Lineare Algebra und analytische Geometrie II

304 Pages·2016·3.81 MB·German

Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. Holger Brenner
Universit¨at Osnabru¨ck
Fachbereich Mathematik/Informatik
Sommersemester 2016
2
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 9
1. Vorlesung - Vektorr¨aume mit Skalarprodukt 10
31.1. Vektorr¨aume mit Skalarprodukt 10
31.2. Norm 12
31.3. Normierte Vektorrr¨aume 14
31.4. Normierte R¨aume als metrische R¨aume 15
31. Arbeitsblatt 16
31.1. U¨bungsaufgaben 16
31.2. Aufgaben zum Abgeben 20
32. Vorlesung - Orthogonalit¨at 21
32.1. Orthogonalit¨at 21
32.2. Orthonormalbasen 23
32.3. Orthogonale Projektionen 27
32. Arbeitsblatt 28
32.1. U¨bungsaufgaben 28
32.2. Aufgaben zum Abgeben 31
33. Vorlesung - Isometrien I 33
33.1. Das Kreuzprodukt 33
33.2. Isometrien 36
33.3. Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum 38
33.4. Eigenwerte bei Isometrien 39
33.5. Eigentliche Isometrien 40
33. Arbeitsblatt 40
33.1. U¨bungsaufgaben 40
33.2. Aufgaben zum Abgeben 42
34. Vorlesung - Isometrien II 43
34.1. Die Diagonalisierbarkeit von Isometrien im Komplexen 43
34.2. Winkel 44
34.3. Ebene Isometrien 45
34.4. R¨aumliche Isometrien 46
34.5. Der Zerlegungssatz fu¨r Isometrien 48
3
34. Arbeitsblatt 49
34.1. U¨bungsaufgaben 49
34.2. Aufgaben zum Abgeben 51
35. Vorlesung - Mengenabst¨ande 52
35.1. Winkeltreue Abbildungen 52
35.2. Abst¨ande zwischen Mengen 54
35. Arbeitsblatt 61
35.1. U¨bungsaufgaben 61
35.2. Aufgaben zum Abgeben 64
36. Vorlesung - Strahlens¨atze 65
36.1. Dreiecke 65
36.2. Der Satz des Pythagoras 67
36.3. Der Satz des Thales 69
36.4. Die Strahlens¨atze 70
36. Arbeitsblatt 73
36.1. U¨bungsaufgaben 73
36.2. Aufgaben zum Abgeben 75
37. Vorlesung - Dreiecksgeometrie 76
37.1. Seitenhalbierende und Schwerpunkt 76
37.2. Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt 77
37.3. Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt 79
37.4. H¨ohenschnittpunkt 81
37.5. Die eulersche Gerade 82
37.6. Der Feuerbachkreis 82
37. Arbeitsblatt 84
37.1. U¨bungsaufgaben 84
37.2. Aufgaben zum Abgeben 86
38. Vorlesung - Bilinearformen 87
38.1. Bilinearformen 87
38.2. Der Gradient 89
38.3. Die Gramsche Matrix 90
38.4. Eigenschaften von Bilinearformen 91
38. Arbeitsblatt 92
4
38.1. U¨bungsaufgaben 92
38.2. Aufgaben zum Abgeben 95
39. Vorlesung - Typen von Bilinearformen 96
39.1. Definitheit von Bilinearformen 96
39.2. Typkriterien fu¨r symmetrische Bilinearformen 98
39.3. Vollst¨andige Dualit¨at 101
39. Arbeitsblatt 101
39.1. U¨bungsaufgaben 101
39.2. Aufgaben zum Abgeben 104
40. Vorlesung - Minkowski-R¨aume 105
40.1. Minkowski-R¨aume 105
40.2. Der Vektorraum der Bilinearformen 112
40.3. Sesquilinearformen 113
40.4. Hermitesche Formen 115
40. Arbeitsblatt 115
40.1. U¨bungsaufgaben 115
40.2. Aufgaben zum Abgeben 118
41. Vorlesung - Adjungierter Endomorphismus 119
41.1. Adjungierter Endomorphismus 119
41.2. Selbstadjungierte Endomorphismen 123
41.3. Selbstadjungierte Endomorphismen und hermitesche Formen 125
41. Arbeitsblatt 126
41.1. U¨bungsaufgaben 126
41.2. Aufgaben zum Abgeben 129
42. Vorlesung - Normale Endomorphismen 130
42.1. Normale Endomorphismen 130
42.2. Hauptachsentransformation 133
42. Arbeitsblatt 136
42.1. U¨bungsaufgaben 136
42.2. Aufgaben zum Abgeben 138
43. Vorlesung - Quadratische Formen 139
43.1. Polynome in mehreren Variablen und Nullstellenmengen 139
43.2. Reelle Quadriken 140
5
43. Arbeitsblatt 145
43.1. U¨bungsaufgaben 145
43.2. Aufgaben zum Abgeben 148
44. Vorlesung - Gruppenhomomorphismen 149
44.1. Gruppen 149
44.2. Gruppenhomomorphismen 150
44.3. Gruppenisomorphismen 152
44.4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus 154
44.5. Das Bild eines Gruppenhomomorphismus 155
