Lineare Algebra und analytische Geometrie I [Lecture notes]

361 Pages·2016·2.59 MB·German

by  Holger Brenner

Lineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. Holger Brenner
Universit¨at Osnabru¨ck
Fachbereich Mathematik/Informatik
Wintersemester 2015/2016
2
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 8
1. Vorlesung - Mengen 9
1.1. Mengen 9
1.2. Beschreibungsm¨oglichkeiten fu¨r Mengen 10
1.3. Mengenoperationen 13
1.4. Konstruktion von Mengen 15
1.5. Tupel, Vektoren, Matrizen 17
1.6. Mengenfamilien 18
1. Arbeitsblatt 20
2. Vorlesung -Abbildungen 25
2.1. Abbildungen 25
2.2. Injektive und surjektive Abbildungen 27
2.3. Hintereinanderschaltung von Abbildungen 30
2.4. Graph, Bild und Urbild einer Abbildung 32
2.5. Verknu¨pfungen 33
2. Arbeitsblatt 34
3. Vorlesung - K¨orper 38
3.1. Gruppen 38
3.2. Ringe 40
3.3. K¨orper 41
3. Arbeitsblatt 44
4. Vorlesung - Lineare Gleichungssysteme 49
4.1. Lineare Gleichungssysteme 50
4.2. Der Matrizenkalku¨l 55
4. Arbeitsblatt 58
5. Vorlesung - Eliminationsverfahren 62
5.1. Das L¨osen von linearen Gleichungssystemen 62
5.2. Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt 69
5.3. Das Superpositionsprinzip fu¨r lineare Gleichungssysteme 69
5. Arbeitsblatt 70
6. Vorlesung - Vektorr¨aume 75
3
6.1. Vektorr¨aume 75
6.2. Untervektorr¨aume 79
6.3. Erzeugendensysteme 80
6. Arbeitsblatt 82
7. Vorlesung - Basen 87
7.1. Lineare Unabh¨angigkeit 87
7.2. Basen 89
7.3. Der Charakterisierungssatz fu¨r eine Basis 90
7. Arbeitsblatt 92
8. Vorlesung - Dimension 96
8.1. Dimensionstheorie 96
8. Arbeitsblatt 102
9. Vorlesung - Basiswechsel 105
9.1. Basiswechsel 105
9.2. Summe von Untervektorr¨aumen 108
9.3. Direkte Summe 110
9.4. Direkte Summe und Produkt 111
9. Arbeitsblatt 111
10. Vorlesung - Lineare Abbildungen 116
10.1. Lineare Abbildungen 116
10.2. Festlegung auf einer Basis 119
10.3. Lineare Abbildungen und Matrizen 121
10.4. Isomorphe Vektorr¨aume 124
10. Arbeitsblatt 125
11. Vorlesung - Dimensionsformel 132
11.1. Untervektorr¨aume unter linearen Abbildungen 132
11.2. Die Dimensionsformel 134
11.3. Verknu¨pfung von linearen Abbildungen und Matrizen 136
11.4. Lineare Abbildungen und Basiswechsel 137
11. Arbeitsblatt 137
12. Vorlesung - Elementarmatrizen 144
12.1. Invertierbare Matrizen 144
12.2. Eigenschaften von linearen Abbildungen 144
4
12.3. Elementarmatrizen 145
12.4. Auffinden der inversen Matrix 148
12.5. Rang von Matrizen 149
12. Arbeitsblatt 150
13. Vorlesung - Homomorphismenr¨aume 154
13.1. Projektionen 154
13.2. Homomorphismenr¨aume 158
13.3. Untervektorr¨aume von Homomorphismenr¨aumen 160
13. Arbeitsblatt 162
14. Vorlesung - Dualr¨aume I 167
14.1. Linearformen 168
14.2. Der Dualraum 169
14.3. Die Spur 173
14. Arbeitsblatt 173
15. Vorlesung - Dualr¨aume II 176
15.1. Unterr¨aume und Dualraum 176
15.2. Die duale Abbildung 179
15.3. Das Bidual 182
15. Arbeitsblatt 183
16. Vorlesung - Determinanten 188
16.1. Die Determinante 188
