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Lineáris algebra Freud, Róbert Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra Freud, Róbert Publication date 2014 Szerzői jog © 2014 ELTE Eötvös Kiadó Created by XMLmind XSL-FO Converter. Tartalom BEVEZETÉS ..................................................................................................................................... xi 1. Kiknek ajánljuk a könyvet? .................................................................................................. xi 2. Előismeretek ......................................................................................................................... xi 3. Feladatok .............................................................................................................................. xi 4. Az egyes fejezetek kapcsolata .............................................................................................. xi 5. Technikai tudnivalók ............................................................................................................ xi 6. Stílus ................................................................................................................................... xii 7. Tanácsok ............................................................................................................................. xii 8. Hibák és hiányosságok ....................................................................................................... xiii 9. Köszönetnyilvánítás ........................................................................................................... xiii 1. 1. DETERMINÁNSOK .................................................................................................................. 1 1. 1.1. Permutációk inverziószáma ............................................................................................ 1 1.1. 1.1.1 Definíció .......................................................................................................... 1 1.2. 1.1.2 Definíció .......................................................................................................... 1 1.3. 1.1.3 Tétel ................................................................................................................. 1 1.4. 1.1.4 Tétel ................................................................................................................. 2 2. 1.2. A determináns definíciója .............................................................................................. 3 2.1. 1.2.1 Definíció .......................................................................................................... 3 2.2. 1.2.2 Definíció .......................................................................................................... 4 2.3. 1.2.3 Tétel ................................................................................................................. 5 3. 1.3. Elemi tulajdonságok ....................................................................................................... 7 3.1. 1.3.1 Tétel ................................................................................................................. 7 3.2. 1.3.2 Tétel ................................................................................................................. 7 3.3. 1.3.3 Tétel ................................................................................................................. 7 3.4. 1.3.3 A Tétel ............................................................................................................. 8 3.5. 1.3.4 Tétel ................................................................................................................. 8 3.6. 1.3.5 Tétel ................................................................................................................. 9 3.7. 1.3.6 Tétel ................................................................................................................. 9 4. 1.4. Kifejtés ......................................................................................................................... 11 4.1. 1.4.1 Definíció ........................................................................................................ 11 4.2. 1.4.2 Tétel (Kifejtési tétel) ...................................................................................... 12 4.3. 1.4.3. Tétel (Ferde kifejtés) ..................................................................................... 13 5. 1.5. Vandermonde-determináns .......................................................................................... 15 5.1. 1.5.1 Definíció ........................................................................................................ 15 5.2. 1.5.2 Tétel ............................................................................................................... 15 2. 2. MÁTRIXOK ............................................................................................................................. 18 1. 2.1. Mátrixműveletek .......................................................................................................... 18 1.1. 2.1.1 Definíció ........................................................................................................ 18 1.2. 2.1.2 Definíció ........................................................................................................ 18 1.3. 2.1.3 Tétel ............................................................................................................... 19 1.4. 2.1.4 Definíció ........................................................................................................ 19 1.5. 2.1.5 Tétel ............................................................................................................... 20 1.6. 2.1.6 Definíció ........................................................................................................ 21 1.7. 2.1.7 Definíció ........................................................................................................ 21 2. 2.2. Az n×n-es mátrixok gyűrűje ......................................................................................... 23 2.1. 2.2.1 Tétel ............................................................................................................... 23 2.2. 2.2.2 Tétel ............................................................................................................... 23 2.3. 2.2.3 Lemma ........................................................................................................... 24 2.4. 2.2.4 Tétel (Determinánsok szorzástétele) .............................................................. 24 2.5. 2.2.5 Tétel ............................................................................................................... 24 3. 3. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ................................................................................ 27 1. 3.1. Gauss-kiküszöbölés ...................................................................................................... 27 1.1. 3.1.1 Tétel ............................................................................................................... 30 1.2. 3.1.2 Tétel ............................................................................................................... 31 1.3. 3.1.3 Definíció ........................................................................................................ 31 1.4. 3.1.4 Tétel ............................................................................................................... 31 iii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 1.5. 3.1.5 Definíció ........................................................................................................ 32 2. 3.2. Cramer-szabály ............................................................................................................ 34 2.1. 3.2.1 Tétel (Cramer-szabály) .................................................................................. 34 2.2. 3.2.2 Tétel ............................................................................................................... 35 2.3. 3.2.3 Tétel ............................................................................................................... 36 2.4. 3.2.4 Tétel ............................................................................................................... 36 3. 3.3. Lineáris függetlenség Tk-ban ........................................................................................ 38 3.1. 3.3.1 Definíció ........................................................................................................ 38 3.2. 3.3.2 Definíció ........................................................................................................ 39 3.3. 3.3.3 Definíció ........................................................................................................ 39 3.4. 3.3.4 Tétel ............................................................................................................... 40 3.5. 3.3.5 Tétel ............................................................................................................... 40 4. 3.4. A mátrix rangja ............................................................................................................ 43 4.1. 3.4.1/O Definíció .................................................................................................... 43 4.2. 3.4.1/S Definíció ..................................................................................................... 43 4.3. 3.4.1/D Definíció .................................................................................................... 44 4.4. 3.4.2 Tétel ............................................................................................................... 44 4.5. 3.4.3 Tétel ............................................................................................................... 45 5. 3.5. Reguláris és szinguláris mátrixok ................................................................................ 48 5.1. 3.5.1 Definíció ........................................................................................................ 48 5.2. 3.5.2 Tétel ............................................................................................................... 48 5.3. 3.5.3 Tétel ............................................................................................................... 49 4. 4. VEKTORTEREK ..................................................................................................................... 52 1. 4.1. Vektortér ...................................................................................................................... 52 1.1. 4.1.1 Definíció ........................................................................................................ 52 1.2. 4.1.2 Tétel ............................................................................................................... 54 2. 4.2. Altér ............................................................................................................................. 57 2.1. 4.2.1 Definíció ........................................................................................................ 57 2.2. 4.2.2 Tétel ............................................................................................................... 58 3. 4.3. Generálás ...................................................................................................................... 61 3.1. 4.3.1 Definíció ........................................................................................................ 61 3.2. 4.3.2 Definíció ........................................................................................................ 61 3.3. 4.3.3 Definíció ........................................................................................................ 62 3.4. 4.3.4 Tétel ............................................................................................................... 62 3.5. 4.3.5 Definíció ........................................................................................................ 63 3.6. 4.3.6 Tétel ............................................................................................................... 63 3.7. 4.3.7 Definíció ........................................................................................................ 63 3.8. 4.3.8 Definíció ........................................................................................................ 63 4. 4.4. Lineáris függetlenség ................................................................................................... 66 4.1. 4.4.1 Definíció ........................................................................................................ 66 4.2. 4.4.2 Definíció ........................................................................................................ 66 4.3. 4.4.3 Tétel ............................................................................................................... 66 4.4. 4.4.4 Definíció ........................................................................................................ 67 5. 4.5. Bázis ............................................................................................................................. 69 5.1. 4.5.1 Definíció ........................................................................................................ 69 5.2. 4.5.2 Tétel ............................................................................................................... 69 5.3. 4.5.3 Tétel ............................................................................................................... 69 5.4. 4.5.4 Tétel ............................................................................................................... 69 5.5. 4.5.5 Lemma (Kicserélési tétel) .............................................................................. 70 5.6. 4.5.6 Tétel ............................................................................................................... 71 5.7. 4.5.7 Tétel ............................................................................................................... 71 6. 4.6. Dimenzió ...................................................................................................................... 73 6.1. 4.6.1 Definíció ........................................................................................................ 73 6.2. 