Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung im Sommersemester 1997 Technische Universit¨at Berlin gehalten von Prof. Dr. M. Pohst Inhaltsverzeichnis 8 Invariante Unterr¨aume (Normalformen Teil II) 1 8.0 Ru¨ckblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8.1 Definition — irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8.2 Hilfssatz — zu irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8.3 Satz — von der eindeutigen Primpolynomzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8.4 Definition — kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8.5 Satz — zum Ringhomomorphismus ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 σ 8.6 Definition — Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8.7 Definition — (σ-)invariant bzw. invarianter Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . 6 8.8 Hilfssatz — ker(g(σ)) ker(f(σ)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ⊂ 8.9 Satz — λ K Nullstelle von m (t) λ Eigenwert zu σ. . . . . . . . . . . . . . 7 σ ∈ ⇔ 8.10 Definition — direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8.11 Hilfssatz — Potenzproduktzerlegung von m (t) in Primpolynome . . . . . . . . . 8 σ 8.12 Berechung σ-invarianter Teilr¨aume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Konstruktion von m (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 σ 8.13 Hilfssatz — Aussagen zu mσ(t)= si=1pi(t)li mit Ui :=ker(pi(σ)li) (1≤i≤s) . 10 8.14 Satz — 1. Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Q 8.15 Definition — u¨ber U linear unabh¨angig (abh¨angig) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8.16 Hilfssatz — zu linear abh¨angig (unabh¨angig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Berechnung des charakteristischen Polynoms, Zusammenhang zum Minimalpoly- nom und Satz von Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8.17 Hilfssatz — Normalform (Matrix besteht aus Begleitmatrizen) . . . . . . . . . . . 17 8.18 Definition — σ-zyklisch, erzeugender Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8.19 Satz — V direkte Summe von σ-zyklischen Unterr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . 19 8.20 Satz — 2. Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.21 Satz — m (t) teilt f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 σ σ 8.22 Korollar — Satz von Hamilton-Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ru¨ckblick: Was ist eine Normalform? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9 Duale Raumpaare und Dualraum 32 9.1 Definition — Bilinearform, Raumpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9.2 Definition — duales Raumpaar, skalares Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9.3 Hilfssatz — B(vi,w)= 0 (1 i n), w= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ≤ ≤ 9.4 Satz — Es sei (V, W) ein duales Raumpaar, und V oder W habe endliche Dimen- sion. Dann sind V und W isomorph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.5 Satz — Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.6 Definition — orthogonal, orthogonale Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.7 Hilfssatz — zum orthogonalen Kompliment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9.8 Hilfssatz — (U⊥)⊥ =U, dimU⊥ =dimV dimU. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 − 9.9 Satz — Monomorphimus ϕ : W V∗ mit B(v, w)=ϕ(w)(v) v V,w W. . 37 → ∀ ∈ ∈ 9.10 Korollar — Genau dann ist (V, U∗) ein duales Raumpaar, wenn U∗⊥ = 0 ist.. . 38 { } 9.11 Korollar — bzgl. (V, V∗) duales Raumpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9.12 Definition — duales Abbildungspaar, ϕ∗ dual zu ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9.13 Hilfssatz — Zu ϕ existiert h¨ochstens eine duale Abbildung ϕ∗. . . . . . . . . . . . 