16.2. Multilineare und alternierende Abbildungen 189
16.3. Die Determinante ist eine alternierende Abbildung 191
16. Arbeitsblatt 195
17. Vorlesung - Multiplikationssatz 201
17.1. Universelle Eigenschaft der Determinante 201
17.2. Der Determinantenmultiplikationssatz 202
17.3. Die Determinante einer linearen Abbildung 204
17.4. Adjungierte Matrix und Cramersche Regel 205
17. Arbeitsblatt 206
18. Vorlesung - Permutationen 211
18.1. Permutationen 211
18.2. Transpositionen 213
5
18.3. Das Signum einer Permutation 213
18.4. Die Leibnizformel fu¨r die Determinante 216
18. Arbeitsblatt 217
19. Vorlesung - Der Polynomring 220
19.1. Der Polynomring u¨ber einem K¨orper 221
19.2. Die Division mit Rest 222
19.3. Nullstellen 225
19.4. Der Fundamentalsatz der Algebra 226
19.5. Rationale Funktionen 226
19. Arbeitsblatt 227
20. Vorlesung - Ideale 231
20.1. Der Interpolationssatz 232
20.2. Einsetzen von Endomorphismen 232
20.3. Ideale 234
20.4. Ideale in K[X] 235
20.5. Das Minimalpolynom 236
20. Arbeitsblatt 237
21. Vorlesung - Eigenvektoren 242
21.1. Eigentheorie 242
21.2. Kern und Fixraum 247
21.3. Eigenwerte bei Basiswechseln 248
21. Arbeitsblatt 249
22. Vorlesung - Diagonalisierbarkeit 254
22.1. Beziehung zwischen Eigenr¨aumen 255
22.2. Geometrische Vielfachheit 257
22.3. Diagonalisierbarkeit 258
22. Arbeitsblatt 260
23. Vorlesung - Das charakteristische Polynom 264
23.1. Das charakteristische Polynom 264
23.2. Invariante Untervektorr¨aume 267
23.3. Algebraische Vielfachheiten 268
23.4. Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen 269
23. Arbeitsblatt 270
6
24. Vorlesung - Cayley-Hamilton 275
24.1. Der Satz von Cayley-Hamilton 275
24.2. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom 277
24.3. Weitere Beispiele 279
24. Arbeitsblatt 281
25. Vorlesung - Trigonalisierbarkeit 286
25.1. Trigonalisierbare Abbildungen 286
25.2. Invariante Untervektorr¨aume 287
25.3. Charakterisierungen fu¨r trigonalisierbar 289
25. Arbeitsblatt 291
26. Vorlesung - Hauptr¨aume 296
26.1. Das Lemma von Bezout 296
26.2. Hauptr¨aume 299
26. Arbeitsblatt 302
27. Vorlesung - Nilpotente Abbildungen 306
27.1. Nilpotente Abbildungen 306
27.2. Die Jordanzerlegung zu einem nilpotenten Endomorphismen 309
27. Arbeitsblatt 314
28. Vorlesung - Jordansche Normalform 319
28.1. Ein Zerlegungssatz 320
28.2. Jordansche Normalform 321
28.3. Endomorphismen endlicher Ordnung 328
28. Arbeitsblatt 329
29. Vorlesung - Affine R¨aume 333
29.1. Affine R¨aume 333
29.2. Affine Basen 337
29.3. Affine Unterr¨aume 339
29. Arbeitsblatt 340
30. Vorlesung - Affine Abbildungen 345
30.1. Affine Erzeugendensysteme 345
30.2. Affine Unabh¨angigkeit 346
30.3. Affine Abbildungen 347
30. Arbeitsblatt 351
7
Anhang A: Bildlizenzen 357
Abbildungsverzeichnis 357
8
Vorwort
Vorwort
Dieses Skript gibt die Anf¨angervorlesung Lineare Algebra I wieder, die ich
im Wintersemester 2015/16 an der Universit¨at Osnabru¨ck im Studiengang
Mathematik gehalten habe.
