Lineare Algebra und Analytische Geometrie I: Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz PDF
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Egbert Brieskorn LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE I Umschlagfotos Vorderseite: Elektronenmikroskopische Aufnahme des Skeletts der Aige "braarudosphaera bigelowi". Mit freundlicher Genehmigung von Herrn Dr. S. A. Jafar, Institut fUr Geologie und PaHiontologie der Universitat TUbingen. RUckseite: Elektronenmikroskopische Aufnahme einer Gruppe von Adenoviren. Mit freundlicher Genehmigung von Herrn Dr. Gelderblom, Robert-Koch-Institut des Bundesgesundheitsamtes, Berlin. Egbert Brieskorn LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE I Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Brieskom, Egbert: Lineare Algebra und analytische Geometriel Egbert Brieskorn. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg 1. Noten zu einer Vorlesung/mit histor. Anm. von Erhard Scholz. - 1983. 1. Auflage 1983 Nachdruck 1985 Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1983 Die Vervielfaltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch fiir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mug iiber die Zahlung einer Gebiihr fiir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fiir die Vervielfiiltigung durch aile Verfahren einschlieglich Speicherung und jede Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien. Buchbinderische Verarbeitung: Hunke & Schroder, Iserlohn ISBN-13: 978-3-322-83175-0 e-ISBN-13: 978-3-322-83174-3 001: 10.1007/978-3-322-83174-3 Es ist Demantstaub, der, wenn er auch selbst nicht mehr glanzt, doch dient, andere damit zu schleifen. (Lichtenberg, Merkbuch J) Vorwort In der Geschichte der Mathematik zeigt sich uns ein groBer Reichtum in der Entstehung verschiedenartiger Strukturen, die sich entfalten, durch dringen und vereinen. Die besonders einfachen und grundlegenden Strukturen treten dabei oft erst zum SchluB hervor. So ist es auch mit der linearen Algebra. Mit einem Alter von vielleicht hundert Jahren ist sie noch jung, und ihr Gegenstand ist eine besonders einfache Struktur, die Bestandteil vieler anderer und sehr viel komplexerer Strukturen in anderen Gebieten ist. Das Studium dieser Struktur steht daher he ute mit Recht am Anfang des Studiums der Mathematik uberhaupt. Leider entsteht dabei bisweilen ein Eindruck von Abstraktheit und Langeweile - dies aber nur dann, wenn man die lineare Algebra als ein abgemagertes Gerippe prasentiert, als einen Minimalkanon von Definitionen und Operationen, die man furs Examen lernen muB. Wer dergleichen sucht, lege dieses Buch beiseite. In der Vorlesung, aus der dies Buch hervorgegangen ist, habe ich versucht, etwas von der Fulle der Beziehungen sichtbar werden zu lassen, durch welche die Grundstrukturen der linearen Algebra mit anderen Strukturen verbunden sind. Naturlich ist das am Anfang des Studiums nur in begrenztem MaBe moglich. Selbstverstandlich habe ich mich zunachst einmal darum bemuht, dem durchschnittlichen Studenten eine gut motivierte, leicht lesbare, bisweilen sogar breit geschriebene Einfuhrung in das Gebiet der linearen Algebra zu geben, wobei ich auf die Entwicklung strukturellen Denkens und operationaler Fahigkeiten gleichermaBen Wert gelegt habe. Daruber hinaus habe ich aber immer wieder versucht, denjenigen, die mehr als das wollen, Ausblicke auf all das Schone zu geben, was sie im Studium der Mathematik noch erwartet. Besonders die Aufgaben sollen etwas vom geometrischen Gehalt der linearen Algebra sichtbar werden lassen - ich sehe die lineare Algebra auch als die Form, in der heute die Geometrie Euklids gelehrt wird. VI Vielleicht bin ich in meinem Streben nach Vielfalt bisweilen zu weit oder zu sehr in die Breite gegangen. Dennoch meine ich, daB die beiden Bande dieser Einfuhrung in die lineare Algebra trotz aller Vielfalt im Einzelnen im Grunde ein einheitliches Ganzes bilden. Dies auch