39 9.14 Hilfssatz — Zu jedem ϕ existiert die duale Abbildung ϕ∗. . . . . . . . . . . . . . . 39 9.15 Hilfssatz — Aussagen bzgl. dem dualen Abbildungspaar. . . . . . . . . . . . . . . 39 9.16 Lemma — bzgl. Matrizen von dualen Abbildungspaaren . . . . . . . . . . . . . . 41 ii Inhaltsverzeichnis Anwendung auf lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.17 Satz — Alternativsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.18 Dualit¨atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Nachtrag zur Linearen Algebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9.19 Satz — A heißt positiv definit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9.20 Satz — Sylvestersches Tr¨agheitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 10 Multilineare Algebra 47 10.1 Definition — direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.2 Satz — Charakteristisierung des direkten Produktes . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 10.3 Satz — Hom (X, r V ) =∼ r Hom(X, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 i=1 i i=1 i 10.4 Definition — multilineare Abbildung, r-fach linear, Linearform . . . . . . . . . . . 51 Q Q 10.5 Satz — zur multilinearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.6 Definition — Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 10.7 Hilfssatz — Isomorphismus ψ : (V V ) V V (V V ) . . . . . . . . . . 54 1 2 3 1 2 3 ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ 10.8 Hilfssatz — Isomorphismus ψ : V V V V mit ψ(x y)=y x . . . . . . 55 1 2 2 1 ⊗ → ⊗ ⊗ ⊗ Tensorprodukt bei Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 10.8.1 Eigenschaften von T (ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ∼ ∼ 10.9 Satz — Hom(U, Hom(V, W)) = Hom(U, V; W) = Hom(U V, W). . . . . . . 57 10.10 Hilfssatz — U V =∼ r U V . . . . . . . . . . . . . . ⊗. . . . . . . . . . . . 59 10.11 Hilfssatz — Jed⊗es Elemeni=t1aus⊗U i V hat die eindeutige Darstellung n u v . 59 Q ⊗ i=1 i⊗ i 10.12 Korollar — u v (1 i k), (1 j m) Basis von U V . . . . . . . . . . 60 i j { ⊗ | ≤ ≤ ≤ ≤ } ⊗ P 10.13 Hilfssatz — Isomorphismus σ : End(U) End(V) End(U V) . . . . . . . . 60 ⊗ → ⊗ 10.13.1 Erweiterung des Grundk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.14 Hilfssatz — bzgl. der Basis des K-Vektorraums V und L-Vektorraums V . . . . . 61 L 10.15 Definition—p-fachekontravarianteundq-fachekovarianteTensorenbzw.Tensoren der Stufe (p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.15.1 Summationskonvention (nach Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Produktformel fu¨r allgemeine Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Abbildungen von Tensorprodukten (und deren Matrizen) . . . . . . . . . . . . . . 64 10.16 Definition — alternierend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10.17 Definition — ¨außere Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10.18 Satz — H : Λ (V) W mit G=H F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 r → ◦ 10.19 Satz — Basis und Dimension von Λ (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 r 10.19.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.20 Hilfssatz — Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 I Anwendungen im IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 II Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11 Analytische Geometrie 72 11.1 Definition — affiner Raum, Punkte, Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 11.2 Definition — affiner Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 11.3 Hilfssatz — bzgl. affiner Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 11.4 Hilfssatz — bzgl. dem Durchschnitt von affinen Teil¨aumen . . . . . . . . . . . . . 