Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II

186 Pages·2004·0.99 MB·German

by  Tobias Lasser

Skript zur Vorlesung
Lineare Algebra und analytische Geometrie I/II
von Prof. Dr. F. Roesler
im WS 1999/2000 und SS 2000 an der TU Mu¨nchen
erstellt aus der Mitschrift von
Tobias Lasser, [email protected]
verfu¨gbar im Internet unter
http://www.in.tum.de/~lasser/linal.html
5. M¨arz 2004
Inhaltsverzeichnis
I Mathematische Requisiten 1
1 Mengen, Abbildungen 1
2 Relationen 9
3 Halbgruppen, Monoide, Gruppen 13
II Vektorr¨aume 20
4 Der Skalarenbereich eines Vektorraums 20
5 Elementare Eigenschaften der Vektorr¨aume 25
6 Basis und Dimension von Vektorr¨aumen 32
7 Der dreidimensionale euklidische Raum R3 39
III Lineare Abbildungen, Matrizen, lineare Gleichungen 48
8 U¨ber lineare Abbildungen 48
9 Elementare Umformungen und lineare Gleichungen 55
10 Basiswechsel und die lineare Gruppe GL(V) 63
IV Determinanten und Eigenwerte 72
11 Die Determinante einer quadratischen Matrix 72
12 Der Polynomring K[X] u¨ber einem K¨orper K 87
13 Eigenwerte und charakteristisches Polynom 94
V Bilinearformen und Dualraum 105
INHALTSVERZEICHNIS 0
14 Die Standardbilinearform 105
15 Der Dualraum eines Vektorraumes 113
16 Anwendungen und Erg¨anzungen 124
VI Normalformen von Endomorphismen 136
17 Die Jordan–Normalform 136
VII Skalarprodukte und Konvexit¨at 150
18 Skalarprodukte und zugeh¨orige Normen 150
19 Hilbertr¨aume 165
20 Konvexe Mengen 172
VIII Appendix 179
A Das Tensorprodukt von Vektorr¨aumen 179
1
Teil I
Mathematische Requisiten
1 Mengen, Abbildungen
Georg Cantor:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlun-
terschiedenenObjektenmunsererAnschauungoderunseresDenkenszueinemGanzen.
Die m heißen Element der Menge M. In Zeichen:
m∈M : hi m ist Element der Menge M.
m∈/ M : hi m ist nicht Element der Menge M.
Beschreibung von Mengen: {2,3,17}
Sei E Eigenschaft: M :={x;E(x)}
Beispiele:
N = {1,2,3,...} die natu¨rlichen Zahlen
N = {0,1,2,3,...}
0
Z = {0,1,−1,2,−2,...} die ganzen Zahlen
nm o
Q = ; m∈Z,n∈N die rationalen Zahlen
n
R = { lim a ; (a ) konvergente Folge rationaler Zahlen}
n n n≥1
n→∞
die reellen Zahlen
C = {a+bi; a,b∈R} die komplexen Zahlen
∅ = {} die leere Menge
Die Begriffe Element“ und Menge“ sind relativ:
” ”
M :={N,N ,Z,Q,R,C,∅}
0
Math. Logik: 0:=∅, 1:={∅}, 2:={∅,{∅}}, ...
Probleme k¨onnen auftreten bei Bildung sehr großer Mengen.
Russellsche Antinomie:
Wir definieren die Eigenschaft E durch:
E(x):hi x∈/ x
M :={x; E(x)}={x; x∈/ x}
Frage: Gilt M ∈M oder M ∈/ M?
Angenommen M ∈/ M. Dann hat M die Eigenschaft E. Es folgt M ∈M. ××
Angenommen M ∈M. Dann hat M die Eigenschaft E nicht. Es folgt M ∈/ M. ××
1 MENGEN, ABBILDUNGEN 2
Seien M ,M Mengen.