Der Text wurde auf Wikiversity geschrieben und steht unter der Creative-
Commons-Attribution-ShareAlike 4.0. Die Bilder wurden von Commons
u¨bernommen und unterliegen den dortigen freien Lizenzen. In einem Anhang
werden die einzelnen Bilder mit ihren Autoren und Lizenzen aufgefu¨hrt. Die
CC-BY-SA 4.0 Lizenz erm¨oglicht es, dass das Skript in seinen Einzelteilen
verwendet, ver¨andert und weiterentwickelt werden darf. Ich bedanke mich
bei der Wikimedia-Gemeinschaft und insbesondere bei Benutzer Exxu fu¨r
die wichtigen Beitr¨age im Projekt semantische Vorlagen, die eine weitgehend
automatische Erstellung des Latexcodes erm¨oglichen.
Bei den U¨bungsgruppenleitern Hadrian Heine und Jonathan Steinbuch und
den Tutoren Julian Dursch, Matthias Hockmann, Maurice Kraune, Jan-Luca
Spellmann bedanke ich mich fu¨r die Durchfu¨hrung des U¨bungsbetriebs. Bei
Jonathan Steinbuch bedanke ich mich fu¨r das Korrekturlesen. Bei Frau Ma-
rianne Gausmann bedanke ich mich fu¨r die Erstellung der Pdf-Files und bei
den Studierenden fu¨r einzelne Korrekturen.
Holger Brenner
9
1. Vorlesung - Mengen
Wenn der Wind der
Ver¨anderung weht, bauen die
einen Mauern und die
anderen Windmu¨hlen
Chinesische Weisheit
1.1. Mengen.
Die Mathematik im wissenschaftlichen Sinne wird in der Sprache der Mengen
formuliert.
David Hilbert (1862-1943) nannte sie
Georg Cantor (1845-1918) ist der ein Paradies, aus dem die
Sch¨opfer der Mengentheorie. Mathematiker nie mehr vertrieben
werden du¨rfen.
Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die
die Elemente der Menge heißen. Mit wohlunterschieden“ meint man, dass
”
es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen
werden. Die Zugeh¨origkeit eines Elementes x zu einer Menge M wird durch
x M
∈
ausgedru¨ckt, die Nichtzugeh¨origkeit durch
x M .
6∈
Fu¨r jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei M¨oglichkeiten.
Fu¨r Mengen gilt das Extensionalit¨atsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die
in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, daru¨ber hinaus bietet sie
keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen u¨berein, wenn beide
die gleichen Elemente enthalten.
10
Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit
∅
bezeichnet.
Eine Menge N heißt Teilmenge einer Menge M, wenn jedes Element aus N
auch zu M geh¨ort. Man schreibt dafu¨r
N M
⊆
(manche schreiben dafu¨r N M). Man sagt dafu¨r auch, dass eine Inklusion
⊂
N M vorliegt. Im Nachweis, dass N M ist, muss man zeigen, dass fu¨r
⊆ ⊆
ein beliebiges Element x N ebenfalls die Beziehung x M gilt.1 Dabei
∈ ∈
darf man lediglich die Eigenschaft x N verwenden.
∈
Aufgrund des Extensionalit¨atsprinzips hat man das folgende wichtige Gleich-
heitsprinzip fu¨r Mengen, dass
M = N genau dann, wenn N M und M N
⊆ ⊆
gilt.IndermathematischenPraxisbedeutetdies,dassmandieGleichheitvon
zwei Mengen dadurch nachweist, dass man (in zwei voneinander unabh¨angi-
gen Teilargumentationen) die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den
kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die
Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewu¨nschten Schlussfolge-
rung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prin-
zip, dass die A¨quivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation
bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewie-
sen wird.
1.2. Beschreibungsm¨oglichkeiten fu¨r Mengen.
Es gibt mehrere M¨oglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die
zu der Menge geh¨orenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge
derElementenichtankommt.BeiendlichenMengenistdiesunproblematisch,
bei unendlichen Mengen muss man ein Bildungsgesetz“ fu¨r die Elemente
”
angeben.
Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung ein-
fu¨hrt, ist die Menge der natu¨rlichen Zahlen
N = 0,1,2,3,... .
{ }
Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaub-
ten Zifferfolgen angedeutet. Wichtig ist, dass mit N nicht eine Menge von
bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repr¨asentierten
Zahlwerte. Eine natu¨rliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernre-
pr¨asentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders
u¨bersichtliche.
1In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage
x(x N x M).
∀ ∈ → ∈