73 11.5 Satz — Aussagen fu¨r U , U Unterr¨aume eines affinen Raumes A . . . . . . . . . 75 1 2 11.6 Definition — parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11.7 Hilfssatz — U und H sind parallel oder es gilt dimU H =dimU 1. . . . . . . 77 ∩ − 11.8 Definition — Koordinatensystem, Anfangspunkt (Ursprung) . . . . . . . . . . . . 77 11.9 Satz — bzgl. Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11.10 Hilfssatz — dimU =n rg(α ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 µν − Weitere Kennzeichnung affiner R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11.11 Hilfssatz — Wann (A, V , T) affiner Raum ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 A 11.12 Definition — affine Abbildung, Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.13 Satz — Affine Raum (A, V , T) ist isomorph zum affinen Raum (V , V , ). . . . 80 A A A − 11.14 Definition — affine Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 11.15 Hilfssatz — bzgl. U affiner Unterraum von (V,V, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 − 11.16 Hilfssatz — [U]=U := m λ x m IN, λ K, x U, m λ =1 . . . 82 0 i=1 i i ∈ i ∈ i ∈ i=1 i 11.17 Definition — affin abh¨anngig, affin una¯bh¨angig . . . . . . . . . . . . . . . .o. . . . 83 P ¯ P 11.18 Hilfssatz — x0,...,xk affin abh¨angig ¯ x1 x0,...,xk x0 linear abh¨angig . . . . . 83 ⇔ − − Inhaltsverzeichnis iii Bemerkungen zu affinen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11.19 Hilfssatz — bzgl. affinen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11.20 Hilfssatz — bzgl. affinen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11.21 Hilfssatz — Aussagen zu ϕ : A B affine Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . 85 → 11.22 Hilfssatz — ϕ : A B mit ϕ(p )=q (1 ν n) . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ν ν → ≤ ≤ 11.23 Definition — Affinit¨at, Translation, Translationsvektor . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.24 Hilfssatz — A¨quivalenzaussagen zu Affinit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.25 Definition — Kongruenz, ¨ahnlich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.26 Hilfssatz — bzgl. Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.27 Hilfssatz — bzgl. A¨hnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.27.1 Beispiele zum Rechnen mit Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 11.27.2 Beispiel — Winkelhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11.27.3 Beispiel — Feuerbachkreis und Eulerische Gerade. . . . . . . . . . . . . . 93 11.27.4 Spezielle Kegelschnitte im IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.27.5 Kegelschnitte allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.28 Definition — Quadrik, Hyperfl¨ache 2. Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.29 Hilfssatz — Q Quadrik, ϕ Affinit¨at ϕ(Q) Quadrik . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ⇒ 11.30 Definition — Zwei Quadriken heißen geometrisch ¨aquvalent. . . . . . . . . . . . . 98 11.31 Geometrischer Klassifikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.31.1 Normalformen von Quadriken im IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.31.2 Normalformen von Quadriken im IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12 Projektive Geometrie 103 12.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 12.2 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 12.3 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.4 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.6 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.7 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 12.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 12.