Lineare Algebra und analytische Geometrie II

146 Pages·2009·0.94 MB·German

Lineare Algebra
und
analytische Geometrie II
Vorlesung im
Sommersemester 1997
Technische Universit¨at Berlin
gehalten von
Prof. Dr. M. Pohst

Inhaltsverzeichnis
8 Invariante Unterr¨aume (Normalformen Teil II) 1
8.0 Ru¨ckblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
8.1 Definition — irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2 Hilfssatz — zu irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.3 Satz — von der eindeutigen Primpolynomzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.4 Definition — kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.5 Satz — zum Ringhomomorphismus ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
σ
8.6 Definition — Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.7 Definition — (σ-)invariant bzw. invarianter Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.8 Hilfssatz — ker(g(σ)) ker(f(σ)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
⊂
8.9 Satz — λ K Nullstelle von m (t) λ Eigenwert zu σ. . . . . . . . . . . . . . 7
σ
∈ ⇔
8.10 Definition — direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8.11 Hilfssatz — Potenzproduktzerlegung von m (t) in Primpolynome . . . . . . . . . 8
σ
8.12 Berechung σ-invarianter Teilr¨aume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Konstruktion von m (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
σ
8.13 Hilfssatz — Aussagen zu mσ(t)= si=1pi(t)li mit Ui :=ker(pi(σ)li) (1≤i≤s) . 10
8.14 Satz — 1. Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Q
8.15 Definition — u¨ber U linear unabh¨angig (abh¨angig) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.16 Hilfssatz — zu linear abh¨angig (unabh¨angig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Berechnung des charakteristischen Polynoms, Zusammenhang zum Minimalpoly-
nom und Satz von Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.17 Hilfssatz — Normalform (Matrix besteht aus Begleitmatrizen) . . . . . . . . . . . 17
8.18 Definition — σ-zyklisch, erzeugender Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.19 Satz — V direkte Summe von σ-zyklischen Unterr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . 19
8.20 Satz — 2. Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.21 Satz — m (t) teilt f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
σ σ
8.22 Korollar — Satz von Hamilton-Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ru¨ckblick: Was ist eine Normalform? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Duale Raumpaare und Dualraum 32
9.1 Definition — Bilinearform, Raumpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.2 Definition — duales Raumpaar, skalares Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.3 Hilfssatz — B(vi,w)= 0 (1 i n), w= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
≤ ≤
9.4 Satz — Es sei (V, W) ein duales Raumpaar, und V oder W habe endliche Dimen-
sion. Dann sind V und W isomorph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.5 Satz — Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.6 Definition — orthogonal, orthogonale Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.7 Hilfssatz — zum orthogonalen Kompliment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.8 Hilfssatz — (U⊥)⊥ =U, dimU⊥ =dimV dimU. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
−
9.9 Satz — Monomorphimus ϕ : W V∗ mit B(v, w)=ϕ(w)(v) v V,w W. . 37
→ ∀ ∈ ∈
9.10 Korollar — Genau dann ist (V, U∗) ein duales Raumpaar, wenn U∗⊥ = 0 ist.. . 38
{ }
9.11 Korollar — bzgl. (V, V∗) duales Raumpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.12 Definition — duales Abbildungspaar, ϕ∗ dual zu ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.13 Hilfssatz — Zu ϕ existiert h¨ochstens eine duale Abbildung ϕ∗. . . . . . . . . . . . 39
9.14 Hilfssatz — Zu jedem ϕ existiert die duale Abbildung ϕ∗. . . . . . . . . . . . . . . 39
9.15 Hilfssatz — Aussagen bzgl. dem dualen Abbildungspaar. . . . . . . . . . . . . . . 39
9.16 Lemma — bzgl. Matrizen von dualen Abbildungspaaren . . . . . . . . . . . . . . 41
ii Inhaltsverzeichnis
Anwendung auf lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.17 Satz — Alternativsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.18 Dualit¨atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Nachtrag zur Linearen Algebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.19 Satz — A heißt positiv definit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.20 Satz — Sylvestersches Tr¨agheitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10 Multilineare Algebra 47