1 2
M ⊆ M (M ist Teilmenge von M )
1 2 1 2
M ⊆ M :hi m∈M ⇒m∈M
1 2 1 2
M = M :hi M ⊆M und M ⊆M
1 2 1 2 2 1
hi (m∈M hi m∈M )
1 2
Beispiel:
A = {x∈R; x≥0}
B = {x∈R; ∃y ∈R; x=y2}
Es gilt A=B.
M heißt endlich, wenn M nur endlich viele Elemente enth¨alt.
|M|= Anzahl der Elemente von M
z.B. |{2,3,17}| = 3
|∅| = 0
|M| = ∞ heißt: M enth¨alt unendlich viele Elemente.
M :={n∈N:2n−1 Primzahl } 2,3,5∈M
|M|=∞? Vermutung: ja
M :={n∈N:2n+1 Primzahl } 1,2,4,8,16∈M
|M|=∞? Vermutung: nein
Bildung neuer Mengen aus vorgegebenen Mengen:
Potenzmenge, Durchschnitt, Vereinigung, Differenz, Produkt
Sei M Menge.
℘(M):={N :N ⊆M} heißt die Potenzmenge von M.
℘({1,2,3})={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅}
℘(∅)={∅}.
M ∩N := {x:x∈M undx∈N} Durchschnitt
M ∪N := {x:x∈M oderx∈N} Vereinigung
M \N := {x:x∈M undx∈/ N} Differenz
Rechenregeln fu¨r Durchschnitts– und Vereinigungsbildung:
A,B,C Mengen.
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C assoziativ“
”
A∩B = B∩A kommutativ“
”
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) distributiv“
”
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C assoziativ“
”
A∪B = B∪A kommutativ“
”
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) distributiv“
”
1 MENGEN, ABBILDUNGEN 3
(A\B)∪(A\C) = A\(B∩C)
(A\B)∩(A\C) = A\(B∪C)
Venn–Diagramme:
’$
’A\B$
A
A∩B
&%
B\A B
&%
(A\B)∪(B\A)=(A∪B)\(A∩B)
ZugegebenenElementenx,y betrachtetmannebenderMenge{x,y}auchoftdasgeordnetePaar
(x,y), bestehend aus einem ersten Element x und einem zweiten Element y.
(x ,y ) = (x ,y ):hi x =x undy =y .
1 1 2 2 1 2 1 2
{x,y} = {x,y} stets.
(x,y) = (y,x) hi x=y.
X,Y Mengen:
X×Y := {(x,y):x∈X,y ∈Y}
cartesisches Produkt von X und Y
{a,b,c}×{1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
|X ×Y| = |X||Y|
X ×∅ = ∅
R2 =R×R = {(x,y):x,y ∈R}
y
6
M
M = {(x,y):1≤x≤2;−1≤y ≤1} 1 (cid:0)
x–Achse = {(x,0):x∈R} -
x
y–Achse = {(0,y):y ∈R} 3
−1
Abbildungen
Seien X,Y Mengen. Eine Abbildung f von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem x∈X genau
ein y ∈Y zuordnet. Das dem x∈X zugeordnete y ∈Y wird bezeichnet mit
y =f(x)
und heißt das Bild von x unter f. x heißt ein Urbild von y unter f. X heißt Definitionsbereich
von f, Y Bildbereich von f.
f
f :X →Y oder X →Y oder f :x7→y
Achtung: Es muss nicht jedes y ∈Y als Bild eines x∈X auftreten.
1 MENGEN, ABBILDUNGEN 4
1) 2) 3) 4)
X Y
Abbildung keine Abbildung Abbildung keine Abbildung
2 y haben dasselbe ein x hat kein Bild
Urbild
Beispiel:
f :R→R, f(x)=x2 (cid:27) die Vorschrift x7→x2
g :N→N, g(x)=x2 ist in beiden F¨allen gleich
√ √
y =2 hat unter f zwei Urbilder: f( 2)=2, f(− 2)=2
y =2 hat unter g kein Urbild.
Zwei Abbildungen f,g :X →Y heißen gleich genau dann, wenn gilt
f(x)=g(x) (∀x∈X)
Beispiel: f,g :N→N
0
f(x):= der kleinste nichtnegative Rest bei ganzzahliger Division von x durch 3
z.B. f(5)=2.
g(x):= der kleinste nichtneg. Rest bei ganzzahliger Division von x3 durch 3
z.B. g(5)=2.