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.11 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.12 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.13 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.14 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.15 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.16 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A U¨bungen zur Linearen Algebra II 115 B Klausuren zur Linearen Algebra II 126 B.1 Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 B.2 Nachklausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Literaturverzeichnis 133 Symbolverzeichnis 134 Stichwortverzeichnis 137 Kapitel 8: Invariante Unterr¨aume V ist im folgenden stets ein endlich dimensionaler Vektorraum (dimV =n) u¨ber dem (kommuta- tiven) K¨orper K. 8.0 Ru¨ckblick R sei kommutativer Ring mit Eins, K K¨orper: m R[t]= a ti m ZZ≥0, a R i i ( ¯ ∈ ∈ ) Xi=0 ¯ ¯ ist der Polynomring in der Variablen t u¨ber R.¯ ¯ Einsetzen von ”Werten” fu¨r die Variable t, d.h. eine Abbildung m m a ti a xi i i 7−→ i=0 i=0 X X mitxauskommutativenRingmitEins,derzus¨atzlicheinunit¨arerR-Modulist,heißtSpezialisier- ung. m Ist etwa a xi =0 in diesem Ring, so heißt x Nullstelle des Polynoms. i i=0 X Bezeichnungen: m Fu¨r f(t)= a ti mit a =0 schreiben wir i m 6 i=0 X deg(f) = Grad von f (= m) l(f) = Leitkoeffizient von f (= a ). m (Vereinbarungen: deg(0)= , l(0)=0). −∞ Fu¨r l(f)=1 heißt f normiert. Es gelten die Rechenregeln deg(f +g) max(deg(f), deg(g)), ≤ deg(fg) deg(f)+deg(g). ≤ (Beachte: l(fg)=l(f)l(g), falls l(f)l(g)=0 ist.) 6 Die Gleichung in der vorangegangenen Zeile ist garantiert, falls R keine Nullteiler enth¨alt, speziell also fu¨r R=K. Division mit Rest in K[t]: Zu Polynomen f(t), g(t) K[t] mit g(t)=0 existieren Q(f,g)(t), R(f,g)(t) K[t] mit ∈ 6 ∈ f(t)=Q(f,g)(t)g(t)+R(f,g)(t)mit deg(R(f,g))<deg(g). (Hierbei ist R(f,g)=0 eingeschlossen. In diesem Fall sagt man, daß g(t) das Polynom f(t) teilt.) Euklidischer Algorithmus in K[t]: Der letzte nicht verschwindende Divisionsrest bei sukzessiver Anwendung von Division mit Rest auf f, g, danach auf g, R(f,g) etc. ist bis auf Normierung der ggT von f und g. 2 Kapitel 8 — Invariante Unterra¨ume (Normalformen Teil II) (Beachte: Der ggT ist durch Normierung eindeutig bestimmt.) Darstellung des ggT: Zu f, g existieren u, v mit u(t)f(t)+v(t)g(t)=ggT(f,g)(t), u, v sind mit Euklidischem Algorithmus berechenbar. Falls λ K Nullstelle von f(t) K[t] ist, gilt: ∈ ∈ (t λ) K[t] teilt f(t). − ∈ DieVielfachheiteinerNullstelleistdergr¨oßteExponentk INmit(t λ)k teiltf(t)(Schreibweise: ∈ − (t λ)k f(t)). − | 8.1 Definition Ein Polynom f(t) R[t] positiven Grades heißt irreduzibel, falls in R[t] kein Polynom g(t) mit ∈ 0<deg(g)<deg(f) mit g(t) f(t) existiert. | Beispiele: (i) t+λ (λ R); ∈ (ii) t2+1 in IR[t] (denn es existiert in IR keine Nullstelle); (iii) t3+t+1 IF [t] 2 ∈ (Beachte: PolynomevomGrad2bzw.3sindgenaudannu¨berK¨orpernirreduzibel, wennsie keine Nullstelle besitzen.) (iv) tm+2 in Q[t] (m IN) ∈ (Beweis: Algebra-Vorlesung). Ziel: Schreibe f(t) K[t], deg(f) > 0 als Potenzprodukt irreduzibler Polynome, eine solche ∈ Darstellung wird — bis auf Reihenfolge der Faktoren — eindeutig durch Normierung der irredu- ziblen Polynome. 8.2 Hilfssatz Es seien f(t), g(t), h(t) K[t] nicht konstant, sowie f(t) irreduzibel. ∈ (i) Giltg(t)f(t)sofolgtauchf(t)g(t). Sindzudemf(t), g(t)beidenormiert, sosindsiegleich. | | (ii) Aus f(t)(g(t)h(t)) folgt f(t)g(t) oder f(t)h(t). | | | (U¨ber Ringen ist dies i.a. falsch: In R=ZZ/8ZZ ist t2 1=(t 1)(t+1)=(t 3)(t+3).) − − − Beweis: (i) InK[t]ist f(t) = g(t)g˜(t), also deg(f) = deg(g)+deg(g˜)mit (0<) deg(g) deg(f). ≤ Da f(t) irreduzibel war, muß deg(g)=deg(f) sein, also deg(g˜)=0 gelten, d.h. g˜(t)=λ K, λ=0 ist konstant. ∈ 6 1 Es folgt f(t)=λg(t) bzw. f(t)=g(t), also f(t)g(t). λ | Ferner ist l(f)=λl(g); falls l(f)=l(g)=1 ist, folgt λ=1. 