10.1 Definition — direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.2 Satz — Charakteristisierung des direkten Produktes . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10.3 Satz — Hom (X, r V ) =∼ r Hom(X, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i=1 i i=1 i
10.4 Definition — multilineare Abbildung, r-fach linear, Linearform . . . . . . . . . . . 51
Q Q
10.5 Satz — zur multilinearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.6 Definition — Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10.7 Hilfssatz — Isomorphismus ψ : (V V ) V V (V V ) . . . . . . . . . . 54
1 2 3 1 2 3
⊗ ⊗ → ⊗ ⊗
10.8 Hilfssatz — Isomorphismus ψ : V V V V mit ψ(x y)=y x . . . . . . 55
1 2 2 1
⊗ → ⊗ ⊗ ⊗
Tensorprodukt bei Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.8.1 Eigenschaften von T (ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
∼ ∼
10.9 Satz — Hom(U, Hom(V, W)) = Hom(U, V; W) = Hom(U V, W). . . . . . . 57
10.10 Hilfssatz — U V =∼ r U V . . . . . . . . . . . . . . ⊗. . . . . . . . . . . . 59
10.11 Hilfssatz — Jed⊗es Elemeni=t1aus⊗U i V hat die eindeutige Darstellung n u v . 59
Q ⊗ i=1 i⊗ i
10.12 Korollar — u v (1 i k), (1 j m) Basis von U V . . . . . . . . . . 60
i j
{ ⊗ | ≤ ≤ ≤ ≤ } ⊗ P
10.13 Hilfssatz — Isomorphismus σ : End(U) End(V) End(U V) . . . . . . . . 60
⊗ → ⊗
10.13.1 Erweiterung des Grundk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.14 Hilfssatz — bzgl. der Basis des K-Vektorraums V und L-Vektorraums V . . . . . 61
L
10.15 Definition—p-fachekontravarianteundq-fachekovarianteTensorenbzw.Tensoren
der Stufe (p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.15.1 Summationskonvention (nach Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Produktformel fu¨r allgemeine Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Abbildungen von Tensorprodukten (und deren Matrizen) . . . . . . . . . . . . . . 64
10.16 Definition — alternierend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.17 Definition — ¨außere Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.18 Satz — H : Λ (V) W mit G=H F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
r
→ ◦
10.19 Satz — Basis und Dimension von Λ (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
r
10.19.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.20 Hilfssatz — Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
I Anwendungen im IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11 Analytische Geometrie 72
11.1 Definition — affiner Raum, Punkte, Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.2 Definition — affiner Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.3 Hilfssatz — bzgl. affiner Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.4 Hilfssatz — bzgl. dem Durchschnitt von affinen Teil¨aumen . . . . . . . . . . . . . 73
11.5 Satz — Aussagen fu¨r U , U Unterr¨aume eines affinen Raumes A . . . . . . . . . 75
1 2
11.6 Definition — parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.7 Hilfssatz — U und H sind parallel oder es gilt dimU H =dimU 1. . . . . . . 77
∩ −
11.8 Definition — Koordinatensystem, Anfangspunkt (Ursprung) . . . . . . . . . . . . 77
11.9 Satz — bzgl. Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.10 Hilfssatz — dimU =n rg(α ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
µν
−
Weitere Kennzeichnung affiner R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.11 Hilfssatz — Wann (A, V , T) affiner Raum ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A
11.12 Definition — affine Abbildung, Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.13 Satz — Affine Raum (A, V , T) ist isomorph zum affinen Raum (V , V , ). . . . 80
A A A
−
11.14 Definition — affine Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.15 Hilfssatz — bzgl. U affiner Unterraum von (V,V, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
−
11.16 Hilfssatz — [U]=U := m λ x m IN, λ K, x U, m λ =1 . . . 82
0 i=1 i i ∈ i ∈ i ∈ i=1 i
11.17 Definition — affin abh¨anngig, affin una¯bh¨angig . . . . . . . . . . . . . . . .o. . . . 83
P ¯ P
11.18 Hilfssatz — x0,...,xk affin abh¨angig ¯ x1 x0,...,xk x0 linear abh¨angig . . . . . 83
⇔ − −
Inhaltsverzeichnis iii
Bemerkungen zu affinen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.19 Hilfssatz — bzgl. affinen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.20 Hilfssatz — bzgl. affinen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.21 Hilfssatz — Aussagen zu ϕ : A B affine Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . 85
