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Lineare Algebra und analytische Geometrie II [Lecture notes] PDF

304 Pages·2016·3.81 MB·German
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Lineare Algebra und analytische Geometrie II Prof. Dr. Holger Brenner Universit¨at Osnabru¨ck Fachbereich Mathematik/Informatik Sommersemester 2016 2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 9 1. Vorlesung - Vektorr¨aume mit Skalarprodukt 10 31.1. Vektorr¨aume mit Skalarprodukt 10 31.2. Norm 12 31.3. Normierte Vektorrr¨aume 14 31.4. Normierte R¨aume als metrische R¨aume 15 31. Arbeitsblatt 16 31.1. U¨bungsaufgaben 16 31.2. Aufgaben zum Abgeben 20 32. Vorlesung - Orthogonalit¨at 21 32.1. Orthogonalit¨at 21 32.2. Orthonormalbasen 23 32.3. Orthogonale Projektionen 27 32. Arbeitsblatt 28 32.1. U¨bungsaufgaben 28 32.2. Aufgaben zum Abgeben 31 33. Vorlesung - Isometrien I 33 33.1. Das Kreuzprodukt 33 33.2. Isometrien 36 33.3. Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum 38 33.4. Eigenwerte bei Isometrien 39 33.5. Eigentliche Isometrien 40 33. Arbeitsblatt 40 33.1. U¨bungsaufgaben 40 33.2. Aufgaben zum Abgeben 42 34. Vorlesung - Isometrien II 43 34.1. Die Diagonalisierbarkeit von Isometrien im Komplexen 43 34.2. Winkel 44 34.3. Ebene Isometrien 45 34.4. R¨aumliche Isometrien 46 34.5. Der Zerlegungssatz fu¨r Isometrien 48 3 34. Arbeitsblatt 49 34.1. U¨bungsaufgaben 49 34.2. Aufgaben zum Abgeben 51 35. Vorlesung - Mengenabst¨ande 52 35.1. Winkeltreue Abbildungen 52 35.2. Abst¨ande zwischen Mengen 54 35. Arbeitsblatt 61 35.1. U¨bungsaufgaben 61 35.2. Aufgaben zum Abgeben 64 36. Vorlesung - Strahlens¨atze 65 36.1. Dreiecke 65 36.2. Der Satz des Pythagoras 67 36.3. Der Satz des Thales 69 36.4. Die Strahlens¨atze 70 36. Arbeitsblatt 73 36.1. U¨bungsaufgaben 73 36.2. Aufgaben zum Abgeben 75 37. Vorlesung - Dreiecksgeometrie 76 37.1. Seitenhalbierende und Schwerpunkt 76 37.2. Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt 77 37.3. Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt 79 37.4. H¨ohenschnittpunkt 81 37.5. Die eulersche Gerade 82 37.6. Der Feuerbachkreis 82 37. Arbeitsblatt 84 37.1. U¨bungsaufgaben 84 37.2. Aufgaben zum Abgeben 86 38. Vorlesung - Bilinearformen 87 38.1. Bilinearformen 87 38.2. Der Gradient 89 38.3. Die Gramsche Matrix 90 38.4. Eigenschaften von Bilinearformen 91 38. Arbeitsblatt 92 4 38.1. U¨bungsaufgaben 92 38.2. Aufgaben zum Abgeben 95 39. Vorlesung - Typen von Bilinearformen 96 39.1. Definitheit von Bilinearformen 96 39.2. Typkriterien fu¨r symmetrische Bilinearformen 98 39.3. Vollst¨andige Dualit¨at 101 39. Arbeitsblatt 101 39.1. U¨bungsaufgaben 101 39.2. Aufgaben zum Abgeben 104 40. Vorlesung - Minkowski-R¨aume 105 40.1. Minkowski-R¨aume 105 40.2. Der Vektorraum der Bilinearformen 112 40.3. Sesquilinearformen 113 40.4. Hermitesche Formen 115 40. Arbeitsblatt 115 40.1. U¨bungsaufgaben 115 40.2. Aufgaben zum Abgeben 118 41. Vorlesung - Adjungierter Endomorphismus 119 41.1. Adjungierter Endomorphismus 119 41.2. Selbstadjungierte Endomorphismen 123 41.3. Selbstadjungierte Endomorphismen und hermitesche Formen 125 41. Arbeitsblatt 126 41.1. U¨bungsaufgaben 126 41.2. Aufgaben zum Abgeben 129 42. Vorlesung - Normale Endomorphismen 130 42.1. Normale Endomorphismen 130 42.2. Hauptachsentransformation 133 42. Arbeitsblatt 136 42.1. U¨bungsaufgaben 136 42.2. Aufgaben zum Abgeben 138 43. Vorlesung - Quadratische Formen 139 43.1. Polynome in mehreren Variablen