8.3 Satz — von der eindeutigen Primpolynomzerlegung 3 1 (ii) Gem¨aß (8.1) folgt fu¨r u(t):=ggT(f(t), g(t)) entweder u(t)= f(t) oder u(t)=1. l(f) Im ersten Fall gilt f(t)g(t), und wir sind fertig. | Im zweiten Fall gilt in K[t]: 1 = f(t)f˜(t)+g(t)g˜(t), h(t) = f(t)f˜(t)h(t)+g(t)g˜(t)h(t) = f(t)fˆ(t) wegen f(t)(g(t)h(t)), also f(t)h(t). | | 2 8.3 Satz (von der eindeutigen Primpolynomzerlegung) Fu¨r f(t) K[t] mit m=deg(f) 1 existieren bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmte normierte ∈ ≥ irreduzible Polynome p (t),...,p (t) K[t] mit 1 r ∈ f(t)=l(f)p (t) ... p (t) 1 r (u¨ber K¨orpern: normiertes und irreduzibles Polynom = Primpolynom). Beweis: Die Existenz wird mittels Induktion u¨ber m=deg(f) gezeigt. Fu¨r m = 1 ist f(t) irreduzibel, f(t) = l(f)f˜(t) mit f˜(t) normiert und irreduzibel. Sei nun m>1 und die Behauptung fu¨r alle Polynome vom Grad <m bereits gezeigt. Ist f(t) irreduzibel, so ist die Behauptung wiederum klar. Sonst existiert Aufspaltung f(t) = f (t)f (t) mit 0 < 1 2 deg(f ) < deg(f) (i = 1,2). Wende Induktionsvorraussetzung auf f (t), f (t) an und erhalte so i 1 2 die gewu¨nschte Darstellung von f(t). Die Eindeutigkeit der Darstellung sieht man folgendermaßen: Es sei 1 f(t)=p (t) ... p (t)=q (t) ... q (t) 1 r 1 s l(f) · · · · mit Primpolynomen p , q (o.B.d.A. : r s). Dann folgt i i ≤ p (t) (q (t) ... q (t)), 1 1 s | · · nach (8.2)(ii) teilt p (t) dann ein q (t), eventuelles Umnumerieren liefert p (t)q (t), nach (8.2)(i) 1 j 1 1 | ist also p (t)=q (t). Damit erh¨alt man 1 1 p (t) ... p (t)=q (t) ... q (t). 2 r 2 s · · · · Fu¨hrt man denselben Schluß fu¨r p (t),...,p (t) durch, folgt r = s und p = q (1 i r) (bei 2 r i i ≤ ≤ passender Numerierung). 2 8.4 Definition Zuf(t), g(t) K[t]mitdeg(f) 0, deg(g) 0heißtdaseindeutigbestimmtenormiertePolynom ∈ ≥ ≥ m(t) kleinsten Grades mit f(t)m(t), g(t)m(t) das kleinste gemeinsame Vielfache von f(t), g(t). | | Bezeichnung: m(t)=kgV(f(t), g(t)). (Zus¨atzlich vereinbaren wir: kgV(0, g(t))=0.) Bemerkung: f(t)g(t) 1 Fu¨r h(t)= ist kgV(f(t), g(t))= h(t). ggT(f(t), g(t)) l(h) Angenehmere Schreibweise fu¨r Darstellung durch Primpolynome: Es sei IP die Menge aller Primpolynome von K[t]. Dann ist t f(t)=l(f) p(t)νp(f), g(t)=l(g) p(t)νp(g), p(tY)∈IPt p(tY)∈IPt 4 Kapitel 8 — Invariante Unterra¨ume (Normalformen Teil II) (ν (g), ν (f) ZZ≥0, fast alle Exponenten gleich 0) p p ∈ f(t)g(t) = l(f)l(g) p(t)νp(f)+νp(g), p(tY)∈IPt ggT(f(t), g(t)) = p(t)min(νp(f),νp(g)), p(tY)∈IPt kgV(f(t), g(t)) = p(t)max(νp(t),νp(g)). p(tY)∈IPt Zu σ End(V) bzw. A Kn×n, betrachten wir die Spezialisierungen: ∈ ∈ m m ϕ : K[t] End(V) : a ti a σi (σ0 =id ), σ i i V −→ 7−→ i=0 i=0 Xm Xn ϕ : K[t] Kn×n : a ti a Ai (A0 =I ). A i i n −→ 7−→ i=0 i=0 X X Statt ϕ (f(t)) schreiben wir im folgenden kurz f(σ). σ Bemerkung: ϕ , ϕ sind Ringhomomorphismen, speziell ist ϕ (K[t]) kommutativer Teilring von End(V) und σ A σ ϕ (K[t]) einer von Kn×n. A 8.5 Satz Fu¨r σ End(V) und f(t), g(t) K[t] gelten: ∈ ∈ (i) g(t)f(t) ker(g(σ)) ker(f(σ)), | ⇒ ⊆ (ii) ker(ϕ (ggT(f(t), g(t))))=ker(g(σ)) ker(f(σ)), σ ∩ (iii) ker(ϕ (kgV(f(t), g(t))))=ker(f(σ))+ker(g(σ)). σ Bemerkung: Fu¨r ggT(f(t), g(t))=1 ist der entsprechende Kern der Nullraum, also gilt . ker(f(σ)g(σ))=ker(f(σ))+ker(g(σ)). Beispiel: α β Im Fall dimV =2, A= K2×2 mit charakteristischem Polynom γ δ ∈ µ ¶ f(t)=det(tI A)=t2 Sp(A)t+det(A)t0 2 − − wird f(A) = A2 (α+δ)A+det(A)A0 − α2+βγ αβ+βδ (α+δ)α (α+δ)β = αγ+γδ βγ+δ2 − (α+δ)γ (α+δ)δ µ ¶ µ ¶ αδ βγ 0 + − 0 αδ βγ µ − ¶ 0 0 = . 0 0 µ ¶
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