Hier gilt f =g.
Sei X Menge. Die Vorschrift x 7→ x (∀x ∈ X) definiert eine Abbildung X → X. Sie heißt die
Identit¨at auf der Menge X, kurz id oder Id .
X X
Restriktionen: Sei f :X →Y Abbildung und W ⊆X
Die Restriktion von f auf W ist die folgende Abbildung:
f| :W →Y, f| (w)=f(w) (∀w ∈W).
W W
Folgen (a ) reeller Zahlen a ∈R sind Abbildungen
n n=1,2,3,... n
a:N→R, a(n):=a
n
Allgemeiner: Indizierte Systeme von Elementen aus einer Menge X, I Menge, benutzt als Index-
menge
(x ) mit x ∈X (∀i∈I).
i i∈I i
Auch das sind Abbildungen: x:I →X, x(i):=x .
i
Indizierte Mengensysteme: I Indexmenge, X Menge (∀i∈I)
i
(X )
i i∈I
1 MENGEN, ABBILDUNGEN 5
Durchschnitt, Vereinigung, Produkt fu¨r solche Mengensysteme
\
X = {x:x∈X fu¨r alle i∈I}
i i
i∈I
[
X = {x:x∈X fu¨r ein i∈I}
i i
i∈I
( )
Y [
X = f :I → X ; f(i)∈X fu¨r alle i∈I
i i i
i∈I i∈I
Q
z.B. fu¨r I ={1,2}: X =X ×X ={(x ,x ):x ∈X ,x ∈X }
i∈I i 1 2 1 2 1 1 2 2
Q
Gilt fu¨r ein X =∅, so folgt X =∅.
i i∈I i
(A¨hnlich wie bei dem Produkt von Zahlen a ·...·a =0 falls ein a =0.)
1 n i
Das Auswahlaxiom der Mengenlehre:
Ist I 6=∅ Menge, und ist (X ) System nichtleerer Mengen X , so ist
i i∈I i
Y
X 6=∅.
i
i∈I
S
D.h. es existiert eine Auswahlfunktion f : I → X , die aus jeder Menge X ein Element
i∈I i i
ausw¨ahlt, n¨amlich f(i).
Bild und Urbild fu¨r Abbildungen f :X →Y
Sei A⊆X, B ⊆Y.
f(A) := {f(a):a∈A} das Bild von A unter f.
f−1(B) := {x∈X :f(x)∈B} das Urbild von B unter f.
f(A)⊆Y, f−1(B)⊆X
Beispiel: X ⊆R2, f :X →R, f((x,y))=x
X
-1 X
A f (B)
f(A) B
Die Abbildungseigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv
f :X →Y Abbildung
1 MENGEN, ABBILDUNGEN 6
f heißt injektiv genau dann, wenn zu jedem y ∈Y h¨ochstens ein x∈X existiert mit f(x)=y.
f heißt surjektiv genau dann, wenn zu jedem y ∈Y mindestens ein x∈X existiert mit f(x)=y.
f heißt bijektiv genau dann, wenn zu jedem y ∈Y genau ein x∈X existiert mit f(x)=y.
Also: f injektiv hi (∀x ,x ∈X :f(x )=f(x )⇒x =x )
1 2 1 2 1 2
f surjektiv hi f(X)=Y.
f bijektiv hi f injektiv und surjektiv.
Beispiele:
(1) f :N→N, f(n)=n+1 ist injektiv, aber nicht surjektiv (16∈f(N)).
(2) Fu¨r jede Menge X ist id :X →X eine Bijektion.
X
(3) Zu jeder Surjektion f : X → Y existiert eine Injektion g : Y → X mit f(g(y)) = y (∀y ∈
Y).
Das folgt aus dem Auswahlaxiom.