deswegen, weil ich mich bemuht habe, die vereinheitlichende Kraft des Gruppenbegriffs wirken zu lassen, wo immer mir dies moglich war. Ich mochte allen danken, die zu diesem Buch beigetragen haben. Den Studenten danke ich dafur, daB sie so gute Horer waren, und unter ihnen danke ich besonders Herrn Everling fur eine lange Fehlerliste und Herrn Mertens fur das Stichwortverzeichnis. Den Sekretarinnen unseres Instituts danke ich fur das muhevolle Schreiben des Manuskriptes. Herrn Dr. Knorrer und Herrn Dr. Ehlers danke ich fur viele schone Ubungsaufgaben. Herrn Dr. Scholz mochte ich ganz besonders fur die wertvollen historischen An merkungen danken, die er zu jedem einzelnen Paragraphen geschrieben hat, und die mir fur die Art, wie ich die Ideen in der Vorlesung entwickelt habe, sehr wichtig gewesen sind. Herrn Dr. Gelderblom, Herrn Dr. Jafar und Herrn Professor Andre Schaaf danke ich dafur, daB sie uns gestattet haben, den Einband beider Bande mit ihren schonen elektronenmikroskopischen Aufnahmen zu schmucken. SchlieBlich gilt mein besonderer Dank Frau Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg-Verlag fur die groBe Muhe, die sie sich mit diesem Buch gemacht hat. Ich hoffe, daB unser aller Arbeit nicht ganz umsonst war. Bonn, im Juni 1983 Egbert Brieskorn Inhaltsverzeichnis seite I. Einfuhrung in die linea re Algebra und analytische Geometrie § 1 Wovon handelt die Mathematik? Zur Geschichte der regularen Korper und der Herausbildung eines mathematischen Symmetriebegriffs 30 Literatur zu § 1 32 Aufgaben zu § 1 34 § 2 Gruppen 37 Literatur zu § 2 66 Aufgaben zu § 2 68 § 3 Wovon handelt die lineare Algebra? 74 Zur "Fruhgeschichte" der lineare Algebra 95 Literatur zu § 3 97 Aufgaben zu § 3 98 § 4 Wovon handelt die analytische Geometrie? 102 Zur Geschichte der analytischen Geometrie 146 Literatur zu § 4 147 Aufgaben zu § 4 148 II. Die Kategorie der Vektorraume § 5 Korper 156 Zur Entstehung des Korperbegriffs 192 Literatur zu § 5 194 Aufgaben zu § 5 195 § 6 Vektorraume 6.1. Axiome 202 6.2. Einfachste Beispiele 206 6.3. Rechenregeln 211 6.4. Unterraume 216 6.5. Beispiele 218 6.6. Quotientenraume 233 6.7. Basen 246 6.8. Rang und Dimension 288 6.9. Direkte Summen 294 6.10. Dualraume 300 6.11. Skalarwechsel 324 Zur Entstehung und Durchsetzung des Vektorraumbegriffs 333 Literatur zu § 6 337 Aufgaben zu § 6 339 Aufgaben zu § 7 355 § 7 Matrizen 7.1. Matrizenkalkul 356 7.2. Matrizen und Koordinatentransformationen 368 7.3. Matrizen und Homomorphismen 373 7.4. Der GauBsche Algorithmus 419 Zur Geschichte der Matrizen und des GauBschen Algorith 462 mus Literatur zu § 7 465 Aufgaben zu § 7 466 VIII III. Affine RAume und lineare Gleichungssysteme § 8 Affine Geometrie 8.1. Affine Raume und ihre Unterraume 472 488 8.2. Affine Abbildungen 8.3. Affine Koordinaten 498 Zur Entstehung der affinen Geometrie 502 Literatur zu § 8 504 Aufgaben zu § 8 505 § 9 Lineare Gleichungssysteme 9.1. Existenz und Anzahl der Losungen 509 9.2. Berechnung der Losungen 518 Literatur 525 Aufgaben zu § 9 526 IV. Determinanten § 10 Determinanten 10.1. Ursprung und Definition der Determinanten 530 10.2. Die wichtigsten Satze uber Determinanten 548 10.3. Spezielle Determinanten 590 Zur Entstehung der Determinanten 598 Literatur zu § 10 601 Aufgaben zu § 10 602 Quellenverzeichnis der Abbildungen 623 Stichwortverzeichnis 625 Inhalt des 2. Bandes Kapitel V. Die Klassifikation der Endomorphismen Endlich dimensionaler vektor- raume Nilpotente Endomorphismen, Eigenraume, Eigenwerte, Jordanzerlegung und Jordan normalform, Elementarteiler, Klassifikation der Endomorphismen bis auf Konjuga tion, GL(2,:m) und GL(3,:m) als Beispiele. Kapitel VI. Vektorraume mit einer Sesquilinearform Sesquilinearform, selbstadjungierte und unitare Endomorphismen, Orthogonali sierung, Isotropie, Klassifikation hermitescher Formen, euklidische und uni tare Vektorraume, klassische Gruppen. Inhalt des 3. Bandes Kapitel VII. Geometrie im Euklidischen Raum