Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Ein Lehrbuch für Physiker und Mathematiker

368 Pages·2003·10.99 MB·German

by  Theodor Bröcker (auth.)

Theodor Bröcker
Lineare Algebra und
Analytische Geometrie
Ein Lehrbuch für Physiker und Mathematiker
Birkhäuser Verlag
Basel · Boston ' Berlin
Autor:
Theodor Br6cker
NWF I -Mathematik
Universităt Regensburg
D-93040 Regensburg
e-mail: [email protected]
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Birkhăuser Verlag,
Basel -Boston -Berlin
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ISBN 978-3-7643-2178-9 ISBN 978-3-0348-7642-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7642-1
© 2003 Birkhăuser Verlag, Postfach 133, CH-401 O Basel, Schweiz
Ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Gruppe
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987654321
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 0 Schulweisheiten 1
§ 1 Vektoren im ffi.n 1
§ 2 Das Skalarprodukt 5
§ 3 Komplexe Zahlen . 10
§ 4 Das Vektorprodukt 14
§ 5 Aufgaben ..... 17
Kapitel I Vektorräume 21
§ 1 Gruppen, Ringe, Körper 21
§ 2 Homomorphismen 28
§ 3 Vektorräume ..... . 32
§ 4 Basen ......... . 37
§ 5 Geometrische Anwendungen . 44
§ 6 Aufgaben ....... . 47
Kapitel II Matrizenrechnung 55
§ 1 Zeilenumformungen . 55
§ 2 Lineare Abbildungen .. 58
§ 3 Matrizen......... 63
§ 4 Lineare Gleichungssysteme . 71
§ 5 Aufgaben . . . . . . . . 77
Kapitel III Die Determinante 83
§ 1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 2 Definition der Determinante . . . . 88
§ 3 Eigenschaften einer Determinante . 93
§ 4 Eigenwerte .......... . 98
§ 5 Das charakteristische Polynom 101
§ 6 Aufgaben ........... . 105
VI Inhaltsverzeichnis
Kapitel IV Bilinearformen 109
§ 1 Bilinearformen und quadratische Formen . 109
§ 2 Euklidische Räume . . . . . 113
§ 3 Orthogonale Gruppen ... 117
§ 4 Hauptachsentransformation 120
§ 5 Unitäre Räume 127
§ 6 Aufgaben . . . . . . . . . . 132
Kapitel V Die Jordansehe Normalform 141
§ 1 Im Komplexen . . . . 141
§ 2 Im Reellen. . . . . . . . . . . . . 148
§ 3 Die Komplexifizierung . . . . . . 150
§ 4 Unitäre und normale Endomorphismen . 154
§ 5 Die Normalform orthogonaler Matrizen. 155
§ 6 Berechnen der J ordanschen Normalform 156
§ 7 Lineare Differentialgleichungen 158
§ 8 Die Normalformen-Tabelle . 159
§ 9 Aufgaben . . . . . . . . . . 160
Kapitel VI Geometrie 163
§ 1 Flächen zweiter Ordnung 163
§ 2 Kegelschnitte und Regelflächen 170
§ 3 Der Projektive Raum. 174
§ 4 Projektivitäten . . . . . 179
§ 5 Projektive Dualität . . . 183
§ 6 Homogene Gleichungen 184
§ 7 Affine Hauptachsentransformation 187
§ 8 Der topologische Typ der Quadriken 190
§ 9 Bewegungen............ 196
§ 10 Quadriken und ihre Gleichungen 197
§ 11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 204
Kapitel VIITensorrechnung 209
§ 1 Kategorien und FUnktoren . . . . . . . 209
§ 2 Das Tensorprodukt von Vektorräumen 212
§ 3 Alternierende Formen 219
§ 4 Die äußere Algebra . 226
§ 5 Aufgaben . . . . . . . 229
Kapitel VIII Lineare Gruppen und Liealgebren 233
§ 1 Gruppenoperationen 233
§ 2 Gruppen ..... 236
§ 3 Affine Räume . . 240
§ 4 Gaußelimination 244
Inhaltsverzeichnis vii
§ 5 Iwasawa-Zerlegung, Polarzerlegung, Jordan-Chevalley-Zerlegung 250
§ 6 Exponentialfunktion und Logarithmus 253
§ 7 Liealgebren . . . . . . . . . 257
§ 8 Die adjungierte Darstellung 260
§ 9 Aufgaben . . . . . . . . . . 263
Kapitel IX Quaternionen und orthogonale Gruppen 269
§ 1 Die Gruppe SO(3) und ihre Liealgebra 269
§ 2 Quaternionen.............. 273
§ 3 Die Gruppen SU(2), SO(3) und SO(4) 277
§ 4 Die symplektischen Gruppen ... 283
§ 5 Die Lorentzgruppe . . . . . . . . . 288
§ 6 Kausalität und die Lorentzgruppe . 295
§ 7 Aufgaben ............. . 304
Kapitel X Ringe und Moduln 307
§ 1 Ringe ......... . 307
§ 2 Polynomringe . . . . . . 309
§ 3 Symmetrische Polynome 312
§ 4 Potenzreihen und symmetrische Polynome 316
§ 5 Endomorphismen und symmetrische Polynome 322
§ 6 Interpolation und der erste Zerlegungssatz . 324
§ 7 Der Quotientenkörper 327
§ 8 Moduln ....... . 329
§ 9 Matrizen über Ringen 334
§ 10 Hauptidealringe . . . . 339
§ 11 Moduln über Hauptidealringen 341
§ 12 Anwendungen des Elementarteilersatzes 347
§ 13 Der charakteristische Endomorphismus . 350
§ 14 Aufgaben ................ . 353
Literatur 355
Index 357
Vorwort
Die mathematischen Formeln ...