4.6.2 Tétel ............................................................................................................... 74 6.3. 4.6.3 Tétel ............................................................................................................... 74 6.4. 4.6.4 Tétel ............................................................................................................... 74 6.5. 4.6.6 Tétel ............................................................................................................... 75 6.6. 4.6.7 Tétel ............................................................................................................... 75 7. 4.7. Koordináták .................................................................................................................. 77 7.1. 4.7.1 Definíció ........................................................................................................ 77 iv Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 5. 5. LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK .................................................................................................... 79 1. 5.1. Lineáris leképezés ........................................................................................................ 79 1.1. 5.1.1 Definíció ........................................................................................................ 79 1.2. 5.1.2 Tétel ............................................................................................................... 79 1.3. 5.1.3 Definíció ........................................................................................................ 79 1.4. 5.1.4 Definíció ........................................................................................................ 80 1.5. 5.1.5 Tétel ............................................................................................................... 80 1.6. 5.1.6 Definíció ........................................................................................................ 81 2. 5.2. Izomorfizmus ............................................................................................................... 83 2.1. 5.2.1 Definíció ........................................................................................................ 83 2.2. 5.2.2 Tétel ............................................................................................................... 83 2.3. 5.2.3 Tétel ............................................................................................................... 84 2.4. 5.2.4 Tétel ............................................................................................................... 84 2.5. 5.2.5 Tétel ............................................................................................................... 84 3. 5.3. Leképezés jellemzése a báziselemek képével .............................................................. 86 3.1. 5.3.1 Tétel ............................................................................................................... 86 4. 5.4. Dimenziótétel ............................................................................................................... 87 4.1. 5.4.1 Tétel ............................................................................................................... 87 4.2. 5.4.2 Tétel ............................................................................................................... 87 5. 5.5. Lineáris leképezések összege és skalárszorosa ............................................................ 88 5.1. 5.5.1 Definíció ........................................................................................................ 88 5.2. 5.5.2 Definíció ........................................................................................................ 89 5.3. 5.5.3 Tétel ............................................................................................................... 89 6. 5.6. Lineáris leképezések szorzása ...................................................................................... 91 6.1. 5.6.1 Definíció ........................................................................................................ 91 6.2. 5.6.2 Tétel ............................................................................................................... 91 6.3. 5.6.3 Tétel ............................................................................................................... 92 6.4. 5.6.4 Tétel ............................................................................................................... 92 6.5. 5.6.5 Definíció ........................................................................................................ 92 6.6. 5.6.6 Tétel ............................................................................................................... 93 6.7. 5.6.7 Tétel ............................................................................................................... 94 7. 5.7. Lineáris leképezés mátrixa ........................................................................................... 97 7.1. 5.7.1 Definíció ........................................................................................................ 97 7.2. 5.7.2 Definíció ........................................................................................................ 97 7.3. 5.7.3 Tétel ............................................................................................................... 98 7.4. 5.7.4 Tétel ............................................................................................................... 98 7.5. 5.7.5 Tétel ............................................................................................................... 99 7.6. 5.7.6 Tétel ............................................................................................................... 99 7.7. 5.7.7 Tétel ............................................................................................................... 99 8. 5.8. Áttérés új bázisra ........................................................................................................ 101 8.1. 5.8.1 Tétel ............................................................................................................. 101 8.2. 5.8.1A Tétel .......................................................................................................... 102 6. 6. SAJÁTÉRTÉK, MINIMÁLPOLINOM ................................................................................. 104 1. 6.1. Sajátérték, sajátvektor ................................................................................................ 104 1.1. 6.1.1 Definíció ...................................................................................................... 104 1.2. 6.1.2 Definíció ...................................................................................................... 104 1.3. 6.1.3 Tétel ............................................................................................................. 104 1.4. 6.1.4 Tétel ............................................................................................................. 105 2. 6.2. Karakterisztikus polinom ........................................................................................... 106 2.1. 6.2.1 Tétel ............................................................................................................. 106 2.2. 6.2.2 Definíció ...................................................................................................... 106 3. 6.3. Minimálpolinom ......................................................................................................... 108 3.1. 6.3.1 Definíció ...................................................................................................... 108 3.2. 6.3.2 Tétel ............................................................................................................. 108 3.3. 6.3.3 Tétel (Cayley-Hamilton-tétel) ...................................................................... 109 3.4. 6.3.4 Tétel ............................................................................................................. 109 3.5. 6.3.5 Tétel ............................................................................................................. 109 4. 6.4. Invariáns altér ............................................................................................................. 111 4.1. 6.4.1 Definíció ...................................................................................................... 111 4.2. 6.4.2 Definíció ...................................................................................................... 111 v Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 5. 6.5. Rend ........................................................................................................................... 113 5.1. 6.5.1 Definíció ...................................................................................................... 113 5.2. 6.5.2 Tétel ............................................................................................................. 113 5.3. 6.5.3 Tétel ............................................................................................................. 113 5.4. 6.5.4 Tétel ............................................................................................................. 113 5.5. 6.5.5 Tétel ............................................................................................................. 114 5.6. 6.5.6 Tétel ............................................................................................................. 114 5.7. 6.5.7 Lemma ......................................................................................................... 114 5.8. 6.5.8 Tétel ............................................................................................................. 115 6. 6.6. Transzformációk szép mátrixa ................................................................................... 116 6.1. 6.6.1 Tétel ............................................................................................................. 117 6.2. 6.6.2 Tétel ............................................................................................................. 117 6.3. 6.6.3 Tétel ............................................................................................................. 118 6.4. 6.6.4 Tétel (Jordan-féle normálalak) ..................................................................... 118 7. 7. BILINEÁRIS FÜGGVÉNYEK .............................................................................................. 121 1. 7.1. Valós bilineáris függvény ........................................................................................... 121 1.1. 7.1.1 Definíció ...................................................................................................... 121 1.2. 7.1.2 Tétel ............................................................................................................. 122 1.3. 7.1.3 Definíció ...................................................................................................... 122 1.4. 7.1.4 Tétel ............................................................................................................. 122 2. 7.2. Ortogonalizálás .......................................................................................................... 124 2.1. 7.2.1 Definíció ...................................................................................................... 124 2.2. 7.2.2 Tétel ............................................................................................................. 124 2.3. 7.2.3 Tétel ............................................................................................................. 124 2.4. 7.2.4 Definíció ...................................................................................................... 124 2.5. 7.2.5 Tétel ............................................................................................................. 128 2.6. 7.2.6 Tétel (Tehetetlenségi tétel) .......................................................................... 128 3. 7.3. Kvadratikus alak ......................................................................................................... 130 3.1. 7.3.1 Definíció ...................................................................................................... 130 3.2. 7.3.2 Definíció ...................................................................................................... 131 3.3. 7.3.3 Tétel ............................................................................................................. 132 3.4. 7.3.4 Tétel ............................................................................................................. 132 4. 7.4. Komplex bilineáris függvény ..................................................................................... 134 4.1. 7.4.1 Definíció ...................................................................................................... 134 4.2. 7.4.2 Tétel ............................................................................................................. 134 4.3. 7.4.3 Tétel ............................................................................................................. 134 4.4. 7.4.4 Tétel ............................................................................................................. 135 8. 8. EUKLIDESZI TEREK ........................................................................................................... 137 1. 8.1. Valós euklideszi tér .................................................................................................... 137 1.1. 8.1.1 Definíció ...................................................................................................... 137 1.2. 8.1.2 Tétel ............................................................................................................. 138 1.3. 8.1.3 Definíció ...................................................................................................... 138 1.4. 8.1.4 Definíció ...................................................................................................... 138 1.5. 8.1.5 Definíció ...................................................................................................... 138 1.6. 8.1.6 Definíció ...................................................................................................... 138 1.7. 