Lineare Algebra und Analytische Geometrie in Fragen und Übungsaufgaben PDF
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KK..--HH.. GGäärrttnneerr//RR.. SScchhmmiieeddeerr LLiinneeaarree AAllggeebbrraa uunndd AAnnaallyyttiisscchhee GGeeoommeettrriiee iinn FFrraaggeenn uunndd ÜÜbbuunnggssaauuffggaabbeenn Lineare Algebra und Analytische Geometrie in Fragen •• und Ubungsaufgaben Von Doz. Dr. Karl-Heinz Gärtner und Dr. Roland Schmieder B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig 1998 Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von: Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth, Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner, Prof. Dr. Kar! Manteuttel, Prof. Dr. Manfred Schneider, Prof. Dr. Günter Zeidler Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes: Prof. Dr. Karl Manteuffel Autoren: Doz. Dr. rer. nat. Karl-Heinz Gärtner Dr. rer. nat. Roland Schmieder Technische Universität Bergakademie Freiberg Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Gärtner, Karl-Heinz: Lineare Algebra und analytische Geometrie in Fragen und Übungsaufgaben / von Karl-Heinz Gärtner und Roland Schmieder. [Hrsg.: Karl Manteuffel]. - Stuttgart ; Leipzig: Teubner,1998 (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler) ISBN 978-3-519-00220-8 ISBN 978-3-322-96360-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96360-4 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfil mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © 1998 B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig Umschlaggestaltung : E. Kretschmer, Leipzig Vorwort Die vorliegende Sammlung von Fragen und Aufgaben zur Linearen Algebra und Analytischen Geometrie stützt sich auf Erfahrungen, die die Autoren bei der mathematischen Grundausbildung von Studenten der Natur- und Ingenieurwis senschaften an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg über Jahre hinweg gesammelt haben. Das Buch soll der Festigung und Vertiefung des in den Vorlesungen gebotenen Stoffes dienen, die Nutzer zum Selbststudium anregen und vor allem bei der Vorbereitung auf Klausuren und mündliche Prüfungen im Rahmen des Vordiploms Orientierung und Hilfsmittel sein. Das Buch ist in fünf Komplexe mit entsprechenden Teilabschnitten gegliedert. Jeder Teilabschnitt beginnt mit einer Zusammenstellung wichtiger Formeln und Eigenschaften, die gleichzeitig als Basis für die nachfolgenden Fragen und Auf gaben des jeweiligen Abschnitts anzusehen sind. Dem Zweck des Buches ent sprechend wurde die Zusammenstellung knapp gehalten und erhebt keinen An spruch auf Vollständigkeit. Für weitergehende Fragestellungen sollten bei Bedarf die im Literaturverzeichnis angegebenen Lehrwerke genutzt werden. Am Ende eines jeden Komplexes findet der Nutzer die Antworten zu allen gestellten Fra gen, Lösungen und in vielen Fällen auch Ansätze sowie Lösungshinweise zu den Aufgaben. Vorschläge und Hinweise, die der Verbesserung und Vervollkommnung des Bu ches dienen, nehmen die Autoren gern entgegen. Besonderer Dank gilt den Mitarbeiterinnen Frau Dipl.-Ing.(FH) I. Gugel und Frau M. Löscher für die sorgfältige Anfertigung der Druckvorlage und Herrn Dipl.-Math. R. Pohlink für die Herstellung der Abbildungen. Dem Teubner Verlag, insbesondere Herrn J. Weiß, sprechen wir für die Anregungen zu diesem Projekt und für die konstruktive Zusammenarbeit unseren Dank aus. Freiberg, im Juli 1998 Die Autoren Inhalt 1 Vektoren 9 1.1 Vektorrechnung im Raum !Rn 9 Fragen zu 1.1 13 6 ••• Aufgaben zu 1.1 . . . 15 1.2 Lineare Vektorräume 18 Fragen zu 1. 2 .. 19 Aufgaben zu 1.2 . 20 Antworten zu 1 22 Lösungen zu 1 . . 28 2 Determinanten und Matrizen 34 2.1 Determinanten 34 Fragen zu 2.1 36 Aufgaben zu 2.1 37 2.2 Matrizen .... 40 Fragen zu 2.2 43 Aufgaben zu 2.2 . 44 Antworten zu 2 48 Lösungen zu 2 . . 54 3 Lineare Gleichungssysteme 61 Fragen zu 3 .. 65 Aufgaben zu 3 . 66 Antworten zu 3 70 Lösungen zu 3 . 72 4 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen 80 Fragen zu 4 .. 81 Aufgaben zu 4 . 82 Antworten zu 4 83 Lösungen zu 4 . 85 Inhalt 7 5 Analytische Geometrie 90 5.1 Gerade und Ebene im Raum . 90 Fragen zu 5.1 ........ . 95 Aufgaben zu 5.1 ....... . 96 5.2 Verschiebung und Drehung von Koordinatensystemen 100 Fragen zu 5.2 ........... . 101 Aufgaben zu 5.2. . . . . . . . . . . 102 5.3 Kurven 2. Ordnung - Kegelschnitte 104 Fragen zu 5.3 .. 109 Aufgaben zu 5.3 . 