→
11.22 Hilfssatz — ϕ : A B mit ϕ(p )=q (1 ν n) . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ν ν
→ ≤ ≤
11.23 Definition — Affinit¨at, Translation, Translationsvektor . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.24 Hilfssatz — A¨quivalenzaussagen zu Affinit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.25 Definition — Kongruenz, ¨ahnlich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.26 Hilfssatz — bzgl. Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.27 Hilfssatz — bzgl. A¨hnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.27.1 Beispiele zum Rechnen mit Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11.27.2 Beispiel — Winkelhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.27.3 Beispiel — Feuerbachkreis und Eulerische Gerade. . . . . . . . . . . . . . 93
11.27.4 Spezielle Kegelschnitte im IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.27.5 Kegelschnitte allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.28 Definition — Quadrik, Hyperfl¨ache 2. Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.29 Hilfssatz — Q Quadrik, ϕ Affinit¨at ϕ(Q) Quadrik . . . . . . . . . . . . . . . . 97
⇒
11.30 Definition — Zwei Quadriken heißen geometrisch ¨aquvalent. . . . . . . . . . . . . 98
11.31 Geometrischer Klassifikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.31.1 Normalformen von Quadriken im IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.31.2 Normalformen von Quadriken im IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12 Projektive Geometrie 103
12.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.2 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.3 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.4 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.5 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.6 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.7 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.11 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.12 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.13 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.14 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.15 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.16 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A U¨bungen zur Linearen Algebra II 115
B Klausuren zur Linearen Algebra II 126
B.1 Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.2 Nachklausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Literaturverzeichnis 133
Symbolverzeichnis 134
Stichwortverzeichnis 137

Kapitel 8: Invariante Unterr¨aume
V ist im folgenden stets ein endlich dimensionaler Vektorraum (dimV =n) u¨ber dem (kommuta-
tiven) K¨orper K.
8.0 Ru¨ckblick
R sei kommutativer Ring mit Eins, K K¨orper:
m
R[t]= a ti m ZZ≥0, a R
i i
( ¯ ∈ ∈ )
Xi=0 ¯
¯
ist der Polynomring in der Variablen t u¨ber R.¯
¯
Einsetzen von ”Werten” fu¨r die Variable t, d.h. eine Abbildung
m m
a ti a xi
i i
7−→
i=0 i=0
X X
mitxauskommutativenRingmitEins,derzus¨atzlicheinunit¨arerR-Modulist,heißtSpezialisier-
ung.
m
Ist etwa a xi =0 in diesem Ring, so heißt x Nullstelle des Polynoms.
i
i=0
X
Bezeichnungen:
m
Fu¨r f(t)= a ti mit a =0 schreiben wir
i m
6
i=0
X
deg(f) = Grad von f (= m)
l(f) = Leitkoeffizient von f (= a ).
m
(Vereinbarungen: deg(0)= , l(0)=0).
−∞
Fu¨r l(f)=1 heißt f normiert. Es gelten die Rechenregeln
deg(f +g) max(deg(f), deg(g)),
≤
deg(fg) deg(f)+deg(g).
≤
(Beachte: l(fg)=l(f)l(g), falls l(f)l(g)=0 ist.)
6
Die Gleichung in der vorangegangenen Zeile ist garantiert, falls R keine Nullteiler enth¨alt, speziell
also fu¨r R=K.
Division mit Rest in K[t]:
Zu Polynomen f(t), g(t) K[t] mit g(t)=0 existieren Q(f,g)(t), R(f,g)(t) K[t] mit
∈ 6 ∈
f(t)=Q(f,g)(t)g(t)+R(f,g)(t)mit deg(R(f,g))<deg(g).
(Hierbei ist R(f,g)=0 eingeschlossen. In diesem Fall sagt man, daß g(t) das Polynom f(t) teilt.)
Euklidischer Algorithmus in K[t]:
Der letzte nicht verschwindende Divisionsrest bei sukzessiver Anwendung von Division mit Rest
auf f, g, danach auf g, R(f,g) etc. ist bis auf Normierung der ggT von f und g.
2 Kapitel 8 — Invariante Unterra¨ume (Normalformen Teil II)
(Beachte: Der ggT ist durch Normierung eindeutig bestimmt.)
Darstellung des ggT:
Zu f, g existieren u, v mit
u(t)f(t)+v(t)g(t)=ggT(f,g)(t),
u, v sind mit Euklidischem Algorithmus berechenbar.