Sie spielen nur mit sich selbst, drücken nichts als
ihre wunderbare Natur aus, und eben darum sind
sie so ausdrucksvoll - eben darum spiegelt sich in
ihnen das seltsame Verhältnisspiel der Dinge.
Die Grundbegriffe der Linearen Algebra, wie man sie zur Vorbereitung einer Vor
lesung über Algebra braucht, lassen sich auf einem Dutzend Seiten vollständig
darstellen. Solche Kürze wird vielleicht gerade Algebraikern vom Fach besonders
einleuchten. Aber auf der anderen Seite stehen Bedürfnisse und Interessen aus
der Analysis, Geometrie und Physik, die weit über das hinausgehen, was man in
einem zweisemestrigen Kurs bewältigen kann. Die Theorie der Liealgebren, das
Studium der orthogonalen Gruppen, die Grundlagen der speziellen Relativitäts
theorie, die Übertragung der Analysis auf Mannigfaltigkeiten und die Grundlagen
der Projektiven Geometrie, -- all das ist eigentlich nur Lineare Algebra.
Nun ist das Buch, das ich hier vorlege, auch nicht enzyklopädisch, aber ich
möchte doch Wege zeigen, die aus dem einfachen Rechenschematismus, mit dem
die Lineare Algebra beginnt, in reiche, vielfältige, sinnvolle und anschauliche Ge
biete führen. Meine Darstellung beginnt mit sehr geringer Abstraktion. Das nullte
Kapitel verlangt nur, was man auf der Schule machen kann, aber es stellt schon
die Studenten der Physik (und die Kollegen) für einige Zeit zufrieden. Auch da
nach geht es mit der Abstraktion behutsam voran, und ich scheue mich nicht, vieles
mehrfach zu behandeln, rechnerisch, algebraisch und geometrisch. Ich glaube nicht,
dass man auf diese Weise Zeit verliert. Am Ende aber soll doch dem Studenten
die kategorielle Darstellung der Mathematik natürlich und vertraut sein.
An Vorkenntnissen und Können beim Leser verlange ich zunächst nicht mehr,
als was man aus der Schule mitbringen sollte. Nach und nach, besonders in Anwen
dungen und Beispielen, sollte man auch die normalen Grundkenntnisse aus den
Anfängervorlesungen der Analysis bereit haben, und in den geometrischen Kapi
teln VI, VIII wird man wohl das Bedürfnis empfinden, etwas mehr über Topologie
und Mannigfaltigkeiten zu erfahren. Hier verweise ich Interessierte auf das Buch
von Bröcker und Jänich im Literaturverzeichnis.
x Vorwort
Die Reihenfolge ist so angelegt, dass man am Ende von Kapitel V alles bei
sammen hat, was man normalerweise von einem Kurs über Lineare Algebra ver
langt. In meinen jüngeren Jahren war ich so weit nach einem Semester. Später
bin ich nur bis zum Kapitel IV gekommen, und das ist immer noch alles, was die
Physiker von uns verlangen. Aber was danach kommt, enthält vieles, was Physiker
nicht leicht und bequem finden und doch eigentlich bräuchten. Und neben Sys
tematik, Anwendung und Anschauung gehört zur Mathematik, wie ich vorführen
will, auch die Lust an schönen und sinnvollen Formeln.