8.1.7 Tétel ............................................................................................................. 139 2. 8.2. Hossz, távolság, szög ................................................................................................. 141 2.1. 8.2.1 Definíció ...................................................................................................... 141 2.2. 8.2.2 Tétel ............................................................................................................. 141 2.3. 8.2.3 Definíció ...................................................................................................... 142 2.4. 8.2.4 Definíció ...................................................................................................... 142 2.5. 8.2.5 Tétel ............................................................................................................. 142 2.6. 8.2.6 Definíció ...................................................................................................... 142 2.7. 8.2.7 Definíció ...................................................................................................... 142 2.8. 8.2.8 Tétel (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség) ............................ 143 3. 8.3. Komplex euklideszi tér .............................................................................................. 145 3.1. 8.3.1 Definíció ...................................................................................................... 145 3.2. 8.3.2 Tétel ............................................................................................................. 146 4. 8.4. Transzformáció adjungáltja ........................................................................................ 147 4.1. 8.4.1 Tétel ............................................................................................................. 147 vi Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 4.2. 8.4.2 Tétel ............................................................................................................. 148 4.3. 8.4.3 Tétel ............................................................................................................. 148 5. 8.5. Normális, önadjungált és unitér transzformációk ....................................................... 149 5.1. 8.5.1 Definíció ...................................................................................................... 149 5.2. 8.5.2 Tétel ............................................................................................................. 149 5.3. 8.5.3 Tétel ............................................................................................................. 150 5.4. 8.5.4 Definíció ...................................................................................................... 150 5.5. 8.5.5 Definíció ...................................................................................................... 150 5.6. 8.5.6 Tétel ............................................................................................................. 151 6. 8.6. Szimmetrikus és ortogonális transzformációk ............................................................ 153 6.1. 8.6.1 Definíció ...................................................................................................... 153 6.2. 8.6.2 Tétel (Főtengelytétel) ................................................................................... 153 6.3. 8.6.3 Definíció ...................................................................................................... 153 6.4. 8.6.4 Tétel ............................................................................................................. 153 9. 9. KOMBINATORIKAI ALKALMAZÁSOK ........................................................................... 156 1. 9.1. Szép polinomok .......................................................................................................... 156 1.1. 9.1.1 Tétel ............................................................................................................. 156 2. 9.2. Fibonacci-számok ...................................................................................................... 157 2.1. 9.2.1 Tétel ............................................................................................................. 158 3. 9.3. Négyzetszámok keresése ............................................................................................ 161 3.1. 9.3.1 Tétel ............................................................................................................. 161 4. 9.4. Páratlanváros és Párosváros ....................................................................................... 163 4.1. 9.4.1 Tétel (Páratlanváros) .................................................................................... 164 4.2. 9.4.2 Tétel (Párosváros) ........................................................................................ 164 5. 9.5. Szép gráfok ................................................................................................................ 167 5.1. 9.5.1 Tétel (Hoffman-Singleton-tétel) .................................................................. 167 6. 9.6. Sidon-sorozatok .......................................................................................................... 169 6.1. 9.6.1 Tétel ............................................................................................................. 169 6.2. 9.6.2 Tétel ............................................................................................................. 170 6.3. 9.6.3 Tétel ............................................................................................................. 170 6.4. 9.6.4 Tétel ............................................................................................................. 171 7. 9.7. Hilbert harmadik problémája ..................................................................................... 174 7.1. 9.7.1 Tétel ............................................................................................................. 174 8. 9.8. Térfogat és determináns ............................................................................................. 176 8.1. 9.8.1 Tétel ............................................................................................................. 177 10. 10. KÓDOK .............................................................................................................................. 179 1. 10.1. Hibajelzés, hibajavítás .............................................................................................. 179 1.1. 10.1.1 Definíció .................................................................................................... 179 1.2. 10.1.2 Definíció .................................................................................................... 180 1.3. 10.1.3 Definíció .................................................................................................... 180 1.4. 10.1.4 Definíció .................................................................................................... 180 1.5. 10.1.5 Tétel ........................................................................................................... 180 1.6. 10.1.6 Definíció .................................................................................................... 181 2. 10.2. Lineáris kód .............................................................................................................. 182 2.1. 10.2.1 Definíció .................................................................................................... 182 2.2. 10.2.2 Tétel ........................................................................................................... 183 2.3. 10.2.3 Definíció .................................................................................................... 183 3. 10.3. Hamming-kód .......................................................................................................... 185 3.1. 10.3.1. Definíció ................................................................................................... 185 3.2. 10.3.2 Tétel ........................................................................................................... 186 3.3. 10.3.3 Tétel ........................................................................................................... 186 3.4. 10.3.4 Definíció .................................................................................................... 186 4. 10.4. BCH-kódok .............................................................................................................. 188 4.1. 10.4.1 Tétel ........................................................................................................... 189 4.2. 10.4.2. Tétel .......................................................................................................... 189 4.3. 10.4.3 Definíció .................................................................................................... 190 4.4. 10.4.4 Tétel ........................................................................................................... 190 A. A. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK ........................................................................................ 193 1. A.1. Művelet ..................................................................................................................... 193 1.1. A.1.1 Definíció ..................................................................................................... 193 vii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 1.2. A.1.2 Definíció ..................................................................................................... 194 1.3. A.1.3 Definíció ..................................................................................................... 194 1.4. A.1.4 Definíció ..................................................................................................... 194 1.5. A.1.5 Definíció ..................................................................................................... 195 1.6. A.1.6 Definíció ..................................................................................................... 196 1.7. A.1.7 Tétel ............................................................................................................ 196 2. A.2. Test ............................................................................................................................ 198 2.1. A.2.1 Definíció ..................................................................................................... 198 3. A.3. Gyűrű ......................................................................................................................... 200 3.1. A.3.1 Definíció ..................................................................................................... 200 3.2. A.3.2. Definíció .................................................................................................... 201 3.3. A.3.3 Tétel ............................................................................................................ 201 4. A.4. Polinomok ................................................................................................................. 203 4.1. 1. Polinom ............................................................................................................. 203 4.2. 2. Polinomfüggvény .............................................................................................. 203 4.3. 3. Műveletek ......................................................................................................... 203 4.4. 4. AT[x]polinomgyűrű .......................................................................................... 204 4.5. 5. Fokszám ............................................................................................................ 204 4.6. 6. Gyök ................................................................................................................. 204 4.7. 7. Multiplicitás ...................................................................................................... 204 4.8. 8. A gyökök száma ............................................................................................... 204 4.9. 9. A gyökök meghatározása .................................................................................. 205 4.10. 10. Derivált polinom ........................................................................................... 205 4.11. 11. Összefüggés a gyökök és együtthatók között ............................................... 205 4.12. 12. Polinomok számelmélete .............................................................................. 206 4.13. 13. Irreducibilis polinomok ................................................................................ 206 4.14. 14. Egész együtthatós polinomok ....................................................................... 207 5. A.5. Csoport ...................................................................................................................... 210 5.1. A.5.1 Definíció ..................................................................................................... 210 5.2. A.5.2 Definíció ..................................................................................................... 211 5.3. A.5.3 Definíció ..................................................................................................... 211 5.4. A.5.4 Definíció ..................................................................................................... 211 5.5. A.5.5 Definíció ..................................................................................................... 212 5.6. A.5.6 Tétel (Lagrange tétele) ................................................................................ 212 6. A.6. Ideál és maradékosztálygyűrű ................................................................................... 213 6.1. A.6.1 Definíció ..................................................................................................... 213 6.2. A.6.2 Definíció ..................................................................................................... 214 6.3. A.6.3 Tétel ............................................................................................................ 214 6.4. A.6.4 Tétel ............................................................................................................ 