid:14)(cid:0)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:14)(cid:0)(cid:2) (cid:9)(cid:8)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:8)(cid:4) összes permutác(cid:14)ió(cid:0)ján(cid:2)a(cid:2)(cid:2)k h(cid:14)a(cid:0)lmazát jelöli; (cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:18)(cid:0) ha páros, illetve sgn (cid:9)(cid:8) ha (cid:17) páratlan (cid:17) (cid:0) (cid:9)(cid:8) (cid:17) (cid:10) az vektorok által kifeszített vektortér. (cid:7)(cid:7) (cid:11)(cid:12)(cid:7)(cid:13)(cid:1)(cid:19)(cid:0)(cid:8)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:8)(cid:19)(cid:0)(cid:2) (cid:19)(cid:0)(cid:8)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:8)(cid:19)(cid:0) Ha adott a vektortér és a vektortér bázisa, (cid:0) (cid:1) akkoregy (cid:20)-es mátrixn(cid:19)a(cid:0)(cid:8)k(cid:2)a(cid:2)z(cid:2)t(cid:8)(cid:19)a(cid:0)z (cid:21) leké(cid:22)p(cid:0)(cid:8)e(cid:2)z(cid:2)é(cid:2)st(cid:8)(cid:22)fe(cid:1)leltetjük (cid:0) (cid:1) (cid:3) (cid:4) (cid:0) (cid:0)(cid:14)(cid:20) (cid:21) (cid:1) (cid:7)(cid:8) (cid:23).(cid:0) (cid:24).(cid:0) (cid:1)(cid:0).(cid:0) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:0).(cid:0) (cid:23).(cid:0) meg,amelynélaz . vektorképeaz . . . . . . . . . (cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:2) (cid:2) vektor. (cid:23)(cid:0) (cid:24)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:0) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:0) (cid:23)(cid:0) (cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9)(cid:8) (cid:9) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:3)(cid:1) (cid:3) Ekkor (cid:0) , így (cid:0) (cid:1) (cid:0) ; speciálisan (cid:24)(cid:2) (cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:23)(cid:3) (cid:0) (cid:23)(cid:3)(cid:19)(cid:3) (cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:2) ; (cid:3)(cid:1)(cid:0) (cid:10)(cid:3)(cid:1)(cid:0) (cid:11) (cid:2)(cid:1)(cid:0)(cid:3)(cid:1)(cid:0) (cid:0)(cid:19)(cid:3) (cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:22)(cid:2) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:2) A 37.§ kivételével , , , illetve mindenütt azt (cid:4) jelöli, hogya valós szim(cid:0)m(cid:25)et(cid:15)rik(cid:0)us vag(cid:15)y H(cid:0)er(cid:26)m(cid:15)ite-féle (cid:0)mátri(cid:15)x pozitív definit, (cid:9) (cid:3) pozitívszemidefinit,negatívdefinit,illetvenegatívs(cid:0)zemidefinit; jelöli az relációt; a 37.§-ban viszont a fenti jelöléseket így é(cid:0)rt(cid:25)elm(cid:10)ezzük: min(cid:0)den(cid:10) (cid:25)e(cid:15)setén , stb. (cid:7) (cid:5)(cid:8)(cid:6) (cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:25)(cid:15) az halmazszámosságát,tehátaz halmazelemeinekszámát jelö(cid:16)li(cid:7);(cid:17)(cid:3)(cid:27) (cid:27) (cid:27) azt, hogy a vektortér altere, jelöli; (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) jelöliaz leképezésnek(cid:3)a altérrevalóleszűkítését; (cid:0)(cid:8) (cid:0)(cid:14)(cid:20) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:4) a legkisebb felső(cid:7)(cid:8)korlátot (a szuprémumo(cid:3)t) jelöli; (cid:18)(cid:19)(cid:12) mint általában, itt is az egész, a racionális, a valós és a kom(cid:0)p(cid:8)(cid:1)le(cid:8)x(cid:2)s(cid:8)z(cid:3)ám(cid:8)(cid:4)o(cid:8)k(cid:5), a kvaterniók, illetve a Cayley-féle számok halmazát jelöli; jelöli a pozitív egész számok halmazát (a 0 nélkül); (cid:0) (cid:6) ha , illetve (cid:9)(cid:8) más(cid:5)k(cid:0)or(cid:6). Æ(cid:2)(cid:3) (cid:0) (cid:15) A bizo(cid:7)nyítások végét jelzi. (cid:0) www.interkonyv.hu © Praszolov, Viktor Vasziljevics