Wo ich nun dreimal auf das Zusammenleben von Mathematikern und Physi
kern Bezug genommen habe, erübrigt es sich wohl auszuführen, dass dieses Buch
überhaupt der Physik verehrungsvoll zugetan ist. Nach wie vor erfahren wir beide
von einander die meiste und tiefste Anregung, auch wenn und wo wir uns nicht
leicht einig werden.
Die Motti, die ich, ohne die Autoren zu verraten, mir zum Vergnügen und
manchmal gleichsam als Rätsel, den Kapiteln vorangestellt habe, bitte ich mir
wohlwollend durchgehen zu lassen, und die Aufgaben will ich besonders empfehlen.
Ich danke Frau Karin Zirngibl, die das Manuskript gesetzt hat, und Herrn
Dr. Marco Hien für lange geduldige Hilfe. Mehrere Kollegen haben mich durch ihr
Interesse an früheren Versionen des Manuskripts ermutigt, es zu vollenden. Ihnen
bringe ich mich dankbar in Erinnerung. Schließlich und besonders danke ich Herrn
Dr. Thomas Hempfling vom Birkhäuser Verlag für die Sorgfalt und Mühe, die er
darauf verwandt hat, meiner Vorlage den letzten Schliff zu geben.
Regensburg im Frühjahr 2003, Theodor Bröcker
Kapitel 0
Schulweisheiten
Dreifach ist des Raumes Maß:
Rastlos fort ahn Unterlass
Strebt die Länge; fort ins Weite
Endlos gießet sich die Breite;
Grundlos senkt die Tiefe sich.
Worin an einiges erinnert wird, was Sie meist wohl schon aus der Schule kennen,
damit der eigentliche, strenger begründete Text mit Kapitel I nicht ganz unmoti
viert beginne.
§ 1 Vektoren im IR( n
Wir werden es im Folgenden mit verschiedenen Zahlbereichen zu tun haben, und
ich appelliere ohne weitere Begründung an Schulerinnerungen, wenn ich sage:
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen
1,2,3,4, ... ,
und die Menge all dieser Zahlen wird mit
Menge der natürlichen Zahlen {1,2,3, ... }
{n I n ist eine natürliche Zahl}
°
bezeichnet. Nimmt man noch die Zahl hinzu, so erhält man die Menge
No = {O, 1, 2, 3, ... } = N u {O}.
Die Menge der ganzen Zahlen Z besteht aus diesen und ihren Negativen
Z := Nou-N = { ... ,-3,-2,-1,O,1,2,3, ... }.
T. Bröcker, Lineare Algebra und Analytische Geometrie
© Birkhäuser Verlag 2003
2 Kapitel 0. Schulweisheiten
Die Menge der rationalen Zahlen Q ist die Menge der Brüche mit ganzem Zähler
und Nenner:
Q:= {~lm,nE Z,n#O}.
Du sollst nicht durch Null dividieren!
Hiermit kommt man aber nicht weit, wie etwa die Analysis-Vorlesung lehrt, son
dern man betrachtet weiter die Menge IR der reellen Zahlen, welche eine Dezimal
darstellung
±aO,ala2a3'"
zulassen, mit ao E No und a" E {O, 1, ... , 9} für v > 0, wie zum Beispiel:
3,1415926 ....
Das sind natürlich alles ganz unbefriedigende Erklärungen, wobei wir auf die Dauer
auch keineswegs stehen bleiben werden, nur vorläufig.
Wir wissen, dass man die reellen Zahlen benutzen kann, um die Punkte auf einer
Geraden zu beschreiben:
--0-o- 0-----'0----+
1 x
Sagt man, wo 0 und 1 liegt, so entspricht jedem Punkt auf der Geraden eine reelle
Zahl und jeder reellen Zahl ein Punkt.
Ganz ähnlich kann man die Punkte der Ebene durch Paare reeller Zahlen (x, y),
mit x, y E IR, bezeichnen:
y -----------9 (x, y)
1 :
I
I
I
I
-----r--IO----~
1 x
Und wenn wir uns vor die Aufgabe gestellt sehen, "genau" zu sagen, was denn
"die Ebene" sein soll, so können wir zuversichtlich sagen: Man gebe uns nur IR,
dann wissen wir weiter.
Nach demselben Verfahren lassen sich Tripel (x, y, z) mit x, y, z E IR verwenden,
um die Punkte im "dreidimensionalen Raum" zu bezeichnen:
...------------,----,(x,y,z)
z
y j)-;,.""--------;I) (x,y)
x