214 6.5. A.6.5 Tétel ............................................................................................................ 215 6.6. A.6.6 Tétel ............................................................................................................ 215 7. A.7. Testbővítés ................................................................................................................ 217 7.1. A.7.1 Definíció ..................................................................................................... 217 7.2. A.7.2 Definíció ..................................................................................................... 218 7.3. A.7.3 Tétel (Testbővítések fokszámtétele) ........................................................... 218 7.4. A.7.4 Definíció ..................................................................................................... 218 7.5. A.7.5 Tétel ............................................................................................................ 218 7.6. A.7.6. Definíció .................................................................................................... 219 7.7. A.7.7 Definíció ..................................................................................................... 219 7.8. A.7.8 Tétel ............................................................................................................ 219 7.9. A.7.9 Definíció ..................................................................................................... 219 7.10. A.7.10 Tétel ........................................................................................................ 220 7.11. A.7.11 Tétel ........................................................................................................ 220 7.12. A.7.12 Tétel ........................................................................................................ 220 8. A.8. Véges testek .............................................................................................................. 222 8.1. A.8.1 Tétel ............................................................................................................ 222 8.2. A.8.2 Tétel ............................................................................................................ 222 8.3. A.8.3 Tétel ............................................................................................................ 223 8.4. A.8.4 Tétel ............................................................................................................ 223 8.5. A.8.5 Tétel ............................................................................................................ 224 viii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 8.6. A.8.6 Tétel ............................................................................................................ 224 B. EREDMÉNYEK ÉS ÚTMUTATÁSOK ................................................................................... 228 1. 1. Determinánsok .............................................................................................................. 228 1.1. 1.1. ........................................................................................................................ 228 1.2. 1.2. ........................................................................................................................ 228 1.3. 1.3. ........................................................................................................................ 229 1.4. 1.4. ........................................................................................................................ 230 1.5. 1.5. ........................................................................................................................ 231 2. 2. Mátrixok ........................................................................................................................ 231 2.1. 2.1. ........................................................................................................................ 231 2.2. 2.2. ........................................................................................................................ 232 3. 3. Lineáris egyenletrendszerek .......................................................................................... 233 3.1. 3.1. ........................................................................................................................ 233 3.2. 3.2. ........................................................................................................................ 234 3.3. 3.3. ........................................................................................................................ 235 3.4. 3.4. ........................................................................................................................ 235 3.5. 3.5. ........................................................................................................................ 236 4. 4. Vektorterek .................................................................................................................... 237 4.1. 4.1. ........................................................................................................................ 237 4.2. 4.2. ........................................................................................................................ 238 4.3. 4.3. ........................................................................................................................ 239 4.4. 4.4. ........................................................................................................................ 240 4.5. 4.5. ........................................................................................................................ 241 4.6. 4.6. ........................................................................................................................ 241 4.7. 4.7. ........................................................................................................................ 242 5. 5. Lineáris leképezések ..................................................................................................... 242 5.1. 5.1. ........................................................................................................................ 242 5.2. 5.2. ........................................................................................................................ 243 5.3. 5.3. ........................................................................................................................ 243 5.4. 5.4. ........................................................................................................................ 244 5.5. 5.5. ........................................................................................................................ 244 5.6. 5.6. ........................................................................................................................ 244 5.7. 5.7. ........................................................................................................................ 246 5.8. 5.8. ........................................................................................................................ 247 6. 6. Sajátérték, minimálpolinom .......................................................................................... 247 6.1. 6.1. ........................................................................................................................ 247 6.2. 6.2. ........................................................................................................................ 247 6.3. 6.3. ........................................................................................................................ 248 6.4. 6.4. ........................................................................................................................ 249 6.5. 6.5. ........................................................................................................................ 250 6.6. 6.6. ........................................................................................................................ 251 7. 7. Bilineáris függvények ................................................................................................... 252 7.1. 7.1. ........................................................................................................................ 252 7.2. 7.2. ........................................................................................................................ 253 7.3. 7.3. ........................................................................................................................ 253 7.4. 7.4. ........................................................................................................................ 255 8. 8. Euklideszi terek ............................................................................................................. 255 8.1. 8.1. ........................................................................................................................ 256 8.2. 8.2. ........................................................................................................................ 256 8.3. 8.3. ........................................................................................................................ 258 8.4. 8.4. ........................................................................................................................ 259 8.5. 8.5. ........................................................................................................................ 260 8.6. 8.6. ........................................................................................................................ 261 9. 9. Kombinatorikai alkalmazások ....................................................................................... 263 9.1. 9.1. ........................................................................................................................ 263 9.2. 9.2. ........................................................................................................................ 263 9.3. 9.3. ........................................................................................................................ 265 9.4. 9.4. ........................................................................................................................ 266 9.5. 9.5. ........................................................................................................................ 269 9.6. 9.6. ........................................................................................................................ 270 ix Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 9.7. 9.7. ........................................................................................................................ 271 9.8. 9.8. ........................................................................................................................ 273 10. 10. Kódok ........................................................................................................................ 273 10.1. 10.1. .................................................................................................................... 273 10.2. 10.2. .................................................................................................................... 274 10.3. 10.3. .................................................................................................................... 275 10.4. 10.4. .................................................................................................................... 276 11. A. Algebrai alapfogalmak ............................................................................................... 277 11.1. A.1. ..................................................................................................................... 277 11.2. A.2. ..................................................................................................................... 278 11.3. A.3. ..................................................................................................................... 278 11.4. A.4. ..................................................................................................................... 279 11.5. A.5. ..................................................................................................................... 281 11.6. A.6. ..................................................................................................................... 282 11.7. A.7. ..................................................................................................................... 284 11.8. A.8. ..................................................................................................................... 285 C. MEGOLDÁSOK ........................................................................................................................ 288 1. 1. Determinánsok .............................................................................................................. 288 2. 2. Mátrixok ........................................................................................................................ 290 3. 3. Lineáris egyenletrendszerek .......................................................................................... 290 4. 4. Vektorterek .................................................................................................................... 292 5. 5. Lineáris leképezések ..................................................................................................... 294 6. 6. Sajátérték, minimálpolinom .......................................................................................... 295 7. 7. Bilineáris függvények ................................................................................................... 297 8. 8. Euklideszi terek ............................................................................................................. 299 9. 9. Kombinatorikai alkalmazások ....................................................................................... 301 10. 10. Kódok ........................................................................................................................ 311 11. A. Algebrai alapfogalmak ............................................................................................... 313 D. TÁRGYMUTATÓ, JELÖLÉSEK ............................................................................................. 316 x Created by XMLmind XSL-FO Converter.