Euklidische affine Raume und ihre Isometriegruppen, Lange von Kurven, Winkel, ebene und spharische Trigonometrie, Spiegelungen und Drehungen, Clifford-Alge bren und Spin-Gruppen, Klassifikation der Isometrien, einparametrige Gruppen von Isometrien, Quadriken, regulare Polyeder und endliche Untergruppen der orthogonalen Gruppe, geometrische Kristallographie, geometrische Kristall klassen, einfache Kristallformen. - 1 - KAPITEL I EINFUHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE In diesem Kapitel geben wir vorlaufige Antworten auf die folgenden Fragen: Wovon handelt die Mathematik? Wovon handelt die lineare Algebra? Wovon handelt die analytisehe Geometrie? Wir wollen bei unseren vorlaufigen Antworten auf diese Fragen von der bei allen Mensehen sieh herausbildenden Ansehauung ausgehen und von der Kenntnis der Eu klidisehen Geometrie und der analytisehen Geometrie, die man bei Studienbeginn voraussetzen kann. Es kommt uns bei dieser Einflihrung vor allem auf Motivation an, nieht auf streng logisehe Deduktion. Der axiomatisehe deduktive Aufbau der Theorie erfolgt in den spateren Kapiteln. § 1. Wovon handelt die Mathematik? "Naturwissensahaft ist der Versuah~ die Natur durah genaue Begriffe aufzufassen ..• IJuroah diesen Prozel3 wird unsere Auffassung der Natur allmahliah immer vollstandiger und riah tiger~ geht aber zugleiah immer mehr hinter die OberfUiahe der Ersaheinungen zurilak". (aus einen Fragment von Bernhard Riemann: "Versuah einer Lehre von den Grundbegriffen der Mathematik und Physik als Grundlage j7~r die NaturerkUirung") . Die Vorlesung tiber lineare Algebra und analytisehe Geometrie ist eine der beiden Vorlesungen, die man bei uns am Anfang des Mathematikstudiums hert. Es ist daher sieher nieht unangemessen, sieh in der ersten Stunde dieser Vorlesung die folgen den Fragen zu stellen: - 2 - • Was ist Mathematik ? • Was ist ihr Gegenstand ? • Wovon handelt sie ? Es ist nicht leicht, diese Fragen richtig zu beantworten, und verschiedene Mathe matiker haben sehr verschiedene Antworten auf diese Fragen gegeben. Gute Beispiele dafur findet man in dem von M.Otte herausgegebenen Buch "Mathematiker uber Mathe matik". Jede Antwort hangt von den implizit oder explizit eingenommenen philosophischen, insbesondere erkenntnistheoretischen und wissenschaftstheoretischen Positionen abo AuBerdem muB in eine adaquate Antwort die Kenntnis der geschichtlichen Ent wicklung der Mathematik ebenso eingehen wie die Kenntnis ihrer wichtigsten gegen wartigen Inhalte und Methoden. All dies laBt sich in dieser Vorlesungsstunde zu Beginn der Vorlesung noch nicht vermitteln. Deshalb mochte ich Ihnen die eben ge stellten Fragen mit Hilfe eines Beispiels beantworten. Ich habe dieses Beispiel gewahlt, weil es unmittelbar mit dem Stoff der Vorlesung zusammenhangt, mit der Euklidischen Geometrie, mittelbar aber auch mit meiner eigenen wissenschaftlichen Arbeit, und weil es gestattet, die Antworten auf unsere Fragen in besonders an schaulicher Weise zu illustrieren. Auf die Frage: "Wovon handelt Mathematik?" gebe ich also zunachst einmal die vorlaufige Antwort: "Zum Beispiel von Symmetrie". Ich mochte im folgenden aus fuhrlich erklaren, was damit gemeint ist. In der Natur sehen wir uberall regelmaBige Muster oder Strukturen oder Objekte von regelmaBiger Gestalt. Wenn wir zum Beispiel Kochsalz auflosen und die Losung verdunsten lassen, sehen wir regelmaBig gebildete kleine Kristalle. Wenn wir ge nau hinschauen, sehen wir, daB diese Kristalle die Gestalt eines Wurfels haben. Auch eine Reihe von Mineralien bilden Kristalle in Wurfelform. In Bildbanden uber Kristallographie findet man schone Beispiele dafur. Die Kristalle anderer Minera lien haben die Gestalt anderer regelmaBiger Korper. Wir wollen versuchen, die re gelmaBigen Korper mathematisch zu beschreiben, wobei wir zunachst noch sehr an der Oberflache der Erscheinungen bleiben werden.
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