44. Arbeitsblatt 156
44.1. U¨bungsaufgaben 156
44.2. Aufgaben zum Abgeben 159
45. Vorlesung - A¨quivalenzrelationen 160
45.1. Relationen 160
45.2. A¨quivalenzrelationen 161
45.3. A¨quivalenzklassen, Quotientenmenge, kanonische Abbildung 164
45. Arbeitsblatt 167
45.1. U¨bungsaufgaben 167
45.2. Aufgaben zum Abgeben 171
46. Vorlesung - Restklassenbildung 173
46.1. Nebenklassen 173
46.2. Der Satz von Lagrange 174
46.3. Normalteiler 175
46.4. Restklassenbildung 176
46. Arbeitsblatt 178
46.1. U¨bungsaufgaben 178
46.2. Aufgaben zum Abgeben 180
47. Vorlesung - Homomorphies¨atze 181
47.1. Homomorphie- und Isomorphiesatz 181
47.2. Restklassenringe 184
47.3. Die Restklassenringe von Z 186
47. Arbeitsblatt 186
47.1. U¨bungsaufgaben 186
6
47.2. Aufgaben zum Abgeben 188
48. Vorlesung - Restklassenr¨aume 189
48.1. Restklassenr¨aume 189
48. Arbeitsblatt 193
48.1. U¨bungsaufgaben 193
48.2. Aufgaben zum Abgeben 196
49. Vorlesung - Orientierungen 197
49.1. Orientierungen auf reellen Vektorr¨aumen 197
49.2. Symmetrien 199
49. Arbeitsblatt 204
49.1. U¨bungsaufgaben 204
49.2. Aufgaben zum Abgeben 206
49.3. Aufgabe zum Hochladen 207
50. Vorlesung - Endliche Symmetriegruppen I 207
50.1. Endliche Bewegungsgruppen in der Ebene 209
50.2. Halbachsensysteme 211
50.3. Die Isotropiegruppe 212
50. Arbeitsblatt 213
50.1. U¨bungsaufgaben 213
50.2. Aufgaben zum Abgeben 214
50.3. Aufgabe zum Hochladen 215
51. Vorlesung - Endliche Symmetriegruppen II 215
51.1. Numerische Bedingungen fu¨r endliche Symmetriegruppen im
Raum 215
51.2. Geometrische Realisierungen der endlichen Symmetriegruppen 217
51. Arbeitsblatt 221
51.1. U¨bungsaufgaben 221
51.2. Aufgaben zum Abgeben 223
52. Vorlesung - A¨quivalente Normen 224
52.1. Teilmengen in einem metrischen Raum 224
52.2. A¨quivalente Normen 226
52.3. Kompaktheit 227
52.4. Stetige Abbildungen zwischen metrischen R¨aumen 227
7
52.5. Lineare stetige Abbildungen 229
52.6. A¨quivalenz von Normen 230
52. Arbeitsblatt 232
52.1. U¨bungsaufgaben 232
52.2. Aufgaben zum Abgeben 235
53. Vorlesung - Konvergenz von Matrixpotenzen 236
53.1. Norm von Endomorphismen und Matrizen 236
53.2. Konvergenz von Matrixpotenzen 237
53.3. Asymptotische Stabilit¨at und Stabilit¨at 239
53. Arbeitsblatt 243
53.1. U¨bungsaufgaben 243
53.2. Aufgaben zum Abgeben 247
54. Vorlesung - Stochastische Matrizen 248
54.1. Stochastische Matrizen 248
54.2. Potenzen von stochastischen Matrizen 252
54. Arbeitsblatt 257
54.1. U¨bungsaufgaben 257
54.2. Aufgaben zum Abgeben 260
55. Vorlesung - Tensorprodukt I 261
55.1. Das Tensorprodukt von Vektorr¨aumen 262
55. Arbeitsblatt 268
55.1. U¨bungsaufgaben 268
55.2. Aufgaben zum Abgeben 271
56. Vorlesung - Tensorprodukt II 271
56.1. Basiswechsel bei Tensorprodukten 271
56.2. Tensorprodukt und Dualraum 272
56.3. Tensorprodukte von linearen Abbildungen 273
56.4. K¨orperwechsel 275
56. Arbeitsblatt 278
56.1. U¨bungsaufgaben 278
56.2. Aufgaben zum Abgeben 282
57. Vorlesung - Dachprodukt I 283
57.1. Lineare Abbildungen bei K¨orperwechsel 283
8
57.2. Das Dachprodukt 284
57.3. Rechenregeln fu¨r das Dachprodukt 285
57.4. Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes 287
57. Arbeitsblatt 288
57.1. U¨bungsaufgaben 288
57.2. Aufgaben zum Abgeben 291
58. Vorlesung - Dachprodukt II 292
58.1. Eigenschaften des Dachprodukts 292
58.2. Dachprodukte bei linearen Abbildungen 295
58.3. Orientierungen und das Dachprodukt 296
58. Arbeitsblatt 297
58.1. U¨bungsaufgaben 297
58.2. Aufgaben zum Abgeben 298
Anhang A: Bildlizenzen 300
Abbildungsverzeichnis 300
9
Vorwort
Vorwort
Dieses Skript gibt die Anf¨angervorlesung Lineare Algebra II wieder, die ich
im Sommersemester 2016 an der Universit¨at Osnabru¨ck im Studiengang Ma-
thematik gehalten habe.