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A fejezeteket alkotó minden egyes pont után feladatok következnek. A feladatok részben az aktuális fogalmak, tételek, módszerek stb. megértését
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Lineáris algebra PDF

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Lineáris algebra Freud, Róbert Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra Freud, Róbert Publication date 2014 Szerzői jog © 2014 ELTE Eötvös Kiadó Created by XMLmind XSL-FO Converter. Tartalom BEVEZETÉS ..................................................................................................................................... xi 1. Kiknek ajánljuk a könyvet? .................................................................................................. xi 2. Előismeretek ......................................................................................................................... xi 3. Feladatok .............................................................................................................................. xi 4. Az egyes fejezetek kapcsolata .............................................................................................. xi 5. Technikai tudnivalók ............................................................................................................ xi 6. Stílus ................................................................................................................................... xii 7. Tanácsok ............................................................................................................................. xii 8. Hibák és hiányosságok ....................................................................................................... xiii 9. Köszönetnyilvánítás ........................................................................................................... xiii 1. 1. DETERMINÁNSOK .................................................................................................................. 1 1. 1.1. Permutációk inverziószáma ............................................................................................ 1 1.1. 1.1.1 Definíció .......................................................................................................... 1 1.2. 1.1.2 Definíció .......................................................................................................... 1 1.3. 1.1.3 Tétel ................................................................................................................. 1 1.4. 1.1.4 Tétel ................................................................................................................. 2 2. 1.2. A determináns definíciója .............................................................................................. 3 2.1. 1.2.1 Definíció .......................................................................................................... 3 2.2. 1.2.2 Definíció .......................................................................................................... 4 2.3. 1.2.3 Tétel ................................................................................................................. 5 3. 1.3. Elemi tulajdonságok ....................................................................................................... 7 3.1. 1.3.1 Tétel ................................................................................................................. 7 3.2. 1.3.2 Tétel ................................................................................................................. 7 3.3. 1.3.3 Tétel ................................................................................................................. 7 3.4. 1.3.3 A Tétel ............................................................................................................. 8 3.5. 1.3.4 Tétel ................................................................................................................. 8 3.6. 1.3.5 Tétel ................................................................................................................. 9 3.7. 1.3.6 Tétel ................................................................................................................. 9 4. 1.4. Kifejtés ......................................................................................................................... 11 4.1. 1.4.1 Definíció ........................................................................................................ 11 4.2. 1.4.2 Tétel (Kifejtési tétel) ...................................................................................... 12 4.3. 1.4.3. Tétel (Ferde kifejtés) ..................................................................................... 13 5. 1.5. Vandermonde-determináns .......................................................................................... 15 5.1. 1.5.1 Definíció ........................................................................................................ 15 5.2. 1.5.2 Tétel ............................................................................................................... 15 2. 2. MÁTRIXOK ............................................................................................................................. 18 1. 2.1. Mátrixműveletek .......................................................................................................... 18 1.1. 2.1.1 Definíció ........................................................................................................ 18 1.2. 2.1.2 Definíció ........................................................................................................ 18 1.3. 2.1.3 Tétel ............................................................................................................... 19 1.4. 2.1.4 Definíció ........................................................................................................ 19 1.5. 2.1.5 Tétel ............................................................................................................... 20 1.6. 2.1.6 Definíció ........................................................................................................ 21 1.7. 2.1.7 Definíció ........................................................................................................ 21 2. 2.2. Az n×n-es mátrixok gyűrűje ......................................................................................... 23 2.1. 2.2.1 Tétel ............................................................................................................... 23 2.2. 2.2.2 Tétel ............................................................................................................... 23 2.3. 2.2.3 Lemma ........................................................................................................... 24 2.4. 2.2.4 Tétel (Determinánsok szorzástétele) .............................................................. 24 2.5. 2.2.5 Tétel ............................................................................................................... 24 3. 3. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ................................................................................ 27 1. 3.1. Gauss-kiküszöbölés ...................................................................................................... 27 1.1. 3.1.1 Tétel ............................................................................................................... 30 1.2. 3.1.2 Tétel ............................................................................................................... 31 1.3. 3.1.3 Definíció ........................................................................................................ 31 1.4. 3.1.4 Tétel ............................................................................................................... 31 iii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 1.5. 3.1.5 Definíció ........................................................................................................ 32 2. 3.2. Cramer-szabály ............................................................................................................ 34 2.1. 3.2.1 Tétel (Cramer-szabály) .................................................................................. 34 2.2. 3.2.2 Tétel ............................................................................................................... 35 2.3. 3.2.3 Tétel ............................................................................................................... 36 2.4. 3.2.4 Tétel ............................................................................................................... 36 3. 3.3. Lineáris függetlenség Tk-ban ........................................................................................ 38 3.1. 3.3.1 Definíció ........................................................................................................ 38 3.2. 3.3.2 Definíció ........................................................................................................ 39 3.3. 3.3.3 Definíció ........................................................................................................ 39 3.4. 3.3.4 Tétel ............................................................................................................... 40 3.5. 3.3.5 Tétel ............................................................................................................... 40 4. 3.4. A mátrix rangja ............................................................................................................ 43 4.1. 3.4.1/O Definíció .................................................................................................... 43 4.2. 3.4.1/S Definíció ..................................................................................................... 43 4.3. 3.4.1/D Definíció .................................................................................................... 44 4.4. 3.4.2 Tétel ............................................................................................................... 44 4.5. 3.4.3 Tétel ............................................................................................................... 45 5. 3.5. Reguláris és szinguláris mátrixok ................................................................................ 48 5.1. 3.5.1 Definíció ........................................................................................................ 48 5.2. 3.5.2 Tétel ............................................................................................................... 48 5.3. 3.5.3 Tétel ............................................................................................................... 49 4. 4. VEKTORTEREK ..................................................................................................................... 52 1. 4.1. Vektortér ...................................................................................................................... 52 1.1. 4.1.1 Definíció ........................................................................................................ 52 1.2. 4.1.2 Tétel ............................................................................................................... 54 2. 4.2. Altér ............................................................................................................................. 57 2.1. 4.2.1 Definíció ........................................................................................................ 57 2.2. 4.2.2 Tétel ............................................................................................................... 58 3. 4.3. Generálás ...................................................................................................................... 61 3.1. 4.3.1 Definíció ........................................................................................................ 61 3.2. 4.3.2 Definíció ........................................................................................................ 61 3.3. 4.3.3 Definíció ........................................................................................................ 62 3.4. 4.3.4 Tétel ............................................................................................................... 62 3.5. 4.3.5 Definíció ........................................................................................................ 63 3.6. 4.3.6 Tétel ............................................................................................................... 63 3.7. 4.3.7 Definíció ........................................................................................................ 63 3.8. 4.3.8 Definíció ........................................................................................................ 63 4. 4.4. Lineáris függetlenség ................................................................................................... 66 4.1. 4.4.1 Definíció ........................................................................................................ 66 4.2. 4.4.2 Definíció ........................................................................................................ 66 4.3. 4.4.3 Tétel ............................................................................................................... 66 4.4. 4.4.4 Definíció ........................................................................................................ 67 5. 4.5. Bázis ............................................................................................................................. 69 5.1. 4.5.1 Definíció ........................................................................................................ 69 5.2. 4.5.2 Tétel ............................................................................................................... 69 5.3. 4.5.3 Tétel ............................................................................................................... 69 5.4. 4.5.4 Tétel ............................................................................................................... 69 5.5. 4.5.5 Lemma (Kicserélési tétel) .............................................................................. 70 5.6. 4.5.6 Tétel ............................................................................................................... 71 5.7. 4.5.7 Tétel ............................................................................................................... 71 6. 4.6. Dimenzió ...................................................................................................................... 73 6.1. 