Falls λ K Nullstelle von f(t) K[t] ist, gilt:
∈ ∈
(t λ) K[t] teilt f(t).
− ∈
DieVielfachheiteinerNullstelleistdergr¨oßteExponentk INmit(t λ)k teiltf(t)(Schreibweise:
∈ −
(t λ)k f(t)).
− |
8.1 Definition
Ein Polynom f(t) R[t] positiven Grades heißt irreduzibel, falls in R[t] kein Polynom g(t) mit
∈
0<deg(g)<deg(f) mit g(t) f(t) existiert.
|
Beispiele:
(i) t+λ (λ R);
∈
(ii) t2+1 in IR[t] (denn es existiert in IR keine Nullstelle);
(iii) t3+t+1 IF [t]
2
∈
(Beachte: PolynomevomGrad2bzw.3sindgenaudannu¨berK¨orpernirreduzibel, wennsie
keine Nullstelle besitzen.)
(iv) tm+2 in Q[t] (m IN)
∈
(Beweis: Algebra-Vorlesung).
Ziel: Schreibe f(t) K[t], deg(f) > 0 als Potenzprodukt irreduzibler Polynome, eine solche
∈
Darstellung wird — bis auf Reihenfolge der Faktoren — eindeutig durch Normierung der irredu-
ziblen Polynome.
8.2 Hilfssatz
Es seien f(t), g(t), h(t) K[t] nicht konstant, sowie f(t) irreduzibel.
∈
(i) Giltg(t)f(t)sofolgtauchf(t)g(t). Sindzudemf(t), g(t)beidenormiert, sosindsiegleich.
| |
(ii) Aus f(t)(g(t)h(t)) folgt f(t)g(t) oder f(t)h(t).
| | |
(U¨ber Ringen ist dies i.a. falsch: In R=ZZ/8ZZ ist t2 1=(t 1)(t+1)=(t 3)(t+3).)
− − −
Beweis:
(i) InK[t]ist f(t) = g(t)g˜(t), also
deg(f) = deg(g)+deg(g˜)mit
(0<) deg(g) deg(f).
≤
Da f(t) irreduzibel war, muß deg(g)=deg(f) sein, also deg(g˜)=0 gelten,
d.h. g˜(t)=λ K, λ=0 ist konstant.
∈ 6
1
Es folgt f(t)=λg(t) bzw. f(t)=g(t), also f(t)g(t).
λ |
Ferner ist l(f)=λl(g); falls l(f)=l(g)=1 ist, folgt λ=1.
8.3 Satz — von der eindeutigen Primpolynomzerlegung 3
1
(ii) Gem¨aß (8.1) folgt fu¨r u(t):=ggT(f(t), g(t)) entweder u(t)= f(t) oder u(t)=1.
l(f)
Im ersten Fall gilt f(t)g(t), und wir sind fertig.
|
Im zweiten Fall gilt in K[t]:
1 = f(t)f˜(t)+g(t)g˜(t),
h(t) = f(t)f˜(t)h(t)+g(t)g˜(t)h(t)
= f(t)fˆ(t) wegen f(t)(g(t)h(t)), also f(t)h(t).
| |
2
8.3 Satz (von der eindeutigen Primpolynomzerlegung)
Fu¨r f(t) K[t] mit m=deg(f) 1 existieren bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmte normierte
∈ ≥
irreduzible Polynome p (t),...,p (t) K[t] mit
1 r
∈
f(t)=l(f)p (t) ... p (t)
1 r
(u¨ber K¨orpern: normiertes und irreduzibles Polynom = Primpolynom).
Beweis:
Die Existenz wird mittels Induktion u¨ber m=deg(f) gezeigt.
Fu¨r m = 1 ist f(t) irreduzibel, f(t) = l(f)f˜(t) mit f˜(t) normiert und irreduzibel. Sei nun
m>1 und die Behauptung fu¨r alle Polynome vom Grad <m bereits gezeigt. Ist f(t) irreduzibel,
so ist die Behauptung wiederum klar. Sonst existiert Aufspaltung f(t) = f (t)f (t) mit 0 <
1 2
deg(f ) < deg(f) (i = 1,2). Wende Induktionsvorraussetzung auf f (t), f (t) an und erhalte so
i 1 2
die gewu¨nschte Darstellung von f(t).