Der Text wurde auf Wikiversity geschrieben und steht unter der Creative-
Commons-Attribution-ShareAlike 4.0. Die Bilder wurden von Commons
u¨bernommen und unterliegen den dortigen freien Lizenzen. In einem Anhang
werden die einzelnen Bilder mit ihren Autoren und Lizenzen aufgefu¨hrt. Die
CC-BY-SA 4.0 Lizenz erm¨oglicht es, dass das Skript in seinen Einzelteilen
verwendet, ver¨andert und weiterentwickelt werden darf. Ich bedanke mich
bei der Wikimedia-Gemeinschaft und insbesondere bei Benutzer Exxu fu¨r
die wichtigen Beitr¨age im Projekt semantische Vorlagen, die eine weitgehend
automatische Erstellung des Latexcodes erm¨oglichen.
Bei dem U¨bungsgruppenleiter Jonathan Steinbuch und den Tutoren Matt-
hias Hockmann, Maurice Kraune, Jan-Luca Spellmann bedanke ich mich
fu¨r die Durchfu¨hrung des U¨bungsbetriebs. Bei Jonathan Steinbuch bedanke
ich mich fu¨r das Korrekturlesen. Bei Frau Marianne Gausmann bedanke ich
mich fu¨r die Erstellung der Pdf-Files und bei den Studierenden fu¨r einzelne
Korrekturen.
Holger Brenner
10
1. Vorlesung - Vektorra¨ume mit Skalarprodukt
31.1. Vektorr¨aume mit Skalarprodukt.
Im Rn kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein
Vektor hat auch eine L¨ange, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zu-
einander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedru¨ckt. L¨ange und
Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts pr¨azisiert. Dafu¨r
muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir
diskutieren die beiden F¨alle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeich-
nung das Symbol K. Zu z C bezeichnet z die konjungiert-komplexe Zahl,
∈
bei z R einfach die Zahl selbst.
∈
Definition 31.1. Sei V ein K-Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf V ist eine
Abbildung
V V K, (v,w) v,w ,
× −→ 7−→ h i
mit folgenden Eigenschaften:
(1) Es ist
λ x +λ x ,y = λ x ,y +λ x ,y
1 1 2 2 1 1 2 2
h i h i h i
fu¨r alle λ ,λ K, x ,x ,y V und
1 2 1 2
∈ ∈
x,λ y +λ y = λ x,y +λ x,y
1 1 2 2 1 1 2 2
h i h i h i
fu¨r alle λ ,λ K, x,y ,y V.
1 2 1 2
∈ ∈
(2) Es ist
v,w = w,v
h i h i
fu¨r alle v,w V.
∈
(3) Es ist v,v 0 fu¨r alle v V und v,v = 0 genau dann, wenn
h i ≥ ∈ h i
v = 0 ist.
Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall Bilinearit¨at (das
ist nur eine andere Bezeichnung fu¨r multilinear, wenn der Definitionsbereich
dasProduktvonzweiVektorr¨aumenist),Symmetrie undpositive Definitheit.
Im komplexen Fall spricht man von sesquilinear und von hermitesch. Diese
auf den ersten Blick unsch¨one Abweichung muss gemacht werden, um die
positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung fu¨r einen
sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist.
Beispiel 31.2. Auf dem Rn ist die Abbildung
n
Rn Rn R, (v,w) = ((v ,...,v ),(w ,...,w )) v w ,
1 n 1 n i i
× −→ 7−→
i=1
X
ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Eine einfache
Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.