4.6.1 Definíció ........................................................................................................ 73 6.2. 4.6.2 Tétel ............................................................................................................... 74 6.3. 4.6.3 Tétel ............................................................................................................... 74 6.4. 4.6.4 Tétel ............................................................................................................... 74 6.5. 4.6.6 Tétel ............................................................................................................... 75 6.6. 4.6.7 Tétel ............................................................................................................... 75 7. 4.7. Koordináták .................................................................................................................. 77 7.1. 4.7.1 Definíció ........................................................................................................ 77 iv Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 5. 5. LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK .................................................................................................... 79 1. 5.1. Lineáris leképezés ........................................................................................................ 79 1.1. 5.1.1 Definíció ........................................................................................................ 79 1.2. 5.1.2 Tétel ............................................................................................................... 79 1.3. 5.1.3 Definíció ........................................................................................................ 79 1.4. 5.1.4 Definíció ........................................................................................................ 80 1.5. 5.1.5 Tétel ............................................................................................................... 80 1.6. 5.1.6 Definíció ........................................................................................................ 81 2. 5.2. Izomorfizmus ............................................................................................................... 83 2.1. 5.2.1 Definíció ........................................................................................................ 83 2.2. 5.2.2 Tétel ............................................................................................................... 83 2.3. 5.2.3 Tétel ............................................................................................................... 84 2.4. 5.2.4 Tétel ............................................................................................................... 84 2.5. 5.2.5 Tétel ............................................................................................................... 84 3. 5.3. Leképezés jellemzése a báziselemek képével .............................................................. 86 3.1. 5.3.1 Tétel ............................................................................................................... 86 4. 5.4. Dimenziótétel ............................................................................................................... 87 4.1. 5.4.1 Tétel ............................................................................................................... 87 4.2. 5.4.2 Tétel ............................................................................................................... 87 5. 5.5. Lineáris leképezések összege és skalárszorosa ............................................................ 88 5.1. 5.5.1 Definíció ........................................................................................................ 88 5.2. 5.5.2 Definíció ........................................................................................................ 89 5.3. 5.5.3 Tétel ............................................................................................................... 89 6. 5.6. Lineáris leképezések szorzása ...................................................................................... 91 6.1. 5.6.1 Definíció ........................................................................................................ 91 6.2. 5.6.2 Tétel ............................................................................................................... 91 6.3. 5.6.3 Tétel ............................................................................................................... 92 6.4. 5.6.4 Tétel ............................................................................................................... 92 6.5. 5.6.5 Definíció ........................................................................................................ 92 6.6. 5.6.6 Tétel ............................................................................................................... 93 6.7. 5.6.7 Tétel ............................................................................................................... 94 7. 5.7. Lineáris leképezés mátrixa ........................................................................................... 97 7.1. 5.7.1 Definíció ........................................................................................................ 97 7.2. 5.7.2 Definíció ........................................................................................................ 97 7.3. 5.7.3 Tétel ............................................................................................................... 98 7.4. 5.7.4 Tétel ............................................................................................................... 98 7.5. 5.7.5 Tétel ............................................................................................................... 99 7.6. 5.7.6 Tétel ............................................................................................................... 99 7.7. 5.7.7 Tétel ............................................................................................................... 99 8. 5.8. Áttérés új bázisra ........................................................................................................ 101 8.1. 5.8.1 Tétel ............................................................................................................. 101 8.2. 5.8.1A Tétel .......................................................................................................... 102 6. 6. SAJÁTÉRTÉK, MINIMÁLPOLINOM ................................................................................. 104 1. 6.1. Sajátérték, sajátvektor ................................................................................................ 104 1.1. 6.1.1 Definíció ...................................................................................................... 104 1.2. 6.1.2 Definíció ...................................................................................................... 104 1.3. 6.1.3 Tétel ............................................................................................................. 104 1.4. 6.1.4 Tétel ............................................................................................................. 105 2. 6.2. Karakterisztikus polinom ........................................................................................... 106 2.1. 6.2.1 Tétel ............................................................................................................. 106 2.2. 6.2.2 Definíció ...................................................................................................... 106 3. 6.3. Minimálpolinom ......................................................................................................... 108 3.1. 6.3.1 Definíció ...................................................................................................... 108 3.2. 6.3.2 Tétel ............................................................................................................. 108 3.3. 6.3.3 Tétel (Cayley-Hamilton-tétel) ...................................................................... 109 3.4. 6.3.4 Tétel ............................................................................................................. 109 3.5. 6.3.5 Tétel ............................................................................................................. 109 4. 6.4. Invariáns altér ............................................................................................................. 111 4.1. 6.4.1 Definíció ...................................................................................................... 111 4.2. 6.4.2 Definíció ...................................................................................................... 111 v Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 5. 6.5. Rend ........................................................................................................................... 113 5.1. 6.5.1 Definíció ...................................................................................................... 113 5.2. 6.5.2 Tétel ............................................................................................................. 113 5.3. 6.5.3 Tétel ............................................................................................................. 113 5.4. 6.5.4 Tétel ............................................................................................................. 113 5.5. 6.5.5 Tétel ............................................................................................................. 114 5.6. 6.5.6 Tétel ............................................................................................................. 114 5.7. 6.5.7 Lemma ......................................................................................................... 114 5.8. 6.5.8 Tétel ............................................................................................................. 115 6. 6.6. Transzformációk szép mátrixa ................................................................................... 116 6.1. 6.6.1 Tétel ............................................................................................................. 117 6.2. 6.6.2 Tétel ............................................................................................................. 117 6.3. 6.6.3 Tétel ............................................................................................................. 118 6.4. 6.6.4 Tétel (Jordan-féle normálalak) ..................................................................... 118 7. 7. BILINEÁRIS FÜGGVÉNYEK .............................................................................................. 121 1. 7.1. Valós bilineáris függvény ........................................................................................... 121 1.1. 7.1.1 Definíció ...................................................................................................... 121 1.2. 7.1.2 Tétel ............................................................................................................. 122 1.3. 7.1.3 Definíció ...................................................................................................... 122 1.4. 7.1.4 Tétel ............................................................................................................. 122 2. 7.2. Ortogonalizálás .......................................................................................................... 124 2.1. 7.2.1 Definíció ...................................................................................................... 124 2.2. 7.2.2 Tétel ............................................................................................................. 124 2.3. 7.2.3 Tétel ............................................................................................................. 124 2.4. 7.2.4 Definíció ...................................................................................................... 124 2.5. 7.2.5 Tétel ............................................................................................................. 128 2.6. 7.2.6 Tétel (Tehetetlenségi tétel) .......................................................................... 128 3. 7.3. Kvadratikus alak ......................................................................................................... 130 3.1. 7.3.1 Definíció ...................................................................................................... 130 3.2. 7.3.2 Definíció ...................................................................................................... 131 3.3. 7.3.3 Tétel ............................................................................................................. 132 3.4. 7.3.4 Tétel ............................................................................................................. 132 4. 7.4. Komplex bilineáris függvény ..................................................................................... 134 4.1. 7.4.1 Definíció ...................................................................................................... 134 4.2. 7.4.2 Tétel ............................................................................................................. 134 4.3. 7.4.3 Tétel ............................................................................................................. 134 4.4. 7.4.4 Tétel ............................................................................................................. 135 8. 8. EUKLIDESZI TEREK ........................................................................................................... 137 1. 8.1. Valós euklideszi tér .................................................................................................... 137 1.1. 8.1.1 Definíció ...................................................................................................... 137 1.2. 8.1.2 Tétel ............................................................................................................. 138 1.3. 8.1.3 Definíció ...................................................................................................... 138 1.4. 8.1.4 Definíció ...................................................................................................... 138 1.5. 8.1.5 Definíció ...................................................................................................... 138 1.6. 8.1.6 Definíció ...................................................................................................... 138 1.7. 