Die Eindeutigkeit der Darstellung sieht man folgendermaßen:
Es sei
1
f(t)=p (t) ... p (t)=q (t) ... q (t)
1 r 1 s
l(f) · · · ·
mit Primpolynomen p , q (o.B.d.A. : r s). Dann folgt
i i
≤
p (t) (q (t) ... q (t)),
1 1 s
| · ·
nach (8.2)(ii) teilt p (t) dann ein q (t), eventuelles Umnumerieren liefert p (t)q (t), nach (8.2)(i)
1 j 1 1
|
ist also p (t)=q (t). Damit erh¨alt man
1 1
p (t) ... p (t)=q (t) ... q (t).
2 r 2 s
· · · ·
Fu¨hrt man denselben Schluß fu¨r p (t),...,p (t) durch, folgt r = s und p = q (1 i r) (bei
2 r i i
≤ ≤
passender Numerierung).
2
8.4 Definition
Zuf(t), g(t) K[t]mitdeg(f) 0, deg(g) 0heißtdaseindeutigbestimmtenormiertePolynom
∈ ≥ ≥
m(t) kleinsten Grades mit f(t)m(t), g(t)m(t) das kleinste gemeinsame Vielfache von f(t), g(t).
| |
Bezeichnung: m(t)=kgV(f(t), g(t)).
(Zus¨atzlich vereinbaren wir: kgV(0, g(t))=0.)
Bemerkung:
f(t)g(t) 1
Fu¨r h(t)= ist kgV(f(t), g(t))= h(t).
ggT(f(t), g(t)) l(h)
Angenehmere Schreibweise fu¨r Darstellung durch Primpolynome:
Es sei IP die Menge aller Primpolynome von K[t]. Dann ist
t
f(t)=l(f) p(t)νp(f), g(t)=l(g) p(t)νp(g),
p(tY)∈IPt p(tY)∈IPt
4 Kapitel 8 — Invariante Unterra¨ume (Normalformen Teil II)
(ν (g), ν (f) ZZ≥0, fast alle Exponenten gleich 0)
p p
∈
f(t)g(t) = l(f)l(g) p(t)νp(f)+νp(g),
p(tY)∈IPt
ggT(f(t), g(t)) = p(t)min(νp(f),νp(g)),
p(tY)∈IPt
kgV(f(t), g(t)) = p(t)max(νp(t),νp(g)).
p(tY)∈IPt
Zu σ End(V) bzw. A Kn×n, betrachten wir die Spezialisierungen:
∈ ∈
m m
ϕ : K[t] End(V) : a ti a σi (σ0 =id ),
σ i i V
−→ 7−→
i=0 i=0
Xm Xn
ϕ : K[t] Kn×n : a ti a Ai (A0 =I ).
A i i n
−→ 7−→
i=0 i=0
X X
Statt ϕ (f(t)) schreiben wir im folgenden kurz f(σ).
σ
Bemerkung:
ϕ , ϕ sind Ringhomomorphismen, speziell ist ϕ (K[t]) kommutativer Teilring von End(V) und
σ A σ
ϕ (K[t]) einer von Kn×n.
A
8.5 Satz
Fu¨r σ End(V) und f(t), g(t) K[t] gelten:
∈ ∈
(i) g(t)f(t) ker(g(σ)) ker(f(σ)),
| ⇒ ⊆
(ii) ker(ϕ (ggT(f(t), g(t))))=ker(g(σ)) ker(f(σ)),
σ
∩
(iii) ker(ϕ (kgV(f(t), g(t))))=ker(f(σ))+ker(g(σ)).
σ
Bemerkung:
Fu¨r ggT(f(t), g(t))=1 ist der entsprechende Kern der Nullraum, also gilt
.
ker(f(σ)g(σ))=ker(f(σ))+ker(g(σ)).
Beispiel:
α β
Im Fall dimV =2, A= K2×2 mit charakteristischem Polynom
γ δ ∈
µ ¶
f(t)=det(tI A)=t2 Sp(A)t+det(A)t0
2
− −
wird
f(A) = A2 (α+δ)A+det(A)A0
−
α2+βγ αβ+βδ (α+δ)α (α+δ)β
=
αγ+γδ βγ+δ2 − (α+δ)γ (α+δ)δ
µ ¶ µ ¶
αδ βγ 0
+ −
0 αδ βγ
µ − ¶
0 0
= .
0 0
µ ¶