und Nullstellenmengen 139 43.2. Reelle Quadriken 140 5 43. Arbeitsblatt 145 43.1. U¨bungsaufgaben 145 43.2. Aufgaben zum Abgeben 148 44. Vorlesung - Gruppenhomomorphismen 149 44.1. Gruppen 149 44.2. Gruppenhomomorphismen 150 44.3. Gruppenisomorphismen 152 44.4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus 154 44.5. Das Bild eines Gruppenhomomorphismus 155 44. Arbeitsblatt 156 44.1. U¨bungsaufgaben 156 44.2. Aufgaben zum Abgeben 159 45. Vorlesung - A¨quivalenzrelationen 160 45.1. Relationen 160 45.2. A¨quivalenzrelationen 161 45.3. A¨quivalenzklassen, Quotientenmenge, kanonische Abbildung 164 45. Arbeitsblatt 167 45.1. U¨bungsaufgaben 167 45.2. Aufgaben zum Abgeben 171 46. Vorlesung - Restklassenbildung 173 46.1. Nebenklassen 173 46.2. Der Satz von Lagrange 174 46.3. Normalteiler 175 46.4. Restklassenbildung 176 46. Arbeitsblatt 178 46.1. U¨bungsaufgaben 178 46.2. Aufgaben zum Abgeben 180 47. Vorlesung - Homomorphies¨atze 181 47.1. Homomorphie- und Isomorphiesatz 181 47.2. Restklassenringe 184 47.3. Die Restklassenringe von Z 186 47. Arbeitsblatt 186 47.1. U¨bungsaufgaben 186 6 47.2. Aufgaben zum Abgeben 188 48. Vorlesung - Restklassenr¨aume 189 48.1. Restklassenr¨aume 189 48. Arbeitsblatt 193 48.1. U¨bungsaufgaben 193 48.2. Aufgaben zum Abgeben 196 49. Vorlesung - Orientierungen 197 49.1. Orientierungen auf reellen Vektorr¨aumen 197 49.2. Symmetrien 199 49. Arbeitsblatt 204 49.1. U¨bungsaufgaben 204 49.2. Aufgaben zum Abgeben 206 49.3. Aufgabe zum Hochladen 207 50. Vorlesung - Endliche Symmetriegruppen I 207 50.1. Endliche Bewegungsgruppen in der Ebene 209 50.2. Halbachsensysteme 211 50.3. Die Isotropiegruppe 212 50. Arbeitsblatt 213 50.1. U¨bungsaufgaben 213 50.2. Aufgaben zum Abgeben 214 50.3. Aufgabe zum Hochladen 215 51. Vorlesung - Endliche Symmetriegruppen II 215 51.1. Numerische Bedingungen fu¨r endliche Symmetriegruppen im Raum 215 51.2. Geometrische Realisierungen der endlichen Symmetriegruppen 217 51. Arbeitsblatt 221 51.1. U¨bungsaufgaben 221 51.2. Aufgaben zum Abgeben 223 52. Vorlesung - A¨quivalente Normen 224 52.1. Teilmengen in einem metrischen Raum 224 52.2. A¨quivalente Normen 226 52.3. Kompaktheit 227 52.4. Stetige Abbildungen zwischen metrischen R¨aumen 227 7 52.5. Lineare stetige Abbildungen 229 52.6. A¨quivalenz von Normen 230 52. Arbeitsblatt 232 52.1. U¨bungsaufgaben 232 52.2. Aufgaben zum Abgeben 235 53. Vorlesung - Konvergenz von Matrixpotenzen 236 53.1. Norm von Endomorphismen und Matrizen 236 53.2. Konvergenz von Matrixpotenzen 237 53.3. Asymptotische Stabilit¨at und Stabilit¨at 239 53. Arbeitsblatt 243 53.1. U¨bungsaufgaben 243 53.2. Aufgaben zum Abgeben 247 54. Vorlesung - Stochastische Matrizen 248 54.1. Stochastische Matrizen 248 54.2. Potenzen von stochastischen Matrizen 252 54. Arbeitsblatt 257 54.1. U¨bungsaufgaben 257 54.2. Aufgaben zum Abgeben 260 55. Vorlesung - Tensorprodukt I 261 55.1. Das Tensorprodukt von Vektorr¨aumen 262 55. Arbeitsblatt 268 55.1. U¨bungsaufgaben 268 55.2. Aufgaben zum Abgeben 271 56. Vorlesung - Tensorprodukt II 271 56.1. Basiswechsel bei Tensorprodukten 271 56.2. Tensorprodukt und Dualraum 272 56.3. Tensorprodukte von linearen Abbildungen 273 56.4. K¨orperwechsel 275 56. Arbeitsblatt 278 56.1. U¨bungsaufgaben 278 56.2. Aufgaben zum Abgeben 282 57. Vorlesung - Dachprodukt I 283 57.1. Lineare Abbildungen bei K¨orperwechsel 283 8 57.2. Das Dachprodukt 284 57.3. Rechenregeln fu¨r das Dachprodukt 285 57.4. Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes 287 57. Arbeitsblatt 288 57.1. U¨bungsaufgaben 288 57.2. Aufgaben zum Abgeben 291 58. Vorlesung - Dachprodukt II 292 58.1. Eigenschaften des Dachprodukts 292 58.2. Dachprodukte bei linearen Abbildungen 295 58.3. Orientierungen und das Dachprodukt 296 58. Arbeitsblatt 297 58.1. U¨bungsaufgaben 297 58.2. Aufgaben zum Abgeben 298 Anhang A: Bildlizenzen 300 Abbildungsverzeichnis 300 9 Vorwort Vorwort Dieses Skript gibt die Anf¨angervorlesung Lineare Algebra II wieder, die ich im Sommersemester 2016 an der Universit¨at Osnabru¨ck im Studiengang Ma- thematik gehalten habe. Der Text wurde auf Wikiversity geschrieben und steht unter der Creative- Commons-Attribution-ShareAlike 4.0. Die Bilder wurden von Commons u¨bernommen und unterliegen den dortigen freien Lizenzen. In einem Anhang werden die einzelnen Bilder mit ihren Autoren und Lizenzen aufgefu¨hrt. Die CC-BY-SA 4.0 Lizenz erm¨oglicht es, dass das Skript in seinen Einzelteilen verwendet, ver¨andert und weiterentwickelt werden darf. Ich bedanke mich bei der Wikimedia-Gemeinschaft und insbesondere bei Benutzer Exxu fu¨r die wichtigen Beitr¨age im Projekt semantische Vorlagen, die eine weitgehend automatische Erstellung des Latexcodes erm¨oglichen. Bei dem U¨bungsgruppenleiter Jonathan Steinbuch und den Tutoren Matt- hias Hockmann, Maurice Kraune, Jan-Luca Spellmann bedanke ich mich fu¨r die Durchfu¨hrung des U¨bungsbetriebs. Bei Jonathan Steinbuch bedanke ich mich fu¨r das Korrekturlesen. Bei Frau Marianne Gausmann bedanke ich mich fu¨r die Erstellung der Pdf-Files und bei den Studierenden fu¨r einzelne Korrekturen. Holger Brenner 10 1. Vorlesung - Vektorra¨ume mit Skalarprodukt 31.1. Vektorr¨aume mit Skalarprodukt. Im Rn kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine L¨ange, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zu- einander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedru¨ckt. L¨ange und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts pr¨azisiert. Dafu¨r muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden F¨alle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeich- nung das Symbol K. Zu z C bezeichnet z die konjungiert-komplexe Zahl, ∈ bei z R einfach die Zahl selbst. ∈ Definition 31.1. Sei V ein K-Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V K, (v,w) v,w , × −→ 7−→ h i mit folgenden Eigenschaften: (1) Es ist λ x +λ x ,y = λ x ,y +λ x ,y 1 1 2 2 1 1 2 2 h i h i h i fu¨r alle λ ,λ K, x ,x ,y V und 1 2 1 2 ∈ ∈ x,λ y +λ y = λ x,y +λ x,y 1 1 2 2 1 1 2 2 h i h i h i fu¨r alle λ ,λ K, x,y ,y V. 1 2 1 2 ∈ ∈ (2) Es ist v,w = w,v h i h i fu¨r alle v,w V. ∈ (3) Es ist v,v 0 fu¨r alle v V und v,v = 0 genau dann, wenn h i ≥ ∈ h i v = 0 ist. Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall Bilinearit¨at (das ist nur eine andere Bezeichnung fu¨r multilinear, wenn der Definitionsbereich dasProduktvonzweiVektorr¨aumenist),Symmetrie undpositive Definitheit. Im komplexen Fall spricht man von sesquilinear und von hermitesch. Diese auf den ersten Blick unsch¨one Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung fu¨r einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist. Beispiel 31.2. Auf dem Rn ist die Abbildung n Rn Rn R, (v,w) = ((v ,...,v ),(w ,...,w )) v w , 1 n 1 n i i × −→ 7−→ i=1 X ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Eine einfache Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

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