8.1.7 Tétel ............................................................................................................. 139 2. 8.2. Hossz, távolság, szög ................................................................................................. 141 2.1. 8.2.1 Definíció ...................................................................................................... 141 2.2. 8.2.2 Tétel ............................................................................................................. 141 2.3. 8.2.3 Definíció ...................................................................................................... 142 2.4. 8.2.4 Definíció ...................................................................................................... 142 2.5. 8.2.5 Tétel ............................................................................................................. 142 2.6. 8.2.6 Definíció ...................................................................................................... 142 2.7. 8.2.7 Definíció ...................................................................................................... 142 2.8. 8.2.8 Tétel (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség) ............................ 143 3. 8.3. Komplex euklideszi tér .............................................................................................. 145 3.1. 8.3.1 Definíció ...................................................................................................... 145 3.2. 8.3.2 Tétel ............................................................................................................. 146 4. 8.4. Transzformáció adjungáltja ........................................................................................ 147 4.1. 8.4.1 Tétel ............................................................................................................. 147 vi Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 4.2. 8.4.2 Tétel ............................................................................................................. 148 4.3. 8.4.3 Tétel ............................................................................................................. 148 5. 8.5. Normális, önadjungált és unitér transzformációk ....................................................... 149 5.1. 8.5.1 Definíció ...................................................................................................... 149 5.2. 8.5.2 Tétel ............................................................................................................. 149 5.3. 8.5.3 Tétel ............................................................................................................. 150 5.4. 8.5.4 Definíció ...................................................................................................... 150 5.5. 8.5.5 Definíció ...................................................................................................... 150 5.6. 8.5.6 Tétel ............................................................................................................. 151 6. 8.6. Szimmetrikus és ortogonális transzformációk ............................................................ 153 6.1. 8.6.1 Definíció ...................................................................................................... 153 6.2. 8.6.2 Tétel (Főtengelytétel) ................................................................................... 153 6.3. 8.6.3 Definíció ...................................................................................................... 153 6.4. 8.6.4 Tétel ............................................................................................................. 153 9. 9. KOMBINATORIKAI ALKALMAZÁSOK ........................................................................... 156 1. 9.1. Szép polinomok .......................................................................................................... 156 1.1. 9.1.1 Tétel ............................................................................................................. 156 2. 9.2. Fibonacci-számok ...................................................................................................... 157 2.1. 9.2.1 Tétel ............................................................................................................. 158 3. 9.3. Négyzetszámok keresése ............................................................................................ 161 3.1. 9.3.1 Tétel ............................................................................................................. 161 4. 9.4. Páratlanváros és Párosváros ....................................................................................... 163 4.1. 9.4.1 Tétel (Páratlanváros) .................................................................................... 164 4.2. 9.4.2 Tétel (Párosváros) ........................................................................................ 164 5. 9.5. Szép gráfok ................................................................................................................ 167 5.1. 9.5.1 Tétel (Hoffman-Singleton-tétel) .................................................................. 167 6. 9.6. Sidon-sorozatok .......................................................................................................... 169 6.1. 9.6.1 Tétel ............................................................................................................. 169 6.2. 9.6.2 Tétel ............................................................................................................. 170 6.3. 9.6.3 Tétel ............................................................................................................. 170 6.4. 9.6.4 Tétel ............................................................................................................. 171 7. 9.7. Hilbert harmadik problémája ..................................................................................... 174 7.1. 9.7.1 Tétel ............................................................................................................. 174 8. 9.8. Térfogat és determináns ............................................................................................. 176 8.1. 9.8.1 Tétel ............................................................................................................. 177 10. 10. KÓDOK .............................................................................................................................. 179 1. 10.1. Hibajelzés, hibajavítás .............................................................................................. 179 1.1. 10.1.1 Definíció .................................................................................................... 179 1.2. 10.1.2 Definíció .................................................................................................... 180 1.3. 10.1.3 Definíció .................................................................................................... 180 1.4. 10.1.4 Definíció .................................................................................................... 180 1.5. 10.1.5 Tétel ........................................................................................................... 180 1.6. 10.1.6 Definíció .................................................................................................... 181 2. 10.2. Lineáris kód .............................................................................................................. 182 2.1. 10.2.1 Definíció .................................................................................................... 182 2.2. 10.2.2 Tétel ........................................................................................................... 183 2.3. 10.2.3 Definíció .................................................................................................... 183 3. 10.3. Hamming-kód .......................................................................................................... 185 3.1. 10.3.1. Definíció ................................................................................................... 185 3.2. 10.3.2 Tétel ........................................................................................................... 186 3.3. 10.3.3 Tétel ........................................................................................................... 186 3.4. 10.3.4 Definíció .................................................................................................... 186 4. 10.4. BCH-kódok .............................................................................................................. 188 4.1. 10.4.1 Tétel ........................................................................................................... 189 4.2. 10.4.2. Tétel .......................................................................................................... 189 4.3. 10.4.3 Definíció .................................................................................................... 190 4.4. 10.4.4 Tétel ........................................................................................................... 190 A. A. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK ........................................................................................ 193 1. A.1. Művelet ..................................................................................................................... 193 1.1. A.1.1 Definíció ..................................................................................................... 193 vii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 1.2. A.1.2 Definíció ..................................................................................................... 194 1.3. A.1.3 Definíció ..................................................................................................... 194 1.4. A.1.4 Definíció ..................................................................................................... 194 1.5. A.1.5 Definíció ..................................................................................................... 195 1.6. A.1.6 Definíció ..................................................................................................... 196 1.7. A.1.7 Tétel ............................................................................................................ 196 2. A.2. Test ............................................................................................................................ 198 2.1. A.2.1 Definíció ..................................................................................................... 198 3. A.3. Gyűrű ......................................................................................................................... 200 3.1. A.3.1 Definíció ..................................................................................................... 200 3.2. A.3.2. Definíció .................................................................................................... 201 3.3. A.3.3 Tétel ............................................................................................................ 201 4. A.4. Polinomok ................................................................................................................. 203 4.1. 1. Polinom ............................................................................................................. 203 4.2. 2. Polinomfüggvény .............................................................................................. 203 4.3. 3. Műveletek ......................................................................................................... 203 4.4. 4. AT[x]polinomgyűrű .......................................................................................... 204 4.5. 5. Fokszám ............................................................................................................ 204 4.6. 6. Gyök ................................................................................................................. 204 4.7. 7. Multiplicitás ...................................................................................................... 204 4.8. 8. A gyökök száma ............................................................................................... 204 4.9. 9. A gyökök meghatározása .................................................................................. 205 4.10. 10. Derivált polinom ........................................................................................... 205 4.11. 11. Összefüggés a gyökök és együtthatók között ............................................... 205 4.12. 12. Polinomok számelmélete .............................................................................. 206 4.13. 13. Irreducibilis polinomok ................................................................................ 206 4.14. 14. Egész együtthatós polinomok ....................................................................... 207 5. A.5. Csoport ...................................................................................................................... 210 5.1. A.5.1 Definíció ..................................................................................................... 210 5.2. A.5.2 Definíció ..................................................................................................... 211 5.3. A.5.3 Definíció ..................................................................................................... 211 5.4. A.5.4 Definíció ..................................................................................................... 211 5.5. A.5.5 Definíció ..................................................................................................... 212 5.6. A.5.6 Tétel (Lagrange tétele) ................................................................................ 212 6. A.6. Ideál és maradékosztálygyűrű ................................................................................... 213 6.1. A.6.1 Definíció ..................................................................................................... 213 6.2. A.6.2 Definíció ..................................................................................................... 214 6.3. A.6.3 Tétel ............................................................................................................ 214 6.4. A.6.4 Tétel ............................................................................................................ 214 6.5. A.6.5 Tétel ............................................................................................................ 