110 Antworten zu 5 114 Lösungen zu 5 120 Literatur 136 Sachwortregister 137 1 Vektoren 1.1 Vektorrechnung im Raum lRn Schwerpunkte: Addition und Subtraktion von Vektoren, Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar, Linearkombination von Vektoren, Betrag eines Vektors, Einheitsvekto ren, Richtungskosinus, Vektoren als Pfeile (eigentlich Pfeilklassen) für n = 2 und n = 3, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt Der (Vektor-)Raum /Rn ist die Menge aller geordneten n-Tupel reeller Zahlen, die in Spaltenform geschriebenen n-Tupel sind die Elemente von /Rn und heißen (Spalten-)Vektoren: (J ~ Dl" {x/x = und Xi E Dl fü<alle i = 1(I)n}, x, y, a, b, ... E /Rn Elemente von /Rn_ (Spalten-)Vektoren. Anmerkung zur Schreibweise geordneter n-Tupel: Der Übergang von der Spalten- zur Zeilenschreibweise (und umgekehrt) heißt Transponieren und wird wie folgt gekennzeichnet: Speziell gilt: /R2 ist die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen, /R3 ist die Menge aller geordneten Tripel reeller Zahlen, of 0= (0; 0; ... ; E /Rn ist der Nullvektor von /Rn. K.-H. Gärtner et al., Lineare Algebra und Analytische Geometrie in Fragen und Übungsaufgaben © B. G. Teubner Stuttgart · Leipzig 1998 10 1 Vektoren Addition Xl) (YI) (Xl Yl) ( + x + y = : + ::= : = z E !Rn. n Yn n + Yn X X Die Summe z der Vektoren x und y existiert für alle Vektoren x, y E !Rn, ist eindeutig bestimmt und wieder ein Element von !Rn. Multiplikation mit einem Skalar Das A-fache des Vektors x existiert für alle x E !Rn und alle A E !R, ist eindeutig bestimmt und wieder ein Element von !Rn. Entgegengesetzter Vektor CJ CU -X'= (-I)x= (-I) = ist der entgegengesetzte Vektor von x. Eigenschaften der Rechenoperationen Für alle x, y, z E !Rn und alle A, f-l E !R gilt: (x + y) + z = x + (y + z), x+ 0 = 0 +x = x, x + (-x) = (-x) + x = 0, x+y = y+x, (A + f-l)x = AX + f-lX, A(X + y) = AX + Ay. Linearkombination b ist eine Linearkombination der Vektoren Xl, ... ,Xk mit den Koeffizienten Ai E !R für i = l(l)k, wenn gilt k b = AIXI + A2X2 + ... + AkXk = 2: AiXi . i=l 1.1 Vektorrechnung im Raum /Rn 11 Betrag eines Vektors lxi := J xi + x~ + ... + x; = {fx:. Einheitsvektoren e ist ein Einheitsvektor {:? lei = 1. Für alle x E /Rn ist XO := 1;1 . x der zugehörige Einheitsvektor in Richtung x. Spezielle Einheitsvektoren: G) , = = (~), im /R2 1 j G) , G) , G). ~ ~ im Hf 1 j b auch i = el, j = e2, k = e3, so daß für /Rn eil i = 1,. .. , n spezielle Einheits vektoren sind, mit . {I für k = i = mIt eki 0 sonst. Jeder Vektor x E /Rn ist eine Linearkombination der speziellen Einheitsvekto ren (7) t x = = Xlel + ... + xnen = Xiei , ,=1 Xn Xi - Koordinaten von Xj Xiei - Komponenten von x. Geometrisches Modell des IR? bzw. B 3 Bei gegebenem kartesischen Koordinatensystem mit dem Ursprung 0 existiert = (~~) eine eineindeutige Zuordnung zwischen allen Vektoren x des /R2 und al- ~ len Punkten X (x" x,) eine, Ebene bzw. zwi,chen anen Vektmen x = (::) des /R3 und allen Punkten X = (Xt,X2,X3) des (Anschauungs-)Raumesj bei den Fällen ordnet man die Pfeile OX zu (Abb. 1.1 und 1.2). Jeder Pfeil OX ist dabei 12 1 Vektoren (nur) ein Repräsentant der Klasse aller Pfeile, die durch Parallelverschiebung aus ihm hervorgehen. Zugeordnete Spaltenvektoren, Punkte und Pfeile werden häufig identifiziert. >q-Achse X:l-Achse X=(XJ,xV ~+--------------- o XI ~/-------------~ xI-Achse Abb. 1.1 Abb. 1.2 Der Pfeil OX ist ein Repräsentant des Vektors x = (Xl, X2? bzw. x = (Xl, X2, X3? Jeder Pfeil OX charakterisiert: eine Richtung die Verbindungsgerade OX eine Zahl die Länge der Strecke 0 X einen Durchlaufsinn - vom Anfangspunkt 0 zum Endpunkt X. Einheitsvektoren Die speziellen Einheitsvektoren eI, e2 E IR2 bzw. eI, e2, e3 E IR3 sind die Ein heitsvektoren in Richtung der (positiven) Koordinatenachsen. Richtungskosinus Die Richtungskosinus eines Vektors x E IR2 bzw. x E IR3 sind die Kosinuswerte der Winkel zwischen dem zugeordneten Pfeil OX und den Richtungen der (po sitiven) Koordinatenachsen, also: cos L ( eh x) = i~il' i = 1, 2, 3. Senkrechte Projektion des Vektors x auf den Vektor y Xy = lxi cos L(x, y); xy = Xy . yo. Skalarprodukt (inneres Produkt oder Punktprodukt ) für x, y E IRn n X . Y = XIYl + X2Y2 + ... + XnYn = 2: XiYi E IR. i=1 Faßt man Vektoren als spezielle Matrizen auf, so muß man das Skalarprodukt in n der Form xT . y = 2: XiYi schreiben, wobei man zu demselben Ergebnis kommt ;=1 (vgl. S. 41).
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