X :=f−1({y}) (∀y ∈Y)
y
Weil f surjektiv ist, gilt X 6=∅ (∀y ∈Y). Also:
y
Y
X 6=∅.
y
y∈Y
Q S
Sei also g ∈ X : g :Y → X =X mit g(y)∈X fu¨r alle y ∈Y.
y∈Y y y∈Y y y
Also f(g(y))=y fu¨r alle y ∈Y.
z.z. noch: g ist injektiv.
Sei g(y )=g(y ) mit y ,y ∈Y. Anwendung von f
1 2 1 2
f(g(y )) = f(g(y ))
1 2
⇒ y = y
1 2
MitdiesenBegriffenlassensichMengennachihrer Gr¨oße“klassifizieren(Dedekind,1831–1916).
”
Definition 1.1
(i) Eine Menge M heißt endlich genau dann, wenn gilt:
Jede injektive Abbildung f :M →M ist surjektiv.
(Nach Beispiel (1) ist also N nicht endlich)
(ii) Zwei Mengen M,N heißen gleichm¨achtig genau dann, wenn es eine Bijektion f : M → N
gibt.
Beispiel: N$Z
Z : ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ···
↑
N : ··· 7 5 3 1 2 4 6 ···
Das ist eine Bijektion ; N und Z sind also gleichm¨achtig.
1 MENGEN, ABBILDUNGEN 7
Die Komposition von Abbildungen
Seien f :X →Y, g :Y →Z Abbildungen. Die Vorschrift
x7→g(f(x)) (∀x∈X)
definiert eine Abbildung X → Z, die mit g◦f bezeichnet wird und Komposition von f und g“
”
heißt.
g◦f :X →Z, (g◦f)(x):=g(f(x)).
Fu¨r f,g : X → X sind auch f ◦g und g ◦f Abbildungen X → X. D.h. auf der Menge aller
Abbildungen X →X hat man eine Multiplikation.
Einselement“: f ◦id =f, id ◦f =f.
” X X
Im Allgemeinen gilt f ◦g 6=g◦f.
Satz 1.1 (Das Assoziativgesetz fu¨r die Abbildungskomposition)
Gegeben seien drei Abbildungen X →f1 X →f2 X →f3 X . Dann sind (f ◦f )◦f und f ◦(f ◦f )
1 2 3 4 3 2 1 3 2 1
Abbildungen von X nach X und es gilt:
1 4
(f ◦f )◦f =f ◦(f ◦f ).
3 2 1 3 2 1
Beweis: Beide Abbildungen gehen von X nach X . Z.z. nur noch, dass fu¨r alle x∈X die Werte
1 4 1
der beiden Abbildungen gleich sind.
((f ◦f )◦f )(x) =(f ◦f )(f (x))= f (f (f (x)))
3 2 1 3 2 1 3 2 1
(f ◦(f ◦f ))(x) =f ((f ◦f )(x))= f (f (f (x))).
3 2 1 3 2 1 3 2 1
(cid:3)
Satz 1.2 Sind f :X →Y und g :Y →X Abbildungen mit
f ◦g =id ,
Y
so ist f surjektiv und g injektiv.
Beweis: Nach Voraussetzung ist f(g(y)) = y (∀y ∈ Y). Also ist f surjektiv, denn zu (jedem)
y ∈Y gilt mit x=g(y)∈X
f(x)=y.
g ist injektiv: Sei g(y )=g(y ) fu¨r y ,y ∈Y.
1 2 1 2
Anwendung von f: f(g(y ))=f(g(y )), also y =y . (cid:3)
1 2 1 2
Satz 1.3 (Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung)
Zu jeder bijektiven Abbildung f :X →Y gibt es genau eine Abbildung g :Y →X mit f ◦g =id
Y
und g◦f =id .
X
g heißt die Umkehrabbildung von f und wird mit f−1 bezeichnet. Auch f−1 ist bijektiv, und die
Umkehrabbildung von f−1 ist f:
(f−1)−1 =f.
Beweis: f ist nach Voraussetzung surjektiv. Nach Beispiel (3) existiert eine injektive Abbildung
g :Y →X mit f ◦g =id . Insbesondere
Y
f(g(Y))=Y.