215 6.6. A.6.6 Tétel ............................................................................................................ 215 7. A.7. Testbővítés ................................................................................................................ 217 7.1. A.7.1 Definíció ..................................................................................................... 217 7.2. A.7.2 Definíció ..................................................................................................... 218 7.3. A.7.3 Tétel (Testbővítések fokszámtétele) ........................................................... 218 7.4. A.7.4 Definíció ..................................................................................................... 218 7.5. A.7.5 Tétel ............................................................................................................ 218 7.6. A.7.6. Definíció .................................................................................................... 219 7.7. A.7.7 Definíció ..................................................................................................... 219 7.8. A.7.8 Tétel ............................................................................................................ 219 7.9. A.7.9 Definíció ..................................................................................................... 219 7.10. A.7.10 Tétel ........................................................................................................ 220 7.11. A.7.11 Tétel ........................................................................................................ 220 7.12. A.7.12 Tétel ........................................................................................................ 220 8. A.8. Véges testek .............................................................................................................. 222 8.1. A.8.1 Tétel ............................................................................................................ 222 8.2. A.8.2 Tétel ............................................................................................................ 222 8.3. A.8.3 Tétel ............................................................................................................ 223 8.4. A.8.4 Tétel ............................................................................................................ 223 8.5. A.8.5 Tétel ............................................................................................................ 224 viii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 8.6. A.8.6 Tétel ............................................................................................................ 224 B. EREDMÉNYEK ÉS ÚTMUTATÁSOK ................................................................................... 228 1. 1. Determinánsok .............................................................................................................. 228 1.1. 1.1. ........................................................................................................................ 228 1.2. 1.2. ........................................................................................................................ 228 1.3. 1.3. ........................................................................................................................ 229 1.4. 1.4. ........................................................................................................................ 230 1.5. 1.5. ........................................................................................................................ 231 2. 2. Mátrixok ........................................................................................................................ 231 2.1. 2.1. ........................................................................................................................ 231 2.2. 2.2. ........................................................................................................................ 232 3. 3. Lineáris egyenletrendszerek .......................................................................................... 233 3.1. 3.1. ........................................................................................................................ 233 3.2. 3.2. ........................................................................................................................ 234 3.3. 3.3. ........................................................................................................................ 235 3.4. 3.4. ........................................................................................................................ 235 3.5. 3.5. ........................................................................................................................ 236 4. 4. Vektorterek .................................................................................................................... 237 4.1. 4.1. ........................................................................................................................ 237 4.2. 4.2. ........................................................................................................................ 238 4.3. 4.3. ........................................................................................................................ 239 4.4. 4.4. ........................................................................................................................ 240 4.5. 4.5. ........................................................................................................................ 241 4.6. 4.6. ........................................................................................................................ 241 4.7. 4.7. ........................................................................................................................ 242 5. 5. Lineáris leképezések ..................................................................................................... 242 5.1. 5.1. ........................................................................................................................ 242 5.2. 5.2. ........................................................................................................................ 243 5.3. 5.3. ........................................................................................................................ 243 5.4. 5.4. ........................................................................................................................ 244 5.5. 5.5. ........................................................................................................................ 244 5.6. 5.6. ........................................................................................................................ 244 5.7. 5.7. ........................................................................................................................ 246 5.8. 5.8. ........................................................................................................................ 247 6. 6. Sajátérték, minimálpolinom .......................................................................................... 247 6.1. 6.1. ........................................................................................................................ 247 6.2. 6.2. ........................................................................................................................ 247 6.3. 6.3. ........................................................................................................................ 248 6.4. 6.4. ........................................................................................................................ 249 6.5. 6.5. ........................................................................................................................ 250 6.6. 6.6. ........................................................................................................................ 251 7. 7. Bilineáris függvények ................................................................................................... 252 7.1. 7.1. ........................................................................................................................ 252 7.2. 7.2. ........................................................................................................................ 253 7.3. 7.3. ........................................................................................................................ 253 7.4. 7.4. ........................................................................................................................ 255 8. 8. Euklideszi terek ............................................................................................................. 255 8.1. 8.1. ........................................................................................................................ 256 8.2. 8.2. ........................................................................................................................ 256 8.3. 8.3. ........................................................................................................................ 258 8.4. 8.4. ........................................................................................................................ 259 8.5. 8.5. ........................................................................................................................ 260 8.6. 8.6. ........................................................................................................................ 261 9. 9. Kombinatorikai alkalmazások ....................................................................................... 263 9.1. 9.1. ........................................................................................................................ 263 9.2. 9.2. ........................................................................................................................ 263 9.3. 9.3. ........................................................................................................................ 265 9.4. 9.4. ........................................................................................................................ 266 9.5. 9.5. ........................................................................................................................ 269 9.6. 9.6. ........................................................................................................................ 270 ix Created by XMLmind XSL-FO Converter. Lineáris algebra 9.7. 9.7. ........................................................................................................................ 271 9.8. 9.8. ........................................................................................................................ 273 10. 10. Kódok ........................................................................................................................ 273 10.1. 10.1. .................................................................................................................... 273 10.2. 10.2. .................................................................................................................... 274 10.3. 10.3. .................................................................................................................... 275 10.4. 10.4. .................................................................................................................... 276 11. A. Algebrai alapfogalmak ............................................................................................... 277 11.1. A.1. ..................................................................................................................... 277 11.2. A.2. ..................................................................................................................... 278 11.3. A.3. ..................................................................................................................... 278 11.4. A.4. ..................................................................................................................... 279 11.5. A.5. ..................................................................................................................... 281 11.6. A.6. ..................................................................................................................... 282 11.7. A.7. ..................................................................................................................... 284 11.8. A.8. ..................................................................................................................... 285 C. MEGOLDÁSOK ........................................................................................................................ 288 1. 1. Determinánsok .............................................................................................................. 288 2. 2. Mátrixok ........................................................................................................................ 290 3. 3. Lineáris egyenletrendszerek .......................................................................................... 290 4. 4. Vektorterek .................................................................................................................... 292 5. 5. Lineáris leképezések ..................................................................................................... 294 6. 6. Sajátérték, minimálpolinom .......................................................................................... 295 7. 7. Bilineáris függvények ................................................................................................... 297 8. 8. Euklideszi terek ............................................................................................................. 299 9. 9. Kombinatorikai alkalmazások ....................................................................................... 301 10. 10. Kódok ........................................................................................................................ 311 11. A. Algebrai alapfogalmak ............................................................................................... 313 D. TÁRGYMUTATÓ, JELÖLÉSEK ............................................................................................. 316 x Created by XMLmind XSL-FO Converter.

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A fejezeteket alkotó minden egyes pont után feladatok következnek. A feladatok részben az aktuális fogalmak, tételek, módszerek stb. megértését
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